Fascinante attraction des IFS - Centre national de la...
1
Théorème du collage et compression d'images Michael Barnsley a démontré en 1988 le résultat suivant : toute figure du plan peut être approchée par l'attracteur d'un IFS. Ce résultat appelé théorème du collage est à la base d'une méthode permettant de stocker des images numériques de façon compressée : la compression fractale. Transformation d'une citrouille en carrosse lors de la reconstruction d'une image codée par IFS. Point fixe d'une contraction Une contraction transforme une figure du plan en une figure plus petite, de telle sorte que les distances entre les points de la figure soient toutes réduites. Si on applique une contraction sur une même figure plusieurs fois de suite, le résultat obtenu se rapproche rapidement d'un point unique, fixe par la transformation. Ce point fixe apparaît comme un attracteur pour la contraction. Fascinante attraction des IFS IFS est un acronyme anglais signifiant systèmes de fonctions itérées. Il s'agit d'une méthode pratique pour générer des fractales, basée sur une théorie mathématique développée par John Hutchinson dans les années 1980. Attracteur d'un IFS Un IFS est un ensemble de contractions que l'on itère : on applique simultanément les transformations à une figure, on réunit les objets obtenus en une nouvelle figure sur laquelle on réitère le procédé. Lorsque l'on répète ces itérations un certain nombre de fois, les figures successives se rapprochent d'un objet fixe par l'IFS, qui ne dépend pas de la figure de départ. Cet objet fixe, appelé attracteur , est une fractale. Références M.F. Barnsley. Fractals Everywhere. Academic Press. Les fractales – Art, nature et modélisation. Tangente hors série n° 18. Les IFS permettent de produire des images rappelant des objets naturels, comme une fougère. Celleci est obtenue après itérations d'un IFS à 3 contractions sur une citrouille. Le résultat aurait été le même en partant d'une autre figure ! La courbe de Koch, connue depuis 1904, est l'attracteur d'un IFS à 4 contractions.
Transcript of Fascinante attraction des IFS - Centre national de la...
Théorème du collage etcompression d'imagesMichael Barnsley a démontré en 1988le résultat suivant : toute figure du planpeut être approchée par l'attracteur d'unIFS. Ce résultat appelé théorème ducollage est à la base d'une méthodepermettant de stocker des imagesnumériques de façon compressée : lacompression fractale.
Transformation d'une citrouille en carrosse lors dela reconstruction d'une image codée par IFS.
Point fixe d'une contractionUne contraction transforme une figure duplan en une figure plus petite, de telle sorteque les distances entre les points de la figuresoient toutes réduites. Si on applique unecontraction sur une même figure plusieursfois de suite, le résultat obtenu se rapprocherapidement d'un point unique, fixe par latransformation. Ce point fixe apparaît commeun attracteur pour la contraction.
contact : sorciersdesalem@univ- rouen. fr
Fascinante attraction des IFSIFS est un acronyme anglais signifiant systèmes de fonctions itérées. Il s'agitd'une méthode pratique pour générer des fractales, basée sur une théoriemathématique développée par John Hutchinson dans les années 1980.
Attracteur d'un IFSUn IFS est un ensemble de contractions que l'on
itère : on applique simultanément lestransformations à une figure, on réunit les objets
obtenus en une nouvelle figure sur laquelle on réitèrele procédé. Lorsque l'on répète ces itérations uncertain nombre de fois, les figures successives serapprochent d'un objet fixe par l'IFS, qui ne dépendpas de la figure de départ. Cet objet fixe, appelé
attracteur, est une fractale.
Références
M.F. Barnsley. FractalsEverywhere. Academic Press.
Les fractales – Art, nature etmodélisation. Tangente horssérie n° 18.
Les IFS permettent de produire des images rappelant desobjets naturels, comme une fougère. Celleci est obtenueaprès itérations d'un IFS à 3 contractions sur unecitrouille. Le résultat aurait été le même en partant d'uneautre figure !
La courbe de Koch, connuedepuis 1904, est l'attracteur d'un
IFS à 4 contractions.
