Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #4: Conception dun système de commande (2ième...

Introduction à l’automatisation

-ELE3202-

Cours #4: Conception d’un système de commande (2ième partie)

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Cours # 4

Exercices: Diagrammes fonctionnels par Mason Bref rappel du cours #3:

Réponse en fréquence Analyse de la réponse en régime transitoire & permanent (1ère

partie)

Conception de boucles de commande (suite du dernier cours): Analyse de la réponse en régime transitoire & permanent (2e partie)

Présentation d’une application des systèmes de commande au

cas du cyclisme sur route (un de vos intérêts).

Exercices (I)

3Jean-Philippe Roberge - Janvier

Exercices (III)

Bref rappel du cours #3

Réponse en fréquence (I)Le concept de la réponse en

fréquence

Important: En régime permanent, un système linéaire auquel on applique une entrée de type sinusoïdale génère aussi, à sa sortie, un signal sinusoïdal qui oscille à la même fréquence ω.

En effet, considérons un système T(s) stable auquel on applique une entrée sinusoïdale:

La sortie du système est donc:

cos sin

T stable, i.e.: p >0in

sr t a t t R s

2 2 2 21

... nn

N s kks As BY s T s R s

s s p s p ss p

Réponse en fréquence (II)Le concept de la réponse en

fréquence

On s’intéresse à la réponse temporelle du système, donc, en prenant les transformées inverses:

On réalise déjà qu’en régime permanent, le système est oscillant:

Il peut alors être démontré (nous allons en faire la preuve dans les prochains transparents) que lorsque t→∞, le système est oscillant et:

Donc, la sortie du système oscille en effet à la même fréquence ω, mais à une amplitude et une phase généralement différentes de celles de l’entrée.Jean-Philippe Roberge - Janvier

2 2 2 21

... nn

N s kks As BY s T s R s

s s p s p ss p

1 11 2 2

0 lorsque

... np tp tn

As By t k e k e

1. . 2 2

lim limR P t t

As BY t y t

. . cosR PY t M t

>0 si le système est stableip

Réponse en fréquence (III)Le concept de la réponse en

fréquence

Prouvons maintenant que:

Par décomposition en fractions partielles:

Identifions maintenant les éléments K1 et K2:

Donc, on peut ré-écrire:

1. . 2 2

lim lim cosR P t t

As BY t y t M t

1 22 2

expansion en frac. part. de K Ks s

Y s T s T s T ss s j s j s j s j

i Ti T

jj j i Ti T

M MsK T s j T j M e M e e

1 1. . 2 2

2 2i T i Tj ji T i T

M M M Me eAs BY t

s s j s j

Réponse en fréquence (IV)Le concept de la réponse en

fréquence

Ce qui ne fut pas démontré au dernier cours et qui est assez trivial:

On utilise la table standard de transformés de Laplace ainsi que l’identité d’Euler et on obtient:

2 22 2

cos sin2

i T i T

i T i T i T i T

j ji T i Tj jj t j ti T i T

j t j t j t j ti ti T i T

M M M Me e M M M MY t e e e es j s j

M MM M M Me e e e

cos sin Or: sin sin et cos cos

cos sin cos sin 2 cos cos2 2

i T i Ti T

i T i T

M M M Mj j M M

cos sin Identité d'Eulerjte t j t

Rappel du cours #3 (V)Réponse en fréquence

Donc, au cours précédent (voir transparents du cours #3), nous avions démontré, à l’aide de l’identité d’Euler, que:

On parvient à la conclusion suivante: La réponse en fréquence d’un système est entièrement déterminée par:

En effet, puisque:

la réponse en régime permanent à une entrée sinusoïdale est alors sinusoïdale avec la même fréquence, avec une amplitude |T(jw)| fois celle de l’entrée, et avec un déphasage de T(jw) par rapport à l’entrée.

2 2i T i Tj ji T i T

M M M Me eY t

s j s j

. . cosR P i T i TY t M M t

T j T s

et T TM T j T j

2 2 1Où: tanT

XT j R X

Rappel du cours #3 (VI)Réponse en fréquence

Vu que la réponse en régime permanent est entièrement déterminée par la quantité complexe T(jw), on appelle T(jw) la réponse fréquentielle du système. La réponse fréquentielle est souvent représentée graphiquement sous forme de diagramme de Bode. Celui-ci comprend deux graphiques: Un graphique de |T(jw)| où |T(jw)| est en décibel (20 log10 |

T(jw)|) ; et Un graphique de T(jw) en degrés.

L’abscisse est à l’échelle logarithmique pour ces deux graphiques.

