Les Transports (T5 - T6)Les Transports (T5 - T6)MécaniqueMécanique des fluides

Sommaire

T5: Comment se déplacer dans un fluide?

1) Force pressante

4) Pression exercée par les liquides

Travail d’une force

2) Poussée d’Archimède

3) Condition d’équilibre et de flottabilité d’un corps

T6 – Qu’est-ce qu’une voiture puissante? Mouvement des fluides

• Dynamique des fluides

• 1. Lignes de courant

• 2. Ecoulement permanent

• 3. Débit massique; débit volumique

• 4. Équation de Bernoulli

• 5. Viscosité

• 6. Différents régimes

• 7. Pertes de charge

• La mécanique des fluides étudie le comportement des fluides :

• -         au repos : hydrostatique

• -         en mouvement : hydrodynamique

•  

• On distingue deux types de fluides :

• -         les liquides incompressibles

• -         les gaz compressibles

Définition :

Objectifs de la leçon - Etre capable de :

C1 – déterminer expérimentalement la valeur de la poussée d’Archimède;

C2 – mesurer la pression d’un liquide en un point;

C3 – déterminer expérimentalement les variations de pression au sein d’un fluide;

C4 – distinguer la pression atmosphérique, pression relative et pression absolue;

C5 – utiliser la formule

C6 – mettre en évidence expérimentalement l’effet Venturi.

T5: Comment se déplacer dans un fluide?

B Ap p gh

1 – Force pressante

a. Observation

Une force pressante est une force répartie sur une surface

Un fluide exerce des forces pressantes sur toute la surface en contact avec lui(appelée surface pressée)

La droite d’action d’une force pressante est perpendiculaire à la surface pressée.

b. Calcul de la pression

• Soit F

une force s’exerçant uniformément sur une surface plane

et perpendiculairement à cette surface

•S est la surface sur laquelle agit la force F

La pression est donnée par la relation :

Fp

S

p: en pascalsF; en NewtonsS: en mètres carrés

La pression est égale au quotient de la valeur F de la force pressante par l'aire S de la surface pressée.

Unités :

-  Le pascal est l’unité du système international de la pression.

On le note Pa

1 Pa est la pression exercée par une force de 1 N sur une surface de 1 m2

2

11

1

NPa

m

-  Le bar    

1 bar est la pression exercée par une force de 1 daN sur une surface de 1 cm2

1 bar = 105 Pa

  - L'atmosphère;

 1 atm = 1,01325 × 105 Pa (valeur de la pression atmosphérique normale).

Petite histoire:

• PASCAL (Blaise) (1623-1662)

• Mathématicien, physicien, philosophe et écrivain français. Fit de nombreuses expériences sur la pression atmosphérique et l'équilibre des liquides.

EXEMPLE

Sur la figure ci-contre, le doigt exerce sur la punaise une force de 15 N. L'aire de la tête de la punaise est 300 mm 2, celle de la pointe 0,5 mm2.La surface de la pointe de la punaise étant très petite, la pression sur le mur est très grande.

1. Calculer la pression exercée par le doigt sur la tête de la punaise

 2.   Quelle est la pression de la pointe de la punaise sur le mur ?

(Les résultats seront donnés en Pa puis en bar)

Réponses

1. Calcul de la pression exercée par le doigt

doigtpunaise

Fp

S

pdoigt: pression du doigt sur la punaiseF = 15 NSpunaise = 300 mm2 = 3×10-4 m2: l’aire de la tête de la punaise

Pdoigt = 15

3×10-4

= 5×104 Pa = 0,5 bar

2. Calcul de la pression exercée par la pointe de la punaise

p =F

S

ppointe: pression du doigt sur la punaiseF = 15 NSpointe = 0,5 mm2 = 5×10-7 m2: l’aire de la tête de la punaise

Ppointe = 15

5×10-7

= 3×107 Pa = 300 bar

2 – Poussée d’Archimède

Principe de la poussée d’Archimède

  Tout corps immergé dans fluide (liquide ou gaz), reçoit de la part de ce fluide une poussée verticale dirigée de bas en haut et dont lur est égale au poids du fluide déplacé.Sa valeur, qu’on peut noter FA, se calcule par la formule:

AF g V   est la masse volumique du fluide en kg/m3 (kilogramme par mètre cube) ;

• g est l’intensté de la pesanteur en N/kg ( newton par kilogramme)• V est le volume du fluide déplacé en m3 (mètre cube) ;•La valeur FA est en newton (N).

