Logique floue et commande

7/30/2019 Logique floue et commande

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Logique floue et commande

cole dt en Commande Avance des systmes &Nouvelles Technologies Informatiques, CANTI 2012CANTI 2012Bucarest, 21-25 Mai 2012

Olivier Pags

Universit de Picardie Jules Verne (UPJV)(UPJV)Laboratoire Modlisation, Information et Systmes (MIS)(MIS)33rue Saint-Leu, 80039Amiens cedex, France

Email : [email protected]


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Prsentation

Universit de Picardie Jules Verne Amiens (France) : 20000tudiants U.F.Rdes Sciences : six d artements

2

dont le dpartement lectronique,lectrotechnique, Automatique (EEA) Licence EEA Master professionnel EEAII Master recherche MIS(regroup avec le

master professionnel)


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Prsentation

Master de rechercher MIS Thmes : automatique (commande),

3

, Possibilits de stages de recherche ou

de fin dtudes avec Erasmus / Socrates


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Prsentation

Laboratoire MIS: Modlisation,Information et Systmes (EA 4290)

4

quipes de recherche (40chercheurs)dont lquipe COVE

quipe COVE: Commande etvhicules


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Prsentation

quipe COVE : Commande et vhicules Cinq MCF + un professeur + quatre

doctorants

5

Axes de recherche : commande floue(modles flous, adaptative floue), commande mode glissant, diagnostic, contrle TF

Applications : vhicule (dynamiquelongitudinale, latrale, couple), panneauxphotovoltaques


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Prsentation

Collaborations avec luniversitPolytechnique de Bucarest (facult m i inf rm i

6

laboratoireACPC) : projets derecherche, accord de coopration +cole dt en automatique Bucarest(cours : logique floue etcommande )


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Prsentation

Objectifs du coursObjectifs du cours1. Avoir les bases du formalisme flou

7

2. de type Takagi-Sugeno et lessystmes flous de type Takagi-Sugeno

3. Outils destins la commande dessystmes non linaires


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Plan du cours

Formalisme de la logique floue Exemple dapplication : rgulation de

temprature

8

Ingalits matricielles linaires (LMI) Modles flous de type Takagi-Sugeno (TS) Contrleurs flous : Parallel Distributed

Compensation (PDC) Commande floue et poursuite de trajectoire


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Plan du cours

9

Formalisme de la logique floue


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Formalisme de la logique floue

1. Prsentation Exemples introductifsLogique floue vs boolenneChamps dapplications et historique

2. Concepts principaux Ensemble flouOprateur logique floue

10

6. Exemple complet de prise de dcisions floues

Fuzzification>>Infrences floues>>Dfuzzification

4. Infrence floue Principe du raisonnement approximatifBase de rgles

Mthodes dinfrence floue

5. Dfuzzification Mthodes de dfuzzificationSynthse gnrale

3. Fuzzification Variables linguistiquesComment fuzzifier?


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Introduction la logique floue

Logique boolenne logique floueSupposons que la limite soit de 1m65.Je mesure 1m63, suis-je vraiment petit ?

11

Logique boolenne : oui, je suispetit 100%

Logique floue : la foispetitet grand


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Exemple de rgles floues

si le feu est rou e si ma vitesse est leveet si le feu est

alors e freine fort

12

proc e

si le feu est rouge si ma vitesse est faible et si le feu est loinalors je maintiens ma

vitesse

si le feu est

orange

si ma vitesse est

moyenneet si le feu est loin alors je freine doucement

si le feu est vert si ma vitesse est faibleet si le feu est

prochealors j'acclre

Les rgles floues sont nonces en langage naturel


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Transposition de notre exemple selon un modle plus

mathmatique moins flou

sans le savoir!

13

Si le feu est rouge, si ma vitesse dpasse 85,6 km/h et si le feu est moins de 62,3 mtres, alors j'appuie sur la pdale de frein avec une

force de 33,2 Newtons !!!

