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7/30/2019 Logique floue et commande
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Logique floue et commande
cole dt en Commande Avance des systmes &Nouvelles Technologies Informatiques, CANTI 2012CANTI 2012Bucarest, 21-25 Mai 2012
Olivier Pags
Universit de Picardie Jules Verne (UPJV)(UPJV)Laboratoire Modlisation, Information et Systmes (MIS)(MIS)33rue Saint-Leu, 80039Amiens cedex, France
Email : opages@u-picardie.fr
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Prsentation
Universit de Picardie Jules Verne Amiens (France) : 20000tudiants U.F.Rdes Sciences : six d artements
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dont le dpartement lectronique,lectrotechnique, Automatique (EEA) Licence EEA Master professionnel EEAII Master recherche MIS(regroup avec le
master professionnel)
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Prsentation
Master de rechercher MIS Thmes : automatique (commande),
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, Possibilits de stages de recherche ou
de fin dtudes avec Erasmus / Socrates
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Prsentation
Laboratoire MIS: Modlisation,Information et Systmes (EA 4290)
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quipes de recherche (40chercheurs)dont lquipe COVE
quipe COVE: Commande etvhicules
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Prsentation
quipe COVE : Commande et vhicules Cinq MCF + un professeur + quatre
doctorants
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Axes de recherche : commande floue(modles flous, adaptative floue), commande mode glissant, diagnostic, contrle TF
Applications : vhicule (dynamiquelongitudinale, latrale, couple), panneauxphotovoltaques
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Prsentation
Collaborations avec luniversitPolytechnique de Bucarest (facult m i inf rm i
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laboratoireACPC) : projets derecherche, accord de coopration +cole dt en automatique Bucarest(cours : logique floue etcommande )
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Prsentation
Objectifs du coursObjectifs du cours1. Avoir les bases du formalisme flou
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2. de type Takagi-Sugeno et lessystmes flous de type Takagi-Sugeno
3. Outils destins la commande dessystmes non linaires
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Plan du cours
Formalisme de la logique floue Exemple dapplication : rgulation de
temprature
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Ingalits matricielles linaires (LMI) Modles flous de type Takagi-Sugeno (TS) Contrleurs flous : Parallel Distributed
Compensation (PDC) Commande floue et poursuite de trajectoire
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Plan du cours
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Formalisme de la logique floue
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Formalisme de la logique floue
1. Prsentation Exemples introductifsLogique floue vs boolenneChamps dapplications et historique
2. Concepts principaux Ensemble flouOprateur logique floue
10
6. Exemple complet de prise de dcisions floues
Fuzzification>>Infrences floues>>Dfuzzification
4. Infrence floue Principe du raisonnement approximatifBase de rgles
Mthodes dinfrence floue
5. Dfuzzification Mthodes de dfuzzificationSynthse gnrale
3. Fuzzification Variables linguistiquesComment fuzzifier?
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Introduction la logique floue
Logique boolenne logique floueSupposons que la limite soit de 1m65.Je mesure 1m63, suis-je vraiment petit ?
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Logique boolenne : oui, je suispetit 100%
Logique floue : la foispetitet grand
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Introduction la logique floue
Exemple de rgles floues
si le feu est rou e si ma vitesse est leveet si le feu est
alors e freine fort
12
proc e
si le feu est rouge si ma vitesse est faible et si le feu est loinalors je maintiens ma
vitesse
si le feu est
orange
si ma vitesse est
moyenneet si le feu est loin alors je freine doucement
si le feu est vert si ma vitesse est faibleet si le feu est
prochealors j'acclre
Les rgles floues sont nonces en langage naturel
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Introduction la logique floue
Transposition de notre exemple selon un modle plus
mathmatique moins flou
sans le savoir!
13
Si le feu est rouge, si ma vitesse dpasse 85,6 km/h et si le feu est moins de 62,3 mtres, alors j'appuie sur la pdale de frein avec une
force de 33,2 Newtons !!!
