Post on 06-Jan-2016
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GénéralitésHydrostatique
Cours de Mécanique des fluides
Olivier LOUISNARD
• pas de forme propre• s’écoule si on lui applique une force• prend la forme du récipient
Limite solide / fluide parfois floue :
• dépend de la dynamique de la sollicitation (sable mouillé, polymères, pâtes)
• états semi-ordonnés (ou « indécis »)(verre et liquides vitreux, cristaux liquides, colloïdes)
• dépend de l’échelle de temps considérée (glacier)
• Les molécules interagissent (peu pour les gaz)• Gardent une certaine mobilité les unes par rapport aux autres.• Pas d’ordre comme dans un solide (ordre local pour les liquides)
Qu’est-ce qu’un fluide ?
Monophasiqueseau, air, huile, métaux fondus, ...
Multiphasiques• aérosols = L ou S dans V (brouillard, essence dans carburateur, fumée)• émulsions = L dans L (lait, vinaigrette, anisette, shampoing...)• suspensions = S dans L (pâtes, boues)• liquides à bulles = G dans L (sodas, surface de l’océan, distillation,
fluides de refroidissement, mousses)
« Complexes »• magma, plasmas, ferrofluides (propriétés magnétiques)• polymères, micelles, cristaux liquides (molécules 1D ou 2D...)• milieux granulaires (sable, poudres)
Quelques fluides
Ferrofluides
Lait Liquide à bulles Sang
Cristaux liquides
Quelques fluides complexes
On cherche à représenter ce que l’on voit par des variables et des
équations continues / à x,y,z.
On veut donc « gommer » les inhomogénéités microscopiques
=> homogénéisation
Si possible un modèle valable pour gaz ET liquides
• Atomes ou molécules + ou - libres les uns / aux autres• Liquide = fort encombrement / interactions forte• Gaz = faible encombrement / interactions quasi nulles
Microscopique : ce qu’on ne voit pas directement
• un fluide apparaît comme un milieu continu• il exerce/subit des forces sur/par notre environnement
Macroscopique : à notre échelle
Description macroscopique d’un fluide
Echelle macroscopique (km)
x
(x) = ? (en nbre de voitures / km)
x
Echelle microscopique (m)
dx petit du point de vue macro
Suffisamment petit : pas devariation de densité à cette échelle
L grand du point de vue micro
Suffisamment grand : doit contenirun nombre suffisant de voitures
Volume de moyennage
Homogénéisation
Echelle mésoscopique (50 m)
Echelle microscopique
Masse volumique (kg/m3) Champ de vitesses
et v grandeurs continues (et dérivables...) / à x, y, z
Pas toujours vrai .... (ondes de chocs, vides poussés)
Echelle macroscopique
Masse volumique (x,y,z) = ? (kg/m3)
Echelle mésoscopique
(x,y,z) mi
Vitesse v (x,y,z) = ?
Comment définir une densité et une vitesse v variant continument / x,y,z ?