Notre cerveau fonctionne en logique floue

Il apprcie les variables d'entres de faon approximative (faible, leve, loin, proche),fait de mme pour les variables de sorties (freinage lger ou fort) et propose un

ensemble de rgles permettant de dterminer les sorties en fonction des entres


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Un patient atteint d'hpatite prsente gnralement les symptmes suivants :

Le patient a une forte fivre Sa peau prsente une coloration jaune

Limite de la logique boolenne

14

Il a des nauses

36 37 38 39 40 41 42

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T(C)

Avoir une forte fivreEnsemble classique

36 37 38 39 40 41 42

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ensemble flou

T(C)

Avoir une forte fivre


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Introduction logique floue

Si le patient a 38,9Cde temprature

Le patient na pas de forte fivre Le patient na pas dhpatite

Logique classiqueLogique classique

15

Le patient a une forte fivre 48% Le patient a une hpatite x %

Logique floueLogique floue


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Champs dapplications de la logiquefloue

Aide la dcision, au diagnostic(domaine mdical, orientation professionnelle)

16

Base de donnes(objets flous et/ou requtes floues)

Reconnaissance de forme

Agrgation multicritre et optimisation

Commande floue de systmes


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Bref historique : les dbuts 1965: Concept introduit par Pr. Lotfi Zadeh (Berkeley)

Fuzzy set theory : Dfinition des ensembles flous et oprateurs associs

1970: Premires applications: Systmes experts, Aide la

17

,

1974: Premire application industrielle. Rgulation floue dunechaudire vapeur ralise par Mamdani

Longtemps universitaire

1985: Les premiers, les japonais introduisent des produitsgrand public Fuzzy Logic Inside


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Bref historique

1990 :Gnralisation de lutilisation de cette technique Appareils lectromnagers (lave-linge, aspirateurs, autocuiseurs,...) Systmes audio-visuels (appareils de photos autofocus, camscope

stabilisateur d'images, photocopieurs,...)

18

, , ,

climatisation,...) Systmes autonomes mobiles Systmes de dcision, diagnostic, reconnaissance Systmes de contrle/commande dans la plupart des domaines

industriels de production


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Lapproche des problmes par la logique floue est diffrente de celle adopte, apriori, dans une dmarche scientifique

Elle est beaucoup plus pragmatique que dterministe

19

La dcision en logique floue est base sur la notion dexpertise, qui permet dequantifier le flou partir de connaissance a priori ou acquise antrieurement

Ne pas tre trop cartsien pour aborder la logique floue

Il nest pas ncessaire davoir un modle entres/sorties dunevoiture pour pouvoir la conduire de manire satisfaisante


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Les deux concepts principaux de la logiqueLes deux concepts principaux de la logiqueflouefloue

20

.

2. Prise de dcision partir dun base de rgles SIALORS..

Cest linfrence floue


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Ensemble flou

A

U

Soient U: lunivers du discours.A: un sous-ensemble de U

21

Thorie classique des ensembles:

( )

( )

' '

0

1

A

A

A

Si est la fonction d appartenance de l ensemble A

x U x si x A

x si x A

=

=


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Ensemble flou

Concept densemble flou:' 'ASi est la fonction d appartenance de l ensemble flou A

22

Si =0,30x appartient lensemble flou A avec un degr dappartenance de 30%

( )A x

Un ensemble flou est totalement dtermin par sa fonction dappartenance

degr dappartenance = valeur de vrit


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Exemples densembles flous

0.4

0.6

0.8

1

Ensemble flou " Personne de petite taille"

Petit

0.4

0.6

0.8

1

Ensemble flou: "Personne de taille moyenne"

Moyen

0.4

0.6

0.8

1

Ensemble flou :"Personne de grande taille"

Grand

23

Ici, Pierre mesure 1m625se traduit en logique floue par Pierre est petit un degr de 75% Pierre est moyen 25% Pierre est grand 0%

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9

0

.

Taille(m)

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9

0

.

Taille(m)

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9

0

.