Notre cerveau fonctionne en logique floue
Il apprcie les variables d'entres de faon approximative (faible, leve, loin, proche),fait de mme pour les variables de sorties (freinage lger ou fort) et propose un
ensemble de rgles permettant de dterminer les sorties en fonction des entres
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Introduction la logique floue
Un patient atteint d'hpatite prsente gnralement les symptmes suivants :
Le patient a une forte fivre Sa peau prsente une coloration jaune
Limite de la logique boolenne
14
Il a des nauses
36 37 38 39 40 41 42
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T(C)
Avoir une forte fivreEnsemble classique
36 37 38 39 40 41 42
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ensemble flou
T(C)
Avoir une forte fivre
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Introduction logique floue
Si le patient a 38,9Cde temprature
Le patient na pas de forte fivre Le patient na pas dhpatite
Logique classiqueLogique classique
15
Le patient a une forte fivre 48% Le patient a une hpatite x %
Logique floueLogique floue
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Champs dapplications de la logiquefloue
Aide la dcision, au diagnostic(domaine mdical, orientation professionnelle)
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Base de donnes(objets flous et/ou requtes floues)
Reconnaissance de forme
Agrgation multicritre et optimisation
Commande floue de systmes
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Bref historique : les dbuts 1965: Concept introduit par Pr. Lotfi Zadeh (Berkeley)
Fuzzy set theory : Dfinition des ensembles flous et oprateurs associs
1970: Premires applications: Systmes experts, Aide la
17
,
1974: Premire application industrielle. Rgulation floue dunechaudire vapeur ralise par Mamdani
Longtemps universitaire
1985: Les premiers, les japonais introduisent des produitsgrand public Fuzzy Logic Inside
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Bref historique
1990 :Gnralisation de lutilisation de cette technique Appareils lectromnagers (lave-linge, aspirateurs, autocuiseurs,...) Systmes audio-visuels (appareils de photos autofocus, camscope
stabilisateur d'images, photocopieurs,...)
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, , ,
climatisation,...) Systmes autonomes mobiles Systmes de dcision, diagnostic, reconnaissance Systmes de contrle/commande dans la plupart des domaines
industriels de production
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Introduction logique floue
Lapproche des problmes par la logique floue est diffrente de celle adopte, apriori, dans une dmarche scientifique
Elle est beaucoup plus pragmatique que dterministe
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La dcision en logique floue est base sur la notion dexpertise, qui permet dequantifier le flou partir de connaissance a priori ou acquise antrieurement
Ne pas tre trop cartsien pour aborder la logique floue
Il nest pas ncessaire davoir un modle entres/sorties dunevoiture pour pouvoir la conduire de manire satisfaisante
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Introduction logique floue
Les deux concepts principaux de la logiqueLes deux concepts principaux de la logiqueflouefloue
20
.
2. Prise de dcision partir dun base de rgles SIALORS..
Cest linfrence floue
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Ensemble flou
A
U
Soient U: lunivers du discours.A: un sous-ensemble de U
21
Thorie classique des ensembles:
( )
( )
' '
0
1
A
A
A
Si est la fonction d appartenance de l ensemble A
x U x si x A
x si x A
=
=
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Ensemble flou
Concept densemble flou:' 'ASi est la fonction d appartenance de l ensemble flou A
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Si =0,30x appartient lensemble flou A avec un degr dappartenance de 30%
( )A x
Un ensemble flou est totalement dtermin par sa fonction dappartenance
degr dappartenance = valeur de vrit
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Exemples densembles flous
0.4
0.6
0.8
1
Ensemble flou " Personne de petite taille"
Petit
0.4
0.6
0.8
1
Ensemble flou: "Personne de taille moyenne"
Moyen
0.4
0.6
0.8
1
Ensemble flou :"Personne de grande taille"
Grand
23
Ici, Pierre mesure 1m625se traduit en logique floue par Pierre est petit un degr de 75% Pierre est moyen 25% Pierre est grand 0%
1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9
0
.
Taille(m)
1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9
0
.
Taille(m)
1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9
0
.
Taille(m)
1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
part t on oue e un vers u scours
Taille(m)
Petit Moyen Grand
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Fonctions dappartenanceparticulires
( )
( )
0x 0 0
x 0
Lorsqu'un fait certain correspond l'nonc de la valeur d'une variable, on a un singleton:
1 pour
0 pour
x x x
x x x
= =
=
24
1Couleur dufeu tricolore
rouge orange vert
Fonction dappartenance de la classe Fonction dappartenance de la classe Le feu est rougeLe feu est rouge
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Oprateurs de logique floue
Comme pour la thorie classique des ensembles,on dfinit la runion, lintersection, le complment.densembles flous
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La logique boolenne standard est un cas particulier de la logique floue
Tous les rsultats obtenus en logique classique doivent tre retrouvspar la logique floue
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La runion
A est lensemble flou des personnes petites.B est lensemble flou des personnes moyennes.