3 – Condition d’équilibre et de flottabilité d’un corps

  Le centre de poussée C est au dessus du centre de gravité G :Si les deux points ne sont pas alignés, le couple de forces qui apparaît redressera le solide dans sa position verticale : l’équilibre est alors stable.

Condition d’équilibre d’un corps flottant

•Le centre de poussée C est en dessous du centre de gravité G :Si les deux points ne sont pas alignés, le couple de forces qui apparaît, fera chavirer le solide : l’équilibre est alors instable.

Conclusion :Pour pouvoir

« descendre » le centre de gravité d’un bateau, on ajoute un leste (« la quille ») sous la coque

du bateau.

•Un corps flotte si la valeur de son poids égale à la valeur de la force de poussée d’Archimède.

•Un corps coule si la valeur de son poids est supérieure à la valeur de la poussée d’Archimède.

Condition de flottabilité d’un corps

4 – Pression exercée par les fluides

a. Pression en un point d’un fluide

  La pression est la même en tout point d'un plan horizontal (plan isobare).

Il n'existe qu'une seule pression en un point donné d'un liquide.

La pression en un point d'un liquidedépend :_ de la profondeur de ce point ;

_ de la masse volumique du liquide.

b. Calcul de la pression en un point d’un fluide: principe fondamental de l’hydrostatique

La différence de pression entre deux points A et B d'un liquide est égale à :

PB – PA = ρ g h

 - ρ est la masse volumique du liquide exprimé en kilogrammes par mètre cube (kg.m-3)  g est l'intensité de la pesanteur (soit à Paris : 9,81 N.kg-

1)        h est la différence de niveau entre les deux points exprimée en

mètres (m) -   PA et PB sont les pressions

exprimées en Pascals(Pa).

EXEMPLE

•Deux points situés dans l'eau sont à 10 m l'un au-dessus de l'autre.•La masse volumique de l'eau étant ρ = 1000 kg·m‑3

•Calculer la différence de pression entre ces deux points.

10 m

B

A

Réponse: PA – PB = ρ g h

PA – PB = 1 000×9,81×10

PA – PB = 9,81×10 4 Pa

5 – L’effet Venturi

C’est un phénomène où la pression d’un fluide diminue lorsque la vitesse de son écoulement augmente.•Application: Aile d’avionLa pression de l’air au dessous de l’aile est supérieure à la pression de l’air au-dessus de l’aile.

T6 –Qu’est-ce qu’une T6 –Qu’est-ce qu’une voiture puissante?voiture puissante?

Mouvement des fluides Mouvement des fluides

Transmission de Pression par les liquides

a. Théorème de Pascal

Un liquide étant considéré comme incompressible, toute variation de pression en un point du liquide se transmet intégralement à tous les points.

F

'F

BB AA

•Les points AA et BB sont tous les deux à la même pression.•Une augmentation de la pression en AA provoque lamême augmentation en BB ainsi qu'en tous les points du liquide.

F

'F

BB AA

b. Principe de transmission

•Soit le système ci-contre, qui permet de multiplier la valeur d'une force :

Une forceFexercée sur le petit piston

de section S produit une augmentation

de la pression au point A A égale

Fp

S

Cette augmentation de pression est intégralement transmise à tous les points du liquide et en particulier

au point BB.

