I. Introduction [poly – pas le temps – pas (trop) important…]

II. Statique des fluides et dynamique des fluides parfaits

III. Fluides réels : écoulements permanents et pertes de charge

IV. Fluides réels : écoulements laminaires, unidimensionnels de

fluides incompressibles

V. Equations des quantités de mouvement

Plan du cours : Mécanique des Fluides

I. Introduction [poly – pas le temps – pas (trop) important…]

II. Statique des fluides et dynamique des fluides parfaits

III. Fluides réels : écoulements permanents et pertes de charge

IV. Fluides réels : écoulements laminaires, unidimensionnels de

fluides incompressibles

V. Equations des quantités de mouvement

Plan du cours : Mécanique des Fluides

•Statique des fluides•Dynamique des fluides parfaits•Application de l’équation de bernoulli

Plan du cours : Mécanique des Fluides

•Régimes d’écoulement•Profil de vitesses, couche limite•Pertes de charges régulières•Pertes de charges singulières•Equation de Bernoulli généralisée

I. Introduction [poly – pas le temps – pas (trop) important…]

II. Statique des fluides et dynamique des fluides parfaits

III. Fluides réels : écoulements permanents et pertes de charge

IV. Fluides réels : écoulements laminaires, unidimensionnels de

fluides incompressibles

V. Equations des quantités de mouvement

Plan du cours : Mécanique des Fluides

•Ecoulements de Poiseuille•Notion de lubrification

- Ecoulements de Couette, téorie du coin d’huile.

I. Introduction [poly – pas le temps – pas (trop) important…]

II. Statique des fluides et dynamique des fluides parfaits

III. Fluides réels : écoulements permanents et pertes de charge

IV. Fluides réels : écoulements laminaires, unidimensionnels de

fluides incompressibles

V. Equations des quantités de mouvement

Plan du cours : Mécanique des Fluides

•Principe fondamental de la dynamique et théorème des moments•Applications

I. Introduction [poly – pas le temps – pas (trop) important…]

II. Statique des fluides et dynamique des fluides parfaits

III. Fluides réels : écoulements permanents et pertes de charge

IV. Fluides réels : écoulements laminaires, unidimensionnels de

fluides incompressibles

V. Equations des quantités de mouvement

Statique des fluidesApplication de la RFDEquation de la statique [rappelez vous du son…]L’action de la pesanteurPoussée hydrostatique sur une paroi

Dynamique des fluides parfaitsEcoulements : points de vue de Lagrange et de Euler – notion

de particule fluideEquation de continuité d’un élément de volume fluideL’équation de Bernoulli

Applications de l’équation de BernoulliFormule de TorricelliTemps de vidage d’un bassinTube de PitotTube piézométriquePhénomène de Venturi

Statique des fluides et dynamique des fluides parfaits

Statique des fluidesApplication de la RFD

p(x) p(x+dx)

dx

dy

dz

x

y

z

L’élément de volume dxdydz est également soumis à des forces de volume, f=(fx,fy,fz).

zz

yy

xx

mmfdxdydzzpdxdyzp

mmfdxdzdyypdxdzypmmfdydzdxxpdydzxp

γ

γγ

=+×+−×

=+×+−×=+×+−×

)()(

)()()()(

zz

yy

xx

dVdVfdVzp

dVdVfdVyp

dVdVfdVxp

γρρ

γρρ

γρρ

=+∂∂

−

=+∂∂

−

=+∂∂

−

( ) γρρrrr

=+∇− fp

Si le champ de forces de volume dérive d’un potentiel

( )Uf ∇−=rr

on obtient par la RFD

( ) ( ) γρρrrr

=∇−∇− Up

pression dans le fluide

masse volumique

Potentiel ↔ forces volumiques

accélération

Statique des fluidesEquation de la statique des fluides incompressibles

On considère le cas de fluides incompressibles( ) ( )UUC ρρρ ∇=∇=

rr;ste

( ) γρρrr

=+∇− Up

L’équation de la RFD devient

Dans le cadre de la statique( ) 0

rrr==+∇− γρρUp

steCUp =+ ρ

Statique des fluidesL’action de la pesanteur.