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fonction dappartenance :
( ) ( ) ( )( ),A B A Bx max x x x U =
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La runion
Runion des deux ensembles flousEnsemble flou:"Personne petite OU moyenne"Partition floue de l'univers du discours
Petit Moyen Grand
27
1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Taille(m)
1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Taille(m)
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Lintersection
A est lensemble flou des personnes petitesB est lensembles flou des personnes moyennes
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Lensemble des personnes petites ET moyennes est un ensemble flou defonction dappartenance :
( ) ( ) ( )( ),A B A Bx min x x x U =
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Lintersection
Intersection des deux ensembles flous1
Ensemble flou: "Personne petite et moyenne"
1
Partition floue de l'univers du discoursPetit Moyen Grand
29
1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Taille (m)
1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Taille(m)
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Le complment
A est lensemble flou des personnes petites.
Lensemble des personnes NON petites est un ensemble flou de fonctiondappartenance :
30
( ) ( )1 AA x x x U =
1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Partition floue de l'univers du discours
Taille(m)
Petit Moyen Grand
1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
nsem e oue : ersonnes non pe es
Taille (m)
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Oprateurs flous alternatifs Toute t-normepeut servir dfinir lintersection floue
Une t-norme est une application T(x,y) satisfaisant les conditions suivantes:
31
es men neu re , , , .
Commutative ( , ) ( , )
Associative ( , ( , )) ( ( , ), )
Monotone
x x x x
T x y T y x
T x T y z T T x y z
si
= =
=
=
( , ) ( , )x z et y walorsT x y T z w
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Oprateurs flous alternatifs
Toute t-conorme peut servir dfinir la runion floue
Une t-conorme est une application S(x,y) satisfaisant les conditions suivantes:
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, , .
Commutative ( , ) ( , )
Associative ( , ( , )) ( ( , ), )
Monotone
S x y S y x
S x S y z S S x y z
si x z et
=
=
( , ) ( , )y walors S x y S z w
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Oprateurs flous alternatifs
33
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Oprateurs de logique floue les plusutiliss
Dnomination Intersection Runion Complment
34
(t-norme) (t-conorme)Oprateurs de Zadeh
MIN/MAX
Probabiliste
PROD/PROBOR
( ) ( ) ( )( ),A B A Bx max x x =( ) ( ) ( )( ),A B A Bx min x x =
( ) ( ) ( )A B A Bx x x = ( ) ( ) ( ) ( )A B A Bx x x x +
( ) ( )1 AA x x =
( ) ( )1 AA x x =
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Oprateurs de logique floue
les dfinitions d'oprateurs ET et OU, on retrouve les proprits des oprateurs boolens
C o m m u t a t iv it
35
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
D i s t ib u t i v i t
A B C A B A C
A B C A B A C
A s s o c ia t i c i t
A B C A B C
A B C A B C
L o i s d e d e M o r g a n
A B A B
A B A B
=
=
= =
=
=
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Oprateurs de logique floue
Deux exceptions notablesDeux exceptions notables
1. En logique floue, le principe du tiers exclu est contredit.
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( )i.e. 0A AA A x
2. En logique floue, on peut treA et nonA en mmetemps.
i.e. 1A A
A A U x
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Variables floues Logique floue base sur des variables floues dites variablesvariables
linguistiqueslinguistiques symboles dans lunivers du discours U Chaque symbole constitue alors un ensemble flou de lunivers du
discours
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Exemple:
Univers du discours :Univers du discours : Gamme de temprature de 0C 200C
Variable linguistique :Variable linguistique : La tempratureSymboles :Symboles : Trs froid Froid Tempr Chaud Trs Chaud
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Fuzzification
Les systmes logique floue traitent de variablesdentres floues et fournissent de rsultats sur desvariables de sorties elle-mmes floues
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La fuzzification est ltape qui consiste en laquantification floue des valeurs relles dune variable.