L'augmentation de pression au point B produit sur

le grand piston S’ une force telle que

' 'F p S

soit ''

Fp

S

Dans une transmission hydraulique, la force disponible sur le piston de travail est égale au produit de la force exercée sur le piston de mise en pression par le rapport des sections des deux pistons.

'F

F’ = F × S’

S

Le choix de S’ > S permet d'obtenir F’ > F

Les pistons ayant des sections circulaires de diamètres respectifs D1 et D2 , le rapport des sections est aussi égal au rapport des carrés des diamètres, soit

F’ =

D2

D1

( )2

F ×

Travail d’une forceTravail d’une force

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

A BF

Fa. Le travail d’une force

Une force travaille quand elle se déplace

W = F × d × cos

d

•W > 0 si 0 < < 90°

Dans ce cas le travail est moteur; la force agit dans le sens du déplacement

•W < 0 si > 90°Dans ce cas le travail est résistant; la force agit dans le sens contraire du déplacement

•W = 0 si = 90°

Dans ce cas le travail est nul; la force agit perpendiculairement au déplacement

b. Le travail d’un couple de forces

L’arbre d’un moteur tourne d’un angle en radian

Le travail de la force F

du moteur est

W F R

R

O

F

L’arbre est soumis au couple

'F

( ; ')F F

de moment M = F×D = 2 F×R

Le travail d’un couple de forces est donc

2W F R M Le travail W est exprimé en J;

Le moment du couple M est exprimé en N·m; L’angle exprimé en radian(rad);

c. Puissances mécaniques

1. La puissance est l'énergie dissipée pendant un temps donné

La puissance moyenne est P d’une force est définie par:

P = W

tP est la puissance en watt(W);

W est le travail en joules;

et t est la durée en secondes(s)

Pour un déplacement sur un distance l du point d’application de la force

F

à une vitesse v(vitesse linéaire):

W = F· l = F·v·lOn en déduit:

P = W

t = F·v

2. La puissance d’un couple est

MP

t

v =l

t

Or

t ( )vitesseangulaire

et 2 n donc 2P nMP en W, en radian par secondes(rad·s-1),

M en N·m, n fréquence de rotation en tr·s-1

Dynamique des fluides

1. Lignes de courantLes lignes de courant sont les trajectoires suivies par les

molécules d'un fluide en mouvement (voir figure ).

2. Écoulement permanent

        Un écoulement est dit permanent lorsque les lignes de courant ne varient pas au cours du temps.

        En un point du fluide, toutes les molécules passent avec la même vitesse (les vitesses sont indépendantes du temps).

        Dans un écoulement parfait, on considère que toutes les molécules traversant une même section ont la même vitesse.

3. Débit massique et débit volumique d'un liquide

a. a. Débit massiqueDébit massique

Le débit massique Qm est le rapport de la masse m de liquide s'écoulant pendant le temps t

m

mQ Sv

t

m(masse) en kg; t(durée) en s; Qm(débit massique) en kg/s

Unités:

ρ(masse volumique) en kg/m3; S(l’aire de la section) en m2;

v(vitesse moyenne d’écoulement du fluide) en m/s

b. b. Débit volumiqueDébit volumique

Le débit volumique Qv est le volume de fluide, par unité de temps, qui traverse une section droite. Unité : mètre cube par seconde (m3/s )

V

VQ Sv

t

V (volume) en m3; t(durée) en s; S(l’aire de la section) en m2;

v(vitesse moyenne d’écoulement du fluide) en m/s

QV(débit volumique) en m3/s

Remarque:

Qm = ρ×QV

ρ étant la masse volumique du liquide, on constate:

On utilise plus généralement le débit volumique que l'on notera, sauf ambiguïté Q

• Exemple :

• Dans un tube de diamètre intérieur d = 12,7 mm s'écoule, à la vitesse moyenne de 1,2 m/s, del'huile de masse volumique 820 kg/m³.

