Rappel... Valeurs propres et vecteurs propres. –Définitions; –Propriétés; –Équations aux...

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Rappel... • Valeurs propres et vecteurs propres. – Définitions; – Propriétés; – Équations aux différences; – Équation caractéristique; – Matrices similaires; – Applications aux systèmes dynamiques.

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Rappel...

• Valeurs propres et vecteurs propres.– Définitions;– Propriétés;– Équations aux différences;– Équation caractéristique;– Matrices similaires;– Applications aux systèmes dynamiques.

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Aujourd’hui

• Diagonalisation.

• Transformations linéaires.

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11. Diagonalisation et transformations linéaires

Dans certains cas, on peut décomposer une matrice selon A = PDP-1, D étant une matrice diagonale.

Cette décomposition contient de l’information à propos des valeurs propres et des vecteurs propres.

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Diagonalisation

Pourquoi diagonaliser?

Calcul des puissances d’une matrice.

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Diagonalisation (suite)

On dit qu’une matrice A est diagonalisable si A est similaire à une matrice diagonale, i.e. A = PDP-1, pour une matrice inversible P et une matrice diagonale D.

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Théorème de la diagonalisation

Une matrice A n n est diagonalisable si et seulement si A possède n vecteurs propres linéairement indépendants.

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Théorème de la diagonalisation (suite)

Si A = PDP-1, où D est une matrice diagonale, alors les éléments de la diagonale de D sont les valeurs propres de A et les colonnes de P sont les vecteurs propres correspondants.

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Base de vecteurs propres

Le théorème précédent implique queA n n est diagonalisable si on a assez de vecteurs propres pour former une base de Rn.

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Méthode pour diagonaliser une matrice

1) Trouver les valeurs propres de A, n n.

2) Trouver les vecteurs propres de A. Il en faut n qui soient linéairement indépendants.

4) Construire D à partir des valeurs propres.

3) Construire P à partir des vecteurs propres.

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Théorème: diagonalisation et valeurs propres distinctes

Si une matrice A n n possède n valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable.

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Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes

Soit une matrice A n n ayant comme valeurs propres distinctes 1,...,p.

a. Pour 1 k p, la dimension de l’espace propre de k est inférieure ou égale à la multiplicité de la valeur propre k.

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Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes (suite)

Soit une matrice A n n ayant comme valeurs propres distinctes 1,...,p.

b. La matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres distincts est égale à n, et ceci arrive si et seulement si la dimension de l’espace propre de chaque k est égale à la multiplicité de k.

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Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes (fin)

Soit une matrice A n n ayant comme valeurs propres distinctes 1,...,p.

c. Si A est diagonalisable et Bk est une base pour l’espace vectoriel correspondant à k

pour chaque k, alors l’union de tous les vecteurs appartenant aux ensembles B1,...,Bp

forment une base de vecteurs propres pour Rn.

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Vecteurs propres et transformation linéaire

Nous allons maintenant explorer la relation entre la décomposition matricielle A = PDP-1 et les transformations linéaires.

x Ax u Du

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Matrice d’une transformation linéaire

Vn-dim Wm-dim

T: transformation linéaire de V vers W

V: base B, vecteurs de coordonnées [x]B Rn.

W: base C, vecteurs de coordonnées [T(x)]C Rm.

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V Wx T(x)

[x]B

Rn

[T(x)]C

Rm

T

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Calcul de la matrice

À cause de la linéarité, on peut écrire

[T(x)]C = M[x] B

où M = [[T(b1)]C [T(b2)]C … [T(bn)]C ]

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V Wx T(x)

[x]B

Rn

[T(x)]C

Rm

T

M

Matrice de la transformation T selon les bases B et C

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V Vx T(x)

[x]B

Rn

[T(x)]B

Rn

T

[T]B

Transformation linéaire de V dans V: matrice B de T.

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Représentation par une matrice diagonale

Supposons que A = PDP-1, où D est une matrice diagonale n n. Si B est la base de Rn formée des colonnes de P, alors D est la matrice B de la transformation linéairex Ax.

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Prochain cours...

• Systèmes dynamiques:

– discrets;– continus.