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Universit de Bordj Bou Arrridj 2014/2015
Facult des Sciences et de la Technologie
Dpartement dlectronique Notes de cours Processus Alatoire Master-RTT Dr. Khaled ROUABAH
- 1 -
Sommaire
Notions de probabilits ______________________________________________________ - 3 -
Expriences Alatoires _______________________________________________________ - 3 -
Epreuve ___________________________________________________________________ - 3 -
Evnement ________________________________________________________________ - 3 -
Espace des solutions _________________________________________________________ - 3 -
Remarques ________________________________________________________________ - 3 -
Algbre des vnements ______________________________________________________ - 4 -
Probabilits des vnements ___________________________________________________ - 4 -
Proprits lmentaires ______________________________________________________ - 4 -
Evnements quiprobables ____________________________________________________ - 4 -
Probabilits conditionnelles ___________________________________________________ - 5 -
vnements indpendants ____________________________________________________ - 6 -
Probabilit totale ____________________________________________________________ - 6 -
Variables alatoires nots VAs _________________________________________________ - 7 -
Fonction de rpartition dune VA ______________________________________________ - 7 -
Cas continu ________________________________________________________________ - 7 -
Cas discret _________________________________________________________________ - 8 -
Densit de probabilit (Histogramme) ___________________________________________ - 8 -
Proprits de la densit de probabilit ___________________________________________ - 9 -
Cas discret _________________________________________________________________ - 9 -
Moyenne Spatiale __________________________________________________________ - 10 -
Variance _________________________________________________________________ - 10 -
Moments _________________________________________________________________ - 10 -
Valeur quadratique moyenne _________________________________________________ - 11 -
Moments centrs ___________________________________________________________ - 11 -
Variable alatoire centre rduite (VACR) ______________________________________ - 11 -
Variable alatoires 2D ______________________________________________________ - 11 -
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- 2 -
Covariance et coefficient de corrlation ________________________________________ - 11 -
Principales caractristiques des lois usuelles ____________________________________ - 12 -
Loi binomiale ______________________________________________________________ - 12 -
Loi de poisson _____________________________________________________________ - 13 -
Loi normale ou de Laplace Gauss ___________________________________________ - 13 -
Loi de Rayleigh ____________________________________________________________ - 14 -
Loi de Rice _______________________________________________________________ - 15 -
Loi uniforme sur [a,b] ______________________________________________________ - 16 -
Loi de Cauchy _____________________________________________________________ - 16 -
Processus alatoire _________________________________________________________ - 17 -
Dfinition ________________________________________________________________ - 17 -
Expressions probabilistes ____________________________________________________ - 17 -
Moyennes statistiques _______________________________________________________ - 18 -
Stationnaire au sens strict ___________________________________________________ - 18 -
Stationnaire au sens large ___________________________________________________ - 19 -
Exemple _________________________________________________________________ - 19 -
Remarque 1 _______________________________________________________________ - 19 -
Remarque 2 _______________________________________________________________ - 20 -
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CHAPITRE 1: RAPPELS SUR LA THEORIE DES PROBABILITES
Notions de probabilits
Expriences Alatoires
Une exprience est dite alatoire si ses rsultats ne sont pas prvisibles avec certitude en fonction
des conditions initiales.
Epreuve
On appelle preuve la ralisation dune exprience alatoire.
Evnement
On appelle vnement, la proprit du systme, c.--d., si lpreuve set effectue alors la
proprit du systme est ralise ou non.
Exemple
Soit lexprience alatoire Lancer deux ds .
Lvnement A : Obtenir un total de nombre >10
A se ralise pour les preuves :
(6,5), (5,6), (6,6).
Espace des solutions
Lensemble des rsultats possibles d1 exprience alatoire est appel lespace des solutions ou
des ralisations, not S .
Un lment de S est appel un point solution.
Chaque rsultat d1 exprience correspond un chantillon de S .
Exemple
Une caisse contient 3 boules rouges et 3 boules noires. On tire une boule au hasard. Donner
lespace des solutions.
S=Boule rouge, Boule noire=r,r,r,n,n,n
Remarques
- Un ensemble, A est appel sous ensemble de B et est not A B, si tous les lments de A sont
aussi lments de B.
- Lespace des solutions S est un sous ensemble de lui-mme, soit : S S
S est appel vnement certain.