Taille(m)

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

part t on oue e un vers u scours

Taille(m)

Petit Moyen Grand


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Fonctions dappartenanceparticulires

( )

( )

0x 0 0

x 0

Lorsqu'un fait certain correspond l'nonc de la valeur d'une variable, on a un singleton:

1 pour

0 pour

x x x

x x x

= =

=

24

1Couleur dufeu tricolore

rouge orange vert

Fonction dappartenance de la classe Fonction dappartenance de la classe Le feu est rougeLe feu est rouge


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Oprateurs de logique floue

Comme pour la thorie classique des ensembles,on dfinit la runion, lintersection, le complment.densembles flous

25

La logique boolenne standard est un cas particulier de la logique floue

Tous les rsultats obtenus en logique classique doivent tre retrouvspar la logique floue


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La runion

A est lensemble flou des personnes petites.B est lensemble flou des personnes moyennes.

26

fonction dappartenance :

( ) ( ) ( )( ),A B A Bx max x x x U =


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La runion

Runion des deux ensembles flousEnsemble flou:"Personne petite OU moyenne"Partition floue de l'univers du discours

Petit Moyen Grand

27

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Taille(m)

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Taille(m)


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Lintersection

A est lensemble flou des personnes petitesB est lensembles flou des personnes moyennes

28

Lensemble des personnes petites ET moyennes est un ensemble flou defonction dappartenance :

( ) ( ) ( )( ),A B A Bx min x x x U =


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Lintersection

Intersection des deux ensembles flous1

Ensemble flou: "Personne petite et moyenne"

1

Partition floue de l'univers du discoursPetit Moyen Grand

29

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Taille (m)

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Taille(m)


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Le complment

A est lensemble flou des personnes petites.

Lensemble des personnes NON petites est un ensemble flou de fonctiondappartenance :

30

( ) ( )1 AA x x x U =

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Partition floue de l'univers du discours

Taille(m)

Petit Moyen Grand

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

nsem e oue : ersonnes non pe es

Taille (m)


31/102

Oprateurs flous alternatifs Toute t-normepeut servir dfinir lintersection floue

Une t-norme est une application T(x,y) satisfaisant les conditions suivantes:

31

es men neu re , , , .

Commutative ( , ) ( , )

Associative ( , ( , )) ( ( , ), )

Monotone

x x x x

T x y T y x

T x T y z T T x y z

si

= =

=

=

( , ) ( , )x z et y walorsT x y T z w


32/102

Oprateurs flous alternatifs

Toute t-conorme peut servir dfinir la runion floue

Une t-conorme est une application S(x,y) satisfaisant les conditions suivantes:

32

, , .

Commutative ( , ) ( , )

Associative ( , ( , )) ( ( , ), )

Monotone

S x y S y x

S x S y z S S x y z

si x z et

=

=

( , ) ( , )y walors S x y S z w


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Oprateurs flous alternatifs

33


34/102

Oprateurs de logique floue les plusutiliss

Dnomination Intersection Runion Complment

34

(t-norme) (t-conorme)Oprateurs de Zadeh

MIN/MAX

Probabiliste

PROD/PROBOR

( ) ( ) ( )( ),A B A Bx max x x =( ) ( ) ( )( ),A B A Bx min x x =

( ) ( ) ( )A B A Bx x x = ( ) ( ) ( ) ( )A B A Bx x x x +

( ) ( )1 AA x x =

( ) ( )1 AA x x =


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les dfinitions d'oprateurs ET et OU, on retrouve les proprits des oprateurs boolens

C o m m u t a t iv it

35

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

D i s t ib u t i v i t

A B C A B A C

A B C A B A C

A s s o c ia t i c i t

A B C A B C

A B C A B C

L o i s d e d e M o r g a n

A B A B

A B A B

=

=

= =

=

=


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Deux exceptions notablesDeux exceptions notables

1. En logique floue, le principe du tiers exclu est contredit.

36

( )i.e. 0A AA A x

2. En logique floue, on peut treA et nonA en mmetemps.

i.e. 1A A

A A U x


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Variables floues Logique floue base sur des variables floues dites variablesvariables

linguistiqueslinguistiques symboles dans lunivers du discours U Chaque symbole constitue alors un ensemble flou de lunivers du

discours

37

Exemple:

Univers du discours :Univers du discours : Gamme de temprature de 0C 200C

Variable linguistique :Variable linguistique : La tempratureSymboles :Symboles : Trs froid Froid Tempr Chaud Trs Chaud


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Fuzzification

Les systmes logique floue traitent de variablesdentres floues et fournissent de rsultats sur desvariables de sorties elle-mmes floues

38

La fuzzification est ltape qui consiste en laquantification floue des valeurs relles dune variable.