Rappel du cours #3 (VII)Réponse en fréquence

Rappel du cours #3 (VIII)Réponse en fréquence

Rappel du cours #3 (IX)Réponse en fréquence

Considérons un système de premier ordre:

La fréquence 1/τ est la fréquence de coupure et le système est atténué de 3 décibels à cette fréquence. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -20db/décade.

Le déphasage passe de 0 à -90 degrés, en passant par -45 degré à la fréquence de coupure.

Vous pouvez vous servir de tf() et ltiview dans matlab pour visionner directement la réponse en fréquence d’un système!

Rappel du cours #3 (X)Réponse en fréquence

Considérons un système du deuxième ordre:

Que l’on peut ré-écrire:

G ss s

G ss s s s

Rappel du cours #3 (XI)Réponse en fréquence

Pour il y a une fréquence de résonance (|G(jw)| > 1) :

et la valeur de |G(jw)| est donnée par:

Ainsi, pour de petites valeurs de < 0.5, on peut utiliser l’approximation :

Pour = 0.707, la fréquence wn est la fréquence de coupure avec une

atténuation de 3 décibels. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -40db/décade. Le déphasage passe de

0 à -180 degrés, en passant à -90 degré à la fréquence wn.

21 2r n

2 1G j

1 0.7072

Rappel du cours #3 (XII)Réponse en fréquence

Rappel du cours #3 (XIII)Réponse en fréquence

Rappel du cours #3 (XIV)Réponse en fréquence -

Exemple Soit l’exemple suivant (enregistreur) tiré du site du

Colorado State University:

Les équations sont les mêmes que celles d’un système masse-ressort avec frottement:

Dans le domaine de Laplace (C.I. nulles):

La fonction de transfert est donc:

mx t bx t kx t f t

2ms X s bsX s kX s F s

11X s mG sb kF s ms bs k s sm m

Rappel du cours #3 (XV)Réponse en fréquence -

Exemple

Aussi:

Vous faites à ce type de système et vous ne savez pas quelle est la masse, ni le coefficient de frottement et ni la constante de rappel du ressort. Vous pourriez penser à identifier le système à l’aide de la réponse

en fréquence...! Revisitons encore une fois ce principe, mais pour un système de

deuxième ordre...

bm kG s mb k m ks sm m

Rappel du cours #3 (XVI)Réponse en fréquence -

Exemple

Vous faites varier la force à l’entrée du système selon un profil en sinus et vous tracer le diagramme de bode:

21Frequency (rad/sec)

System: sysPeak gain (dB): 12.1At frequency (rad/sec): 0.492

Rappel du cours #3 (XVII)Réponse en fréquence -

Exemple À partir du diagramme de Bode, vous savez que vous avez

probablement affaire à un système du deuxième ordre et que:

Aussi:

0.492 rad/sec et

20 log 12.1 db

12.120

20 log 12.1 db

1 110 4.0272 0.1242

2 2 4.0272

1 2 0.492

0.4920.4998 0.500 0.25

1 2 0.1242

Rappel du cours #3 (XVIII)Réponse en fréquence -

Exemple

On peut donc écrire la fonction de transfert du système à l’aide de la réponse fréquentielle, en utilisant la forme standard des systèmes du deuxième ordre:

Vous venez carrément d’obtenir la masse, le coefficient de frottement et la constante de rappel du ressort et ce simplement en faisant varier la force à l’entrée du système selon un sinus et en observant la sortie!!!Jean-Philippe Roberge - Janvier

201123

210.1242 , 0.25

2 4.0272 n

2 2 2 2

2 0.124 0.25

1 0.25 , 0.124 , 0.25

mG sb ks s s s s sm m

b km m m

4 0.5 k=1m kg b

Rappel du cours #3 (XIX)Réponse en fréquence

La performance d’un système de commande est décrite en termes de plusieurs types de critères: 1) La stabilité: Les pôles sont-ils tous à partie réelle négative (demi-plan

gauche)? 2) Les spécifications de la réponse temporelle en régime transitoire:

P: dépassement (en %), en anglais : overshoot

Tp: Temps de dépassement

Ts: Temps de réponse à 2% (ou 5%)

Kp: Constante d’erreur de position (vis-à-vis l’échelon)

Kv: Constante d’erreur de vitesse (vis-à-vis rampe)

3) Les spécifications de la réponse fréquentielle: BW (Band Width): Bande passante

Mm: Gain à la résonance

4) L’atténuation des perturbations

Rappel du cours #3 (XX)Réponse en fréquence

Rappel du cours #3 (XXI)Réponse en fréquence

Rappel du cours #3 (XXII)Réponse en fréquence

Rappel du cours #3 (XXIII)Réponse en fréquence

Rappel du cours #3 (XXIV)Réponse en fréquence

Cours #4

Conception de boucles de commande (I)

Conception de boucles de commande (II)