(x,y,z)
Le fluide comme un milieu continu
Remarque : V peut être fixe ou mobile (par rapport à nous)
G(t) grandeur extensive contenue dans V (c.a.d. G augmente avec le nombre de molécules)
Masse de fluide dans V
Quantité de mouvement de V
Energie cinétique de V
Energie interne de V
grandeurs locales (définies en chaque point)
grandeurs globales (représentent tout le volume V)
donc
On définit : grandeur volumique
Milieu continu : grandeurs volumiques
(x,y,z,t) en kg/m3
A priori non uniforme dans l’espace
Varie avec la température (même pour un liquide) : dilatabilitéVarie avec la pression (peu pour un liquide) : compressibilité
Eau 1000 kg/m3
Mercure 13540 kg/m3
Air (20°C, 1 bar) 1.3 kg /m3
Masse de fluide dans V
Une approximation bien utile : = 0 constant par rapport à t et x, y, zConditions de validité : plus tard (amphi 4, poly chapitre 5)
le fluide incompressible
Masse volumique
• pression• frottement visqueux (seulement si fluide en mouvement)
Forces surfaciques ou « de contact » exercées sur chaque élément de surface dS
dS
• poids, • forces d’inertie (référentiel non-galiléen), • forces électriques, magnétiques …
Forces volumiques exercées sur chaque élément de volume dV
dV
Forces exercées sur un fluide
S
Fp1
Fp2
Fp est en fait la résultante de 2 forces Fp1 et Fp2
h
Liquide en équilibre mécanique
P =mg
• vers le haut•
donc proportionnelle à S
Equilibre :
• Fp1 et Fp2 orthogonales à S1, S2
• Fp1 et Fp2 vers l’intérieur de V
S2
S1
n1
n2
On écrit donc :
p1 et p2 pressions, positivesn1 et n2 normales sortantes
Une force Fp vers le hautcompense le poids
Forces de pression: approche intuitive
PRESSION = Echange de quantité de
mouvement avec les molécules
Système subissant la pression
n
dS
Fp= - p n dS
Pour un gaz, c’est simple…
Origine microscopique de la pression : gaz
Pression dans un gaz
Réalisé (par votre serviteur…) avec un petit logiciel « gadget »
Pour les liquides, pression aussi liée aux chocs …… mais plus compliqué
Forces attractives et répulsives
Origine microscopique de la pression : liquide
=> liquides peu compressibles : distance intermoléculaire ~constante
Attractive=> un liquide a une « cohésion »=> on peut « tirer dessus » sans le déchirer => pressions négatives=> il peut s’accrocher à / s’étaler sur des solides (capillarité, mouillage)
V
S
Expression générale : on considère un volume V fermé par une surface S
Sfermée
n dS = 0,Remarque importante : en vertu du théorème de la normale
S
dFpFp =
ndS
ndS
découpée en petits éléments de surface dS, de normale sortante n
Fp =
S
-pn dS
A retenir
dFp= -pn dS
Force de pression
S
Fp = - (p-p0) n dS on peut ajouter ou soustraire une constante arbitraire à p :
Poids :
V
P = g dVV
V
Fie+Fic = -(ae+ac) dV
Forces électriques et magnétiques :(pour info : plasmas, magma, ferrofluides)
Obtenues de la même façon.Responsables du champ magnétique terrestre (magnéto-hydrodynamique)
somme des poids élémentaires dm g = dVg de toutes les particules fluides dV
dV
dV gsomme des forces d’inertie élémentaires -dm (ae+ac) = -dV (ae+ac) de toutes les particules fluides dV
-dV (ae+ac)
Attention !a priori (x,y,z)
Forces volumiques
Forces d’inertie :(en référentiel non
galiléen)
(cf. rappel annexe poly)
Décrit un fluide immobile (dans un référentiel galiléen ou non)
Equilibre entre :
V
S dS
n
Forces volumiques
V
P = g dV
P
Forces de pression
Fp =
S
-p.n dS
Fp
S
-p.n dS +
V
g dV = 0 A retenir !!Fp+ P = 0
Hydrostatique : équation globale
Pour le montrer, on va réécrire l’équation de l’hydrostatique sous forme locale (= exprimée en tout point)
• Elle est donc toujours dirigée vers le hautC’est la poussée d’Archimède !