Interface defuzzification
Pierre est petit un degr de 75%Pierre mesure 1m625
Pierre est grand 0% Pierre est moyen 25%
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Comment fuzzifier ?
Pour fuzzifier, il faut donner : Lunivers du discours
i.e.: domaine de dfinition de lentre
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considre Une partition en symboles de cet univers Les fonctions dappartenances de chacun de ces
symboles
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Base de rgles
Les systmes logique floue utilisent une expertise exprime sousforme dune base de rgles du type: Si.Alors
Si X est A Alors Y est B
40
Si ET ALORSTemps est beau Moment est DbutMatine Moral est haut
Si ET ALORSCours est Ennuyeux Moment est DbutCours Moral est bas
Si ET ALORSCours est Intressant ChargedeTravail est Importante Moral est Maussade
Si .........
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Infrence floue
Si ET ALORSTemps est beau Moment est DbutMatine Moral est haut
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r m sses on onct on onc us on
Infrence :Opration logique par laquelle on admet une proposition en
vertu de sa liaison avec dautres propositions tenues pourvraies.
mp cat on
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Infrence floue
En logique classiqueSi p Alors q
En logique floue
( ) ( )Si X est A Alors Y est B
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p vra ors q vra La variable floueXappartient au symboleA avec un degr
dappartenance (x0)
La variable floue Yappartient au symboleB un degr quidpend du degr dappartenance(x0) de la prmisse
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Infrence floue
Plus la condition sur les entres est vraie.
Plus l'action prconise pour les sorties doit tre respecte
43
SI la temprature est trs basse ALORS Chauffer fort
Cette appartenance dpend de :1) La classe floue de sortie considre.2) du degr de validit de la prmisse prmisses(x0)3) de la mthode dimplication choisie.
La conclusion dune rgle floue est lappartenance dunevariable linguistique de sortie chauffer un ensemble flou
fort
7/30/2019 Logique floue et commande
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Mthodes dimplication
Deux mthodes principales dimplication floue
0' ,conclusion rmisse conclusiony x y =Mthode de Mamdani
44
y
( ) ( ) ( )0'conclusion prmisse conclusiony x y = Mthode de Larsen
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Exemple (Mandani)Plus la condition sur les entres est vraie.
Plus l'action prconise pour les sorties doit tre respecte
Rgle: SI la temprature est trs basse ALORS Chauffer fort
45-10 -5 0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Temprature trs basse
T(C)0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Chauffer fort
Puissance chauffe(KW)0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Chauffer fort
Puissance chauffe(KW)0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Chauffer fort
Puissance chauffe(KW)
( ) ( ) ( )0' ,minconclusion prmisse conclusiony
y x y =
-10 -5 0 3 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.7
0.8
1Temprature trs basse
T(C)
12KW
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Activation des rgles( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 11 2 12 1
1 21 2 22 2
1 31 2 32 3 33 3
R1:
R2:
R3:
Si X est A et X est A alors Y est B
Si X est A ou X est A alors Y est B
Si X est A et X est A et X est A alors Y est B
46
..........
Une rgle est active ds quelle a une prmisse ayant une valeur de vrit non nulle.
Plusieurs rgles peuvent tre actives simultanment et prconiser des actions avecdiffrents degrs de validit ; ces actions peuvent tre contradictoires.
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Agrgation des rgles
Il convient dagrger les rgles pour fournir une appartenancede la variable floue de sortie un ensemble flou consolid
47
On considre que les rgles sont lies par un oprateur OU.
( ) ( ) { }i
B By MAX y i indices des rgles actives =
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Exemple
Moteur
R1
R2
Rpetite=0.2petite=0.6
On considre un moteur dinfrence 4 rgles qui fournit pour la sortie de tension S1,les rsultats suivants :
48
4 rgles R4moyenne= .