Interface defuzzification

Pierre est petit un degr de 75%Pierre mesure 1m625

Pierre est grand 0% Pierre est moyen 25%


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Comment fuzzifier ?

Pour fuzzifier, il faut donner : Lunivers du discours

i.e.: domaine de dfinition de lentre

39

considre Une partition en symboles de cet univers Les fonctions dappartenances de chacun de ces

symboles


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Base de rgles

Les systmes logique floue utilisent une expertise exprime sousforme dune base de rgles du type: Si.Alors

Si X est A Alors Y est B

40

Si ET ALORSTemps est beau Moment est DbutMatine Moral est haut

Si ET ALORSCours est Ennuyeux Moment est DbutCours Moral est bas

Si ET ALORSCours est Intressant ChargedeTravail est Importante Moral est Maussade

Si .........


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Infrence floue

Si ET ALORSTemps est beau Moment est DbutMatine Moral est haut

41

r m sses on onct on onc us on

Infrence :Opration logique par laquelle on admet une proposition en

vertu de sa liaison avec dautres propositions tenues pourvraies.

mp cat on


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Infrence floue

En logique classiqueSi p Alors q

En logique floue

( ) ( )Si X est A Alors Y est B

42

p vra ors q vra La variable floueXappartient au symboleA avec un degr

dappartenance (x0)

La variable floue Yappartient au symboleB un degr quidpend du degr dappartenance(x0) de la prmisse


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Infrence floue

Plus la condition sur les entres est vraie.

Plus l'action prconise pour les sorties doit tre respecte

43

SI la temprature est trs basse ALORS Chauffer fort

Cette appartenance dpend de :1) La classe floue de sortie considre.2) du degr de validit de la prmisse prmisses(x0)3) de la mthode dimplication choisie.

La conclusion dune rgle floue est lappartenance dunevariable linguistique de sortie chauffer un ensemble flou

fort


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Mthodes dimplication

Deux mthodes principales dimplication floue

0' ,conclusion rmisse conclusiony x y =Mthode de Mamdani

44

y

( ) ( ) ( )0'conclusion prmisse conclusiony x y = Mthode de Larsen


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Exemple (Mandani)Plus la condition sur les entres est vraie.

Plus l'action prconise pour les sorties doit tre respecte

Rgle: SI la temprature est trs basse ALORS Chauffer fort

45-10 -5 0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Temprature trs basse

T(C)0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Chauffer fort

Puissance chauffe(KW)0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Chauffer fort

Puissance chauffe(KW)0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Chauffer fort

Puissance chauffe(KW)

( ) ( ) ( )0' ,minconclusion prmisse conclusiony

y x y =

-10 -5 0 3 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.7

0.8

1Temprature trs basse

T(C)

12KW


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Activation des rgles( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 11 2 12 1

1 21 2 22 2

1 31 2 32 3 33 3

R1:

R2:

R3:

Si X est A et X est A alors Y est B

Si X est A ou X est A alors Y est B

Si X est A et X est A et X est A alors Y est B

46

..........

Une rgle est active ds quelle a une prmisse ayant une valeur de vrit non nulle.

Plusieurs rgles peuvent tre actives simultanment et prconiser des actions avecdiffrents degrs de validit ; ces actions peuvent tre contradictoires.


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Agrgation des rgles

Il convient dagrger les rgles pour fournir une appartenancede la variable floue de sortie un ensemble flou consolid

47

On considre que les rgles sont lies par un oprateur OU.