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Algbre des vnements
- Le complment de A, note , est lvnement contenant tous les chantillons de S
lexception de ceux de A.
- AB correspond lvnement contenant tous les chantillonnes soit de A soit de B soit aux
deux.
-AB correspond lvnement contenant tous les chantillonnes appartenant en mme temps
A et B.
- correspond lvnement impossible qui ne contient aucun chantillon.
-A et B sont dits en mutuelle exclusion ou disjoints sils contiennent aucun chantillon commun,
soit AB =.
Probabilits des vnements
La probabilit P(A) dun vnement A est un nombre rel associ A de telle faon satisfaire
les trois axiomes (hypothses, postulats) suivantes :
Axiome 1 : p(A)0
Axiome 2 : p(S)=1
Axiome 3 : P(AB)=P(A)+P(B) si :
AB =.
Proprits lmentaires
P( )=1- P(A).
P()=0.
P(A) P(B) si AB
P(A)1
P(AB)=P(A)+P(B) P( AB) 0 P(A)1.
P(AB) P(A)+P(B).
Evnements quiprobables
Considrons un espace des solutions fini S .
S={1,2, , } avec : :les lments lmentaires
P( )=P .
Avec : 0 P 1
, i=1,2,.., n
P
=1 = 1 + 2 + + = 1
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Si A= iI avec I : ensemble dindice quelconque.
P(A)= ( )= PiI .
Lorsque tous les lments lmentaires (i = 1,2, , n) sont quiprobables alors :
1 = 2 = = .
Comme : P =1 = 1 = 1 = =1
=1
L'une des consquences de la condition d'additivit est que la probabilit d'un vnement
quelconque est gale la somme des probabilits des vnements lmentaires qui le
constituent.
Il en rsulte que la connaissance des probabilits des vnements lmentaires dtermine
entirement les probabilits sur un ensemble de possibilits.
Probabilits conditionnelles
Elle est not P(A/B) ou P(B/A) et elle est dfinie par :
P(A/B)= ( AB)
() . avec: P(B)>0,
P (B/A)= ( AB)
() . avec: P(A)>0,
( A B)=P(A/B).P(B)= P(B/A).P(A).
Si un vnement rsulte du concours ( ) de deux vnements, sa probabilit est gale celle
de l'un d'eux multiplie par la probabilit conditionnelle de l'autre sachant que le premier est
ralis.
La rgle de Bayes est donne par :
( ) =( )()
()
Exemple
Soit calculer la probabilit pour que, tirant successivement deux cartes d'un jeu de 32 cartes,
ces deux cartes soient des valets. Appelons A et B les deux vnements suivants :
- A: la premire carte est un valet,
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- B: la deuxime carte est un valet.
La probabilit cherche est (A B) avec (A B) = (A)x(B/A).
Lors du premier tirage, il y a 32 cartes et 4 valets dans le jeu, d'o (A) =4
32 .
Lors du second tirage, il reste 31 cartes et seulement 3valets, puisque l'vnement A est ralis,
do (/) =3
31.
Le rsultat est donc: ( ) =3
31
4
32=
3
248= 0.012
vnements indpendants
Par dfinition, deux vnements sont indpendants, si la probabilit de l'un n'est pas modifie
Lorsque l'autre est ralis.
Deux vnements A et B sont dits statistiquement indpendants si :
P(A/B)=P(A)
et:
P(B/A)=P(B)
( A B)=P(A).P(B)
Les vnements ( 1, 2 , , ) sont indpendants si et seulement si :
P(1 2 3 )=P(1).P(2)P().
Exemple
Les deux vnements A et B de l'exemple prcdent n'taient pas indpendants. Mais si, par
contre, on tire la deuxime carte aprs remise de la premire dans le jeu, les rsultats des deux
tirages deviennent indpendants et ( ) = ()() =4
32
4
32=
1
64= 0.0156
Probabilit totale
Les vnements 1, 2, 3, , sont dits en exclusion mutuelle et exhaustifs si :
= 1 2 = =1
et = avec ij
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Soit B un vnement quelconque de S, nous pouvons dfinir la probabilit totale de
lvnement B comme suite :
P(B)= ( B )=1 = ( ). P()
=1
P(/B)= ( )
( B)=1 .P()
=()( )
( B/)=1 .P()
Cest le thorme de Bayes.