grande=0.1
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tension de sortie
Petite Moyenne Grande
Volt(v)
Implication flouede Mamdani
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tension de sortie
Petite Moyenne Grande
Volt(v)
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Exemple
0.4
0.6
0.8
1
Tension de sortie
Agrgationdes conclusions0.4
0.6
0.8
1
Tension de sortie
Petite Moyenne Grande
49
0 2 4 6 8 10
0
0.2
Volt(v)
Nous avons la fonction dappartenance dun ensemble flou
qui caractrise le rsultat
Associer cette ensemble flou un nombre interprtable par
lutilisateur, linterface de commande
Il faut dfuzzifier, cest dire :
0 2 4 6 8 10
0
0.2
Volt(v)
P i i d l th d d
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Principe de la mthode deMandani
50
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Mthodes de dfuzzification1. Mthode du centre de gravit (COG)
0.8
1
Tension de sortie
Cest labscisse du centre de gravitde la surface sous la courbe rsultat
51
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
Volt(v)
( )
( )
U
U
y y dy
sortiey dy
U Univers du discours
Toutes les valeurs de sorties considres
=
=
=
3,5V
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Mthodes de dfuzzification
2. Mthode moyenne des maximums (MM)Cest la moyenne des valeurs de sortiesles plus vraisemblables 1
Tension de sortie
52
( ) ( )( )0 0/
S
S
y U
y dy
sortiedy
o S y U y SUP y
=
= =
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
Volt(v)
1,9V
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Dfuzzification
RemarqueEn commande floue, la dfuzzification COGest presque toujours
53
.
proposes par la solution floue
Exemple : systme de
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Exemple : systme denotation floue
On choisit
54
Systmedinfrence
floue
su a s o enus sur
Mthodes utilises (sur 20)
Prsentation (sur 20)
valuation du travail (sur 20)
Mise en place du systme
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Mise en place du systmedinfrence floue
3 entres: Rsultats; Mthodes, Prsentation.1 sortie: valuation
1. Choix des entres/sorties
55
3. Classes dappartenances:{ }Rsultats Mdiocre; Moyen; Excellent{Mthodes Mdiocre; Moyen; Excellent{Evaluation Mdiocre; Mauvais; Moyen; Bon; Excellent
2. Univers des discours[0..20] pour chacune des E/S
Mise en place du systme
7/30/2019 Logique floue et commande
56/102
Mise en place du systmedinfrence floue
4. Choix des fonctions dappartenances
Entres
56
Mise en place du systme
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Mise en place du systmedinfrence floue
Sortie
57
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Base de rgles
1. If (Rsultats is excellent) then (Evaluation is excellent)2. If (Rsultats is moyen) then (Evaluation is moyen)
3. If (Rsultats is mdiocre) then (Evaluation is mdiocre)
58
4. If (Rsultats is moyen) and (Mthodes is mdiocre) then (Evaluation is mauvais)
5. If (Rsultats is moyen) and (Mthodes is excellent) then (Evaluation is bon)
6. If (Rsultats is mdiocre) and (Mthodes is moyen) then (Evaluation is mauvais)
7. If (Rsultats is excellent) and (Mthodes is excellent) and (Prsentation is excellent)
then (Evaluation is excellent)8. If (Rsultats is mdiocre) and (Mthodes is excellent) then (Evaluation is moyen)
9. If (Rsultats is excellent) and (Mthodes is mdiocre) then (Evaluation is moyen)
7/30/2019 Logique floue et commande
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Choix des oprateurs flous
59
ou :
OU flou : MAXImplication floue : MINAgrgation des rgles : MAXDfuzzyfication : COG
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Surface de dcision floue
60
Surface de dcision linaire
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Surface de dcision linaireclassique
61
Pondration Rsultats: 0,6Pondration Mthodes: 0,3Pondration Prsentation: 0,1
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Commentaires
62
Dcision selon un systme dinfrencefloue Dcision selon un modle mathmatiques0,6* 0,3* 0,1*Note Rsultats Mthodes Prsentation= + +
Non linaire Linaire ( )Note entre Cste =
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Plan du cours
63
xemp e app cat on :rgulation de temprature
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Rgulation de temprature
Nous prsentons le cas du rglage de latemprature d'une serre. Dans ce but,
64
nous mesurons la temp rature avec uncapteur qui fournit la valeur de lagrandeur rgler.
7/30/2019 Logique floue et commande
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Rgulation de temprature
Nous supposons que le systme est linaire et safonction de transfert est dfinie par : aveccependant un retard gal 1s. Cest un systme de
65
con r e e emp ra ure avec un men e
chauffage et de ventilation. Un chelon detemprature de -1.5Csera ajout la sortie de H(s)puis le signal ainsi obtenu sera filtr par unintgrateur. La temprature extrieure est de 10Cetson effet intervient aprs lintgrateur. Latemprature dsire est de 20C.