( ) ( ) { }i

B By MAX y i indices des rgles actives =


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Exemple

Moteur

R1

R2

Rpetite=0.2petite=0.6

On considre un moteur dinfrence 4 rgles qui fournit pour la sortie de tension S1,les rsultats suivants :

48

4 rgles R4moyenne= .

grande=0.1

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tension de sortie

Petite Moyenne Grande

Volt(v)

Implication flouede Mamdani

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tension de sortie


Volt(v)


49/102

Exemple

0.4

0.6

0.8

1

Tension de sortie

Agrgationdes conclusions0.4

0.6

0.8

1

Tension de sortie


49

0 2 4 6 8 10

0

0.2

Volt(v)

Nous avons la fonction dappartenance dun ensemble flou

qui caractrise le rsultat

Associer cette ensemble flou un nombre interprtable par

lutilisateur, linterface de commande

Il faut dfuzzifier, cest dire :

0 2 4 6 8 10

0

0.2

Volt(v)

P i i d l th d d


50/102

Principe de la mthode deMandani

50


51/102

Mthodes de dfuzzification1. Mthode du centre de gravit (COG)

0.8

1

Tension de sortie

Cest labscisse du centre de gravitde la surface sous la courbe rsultat

51

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

Volt(v)

( )

( )

U

U

y y dy

sortiey dy

U Univers du discours

Toutes les valeurs de sorties considres

=

=

=

3,5V


52/102

Mthodes de dfuzzification

2. Mthode moyenne des maximums (MM)Cest la moyenne des valeurs de sortiesles plus vraisemblables 1

Tension de sortie

52

( ) ( )( )0 0/

S

S

y U

y dy

sortiedy

o S y U y SUP y

=

= =

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

Volt(v)

1,9V


53/102

Dfuzzification

RemarqueEn commande floue, la dfuzzification COGest presque toujours

53

.

proposes par la solution floue

Exemple : systme de


54/102

Exemple : systme denotation floue

On choisit

54

Systmedinfrence

floue

su a s o enus sur

Mthodes utilises (sur 20)

Prsentation (sur 20)

valuation du travail (sur 20)

Mise en place du systme


55/102

Mise en place du systmedinfrence floue

3 entres: Rsultats; Mthodes, Prsentation.1 sortie: valuation

1. Choix des entres/sorties

55

3. Classes dappartenances:{ }Rsultats Mdiocre; Moyen; Excellent{Mthodes Mdiocre; Moyen; Excellent{Evaluation Mdiocre; Mauvais; Moyen; Bon; Excellent

2. Univers des discours[0..20] pour chacune des E/S



56/102


4. Choix des fonctions dappartenances

Entres

56



57/102


Sortie

57


58/102

Base de rgles

1. If (Rsultats is excellent) then (Evaluation is excellent)2. If (Rsultats is moyen) then (Evaluation is moyen)

3. If (Rsultats is mdiocre) then (Evaluation is mdiocre)

58

4. If (Rsultats is moyen) and (Mthodes is mdiocre) then (Evaluation is mauvais)

5. If (Rsultats is moyen) and (Mthodes is excellent) then (Evaluation is bon)

6. If (Rsultats is mdiocre) and (Mthodes is moyen) then (Evaluation is mauvais)

7. If (Rsultats is excellent) and (Mthodes is excellent) and (Prsentation is excellent)

then (Evaluation is excellent)8. If (Rsultats is mdiocre) and (Mthodes is excellent) then (Evaluation is moyen)

9. If (Rsultats is excellent) and (Mthodes is mdiocre) then (Evaluation is moyen)


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Choix des oprateurs flous

59

ou :

OU flou : MAXImplication floue : MINAgrgation des rgles : MAXDfuzzyfication : COG


60/102

Surface de dcision floue

60

Surface de dcision linaire


61/102

Surface de dcision linaireclassique

61

Pondration Rsultats: 0,6Pondration Mthodes: 0,3Pondration Prsentation: 0,1


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Commentaires

62

Dcision selon un systme dinfrencefloue Dcision selon un modle mathmatiques0,6* 0,3* 0,1*Note Rsultats Mthodes Prsentation= + +

Non linaire Linaire ( )Note entre Cste =


63/102

Plan du cours

63

xemp e app cat on :rgulation de temprature


64/102

Rgulation de temprature

Nous prsentons le cas du rglage de latemprature d'une serre. Dans ce but,

64

nous mesurons la temp rature avec uncapteur qui fournit la valeur de lagrandeur rgler.