• La pression est donc plus grande en profondeur
Vn
dS
La résultante des forces de pressionFp =
S
-p.n dS
Fp
Variation spatiale de la pression
P
équilibre le poids P
S
-p.n dS +
V
g dV = 0
g dV = 0, vrai quel que soit V-grad p dV +
V
Donc :
V
grad p = g A retenirL’intégrande doit être nul, donc
Or (formule de Green):
S
-p.n dS = -grad p dV
V
Hydrostatique : équation locale
grad p = g
• Peut être intégrée pour trouver le champ de pression p(x,y,z) dans un fluide au repos
• Condition aux limites : p = patm sur la surface de contact avec l’air
• Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont perpendiculaires à g(car grad p = vecteur perpendiculaire à p = cte)
• La pression augmente quand on se dirige dans le sens de g(c’est le problème du plongeur)
• La pression diminue quand on se dirige en sens inverse de g(mal de l’altitude, pressurisation des cabines d’avion)
Hydrostatique : conséquences
Le fluide est immobile par rapport à un référentiel R’ qui accélère / R
• une cuve ou un verre dans un véhicule qui freine/accélère (ae horizontal)• miroirs liquides (cf. TD), centrifugeuses (ae radial)• expériences en gravité zéro (ae = g)
Fp+ P + Fie= 0
• Il faut ajouter la force d’inertie d’entraînement • La force de Coriolis est nulle en statique car le fluide est immobile
S
-p.n dS + g - ae)dV = 0
V
Tout revient à remplacer g par la « pesanteur apparente » g - ae
V
Fieae dV Fic
Hydrostatique en référentiel non galiléen
Sous forme locale : grad p = (g -ae)
Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont maintenant perpendiculaires à g - ae
S
-p.n dS + (g -ae) dV = 0
V
Sous forme globale :
Les équations sont les mêmes en remplaçant g par g - ae
Hydrostatique en référentiel non galiléen
On peut simuler l’apesanteur en prenant ae = g
Fluideimmobile
VSCorpsétranger(pas en équilibre)
• Rappel : Ce n’est rien d’autre que la résultante des forces de pression.• On cherche en général la force exercée sur un corps étranger au fluide
(solide ou bulle dans liquide, ballon d’hélium dans l’air...)
Fp= ?Fluideimmobile
VS
Fluideen
équilibre
On remplace par du fluide
L’équilibre dans le deuxième cas montre que Fp= fluideVg
fluideVg
Fp
Le champ de pression est le même dans les deux cas, donc Fp aussi.
Force d’Archimède
VSCorpsétranger
Fp= fluideVg
Pcorps= corpsVg
Deux cas possibles• corps fluide : il descend• corps fluide : il monte
Pcorps+ Fp = (corpsfluide)Vg ≠ Le corps n’est pas en équilibre !
Force sur un corps dans un fluide statique
V
Le corps est moins dense :fluide>corps
Iceberg
On peut généraliser le raisonnement à un objet partiellement immergé.
On retiendra : Fp= fluideVimmergé gDans ce cas l’équilibre est possible :
Vimmergé
Vimmergé < V
Pcorps+ Fp = 0 =>
V
Le corps est pourtant plus dense : corps >fluide
Bateau en alu
Vimmergé
mais V < Vimmergé
corpsVfluideVimmergé
Et pourtant, il flotte...
On définit la densité d’un corps par :
d = corps/ eau si solide ou liquide
d = corps / air (20°C,1 atm) si gaz
Densité
Masse volumique :
Pression atmosphérique :
1 atm = 1,01325 bar = 101325 Pa = 760 torr = 14,70 psi
unité SI : kg / m3
unité SI : N / m2 = kg m-1 s-2 = Pa (Pascal)• 1 bar = 100 kPa• 1 torr = 1 mm Hg• 1 psi = 1 pound / square inch
Pression p :
Rappel sur les unités
V
S
A
dSn
M
ndS
M
Utile pour les problèmes de stabilité / à la rotation.
dFp= pn dS
S
MA(Fp) = AM dFp
AM
Moment total en A de Fp = somme des moments élémentaires en A des dFp
S
MA(Fp) = AM pn dSsoit :
Le second théorème de la normale permet de retrancher une constante à p :
S
MA(Fp) = AM (p-p0) n dS
Moment des forces de pression
Centre de poussée d’Archimède
En particulier, on peut définir le centre de poussée C (ou centre de carène)d’un volume V immergé totalement ou non.
C’est le point C tel que MC(Fp) = 0.
Simmergée
0 = CM pn dSsoit :
On montre que :
Le centre de carène C est le centre de gravité du volume immergé
• Intégration de l’équation de l’hydrostatique
- dans un liquide incompressible- dans l’atmosphère- dans en liquide en référentiel non galiléen
• Mesure de la densité avec un tube en U
Exercices d’application de l’hydrostatique