Post on 03-Oct-2020
1 BTS ATI – Primitives et Calcul intégral
Fiche n°9 : Intégrales et Calcul d’aire et de volume
Exercice n°1 : Valeur moyenne d’une fonction 𝒇
On considère un véhicule qui accélère durant 10 secondes après un arrêt. A l’instant 𝑡 (en seconde), 0 ≤ 𝑡 ≤ 10, la vitesse V du véhicule, exprimée en 𝑚. 𝑠!!, est donnée par 𝑉 𝑡 = !
!𝑡!
1. Quelle est la vitesse atteinte par le véhicule au bout de 10 secondes d’accélération ? 2. Quelle est la vitesse moyenne du véhicule durant les 10 premières secondes de son parcours ? 3. Vous donnerez vos résultats en 𝑚. 𝑠!! puis en 𝑘𝑚. ℎ!!
Exercice n°2 : Vitesse moyenne d’un mobile
On a représenté la vitesse V (en 𝑘𝑚. ℎ!!) d’un mobile en fonction du temps 𝑡 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑠 sur le graphique ci-‐dessous.
Sachant que, sur l’intervalle 0 ; 10 , la vitesse du mobile est donnée par 𝑉 𝑡 = !!𝑡!
et que l’accélération du mobile est la même sur l’intervalle 30 ; 40 , déterminer la vitesse moyenne du mobile durant les 100 secondes que dure le parcours.
Exercice n°3 : Valeur efficace
On considère un circuit électrique traversé par un courant périodique dont l’intensité 𝑖 en (Ampères) évolue en fonction du temps 𝑡 (en secondes) de la manière décrite par le graphique ci-‐dessous.
1. Quelle est la fréquence de l’intensité ? 2. Déterminer l’expression 𝑖(𝑡). 3. On note 𝐼! la valeur efficace de 𝑖.
a) Déterminer 𝐼!!. b) Donner la valeur exacte de 𝐼!, puis une valeur approchée au millième près.
2 BTS ATI – Primitives et Calcul intégral
Exercice n°4 : Volume d’une boule
Soit B une boule de rayon R et de centre Ω et Δ un axe verticale d’origine Ω. Retrouver la formule qui permet de calculer le volume de la boule. Exercice n°5 : Un fabricant de skis dont l’usine est située à proximité de Bourg-‐Saint-‐Maurice, souhaite marquer sa production d’un logo bleu, blanc et rouge. Un des dessinateurs de l’entreprise lui propose le logo ci-‐contre. Ce logo est obtenu à l’aide des courbes représentatives des fonctions 𝑓 et 𝑔 définies sur ℝ, par :
𝑓 𝑥 = −𝑥! + 4𝑥 et 𝑔 𝑥 = − !!𝑥! + 2𝑥
Ces deux courbes sont tracées dans un repère orthonormé 𝑂 ; 𝚤 ; 𝚥 d’unité 1 cm Les différentes parties du logo sont situées au-‐dessus de l’axe des abscisses, et sont délimitées par les courbes Cf et Cg. Déterminer en cm2, l’aire de la zone bleue, celle de la zone blanche et celle de la zone rouge du logo.
Exercice n°6 :
Un pont à une seule arche d’une longueur de 16 m, enjambe une route à double circulation. La figure ci-‐dessous donne une vue de l’une des deux façades de ce pont (une unité représente 1 m). La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5 m au-‐dessus de la route. La partie de l’axe des abscisses comprises entre −8 et 8 représente la chaussée sur laquelle sont délimitées les zones de circulation des piétons, des cyclistes et des véhicules motorisés.
3 BTS ATI – Primitives et Calcul intégral
Partie 1 : Etude de la fonction 𝒇 représentée par la courbe C
Soit la fonction𝑓 définie, pour tout réel 𝑥 de l’intervalle −8 ; 8 , par 𝑓 𝑥 = 𝑎 − !!,!!!!!!,!!
!, où 𝑎 désigne un
nombre entier positif. On note C sa courbe représentative donnée ci-‐dessus dans le repère (𝑂 ;𝐴 ;𝐵).
1. Déterminer graphiquement 𝑓(0). En déduire la valeur de 𝑎. 2. La courbe C semble présenter une symétrie. Laquelle ? Démontrer votre conjecture.
3. Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ −8 ; 8 , 𝑓! 𝑥 = !!"𝑒!!! 1 − 𝑒!,!! (𝑓! : fonction dérivée de 𝑓)
4. Calculer 𝑓′(0). Quelle remarque pouvez-‐vous faire sur la tangente T à C au point d’abscisse 0 ? 5. Etudier le signe de 𝑓′(𝑥), puis dresser le tableau de variation de la fonction 𝑓 sur −8 ; 8 . 6. Quelle doit être la hauteur maximale d’un véhicule motorisé pour que celui-‐ci puisse passer sous le pont en
tenant compte du fait que l’on doit laisser une hauteur de sécurité de 50 cm au-‐dessus du véhicule.
Partie 2 : Calcul d’aire
On veut peindre les deux façades de l’armature du pont à arche. On appelle A l’aire de la partie grisée sur la figure
donnée en début de problème.
1. Calculer la valeur exacte de l’intégrale 𝐼 = 𝑒!,!! + 𝑒!!,!! 𝑑𝑥!!!
2. Calculer l’aire (exprimée en m2) de la partie grisée. 3. En déduire l’aire de la surface totale à peindre. Vous donnerez votre résultat en m2 à 0,01 près. 4. La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 30 litres. Sachant que cette
peinture a une propriété de recouvrement de 0,3 m2 par litre, combien de bidons sont nécessaires pour recouvrir les deux façades de cette construction ?