électronique analogique1

électronique analogique

transformation de Fourier signal périodiquesignal non périodique

systèmes linéaires

amplificationamplificateuramplificateur opérationnel

filtrage

oscillateurs

électronique analogique2

transformation de Fourier :

x(t) somme de signaux sinusoïdauxTF

si x(t) est périodique, sa TF est discrète :

si x(t) est non périodique, sa TF est continue :

1

nn )tnsin(b)tncos(a)t(x

de)(Xdfe)f(X)t(x tjft2j

électronique analogique3

transformation de Fourier d'un signal périodique :

T

00 dt)t(x

T1

a T

0n dt)tncos()t(x

T2

a T

0n dt)tnsin()t(x

T2

b

x(t)

t

T

M

)1p2(

M2b ; 0b

0a2

Ma

1p2p2

n

0

0

)t1p2sin()1p2(

M22M

)t(x

n

am

plit

ude

TF

électronique analogique4

transformation de Fourier d'un signal périodique :

-1

-0,5

0

0,5

1

tT

T/2

reconstruction de x(t) : la courbe rougeest la somme des 4 premières harmoniques

électronique analogique5

transformation de Fourier d'un signal non périodique :

dte)t(x)f(X ft2j

x(t)

t

T/2

M

-T/2

TF)fTsin(

fM

)f(X

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 f

X(f)tracé de X(f) pour M=1 etT=1, T=4 et T=0,4

électronique analogique6

transformation de Fourier

la TF est linéaire

dualité temps/fréquence

temps "brefs" fréquences élevéestemps "longs" fréquences faibles

enjeu : augmentation des débits de traitementde l'information fréquences élevées

électronique analogique7

électronique analogique

transformation de Fourier signal périodiquesignal non périodique

systèmes linéaires

amplificationamplificateuramplificateur opérationnel

filtrage

oscillateurs

électronique analogique8

i

)i(

i)i(

i dt)t(xc)t(xb)t(ax)t(y

systèmes linéaires

S.L.x(t) y(t)

la relation reliant y(t) à x(t) estune équation différentiellelinéaire à coefficients constants :

exemple : R

Cx(t) y(t)

i(t)dtdy

Ctior

tRitytx

)(

)()()(

)t(ydtdy

RC)t(x

électronique analogique9

systèmes linéaires

exemple : R

Cx(t) y(t)

i(t)

)t(ydtdy

RC)t(x

si x(t) est sinusoïdal : x(t)=Xsin(t),alors y(t) est aussi sinusoïdal : y(t)=AXsin(t+)

)tsin(AX)tcos(AXRC)tsin(X

)tsin(CR

)tcos(CR

RCCRA)tsin(

222222222

1

1

11

RCtgCR

A2221

1

électronique analogique10

systèmes linéaires

exemple : R

Cx(t) y(t)

i(t)

)t(ydtdy

RC)t(x

X

t2

x(t)

y(t) pour RC=0,1

y(t) pour RC=1

y(t) pour RC=10

électronique analogique11

systèmes linéaires

S.L.Aejt

tj

ii

iii Ae

)j(

c)j(ba)t(y

exemple : R

1/jCX()

II.

jC1

)(Y et

I.jC1

R)(X

jRC11

)(X)(Y

tj

tj

tj

ejA

dt)t(x

Aejdtdx

alors Ae)t(x si donc

A G() ejt

Y()

G() =

électronique analogique12

systèmes linéaires

lien avec la transformation de Fourier

S.L.

X()X(f)

x(t) y(t)

TF T

F-1

Y() = G() X()Y(f) = G(f) Y(f)

G()

les signaux harmoniques sont les fonctions propresdes systèmes linéaires

électronique analogique13

systèmes linéaires

exemple : R

Cx(t) y(t) ?

x(t)

t

T

M

s/rd 1000avec j1

1)(G 0

0

-30

-20

-10

010 100 103 1041

(rd/s)

|G()|dB

)(Glog 20)(GdB

électronique analogique14

systèmes linéaires

exemple : 10 100 103 1041

(rd/s)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

t0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

t0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

t

électronique analogique15

électronique analogique

transformation de Fourier signal périodiquesignal non périodique

systèmes linéaires

amplificationamplificateuramplificateur opérationnel

filtrage

oscillateurs

électronique analogique16

amplification

système linéaire caractérisé par G(f)>1 apport d'énergie

amplificateur idéal:

Ve() Vs()

)(V).(A)(V es

A()

i=0

le courant d'entrée est nulla sortie est une source de tension parfaite

électronique analogique17

amplification

amplificateur non idéal (modèle linéaire):

Ve() Vs()A().Ve()

ie is

Re

Rs

sses

eee

iRV).(AV

i.RV

VsA.Ve

ie is

Re

Rs

Ve

RgEg Rcsc

c

ge

egs RR

R.