65/102

Rgulation de temprature

Nous supposons que le systme est linaire et safonction de transfert est dfinie par : aveccependant un retard gal 1s. Cest un systme de

65

con r e e emp ra ure avec un men e

chauffage et de ventilation. Un chelon detemprature de -1.5Csera ajout la sortie de H(s)puis le signal ainsi obtenu sera filtr par unintgrateur. La temprature extrieure est de 10Cetson effet intervient aprs lintgrateur. Latemprature dsire est de 20C.


66/102

Plan du cours

66

Linaires (LMI)


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LMI

Ingalit matricielle linaire ou LMI

67

01

( ) 0i ii

F F F =

= + >

m : vecteur de variables de dcision

iF : m matrices symtriquesn n


68/102

Thorie de Lyapunov

( ) ( )x t Ax t=

Fonction de L a unov uadrati ue :

68

tV x Px=

Trois proprits vrifierP matrice

symtrique dfinie positive/ 0 ( ) 0

( ) 0

t t

t

dV dt x A P PA x

A P PA

< +

Rsolution par lalgorithme des pointsintrieurs + LMI Toolbox Matlab


74/102

Plan du cours

74

Sugeno (TS)


75/102

Modles flousModle flou de type TS

Cas continu1 1 2 2: ( ) est et ( ) est et ... ( ) esti i i n inR Si x t M x t M x t M

75

( ) ( ) ( )i iAlors x t A x t B u t= +

La dynamique du systme scrit :{ }

{ }

1

1

1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

r

i i ii

n

ij jrj

i inri

ij ji j

x t h x A x t B u t

M x

x t A x t B u t

M x

=

=

=

= =

= +

= +


76/102

Modles flous

Remarques

76

1( ) 0, ( ) 1

r

i ii

h x h x= =

Proprit de convexit satisfaite

Modles flous : comment les


77/102

obtenir

Directement partir du modle non linairedu systme : dcomposition des non-linarits

77

, non n ar sec or e e

Identification des modles linaires partir dunensemble dentres/sorties


78/102

Plan du cours

78

Distributed Compensation


79/102

Approche PDC

Mme philosophie que lapprochemulti-modles

79

Approche PDC : retour dtat{ }

1( ) ( ) ( )

r

i ii

u t h x F x t =

=

1

1

1 1

( )( ) ( ( ))

( )

n

ij jrj

inri

ij ji j

M x

u t F x t

M x

=

=

= =

=


80/102

Approche PDC

Equation dynamique de la boucle ferme( ) ( ) ( ) ( )

r r

i i ix t h x h x A B F x t=

80

1 1

1 1( ) ( ) ( ) ( )

i j

r r

i j iji j

x t h x h x G x t

= =

= =

=

!!!!!!!Problme de stabilit!!!!!!!!!!=> Utilisation de la thorie de Lyapunov


81/102

Approche PDCChoix dune fonction de Lyapunov

quadratiquetV x x Px=

81

Conditions suffisantes :Stabilit asymptotique

? 00 , 1...

t

t

ij ij

P P

G P PG i j r

= >+ < =

Systme de LMIs.


82/102

Approche PDCProblme de conservatisme

Thorme [Wang et al. 1996]

82

0 1...

0 1...

2 2

tii ii

t

ij ji ij ji

G P PG i r

G G G GP P i j r

= >

+ < =

+ + + < =

+ Thormes [Tanaka et al. 1996, 2003],

[Kim and Lee 2000]


83/102

Approche PDCProblme dobtention de la matrice P

83

i? 0

0 1...