Exemple
CHAPITRE 2: VARIABLES ALEATOIRES
Variables alatoires nots VAs
Soient {e1, e2, e3, , e} un ensemble dvnements appartenant S.
A cet ensemble faisons correspondre un nombre X prenant l'une des valeurs : x1, x2, x3, , x
lorsque l'vnement lmentaire correspondant se ralise. Le nombre X est appel variable
alatoire (VA) qui est dfinie si l'on connait les probabilits : p(X = x1), p(X = x2),
p(X = x3), , p(X = x) correspondant aux diffrentes valeurs possibles de X. Une V.A est
donc une grandeur relle dont la valeur dpend du hasard :
Cette dpendance est exprime par une loi de probabilit Distribution .
Fonction de rpartition dune VA
Cas continu
FR : la fonction de rpartition dune VA X est lapplication F de R dans [0,1] dfinie par :
F(x)=P(X< x)
Elle exprime la probabilit que la VA X soit < une valeur x donne.
F est une fonction non dcroissante.
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F est continue gauche.
F est continue droite.
F(-)=0 , F(+)=1
P(a ) = () ().
0 () 1
( > ) = 1 ().
Cas discret
Soit une VA discrte avec sa FR, (). Cette FR est une fonction en marche descalier. Elle
change de valeur chaque saut et est constante entre deux sauts. Soit xi les diffrentes valeurs
distinctes prises par la VA.
Soit () les probabilits correspondantes.
La F.R est donne par :
() = (). ( )
Avec: u(x) lchelon unit donn par:
() = {0, < 01, 0
Densit de probabilit (Histogramme)
Soit une VA ayant une fonction de rpartition (). Il existe donc une fonction telle que
() = ( )
1 2 9
1
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()= ()
, avec F(x)= ().
est appele densit de probabilit.
Proprits de la densit de probabilit
(). = 1+
, , () 0.
( X ]x1, 2[ ) = (x2) (1) = ()2
1
( = x0 ) = (). x0
x0= 0 , Pas de surface.
([ ]x0, x0 + x0[ ) = ().x0+x0
x0
(X ]x0, x0 + x0[) = () = (x0)x0 = (x0)x0+x0
x0
() = ()
= () .
Cas discret
La densit de probabilit dune VAD est donne par :
() = ()( )
Avec: () =()
est limpulsion de Dirac.
() = 1.+
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() =()
Moyenne Spatiale
La moyenne ou lesprance mathmatique dune V.A X , note : E(x) , est dfinie
par :
= E (x) = { () si Discret
() +
si continue
Lopration lie lesprance mathmatique est linaire.
Si , deux VAs alors :
[ + ] = [] + [].
De plus : [] = [] avec = .
Variance
La variance d1 VA , note ou (), est dfinie par
() = = [( )2]
= { ( )
2() , Discret.
( )2()
+
, Continu
La racine carre de la variance est appele lcart type . reprsentent
ltalement des valeurs possibles de X autour de sa moyenne
= [2] = [2] ([]).
Moments
On appelle moment du premier ordre est de degr n d1 V.A lesprance mathmatique de sa
nime puissance.
= [n] =
+
()
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Correspond au moment de degr 1
Valeur quadratique moyenne
La valeur quadratique moyenne d1 V.A est son moment de degr 2
2 = [2] = 2
+
()
Moments centrs
On appelle moments centrs du 1 ordre et de degr n d1 VA, lesprance mathmatique de
la nime puissance de lcart entre la VA et sa moyenne.
, = [( )] = ( )
n+
()
Variable alatoire centre rduite (VACR)
On appelle V.A.C.R, une V.A construite partir de par : =[]
()
Variable alatoires 2D
Soit S un espace de solution dune exprience alatoire. Soient , deux VAs. Le couple ( , )
est dfinie comme une VA 2D si et associent un nombre rel chaque lment de .
La FR 2D de , est donne par :
(, ) = [ , ]
Deux variables alatoires sont dites indpendantes si :
(, ) = (). (), (, )
Covariance et coefficient de corrlation
Le moment dordre (k,n) dune VA 2D (, ) est dfinie par :
= [ ] = {
(, )
+
+
(, )
Le moment dordre (1,1) de (, ) est appel la corrlation de et qui scrit :
11 = []
[ ] = 0 , alors sont dites orthognales.