RRR

.E.AV

électronique analogique18

amplification

cascade d'amplificateurs:

Ve A.Ve

ie

Re

Rs V'e VsA'.V'eR'e

R's

se

e

e

s

R'R'R

'.A.AVV

amplificateur d'entrée : Re élevéeamplificateur de sortie : Rs faible

électronique analogique19

amplificateur opérationnel

amplificateur opérationnel idéal:

A.(v+-v-)

ie

Re

Rs

+

-

v+

v-

vs v+-v-

A Re Rs 0

v+-v- 0is 0

électronique analogique20

amplificateur opérationnel

exemples de montages linéaires :

vs

+

-ve

R1

R2

ve

0

1

2

e

s

RR

1VV

vs

ve

R1

R2

0+

-

0

1

2

e

s

RR

VV

électronique analogique21

amplificateur opérationnel

exemples de montages linéaires :

vs

ve

R' R0

+

-

0

jRC1'RR

'RZ

VV

e

s

vs

ie

R

0+

-

0

eRiVs

C

électronique analogique22

électronique analogique

transformation de Fourier signal périodiquesignal non périodique

systèmes linéaires

amplificationamplificateuramplificateur opérationnel

filtrage

oscillateurs

électronique analogique23

filtrage

réduction du bruit:

V(f)

s

f

antirepliement:

V(f)

ffe 2fe

électronique analogique24

filtrage

sélection (ou élimination) d'une bande fréquentielledans le spectre d'un signal :

f

V(f)

fp1 fp2 fp3

s1 s2 s3

sélection d'un signal modulé en amplitude

électronique analogique25

filtrage

sélection (ou élimination) d'une bande fréquentielledans le spectre d'un signal :

tTF

f

V(f)

réjection de parasites

v(t)

f

V(f)

électronique analogique26

filtrage

Système linéaire:

i

)i(

i)i(

i dt)t(xc)t(xb)t(ax)t(y

Les signaux harmoniques sont fonctions propres de l ’opérateurlinéaires.

Fonction de transfert:

p

0

pp

k

0

kk

jb

ja

H

p

0

pp

k

0

kk

sb

sa

sH

Stabilité: p k et pôles à parties réelles négatives

électronique analogique27

filtrage

Les pôles sont réels ou complexes conjugués

p

0

pp

k

0

kk

sb

sa

sH est décomposable en

i i

i

ps

2éme ordre1er ordre

Un filtre d ’ordre quelconque peut être réaliser par la cascade de filtres du premier et du deuxième ordre.

électronique analogique28

filtrage

Filtre du 2éme ordre normalisé: 1

Qs

s

1ou

1s2s

1sH

22

-40

-30

-20

-10

0

10

0,1 1 10

Butterworth

Bessel

Chebychev

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 2 4 6 8 10

Butterworth

Bessel

Chebychev

Q=0,707 ButterworthQ=0,577 BesselQ=1,128 Chebyshev

électronique analogique29

filtrageGabarit d ’un filtre:

H()critère de " gain plat "dans la bande passante

sélectivitéphase linéaire

Transposition de fréquence:

Exemple:

1s2s

1sH

2

1s2s

s

sH

02

0

2

20

2

s=0/s

Filtre PB normalisé Filtre PH

s=0/sFiltre Passe-Bas Filtre Passe-Haut

s=s+02/s

Filtre Passe-Bas Filtre Passe-Bande

électronique analogique30

filtrage

Filtres de Butterworth:

Filtre maximally flat: N2N

2N2

2N

s11

1H(s)ou

1

1H

si N est pair, les pôles sont les racines de s2N=ej, donc sk=ekj/2N.

Ex: N=4x

x

x

x

x

x

x

x

22

4

ss8

3sin21ss

8sin21

1sH

si N est impair, les pôles sont les racines de s2N=ej2, donc sk=ekj/N.