On suppose que U=gz

( ) 0rr

=+∇− Up ρ

0;0;0 =+∂∂

=∂∂

=∂∂ g

zp

yp

xp ρ

ce qui nous donnesteCgzp =+ ρ

où p est la pression absolue etp+ρgz est la pression motrice, ou piézométrique

0

z

yA (surface libre)

MzM

atmosphère

MMAA gzpgzp ρρ +=+L’équation de la statique des fluides nous donne

MAM gzpp ρ−=−

on l’appelle parfois pression effective

On aurait aussi pu écriresteCz

gp

=+ρ

auquel cas on ne parle plus de pression mais de hauteur

pression – piézométrique - hauteur

pression – absolue - hauteur

pression – effective - hauteur

gpρ

p

zgp+

ρgzp ρ+

gpp AM

ρ−

AM pp −

Statique des fluidesPoussée hydrostatique sur une paroi

z

(S)

0

h

MM’

A

Le fluide est incompressible, de masse volumique ρ, au repos, soumis au potentiel de pesanteur.

horizontale

ghppgzpgzp MMMAA ρρρ +=⇒+=+ atm

h

MM’

A

ds

ghppM ρ+= atm

atmppM =′

Bilan des forces sur l’élément de surface dsndsghfd rr

××−= ρ

nr

La force totale qui s’exerce sur la paroi est

nghSdsnghfdF rrrrρρ −=××−== ∫∫

zverticale

GhG

surface libre

fluide

atmosphère

x

G=point/auquel la paroi est symétrique. En un point quelconque de la paroi, de côte z, la force élémentaire qui s’exerce est

xughdsfd rr×= ρ

xur

Si G=« origine des z »

( ) xG udszhgfd rr×−= ρ

La force totale est l’intégrale des forces élémentaires

( ) xG

h

hxG uSghudszhgfdF

G

G

rrrrρρ =×−== ∫∫

−

Mais son point d’application n’est pas G [pourquoi?]Soit P ce point, alors

∫ ∧=∧ dfGMFGP

Si L est la largeur de la surface suivant y

yG

yGP uhgLuLghz rr

322

32 ρρ −=×

3G

Phz −=

Dynamique des fluides parfaitsPoints de vue de Lagrange et de Euler

Un fluide s’écoule; on dépose un bouchon dans l’écoulement. On suit sa trajectoire et on dépose régulièrement des capteurs de vitesse.

Lagrangeon repère la position et la vitesse d’une particulefluide sur sa trajectoire à chaque instant.[on suit le bouchon au cours du temps]

Euleron choisit un point M de l’espace. On étudie l’évolution de la vitesse des particules fluides ence point, au cours du temps.[on enregistre toujours le même capteur]

Dynamique des fluides parfaitsEquation de continuité d’un élément de volume fluide

( ) 0div =∂∂

+t

v ρρr

cas limites

écoulement permanent[les variables ne dépendent pas du temps] le fluide est incompressible

0=∂∂

tρ ( ) ( )vv rr divdiv ρρ =

( ) 0div =vr

Dynamique des fluides parfaitsLe théorème de Bernoulli

Dans le cadre du point de vue d’Euler, on calcule l’accélération d’une particule fluide, qui dépend de la position dans l’espace, et du temps.

( )tzyx ,,,γγrr

=

On notera les composantes du champ de vitesse, u,v,w.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dtdw

dtdv

dtdu ,,γ

r

( )wvuv ,,=r

par conséquent

wzwv

ywu

xw

tw

dtdw

wzvv

yvu

xv

tv

dtdv

wzuv

yuu

xu

tu

tz

zu

ty

yu

tx

xu

tu

dtdu

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

=

accélération locale accélération convective

Exemple de régime permanent : les accélérations locales sont toujours nulles, alors que les accélérations convectives ne sont pas nulle.

Réécriture de la partie géométrique, l’accélération convective

( ) ( ) vvvc rrrr∧∧∇+∇= 2

21γ

( ) ( ) vvvc rrrr∧+= rotgrad

21 2γ

D’où la RFD d’un élément de volume fluide

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∧++∂∂

=+ vvvtvdVm cl rrrr

rr rotgrad21 2ργγ

( )( )dVfpFr

ρ+∇−=∑

( ) ( ) ( ) fpvvvtv rrrrr

ρρ +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∧++∂∂ gradrotgrad

21 2

Approximations :•Aucune force de viscosité•Fluides incompressibles•Régime permanent•Écoulement irrotationnel•Forces de volume dérive du potentiel gravitationnel

( ) ( ) ( ) fpvvvrrrr ρρρ +−=∧+ gradrotgrad

21 2

fluidesincompressibles

( ) ( ) fpvrr ρρ +−= gradgrad

21 2

régimepermanent

écoulementirrotationnel

( ) ( ) ( )Upv gradgradgrad21 2 ρρ −−=

r

forcesgravitationnelles

( ) ( ) ( ) fpvvvtv rrrrr

ρρρρ +∇−=∧++∂∂ rotgrad

21 2

( ) ( ) ( ) fpvvvtv rrrrr

ρρ +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∧++∂∂ gradrotgrad

21 2

( ) ( ) ( )Upv gradgradgrad21 2 ρρ −−=

r

021grad 2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ gzpv ρρr

ste2

21 Cgzpv =++ ρρr

[c’est l’équation de Bernoulli]

fluidesincompressibles

( ) ( )Up ρgradgrad −−=

( ) ( )gzp ρgradgrad −−=

Autre point de vue : l’équation de Bernoulli traduit que le système est conservatif → l’énergie mécanique se conserve.