7/30/2019 Logique floue et commande
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Plan du cours
66
Linaires (LMI)
7/30/2019 Logique floue et commande
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LMI
Ingalit matricielle linaire ou LMI
67
01
( ) 0i ii
F F F =
= + >
m : vecteur de variables de dcision
iF : m matrices symtriquesn n
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Thorie de Lyapunov
( ) ( )x t Ax t=
Fonction de L a unov uadrati ue :
68
tV x Px=
Trois proprits vrifierP matrice
symtrique dfinie positive/ 0 ( ) 0
( ) 0
t t
t
dV dt x A P PA x
A P PA
< +
Rsolution par lalgorithme des pointsintrieurs + LMI Toolbox Matlab
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Plan du cours
74
Sugeno (TS)
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Modles flousModle flou de type TS
Cas continu1 1 2 2: ( ) est et ( ) est et ... ( ) esti i i n inR Si x t M x t M x t M
75
( ) ( ) ( )i iAlors x t A x t B u t= +
La dynamique du systme scrit :{ }
{ }
1
1
1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
r
i i ii
n
ij jrj
i inri
ij ji j
x t h x A x t B u t
M x
x t A x t B u t
M x
=
=
=
= =
= +
= +
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Modles flous
Remarques
76
1( ) 0, ( ) 1
r
i ii
h x h x= =
Proprit de convexit satisfaite
Modles flous : comment les
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obtenir
Directement partir du modle non linairedu systme : dcomposition des non-linarits
77
, non n ar sec or e e
Identification des modles linaires partir dunensemble dentres/sorties
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Plan du cours
78
Distributed Compensation
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Approche PDC
Mme philosophie que lapprochemulti-modles
79
Approche PDC : retour dtat{ }
1( ) ( ) ( )
r
i ii
u t h x F x t =
=
1
1
1 1
( )( ) ( ( ))
( )
n
ij jrj
inri
ij ji j
M x
u t F x t
M x
=
=
= =
=
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Approche PDC
Equation dynamique de la boucle ferme( ) ( ) ( ) ( )
r r
i i ix t h x h x A B F x t=
80
1 1
1 1( ) ( ) ( ) ( )
i j
r r
i j iji j
x t h x h x G x t
= =
= =
=
!!!!!!!Problme de stabilit!!!!!!!!!!=> Utilisation de la thorie de Lyapunov
7/30/2019 Logique floue et commande
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Approche PDCChoix dune fonction de Lyapunov
quadratiquetV x x Px=
81
Conditions suffisantes :Stabilit asymptotique
? 00 , 1...
t
t
ij ij
P P
G P PG i j r
= >+ < =
Systme de LMIs.
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Approche PDCProblme de conservatisme
Thorme [Wang et al. 1996]
82
0 1...
0 1...
2 2
tii ii
t
ij ji ij ji
G P PG i r
G G G GP P i j r
= >
+ < =
+ + + < =
+ Thormes [Tanaka et al. 1996, 2003],
[Kim and Lee 2000]
7/30/2019 Logique floue et commande
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Approche PDCProblme dobtention de la matrice P
83
i? 0
0 1...