Calculer:

• le débit volumique Qv

• et le débit massique Qm

Solution

L’aire:2

4

ds

m2

•Débit volumique Qv VQ S v

2 2 66(12,7) 10

126,7 104 4

ds

6 6 3126,7 10 1,2 152 10 /VQ S v m s

Débit massique Qm

VQ S v

6 1820 152 10 1,25 10 /mQ S v kg s

c. Équation de conservation des débits

En admettant que le débit est le même dans toutes les portions du circuit (conservation de la matière), on obtient l'équation suivante, appelée équation de continuité :

v1 S1 = v2 S2

Remarque.

Dans un écoulement, vitesse et section sont des grandeurs inversement proportionnelles.

Exercice:

1. Quelle doit être la section en (1) pour que la vitesse de l'eau en sortie soit de 140 m/s ?

2. Quelle est la vitesse de l'eau dans le tuyau (2 ), sachant que sa section a un diamètre de

1,2 cm ?

Solution

Q = 8,4 L/min = 1410-6 m3/s

VQ S v

67 214 10

10140

QS m

v

1. Section en (1)

•Aire de la section (2)

2 2 46 2

2

1,2 1036 10

4 4

dS m

2.

•Vitesse en (2)

6

6

14 100,4 /

36 10

Qv m s

S

d. Puissance hydraulique

La puissance transmise par un fluide hydraulique est appelée "puissance hydraulique".

1. Cas d’un vérin hydraulique

F : force exercée par la tige du vérinv : vitesse en sortie de tigeS : section du pistonQv : débit reçup : pression dans la chambre du vérin.

La puissance utile d'un vérin est donnée par la relation : Pu = F × v

Si on considère les pertes négligeables : Pu = Pa

Or F = p×S; v =Qv

S; p en pascal; Qv en m3/s;

Pa en WattDonc

Pa = F v = P×S×Qv

S= p×Qv

2. Cas général

Un fluide hydraulique de débit Qv et de pression p transporte

une puissance hydraulique P, telle que:

P = p×Qv p en pascalsQv en m3/s et P est en Watt

p en barQv en L/min et P est en kiloWatt

Ou encore

P =p×Qv

600

Exemple

Un vérin de rendement 80 %, reçoit un débit de 36 L/min sous une pression de 80 bars.Calculez la puissance utile du vérin.

Réponse

• Puissance absorbée: P =p×Qv

600

P =80×36

600= 4,8 kW

• Puissance utile: Pu = 4,8×0,80 = 3,84 kW

4. Équation de Bernoulli1. Cas général

Soit un fluide parfait, incompressible, s'écoulant dans une conduite non constante (S1 < S2 ).Considérons une portion de ce fluide de masse volumique et de volume V.

L’équation de Bernoulli traduit la variation de la vitesse v,

de la pression p et de l’altitude z entre les positions (1) et (2):

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

v p gz v p gz

s’exprime en kg·m-3; v en m ·s-1; p en Pa et z en m

2. Cas d’un écoulement horizontal: Effet Venturi

Soit un écoulement permanent dans une conduite horizontaleprésentant un étranglement.

L’équation de Bernoulli entre l’état (1) et l’état (2) s’écrit:

2 21 1 2 2

1 12 2

v p v p

z1 = z 2

Comme S1 > S 2 , v2 > v 1 et par conséquent p2 < p 1

La pression d’un fluide diminue lorsque la vitesse de son écoulement

augmente.

Applications:

Pistolet à peinture; vaporisateur; aile d’avion…

5. Viscosité d’un fluide

Dans la réalité, les fluides parfaits qui s’écoulent sans frottementn’existent pas.

L’écoulement d’un fluide réel fait apparaître des frottements des molécules entre elles et avec les parois de la conduite.