0 1...2 2

t

t

ii ii

t

ij ji ij ji

P P

G P PG i r

G G G GP P i j r

= >

+ < =

+ + + < =

nest pas affine en la variable( )F


84/102

Approche PDC

Objectif : trouver un systmes de LMIComment? Diffrents lemmes

84

Changement de variablesTransformation congruente

0 0tM T MT> >

Quelle que soit la matrice Tnon singulire


85/102

Approche PDC

Complment de Schur 122 11 12 22 120, 0

tM M M M M

< combinaison convexedobservateurs de type Luenberger +principe de sparation (pas toujours

applicable)


88/102

Poursuite de trajectoireModle de

rfrence

ymr

+

eec: erreur de poursuite

88

Procd

ypup -

u1

Contrleurn

Contrleur 1

run

Systme

flou


89/102

Poursuite de trajectoirePosition du problme

m m

n n

* Systme :

89

1 1i i i p i i

i i= =

c p me y y=

* Erreur de poursuite :

;m m m m m m mx A x B r y C x= + =

* Modle de rfrence :


90/102

Poursuite de trajectoire* Choix du contrleur dynamique :

{ }1

( ) ;m

j j

n

j K K pj

x A B y =

= +

90

1 ( )( )

m

j j j

n

p j K K p Kju x C D y E r == + +

* Objectifs atteindre :

Stabilit globale asymptotique de la B Dynamique contrleur stable ec aussi petite que possible


91/102

Poursuite de trajectoire

ec aussi petite que possible???Traduction mathmatique

91

ect : n m ser nerg e u s gna e sort e

par rapport lenergie du signal dentre

20

0

( ) ( )

0, ( ) ( )

Tt

c c

T

e t e t dt

T r t r t dt

+

>


92/102


Performance de poursuite HT

t

92

2 20 2

2

20

0, ( ) ( )

c

c cc

T

re

e

T rr t r t dt

T

>


93/102


Lemme rel bornPerformance de poursuite satisfaite pour 0>

93

0

0 0

0

t

t t

cl cl cl cl

t

cl

cl

X X

A X XA B XC

B I

C X I

= >

+


94/102


Problme doptimisation convexeSous contrainte LMI

94

min

contraint par ( ) 0

t

m

c

F

>

[ ]Avec 0 0 ... 1t

c =

d


95/102


Remarque Problmes classi ues en automati ue rsents

95

Sous forme de LMI :H2, passivit, contraintes de placements de plesContraintes sur la sortie.

[Chilali and Gahinet 1996, Scherer et al. 1997]

P i d j i


96/102


? 0tX X = >

Rsoudre le systme de LMI

96

0 0

0

t t

cl cl cl cl

t

cl

cl

A X XA B XC

B I

C X I

+


97/102


Utiliser les diffrents lemmes pourArriver un systme de LMIs

97

Transformation congruente

Changement de variables

1;t tR M S NX XU N V = =

P it d t j t i


98/102

Poursuite de trajectoireObtention du systme de LMIs

, , , ,? , , , , 0

0 0 0 1...

i j i j k j i j

tK K K K

t

C A D B R R

S S i k n

= >

= > > > =

98

, , ,

,

, ,

( )

* ( )0

* * ( ) 0

* * *

i j j i j k j i

i j i

t t

i k K i i K k K i K r zt

i K k r z

i j k

sym A R B C A B D C A B E B RD

sym SA B C SB D

I

I

+ + + + +


99/102

Exemple : dynamique latrale Angle de drive

r Vitesse du lacet

2 f rF F

r+

=

99

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }

( )

1 1

1 1

1 1

sin tan 1 tansin tan 1 tan

tan cos( ) , tan cos

f f f f f f f f f

r r r r r r r r r

f rf f r r

F D C B E E B

F D C B E E B

a ar r

v v

= +

= +

= + = + +

12 cos( )f f r r z z

mv

a F a F r u

I I

= +

E l d i l t l


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Exemple : dynamique latraleModle flou : entre vitesse longitudinale v

If is V_Small thenv1 1

1 1 2;

= = + + =

fx A x B B u y Cx

r

100

If is V_Big thenv2 2

2 1 2;= + + =

fx A x B B u y Cx

Fonctions dappartenance

__2 2 2maxmin

__

1 1 1( ) ( )

( ) ( ) 1

= +

+ =

V BigV Small

V BigV Small

v vv v v

v v

[ ]min max,v v v

R lt t d i l ti


101/102

Rsultats de simulation

101



102/102


102

Logique floue et commande

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