0 1...2 2
t
t
ii ii
t
ij ji ij ji
P P
G P PG i r
G G G GP P i j r
= >
+ < =
+ + + < =
nest pas affine en la variable( )F
7/30/2019 Logique floue et commande
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Approche PDC
Objectif : trouver un systmes de LMIComment? Diffrents lemmes
84
Changement de variablesTransformation congruente
0 0tM T MT> >
Quelle que soit la matrice Tnon singulire
7/30/2019 Logique floue et commande
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Approche PDC
Complment de Schur 122 11 12 22 120, 0
tM M M M M
< combinaison convexedobservateurs de type Luenberger +principe de sparation (pas toujours
applicable)
7/30/2019 Logique floue et commande
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Poursuite de trajectoireModle de
rfrence
ymr
+
eec: erreur de poursuite
88
Procd
ypup -
u1
Contrleurn
Contrleur 1
run
Systme
flou
7/30/2019 Logique floue et commande
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Poursuite de trajectoirePosition du problme
m m
n n
* Systme :
89
1 1i i i p i i
i i= =
c p me y y=
* Erreur de poursuite :
;m m m m m m mx A x B r y C x= + =
* Modle de rfrence :
7/30/2019 Logique floue et commande
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Poursuite de trajectoire* Choix du contrleur dynamique :
{ }1
( ) ;m
j j
n
j K K pj
x A B y =
= +
90
1 ( )( )
m
j j j
n
p j K K p Kju x C D y E r == + +
* Objectifs atteindre :
Stabilit globale asymptotique de la B Dynamique contrleur stable ec aussi petite que possible
7/30/2019 Logique floue et commande
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Poursuite de trajectoire
ec aussi petite que possible???Traduction mathmatique
91
ect : n m ser nerg e u s gna e sort e
par rapport lenergie du signal dentre
20
0
( ) ( )
0, ( ) ( )
Tt
c c
T
e t e t dt
T r t r t dt
+
>
7/30/2019 Logique floue et commande
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Poursuite de trajectoire
Performance de poursuite HT
t
92
2 20 2
2
20
0, ( ) ( )
c
c cc
T
re
e
T rr t r t dt
T
>
7/30/2019 Logique floue et commande
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Poursuite de trajectoire
Lemme rel bornPerformance de poursuite satisfaite pour 0>
93
0
0 0
0
t
t t
cl cl cl cl
t
cl
cl
X X
A X XA B XC
B I
C X I
= >
+
7/30/2019 Logique floue et commande
94/102
Poursuite de trajectoire
Problme doptimisation convexeSous contrainte LMI
94
min
contraint par ( ) 0
t
m
c
F
>
[ ]Avec 0 0 ... 1t
c =
d
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Poursuite de trajectoire
Remarque Problmes classi ues en automati ue rsents
95
Sous forme de LMI :H2, passivit, contraintes de placements de plesContraintes sur la sortie.
[Chilali and Gahinet 1996, Scherer et al. 1997]
P i d j i
7/30/2019 Logique floue et commande
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Poursuite de trajectoire
? 0tX X = >
Rsoudre le systme de LMI
96
0 0
0
t t
cl cl cl cl
t
cl
cl
A X XA B XC
B I
C X I
+
7/30/2019 Logique floue et commande
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Poursuite de trajectoire
Utiliser les diffrents lemmes pourArriver un systme de LMIs
97
Transformation congruente
Changement de variables
1;t tR M S NX XU N V = =
P it d t j t i
7/30/2019 Logique floue et commande
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Poursuite de trajectoireObtention du systme de LMIs
, , , ,? , , , , 0
0 0 0 1...
i j i j k j i j
tK K K K
t
C A D B R R
S S i k n
= >
= > > > =
98
, , ,
,
, ,
( )
* ( )0
* * ( ) 0
* * *
i j j i j k j i
i j i
t t
i k K i i K k K i K r zt
i K k r z
i j k
sym A R B C A B D C A B E B RD
sym SA B C SB D
I
I
+ + + + +
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Exemple : dynamique latrale Angle de drive
r Vitesse du lacet
2 f rF F
r+
=
99
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }
( )
1 1
1 1
1 1
sin tan 1 tansin tan 1 tan
tan cos( ) , tan cos
f f f f f f f f f
r r r r r r r r r
f rf f r r
F D C B E E B
F D C B E E B
a ar r
v v
= +
= +
= + = + +
12 cos( )f f r r z z
mv
a F a F r u
I I
= +
E l d i l t l
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Exemple : dynamique latraleModle flou : entre vitesse longitudinale v
If is V_Small thenv1 1
1 1 2;
= = + + =
fx A x B B u y Cx
r
100
If is V_Big thenv2 2
2 1 2;= + + =
fx A x B B u y Cx
Fonctions dappartenance
__2 2 2maxmin
__
1 1 1( ) ( )
( ) ( ) 1
= +
+ =
V BigV Small
V BigV Small
v vv v v
v v
[ ]min max,v v v
R lt t d i l ti
7/30/2019 Logique floue et commande
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Rsultats de simulation
101
Rsultats de simulation
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Rsultats de simulation
102