Théorème du collage etcompression d'imagesMichael Barnsley a démontré en 1988le résultat suivant : toute figure du planpeut être approchée par l'attracteur d'unIFS. Ce résultat appelé théorème ducollage est à la base d'une méthodepermettant de stocker des imagesnumériques de façon compressée : lacompression fractale.

Transformation d'une citrouille en carrosse lors dela reconstruction d'une image codée par IFS.

Point fixe d'une contractionUne contraction transforme une figure duplan en une figure plus petite, de telle sorteque les distances entre les points de la figuresoient toutes réduites. Si on applique unecontraction sur une même figure plusieursfois de suite, le résultat obtenu se rapprocherapidement d'un point unique, fixe par latransformation. Ce point fixe apparaît commeun attracteur pour la contraction.

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Fascinante attraction des IFSIFS est un acronyme anglais signifiant systèmes de fonctions itérées. Il s'agitd'une méthode pratique pour générer des fractales, basée sur une théoriemathématique développée par John Hutchinson dans les années 1980.

Attracteur d'un IFSUn IFS est un ensemble de contractions que l'on

itère : on applique simultanément lestransformations à une figure, on réunit les objets

obtenus en une nouvelle figure sur laquelle on réitèrele procédé. Lorsque l'on répète ces itérations uncertain nombre de fois, les figures successives serapprochent d'un objet fixe par l'IFS, qui ne dépendpas de la figure de départ. Cet objet fixe, appelé

attracteur, est une fractale.

Références

M.F. Barnsley. FractalsEverywhere. Academic Press.

Les fractales – Art, nature etmodélisation. Tangente horssérie n° 18.

Les IFS permettent de produire des images rappelant desobjets naturels, comme une fougère. Celle­ci est obtenueaprès itérations d'un IFS à 3 contractions sur unecitrouille. Le résultat aurait été le même en partant d'uneautre figure !

La courbe de Koch, connuedepuis 1904, est l'attracteur d'un

IFS à 4 contractions.