La covariance de et , note COV(, ) ou , est dfinie par :
COV(, ) = = [( )(Y )] = [] [] []
Si : COV(, ) = 0
[, ] = []. []
Le coefficient de corrlation, not (, ) ou , est dfini par :
(, ) = =
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|| 1 1 1
Principales caractristiques des lois usuelles
Loi binomiale
La distribution binomiale est la loi statistique de la variable alatoire discrte obtenue en
comptant le nombre de ralisation dun vnement au cours de n essais indpendants. Si p est la
probabilit de ralisation de lvnement, celle dobtenir exactement k ralisation sur n essais est
knkk
n qpCkXPnkob ][),(Pr ,10 p nkpq 0,1
!!!
knk
nC kn
La densit de probabilit correspondante scrit
)(),(Pr)(0
kxnkobxfn
k
La figure suivante illustre la densit de probabilit pour p=0.5, et n=20
On note cette loi B(n,p)
Moyenne Variance
m=np npq2
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Loi de poisson
La loi de poisson caractrise de nombreux processus alatoires ponctuels dont les instants de
ralisation sont alatoires. Cest la loi des vnements rares. Cest aussi le cas limite de la loi
binomiale lorsque np , quand n . est appel paramtre de Poisson.
Soit une squence alatoire dvnements indpendants susceptibles de se raliser nimporte
quel instant avec la mme probabilit. Le nombre moyen dvnements par unit de temps est
une constante . Soit kXP la probabilit de compter exactement k vnements.
!][
k
ekXP
k 0, INk
Reprsentation graphique de la distribution de poisson.
Moyenne Variance
m= 2
Loi normale ou de Laplace Gauss
Une variable alatoire continue de valeur moyenne m et de variance 2 est distribution normale
ou gaussienne si sa densit de probabilit est du type :
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22exp
2
1)(
mxxf ,x
On note cette loi N(m,2)
Moyenne Variance
m 2
La loi N(0,1) est appele loi normale centre, rduite.
Loi de Rayleigh
Une variable alatoire continue possde une distribution de Rayleigh si sa densit de probabilit
est du type :
)(2
1
exp)(2
2
2xu
xx
xf
Moyenne Variance
m= 2
2222
x
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Loi de Rice
La loi de Rice est une gnralisation de la loi de Rayleigh utilise pour dcrire le comportement
d'un signal radio qui se propage selon plusieurs chemins (multipath) avant d'tre reu par une
antenne.
Densit de probabilit pour diffrentes valeurs de avec = 1 (Wikipdia).
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Densit de probabilit pour diffrentes valeurs de avec = 0.25 (Wikipdia).
Loi uniforme sur [a,b]
Une variable alatoire continue est distribution uniforme si sa densit de probabilit est du type
abbaxrect
abxf
2
11)( bxa
Moyenne Variance
2
bam
12
2
2 ab
Loi de Cauchy
211
)(x
xf
,x
Ni la moyenne, ni la variance, ni aucun des moments nexistent.
Moyenne Variance
Nexiste pas Nexiste pas
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CHAPITRE 3: PROCESSUS ALEATOIRES
Processus alatoire
Dfinition
Un processus alatoire (PA) est dfini comme un ensemble de VAs indexes par le paramtre de
temps t T / avec T est lensemble des indices.
Expressions probabilistes
Soit X(t) un processus alatoire.
A linstant t1, (1) = 1 est une VA.
Sa FR est donne par :
(1, 1) = ((1) 1).
O 1 est un nombre rel quelconque.
: est appele FR du 1er ordre de ().
La densit de probabilit est donne par :
0 20 40 60 80 100
-202
0 20 40 60 80 100
-202
0 20 40 60 80 100
-202
0 20 40 60 80 100
-202
Temps "S"
Am
pli
tud
e
1 2 3
1()
2()
3()
4()
S
Processus alatoire
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(1, 1) =(1,1)
1
Aux instants t1, t2 nous avons (1) = 1 et (2) = 2 avec :
(1, 2 , 1, 2) = [( 1) 1, (2) 2 ]
(1, 2, 1, 2) =
(1, 2, 1, 2 )
12
Aux instants 1, 2, , , nous avons (1) = 1, (2) = 2,, () = avec :
(1, 2, , , 1, 2, , ) = [(1) 1, (2) 2, , () ]
La densit de probabilit est donne par :
(1, , )= (1,,1,,)
1.