•La viscosité dynamique d’un fluide réel caractérise son aptitude à s’écouler . On la note:

( )éta ; elle s’exprime en pascal seconde(Pa·s)

•La viscosité cinématique est donnée par la formule suivante:

( )nu

(m2/s)

(Pa·s)

(kg/m3)

( ) cos

( ) cos

( )

nu vis itécinématique

éta vis itédynamique

rho massevolumique

Autres unités plus pratiques:

•Le stokes (St): 1 m2/s = 104 St

•Le centistokes (cSt): 1 cSt = 10-2 St

Fluide Température(°C) Viscosité dynamique(Pa·s)

0 1,79×10-3

eau 20 1,00×10-3

100 0,28×10-3

0 12

glycérine 20 1

20 106 à 103

bitumes de pétrole 50 103 à 101

La viscosité des liquides diminue si la température augmente.

6. Les différents régimes d’écoulement:

On distinguent deux régimes: écoulement laminaire et écoulement Turbulent.

Les régimes d’écoulement sont déterminer à l’aide d’un nombre appeléLe nombre de Reynolds et noté Re

:

Re :

: cos

vvD

D diamètre

vis ité

(sans unité)

Vitesse d’écoulement en m/s

(mètre)

cinématique en m2/s

7. Les pertes de charge:

La viscosité du fluide et la longueur de la conduite engendrent des pertes de pression appelées aussi pertes de charge

Les pertes de charges linéiques, notées p, sont exprimées en pascal(Pa):

2·· ·

2L v

p KD

K: coefficient de pertes de charge(sans unité)

L: longueur de la conduite(en m)

D: diamètre de la conduite(en m)

: masse volumique du fluide(en kg/m3)

v : vitesse du fluide(en m/s)

Pour un écoulement laminaire:

64

e

KR

Pour un écoulement turbulent:

4

0,316

e

KR

Remarque :

Il existe d’autres pertes de charge liées à des coudes, des rétrécissements, des vannes…

Dans la pratique, des tableaux ou des abaques permettent de calculer les pertes de charge en mètres de longueur de conduite.

Énergie hydraulique

Étude d’un système composé d’une pompe hydraulique entraînée par un moteur alimentant un vérin

M

vérin

moteur

pompe

1. Moteur

L’arbre du moteur est soumis à un couple de forces de moment M

·M F d

M en N·m

F en N

d en m

Puissance utile du couple moteur

( )

( ) 2

u moteur

u moteur

P

P nM n

M

en watt(W)

fréquence de rotation en tr/s

en N·m

Rendement du moteur

( )

( )

u moteurmoteur

a moteur

P

P (nombre sans unité)

2. La pompe

Caractéristiques:

- débit Q en m3/s

- fréquence de rotation n en tr/s

- la cylindrée C: volume du fluide refoulé à chaque tour de pompe

QC

n (C est en m3/tr)

Puissance hydraulique d’une pompe

( ) ·u pompeP p Q

Pu: puissance en watt

p: pression en pascals(Pa)

Q: débit en m3/s

Rendement d’une pompe

( )( )

( )

u pompepompe

a pompe

P

P P a(pompe) = P u(moteur)

3. Vérin

Le fluide exerce une force pressante F sur le piston du vérinprovoquant son déplacement d’une distance d(sa course),à la vitesse constante v pendant une durée t;

( )

··u vérin

F dP F v

t

Dans ce cas la puissance est donnée par:

Pu: puissance en watt

F: force exercée en N

d: distance(course) en m

v: vitesse en m/s

t: durée en secondes(s)

Rendement d’un vérin

( )

( )

u vérinvérin

a vérin

P

P

P a(vérin) = P u(pompe)

4. Rendement d’une installation hydraulique

Puissance utile mécanique fournie par le vérin

Puissance électrique absorbée par le moteur

( )

( )

u vérin

a moteur

P

P

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

· ·u moteur u pompe u vérin

a moteur a pompe a vérin

P P P

P P P

M P V

Pa(moteur) Pu(moteur)

Pa(pompe)

Pu(pompe)

Pa(Vérin)

Pu(Vérin)

Pp(vérin)Pp(pompe)Pp(moteur)

· ·moteur pompe vérin