Conception de boucles de commande (III)

La performance d’un système de commande est décrite en termes de plusieurs types de critères: 1) La stabilité: Les pôles sont-ils tous à partie réelle négative (demi-plan

gauche)? 2) Les spécifications de la réponse temporelle en régime transitoire:

P: dépassement (en %), en anglais : overshoot

Tp: Temps de dépassement

Ts: Temps de réponse à 2% (ou 5%)

Kp: Constante d’erreur de position (vis-à-vis l’échelon)

Kv: Constante d’erreur de vitesse (vis-à-vis rampe)

3) Les spécifications de la réponse fréquentielle: BW (Band Width): Bande passante

Mm: Gain à la résonance

4) L’atténuation des perturbations

Conception de boucles de commande (IV)

Conception de boucles de commande (V)

Conception de boucles de commande (VI)

Conception de boucles de commande (VII)

Conception de boucles de commande (VIII)

Conception de boucles de commande (IX)

Conception de boucles de commande (XVI)

Conception de boucles de commande (XVII)

Conception de boucles de commande (XVIII)

Conception de boucles de commande (X)

Conception de boucles de commande (XI)

Conception de boucles de commande (XII)

Conception de boucles de commande (XIII)

Conception de boucles de commande (XIV)

Conception de boucles de commande (XV)

Conception de boucles de commande (XVI)

Conception de boucles de commande (XXVI)

Conception de boucles de commande (XXVII)

En ce qui a trait à l’erreur de suivi de la rampe:

Conception de boucles de commande (XXVIII)

Conception de boucles de commande (XVII)

Conception de boucles de commande (XVIII)

Conception de boucles de commande (XIX)

Conception de boucles de commande (XX)

Présentation d’une application des systèmes de commande:

Le cas du cyclisme sur route

Références (I)

[1] Yasuhito Tanaka and Toshiyuki Murakami, Self Sustaining Bicycle Robot with steering controller, The 8th IEEE International Workshop on Advanced Motion Control, 2004.

[2] Ko Iuchi, Hiroshi Niki and Toshiyuki Murakami, Attitude Control of Bicycle Motion by Steering Angle and Variable COG Control, 31st Conference on Industrial Electronics, 2005.

[3] Ko Iuchi and Toshiyuki Murakami, An Approach to fusion control of stabilization control and human input in Electric Bicycle, IEEE 32nd Conference on Industrial Electronics, 2006.

[4] Limebeer, D.J.N., Sharp, R.S., Bicyles, Motorcycles and Models, IEEE Control Systems Magazine, 2006.

[5] Yasuhito Tanaka and Toshiyuki Murakami, A Study on Straight-Line Tracking and Posture Control in Electric Bicycle, IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009.

[6] D. Higashi, T. Imai, A. Ueno, and O. Miyashita, A Wearable Capacitive Heart-Rate Monitor for Controlling Electrically Assisted Bicycle, Electrical Machines and Systems, 2009.

Références (II)

[7] Lychek Keo and Masaki Yamakita, Controller Design of an Autonomous Bicycle with Both Steering and Balancer Controls, 18th IEEE International Conference on Control Applications, 2009.

[8] Lei Guo, Qizheng Liao, Shimin Wei, Yufeng Zhuang, Design of Linear Quadratic Optimal Controller for Bicycle Robot, Proceedings of the IEEE International Conference on Automation and Logistics, 2009.

[9] Fu-Kuang Yeh, Jian-Ji Huang, Chia-Wei Huang, Adaptive-Sliding Mode Semi-Active Bicycle Suspension Fork, SICE Annual Conference, 2010.

[10] Vito Cerone, Davide Andreo, Mats Larsson, and Diego Regruto, Stabilization of a Riderless Bicycle: A Linear-Parameter-Varying Approach, Control Systems Magazine, Vol. 30, Issue 5, 2010

Exemple d’application – Cyclisme sur route (I)

Diagramme fonctionnel du cyclisme

Lorsque vous conduisez une bicyclette, vous faites partie d’une boucle de contrôle:

Ceci est l’application la plus « directe » et la plus simple de la théorie du contrôle. La question que nous pouvons alors se poser est la suivante: Existe-t-il des contextes où la contribution de la théorie du contrôle pour le cyclisme est plus significative?

Conducteur: Cerveau, bras, jambes, etc...

Trajectoire désirée: Position, vitesse &

accélération

Trajectoire réelle

Bicyclette:Guidon, pédales,

dynamique de la bicyclette

Conducteur:Vision

Perturbations: Vent, nids-de-poule,

pentes, etc...

Exemple d’application – Cyclisme sur route (II)

La réponse est oui. Une bicyclette nécessite l’action humaine pour garder l’équilibre, par contre, des chercheurs ont déjà conçu des boucles de contrôle pour stabiliser non seulement la pose d’une bicyclette sans conducteur, mais aussi l’erreur de suivi de trajectoire.