Moyennes statistiques
La moyenne de () est donne par :
= [()] = +
(, )
() peut tre considr comme une VA de temps fixe.
Lautocorrlation de () est donne par :
(1, 2) = [(1)(2) ] = 12(1, 2; 1, 2)
12
Pour un PA complexe, nous avons :
(1, 2) = [(1)(2) ]
(2) est le complexe conjugu de (2)
Lautocovariance de () est donne par :
(1, 2) = {[(1) (1) ][(2) (2) ]} = (1, 2) (1)(2)
Le moment dordre n de () est donn par:
[(1)(2)(3) ()] =
12 (1, 2, , ; 1, 2, , )
12
Stationnaire au sens strict
Un processus alatoire est dit stationnaire au sens strict (SSS) si ses caractristiques statistiques
sont invariantes en procdant un dcalage de lorigine du temps.
(1, , ; 1, , ) = (1 , , ; 1 + , , + )
pour une constante quelconque.
A partir de cette quation, la densit de probabilit du 1er ordre dune VA () stationnaire est
indpendante du temps t.
(1, ) = ()
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De plus,
(1, 2,1,2) = (1, 2, 1 + ,2 + )
Si c= - t1
(1, 2, 1, 2) = (1, 2, 2 1)
La D.P de 2 VAs () et ( + ) ne dpend que du paramtre .
(La diffrence temporelle ).
Stationnaire au sens large
Un P.A est dit stationnaire au sens large ou SSL si
1. sa moyenne est constante [()] = =
2. sa fonction dautocorrlation ne dpend que de la diffrence
(, + ) = [(). ( + )]=()
Pour un PA complexe, nous avons :
(, + ) = [()( + ) ]
( + ) est le complexe conjugu de ( + )
Exemple
Soit le PA X(t) donn par :
() = cos(20 + )
: est une VA uniformment distribue sur lintervalle [0,2]
Dterminer si () SSL.
() = {1
2 || < 0
0
Sa moyenne :
() = cos(20 + ) ()+
= cos(20 + )1
2
+
= 0
() est indpendante de temps
Sa fonction dautocorrlation est :
(, + ) = [()( + )] = cos(20 + ) cos(20 ( + ) + ) ()2
0
(, + ) =1
2 cos(20)
2
0
= cos(20) = ()
Le processus est SSL.
Remarque 1
Lautocovariance dun processus alatoire SSL ne dpend aussi que de la diffrence .
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() = () 2
Pour = 0
[2()] = (0)
La puissance moyenne d 1 PA SSL est indpendante du temps t et est gale (0)
Remarque 2
Un PA SSS est un PA SSL mais un PA SSL nest pas ncessairement SSS.
Deux PAs () et () sont conjointement SSLs, si :
1- Chaque PA est 1 SSL,
2- La corrlation croise ne dpend que de la diffrence temporelle , soit :
(, + ) = [(). ( + )] = ()
De plus,
3- La covariance croise de ces deux PAs ne dpend que de la diffrence temporelle
()=() .
Moyenne temporelle et rgodicit
La moyenne temporelle dune fonction chantillon () d 1 PA () est donne par :
=< () >= lim
1
()
2
2
.
Lautocorrlation moyenne dans le temps de la fonction chantillon () est donne par :
() = < ()( + ) > = lim
1
()( + )
2
2
et () sont des VAs. Leurs valeurs dpendent de la fonction chantillon de x(t) utilise.
Si X(t) est stationnaire, alors :
[] = lim
1
[()]
2
2
= lim
1
|
2
2 =
Ce rsultat indique que la valeur prvue souhaite de la moyenne temporelle est gale la
moyenne de lensemble des ralisations.
De plus :
[()] = lim
1
[()( + )
2
2
] = ()
Ce rsultat indique que la valeur de lautocorrlation moyenne dans le temps est gale
lautocorrlation de lensemble des ralisations.
1
lim
()|
2
2 = ()
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Ce rsultat indique que la valeur de () moyenne dans le temps est gale lautocorrlation
de lensemble des ralisations.
Un processus alatoire X(t) est dit ergodique si les moyennes temporelles sont identiques pour
toutes fonctions chantillons ou preuve et gales la moyenne sur lensemble des ralisations.
= [()] =
et :
() = < (). ( + ) > = [()( + ) ] = () .