Ligne de courant : En régime stationnaire, on appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Une ligne de courant est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide en ce point.

Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant sur une courbe fermée.

Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un petit élément de surface ∆S. La section de base ∆S du tube ainsi définie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide soit la même en tous ses points (répartition uniforme).

Sur un filet de courant, c’est-à-dire une « ligne de courant d’épaisseur finie ».

][pesanteur]pression[ ppcpcm EEEEEE ++=+=

22

21

21 dVvdmvEc ρ==

pdVpSdxdxFEp === .]pression[

dVgzdmgzEp ρ==]pesanteur[

ste2

21 CdVgzpdVdVvEm =++= ρρ

ste2

21 Cgzpv =++ ρρ

Remarque : il a fallu suivre l’élément de masse dm pendant son déplacement. Ce résultat n’est valable que sur une ligne [filet] de courant.

Deux versions :

1 – si l’écoulement est irrotationnelste2

21 Cgzpv =++ ρρ

2 – si l’écoulement n’est pas irrotationnel, alors le long d’une ligne [filet] de courant, on a

ste2

21 Cgzpv =++ ρρ

ste2

21 Cgzpv =++ ρρ

ste2

2Cz

gp

gv

=++ρ

ste2

21 CdVgzpdVdVv =++ ρρ

ste2

2Cgzpv

=++ρ

ste2

21 CdVgzpdVdVv =++ ρρ

ste2

21 CdVgzpdVdVv =++ ρρ

par unité de volume→ pression

par unité de poids→ hauteur

par unité de masse→ m2.s-2

Remarque

( ) ( ) ( ) fpvvvrrrr ρρρ +−=∧+ gradrotgrad

21 2

Pour un écoulement permanent d’un fluide non visqueux et incompressible

ligne de courant

En tout point de la ligne, on « multiplie » par

dtvsd rr=

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dtvfdtvpdtvvvdtvv rrrrrrrr ..grad.rot.grad21 2 ρρρ +−=∧+

021 2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ Upvd ρρr

ste2

21 Cgzpv =++ ρρ

Où la constante dépend de la ligne de courant

( ) ( ) ( ) fpvvvrrrr ρρρ +−=∧+ gradrotgrad

21 2 dtvsd rr

=•

Application de l’équation de BernoulliFormule de Toricelli

M

S

Svr

ligne de courant

h=constante

Sur la ligne de courant MS, on applique le théorème de Bernoulli

SSS

MMM z

gp

gvz

gp

gv

++=++ρρ 22

22

Utilisant que 0; == MSM vpp ghvS 2=on en déduit que

C’est l’analogue de la chute libre!

Application de l’équation de BernoulliTemps de vidage d’un bassin

M

S

Svr

ligne de courant

h≠constante

0aism ≠= MSM vpp

SSS

MMM z

gp

gvz

gp

gv

++=++ρρ 22

22

ghvv MS 222 =−

s = surface de sortie

S = surface du réservoir

1<<Ss

La conservation du débit nous donneSvsv MS =

ghvv MS 222 =−

gh

Ss

ghvghvSs

SS 21

221 22

2

≈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⇔=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

th

sS

sSvv MS ∂

∂−==

th

sSghvS ∂∂

−== 2

th

sSghvS ∂∂

−== 2 gSs

hth 21

−=∂∂

tgSshhtg

Sshh 2/222 00 −=⇒−=

On obtient le temps de vidage pour T qui vérifie

( ) TgSshTh 2/0 0 −==

0

0

0

0

0

00 222

22QV

svV

ghsSh

gh

sST ====

Application de l’équation de BernoulliPhénomène de Venturi

111 ,, Svp222 ,, Svp

22

22

11

21

22z

gp

gvz

gp

gv

++=++ρρ 2211 SvSv =+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=− 1

21

2

2

12121 S

Svpp ρ

Quand la section de l’écoulement se réduit, la vitesse augmente et la pression diminue.

Remarque : si la pression baisse trop et atteint le seuil fatidique de la pression de vapeur saturante du fluide, il y a cavitation [très très mauvais en général].

Applications de l’équation de Bernoulli

Explications?...