α1, α2 : angles de glissement, φ: Angle de braquage. L’angle de cambrage dépend de l’angle de braquage.

Tiré de [5]

Exemple d’application – Cyclisme sur route (IV)

ξ: Angle de direction, v: vitesse de la bicyclette

Tiré de [5]

Si l'angle de direction ( ) est petit:

Exemple d’application – Cyclisme sur route (V)

Contrôle de la posture

Puisque l’angle de cambrage θ dépend de l’angle de braquage φ, par conséquent, l’angle de cambrage désiré θd est déterminé par l’angle de braquage désiré φd. Ainsi, avec un contrôleur de type PD (Proportionnel-Dérivé), on peut choisir la commande telle que:

Ainsi, dans le domaine de Laplace la fonction de transfert de l’angle de cambrage devient alors:

Cette équation peut se ré-écrire ainsi:

1 2d dK K

12 2 2

où: et d

BK Mgh MhvA B

s BK s A BK I Mh L I Mh

Exemple d’application – Cyclisme sur route (VI)

Notez qu’à partir de cette dernière équation, les gains permettent de déterminer la fréquence naturelle ainsi que le coefficient d’amortissement, en effet:

On peut aussi choisir une commande pour l’angle de braquage, telle que:

On peux démontrer que la fonction de transfert devient alors:

K KB B

12 2 2

BK AG s

s BK s A BK s s

ref d v d p dK K

2 22 1

s K s K BK

s K s K s BK s A BK

Exemple d’application – Cyclisme sur route (VII)

On peut choisir les gains de sortent à ce que la fonction de transfert ait tous ses pôles dans le demi-plan gauche du plan complexe.

1 2d dK K

ref d v d p dK K

Tiré de [5]

Exemple d’application – Cyclisme sur route (VIII)

1ère solution: Contrôle de la vitesse latérale

Le contrôleur de posture que l’on vient de développer permet de stabiliser la posture de la bicyclette sans considérer la trajectoire.

Le fait de stabiliser la posture peut causer des oscillations et même de l’instabilité au niveau du suivi de trajectoire.

Pour réaliser la stabilité au niveau du suivi de trajectoire, la première des solutions proposée par [Yasuhito Tanaka et al.] est de contrôler la vitesse latérale de la bicyclette:

Tiré de [5]

Exemple d’application – Cyclisme sur route (IX)

2ième solution: Contrôle du braquage

Une deuxième solution est de déterminer directement l’angle de cambrage désiré en contrôlant le braquage:

Où: 1

(Courbure)R

Tiré de [5]

Exemple d’application – Cyclisme sur route (X)

Résultats issus de simulations et d’essais pratiques

Avant de montrer les résultats, présentons les paramètres:

Tiré de [5]

Exemple d’application – Cyclisme sur route (XI)

Tirés de [5]

Exemple d’application – Cyclisme sur route (XII)

Tirés de [5]

Exemple d’application – Cyclisme sur route (XIII)

Tirés de [5]

Exemple d’application – Cyclisme sur route (XIII)

http://www.jproberge.net/

--> Étudiants du cours ELE3203

--> Robot Bicyclette

--> Robot Bicyclette avec conducteur

Exemple d’application – Cyclisme sur route (XIV)

Autre exemple d’application tiré des travaux de [D. Higashi et al.]: Contrôle de l’assistance électrique d’une bicyclette en fonction du

rythme cardiaque du conducteur:

Tiré de [6]

Exemple d’application – Cyclisme sur route (XV)

Principe de fonctionnement:

Tirés de [6]

Exemple d’application – Cyclisme sur route (XVI)

Principe de fonctionnement (suite):

Tiré de [6]

Diagramme fonctionnel:

Exemple d’application – Cyclisme sur route (XVII)

ContrôleurRythme

cardiaque désiré

Ex: 130-140 battements par minute pour le

travail en endurance

Rythme cardiaque

Assistance électrique

de la bicyclette

« Heart rate Detector »

Perturbations: Vent, nids-de-poule,

pentes, etc...

Dynamique de la

bicyclette & physionomie du cycliste

Aide à la propulsion

Exemple d’application – Cyclisme sur route (XVIII)

Autre application: suspension active à l’aide d’une caméra embarquée à l’avant de la bicyclette.

Toutes ces innovations pourraient être intégrées indépendamment sur la même bicyclette.

Prochain cours

Conception de contrôleurs

Références

Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop

Control Systems Engineering – Norman S. Nise

Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

Linear System Theory – Wilson J. Rugh

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Philippe Barbot, Backstage, Éditions Philippe Rey.

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