Analyse des circuits électriques -GPA220- Cours #12: Régime permanent sinusoïdal et révision...

Analyse des circuits électriques

-GPA220-

Cours #12: Régime permanent sinusoïdal et révisionEnseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Cours #12

Retour sur le cours #11: Système de deuxième ordre (suite et fin):

Circuit RLC en parallèle: réponse à l’échelon (cas 2) Circuit RLC en série: réponse naturelle (cas 3) Circuit RLC en série: réponse à l’échelon (cas 4)

Théorie du cours #12: Sources sinusoïdales Révision des nombres complexes Les phaseurs Impédance

2 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014


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Retour sur le cours #11


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Retour sur le cours #11 (1)

Nous avions étudié la dynamique de la réponse à l’échelon d’un circuit RLC parallèle:


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Retour sur le cours #11 (2)

Nous avions ensuite étudié la réponse naturelle d’un circuit RLC série:

En résumé, la forme des équations est la même que dans le cas des circuits RLC parallèle: 1 2

1 2s t s tv t Ae A e

2 21,2 0

0

0

(Racines)

(Coefficient d'amortissement) ***2

1 (Fréquence naturelle)

= (Taux d'amortissement)

s

R

L

LC

Sauf que:


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Cours #12

Sources sinusoïdales (1)

Une source sinusoïdale est une source (de tension ou de courant) dont la

polarité change périodiquement.


Par exemple:

https://6002x.mitx.mit.edu/static/circuits/120V60Hz.gif Graphique d’un voltage alternatif (120 Volts) oscillant à 60Hz. C‘est la forme d’onde délivrée par Hydro-Québec

https://6002x.mitx.mit.edu/static/circuits/120V60Hz.gif

Sources sinusoïdales (2)

La valeur d’une source de tension ou d’une source de courant sinusoïdale s’exprime à l’aide de la

fonction trigonométrique sinus ou encore cosinus.

Rappel:


cos sin 2

Dans le cadre de ce cours, nous choisirons la fonction cosinus.

cosmV t V t Source de tension:

cosmI t I t Source de courant:

Sources sinusoïdales (3)Valeur RMS (Root Mean Square)

Fréquemment, lorsque l’on travaille avec des sources sinusoïdales, une quantité que l’on étudie est la valeur rms (root

mean square).

Celle-ci correspond à la moyenne de la valeur absolue de la fonction. Elle est donc définie comme étant la racine carrée de la valeur moyenne du carré de

la fonction:


0

0

2 21cos

t T

RMS m

t

V V t dtT

Heureusement ceci se simplifie:

2m

RMS

VV


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Révision des nombres complexes (1)

Re-voyons un peu la définition des nombres complexes… Un nombre complexe est un nombre qui possède une partie réelle et une partie imaginaire:

Partie réelle Partie imaginaire

c a bj Rappel: 1j

On peut écrire un nombre complexe sous différentes formes:

Rappel - identité d'Euler:

e cos sinj j


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Révision des nombres complexes (2)

Quelques notes sur l’algèbre des nombres complexes:

Les phaseurs (1)

Un phaseur est un nombre complexe représenté à l’aide de la norme et de

la phase d’une quantité électrique.


On peut représenter une tension ou un courant sinusoïdal par un

phaseur ! Le phaseur est utile pour analyser des circuits électriques altenatifs dont

toutes les composantes oscillent à la même fréquence.

cosEt:

cos

m

m

V t V t

I t I t

Donc:

Les phaseurs (2)

Analyse de circuit à l’aide des phaseurs (on parle aussi d’analyse dans le

domaine fréquentiel):

Les lois de Kirchhoff restent les mêmes, c’est-à-dire:

La somme des phaseurs de courant entrant dans un noeud = nulle

La somme des phaseurs de tension le long d’une boucle = nulle


Ainsi, toutes les méthodes d’analyse que nous avons vues avec les circuits

DC (sources à valeur constante) s’appliquent aussi aux phaseurs!


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Maintenant que nous avons fait une révision des nombres

complexes et que nous avons introduit le concept du phaseur,

étudions le comportement des composantes de base que nous

avons vus jusqu’à maintenant (résistance, inductance,

capacitance) dans le domaine fréquentiel…

Les phaseurs (3)Résistance dans le domaine fréquentiel


cos

cos

m

m

V t V t

I t I t

Les phaseurs (4)Inductance dans le domaine fréquentiel


90

En effet, puisque:

cos

sin

cos 90

À partir de cela, la représentation

en phaseur du voltage:

note: 90

m

m

m

j

m

jm

m

I t I t

d i tv L L I t

dtL I t

LI e

j LI e

j L LI

V

I V

Les phaseurs (5)Capacitance dans le domaine fréquentiel


En effet, puisque:

sin

Donc:

1

: 90

m

m

d v ti C C V t

dt

j Cj C

note I

I V V I

V

Impédance et réactance (1)

L’impédance est la généralisation du concept de résistance (circuits résistifs) aux circuits comportant des inductances et/ou des capacitances. Celle-ci s’exprime en Ohm. C’est le ratio du voltage sur le courant à un certain temp t.


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L’inductance se note Z et elle s’exprime:

V Z I La partie imaginaire de l’impédance se nomme réactance.


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Circuit RLC:


20



21



22



23

Révision


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Réponse naturelle:

Circuit RL Circuit RC

Réponse à l’échelon:

Circuit RL

Circuits d’ordre 1:

Circuit RC


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Circuits d’ordre 2:

2 21,2 0

0

0

(Racines)

(Coefficient d'amortissement) ***2

1 (Fréquence naturelle)


s

R

L

LC

2 21,2 0

0

0

(Racines)

1 (Coefficient d'amortissement)

21

(Fréquence naturelle)


s

RC

LC

parallèle série

Références

[1] Présentations PowerPoint du cours GPA220, Vincent Duchaine, Hiver 2011

[2] NILSSON, J. W. et S.A. RIEDEL. Introductory Circuits for Electrical and Computer Engineering, Prentice Hall, 2002.

[3] Wildi, Théodore. Électrotechnique, Les presses de l’Université Laval, 3ième édition, 2001

[4] Floyd, Thomas L. Fondements d’électrotechnique, Les éditions Reynald Goulet inc., 4ième édition, 1999


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