Un processus est dit ergodique au niveau de la moyenne si : = .
Un processus est dit ergodique au niveau de lautocorrlation si : () = ()
Pour un PA ergodique les paramtres lectriques fondamentaux peuvent tre rsums de la faon
suivante :
=< () > est gale la composante continue du signal.
[] =< () > est gale la puissance normalises de la composante continue.
(0) =< () > est gale la puissance moyenne totale normalise.
Caractristiques nergtique
Dans la suite nous supposerons que les PAs sont SSLs
Autocorrlation
Lautocorrlation de () est donne par :
[()( + ) ] = ()
() = (), paire.
|()| (0)
(0) = [ ()]
Corrlation croise
La corrlation croise de () et Y() est donne par :
() = [(). ( + ) ]
() = ()
|()| |(0)|. |(0)|
(0) =1
2 [|(0)| + |(0)|]
Autocovariance
Lautocovariance de () est donne par :
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() = [{() [()]}. {( + ) [( + )}]
() = ()
Covariance croise
La covariance croise de () et de () est donne par :
() = [{() [()]}. {( + ) [( + )]}]
() = () .
Deux processus () et ()sont dits orthogonaux si :
() = 0
Ces processus sont dits non corrls si :
() = 0
Densit spectrale de puissance
La densit spectrale de puissance (spectre de puissance) de () est dfinit par la TF de ()
soit :
() = () 2
() = () 2
Proprits
1. () est rel.
2. () 0
3. () = ()
4. ()
= (0) = [
2()]
Densit spectrale croise
Les densits spectrales croises (ou spectres de puissances croises) () et () de () et
de () sont dfinies par :
() = () 2
() = () 2
() = () 2
() = () 2
() = () = ()
Transmission dun PA travers un systme linaire
Soit un systme LIT de rponse
Universit de Bordj Bou Arrridj 2014/2015
Facult des Sciences et de la Technologie
Dpartement dlectronique Notes de cours Processus Alatoire Master-RTT Dr. Khaled ROUABAH
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() = [()]
() est le PA de sortie.
() est le PA dentre.
: oprateur linaire du SLIT
Soit () la rponse Impulsionnelle du SLIT
() = () () = () ( )+
() ()
() y (t) ()
Moyenne et autocorrlation du signal de sortie
() = [()] = [ () ( )+
]
= ()[( )]+
= ()( )
+
= () ()
(1, 2) = [(1)(2)] = [ ()( 1 ) +
() ( 2 )
]
= ()()[ (1 ) ( 2 )] +
+
(1, 2) = ()() (1 , 2 ) +
+
Si: () est SSL [()] =
[()] = () +
= [ ()
+
] = (0)
(0) = () 2
]=0 = ()
+
Lautocorrlation est donne par :
(1, 2) = ()() (2 1 + ) +
+
(1, 2) est fonction de la dfrence = 2 1
Densit spectrale du signal de sortie
() = () 2
= ()() ( + ) 2
+
+
= |()| . ()
La D.S.P du signal de sortie est gale au produit de la D.S.P du signal dentre et du carr de
lamplitude de la fonction de Transfert du systme.
SLIT
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Facult des Sciences et de la Technologie
Dpartement dlectronique Notes de cours Processus Alatoire Master-RTT Dr. Khaled ROUABAH
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() = () 2
= |()| () . 2
La puissance moyenne du signal de sortie () est donne par :
[2()] = (0) = |()| ()
De plus on peut dterminer lautocorrlation par la T. F inverse de la D. S. P.
() = |()| . ()
() = () ().
() : la fonction dautocorrlation de la rponse Impulsionnelle.
Lintercorrlation entre sortie () est dfinit par :
() = [() ( + )] = [()[( + ) ( + )]]
Finalement :
() = () ()
La T. F de () qui est la D. S. P dinteraction (interdpendance, interfrence)
dentre sortie est donne par :
() = (). ()
Soit deux SLITs de rponses impulsionnelles, 1() et 2() respectivement. Soit 1(t) le PA
dentre, soit 1(), 2(t) les de sortie.
1 2 () = [1 () 2 ( + )] = ( )12 ()+
1 2 () = () 12()
. de la fonction dinterrrlation 1 2 () est donne par :
1 2 () = 12() . ()
1 2 () = 1(). 1(). ()
()
()
()
>
()
()