Ex: N=3

x

x

23

ss1s1

1sH

x

x

x

x

électronique analogique31

filtrage

Filtres de Chebychev:

Plus sélectif que B.: )(T1

1H

2N

22

N

Les polynômes de C. sont définis par: TN+1(x)=2xTN(x)-TN-1(x) avec, T0(x)=1 et T1(x)=x.

électronique analogique32

filtrage

Filtres de Bessel:

Pour qu’un signal ne soit pas déformé par un système linéaire,il faut qu ’il subisse un retard pur: s(t)=A.e(t-). 

S(f)=A.E(f).exp(-j2f)

Le gain du système est donc G(f)=A.exp(-j2f).La phase du filtre varie linéairement avec la fréquence.Un tel filtre est non causal donc non physique, le filtre de Besselest celui qui approche le mieux un filtre à phase linéaire.

)s(B

asH

NN

BN est un polynôme de Bessel défini par:BN(s)=(2N-1)BN-1(s)+s2BN-2(s)avec B0=1 et B1(s)=s+1

15s15s6s

15sH;

3s3s

3sH ;

1s

1sH

233221

électronique analogique33

filtrage

Comparaison des fonctions de transfert (filtres d ’ordre 3)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,01 0,1 1 10

Butterworth-mod

Chebychev-mod

Bessel-mod

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0,01 0,1 1 10

Butterworth

Chebychev

Bessel

-4,7124

-3,1416

-1,5708

0

0 2 4 6 8

Butterworth

Bessel

Phase comparéedes filtres de Butterworthet de Bessel

électronique analogique34

filtrage

Filtres actifs: construits autour d ’un composant actif (amplificateur) non nécessairement stables comportement fréquentiel limité par les éléments actifs

vs

Exemple:

Ave

R

R

RC

C 222v

v

CR

2s

RCA4

s

sRCA

e

s

stabilité A<4

A4

1Qet

RC

20

Passe-bande du 2ème ordre

électronique analogique35

filtrage

Cellules prédéfinies: filtre de Sallen-Key (1965)

vs

Ave

C2

1sA1CRRRCsCRCR

A

112122

2211vv

e

s

stabilité

Passe-bas du 2ème ordre

C1

R1 R2

1

CR

CRRA

11

221

Les cellules de Sallen-Key permettent de réalisertous les filtres polynomiaux

électronique analogique36

filtrage

Cellules prédéfinies: cellule de Rauch (2ème ordre)

1s3R

1R1

R1

RRCsCCRR

RR

21322

22132

12

vv

e

s

Stabilité inconditionnellevsve C1

R1 R3

R2

C2

-

+

vsve

Y4

-+

Y5

Y1 Y3

Y2

Généralisation:

4321543

31vv

YYYYYYY

YYe

s

électronique analogique37

filtrage

Circuits à capacités commutées: principe

C

1 2

R

électronique analogique38

filtrage

Circuits à capacités commutées: principe

E C

1 2

E ’

Q(t0)=C.E

électronique analogique39

filtrage

Circuits à capacités commutées: principe

E C

1 2

E ’

Q(t0)=C.E Q(t0+t)=C.E ’

Q=C.(E ’-E)

I = Q/t = C/T.(E ’-E )

T

RI

E E ’

R=T/C

électronique analogique40

filtrage

Circuits à capacités commutées: principe

E C Ca

1 2

Q=C.E

électronique analogique41

filtrage

Circuits à capacités commutées: principe

E C Ca

1 2

Q=C.E

Q0=CE

V1

Q=C2.E/(C+Ca) Q=CCa.E/(C+Ca)

Conservation de la charge:CE=CV1+CaV1

V1=CE/(C+Ca)

électronique analogique42

filtrage

Circuits à capacités commutées: principe

E C Ca

1 2 Q0=CE

V1

Q=C2.E/(C+Ca) Q=CCa.E/(C+Ca)

V1=CE/(C+Ca)

Q=C.E

Q1=CE[1+Ca/(Ca+C)]

électronique analogique43

filtrage

Circuits à capacités commutées: principe

E C Ca

1 2 Q0=CE

V1

Q=C2.E/(C+Ca) Q=CCa.E/(C+Ca)

V1=CE/(C+Ca)

Q=C.E

Q1=CE[1+Ca/(Ca+C)]

Q=C2.E(1+Ca)/(C+Ca) Q=CCa.E(1+Ca)/(C+Ca)

V2

V2=CE(1+Ca)/(C+Ca)

électronique analogique44

filtrage

Circuits à capacités commutées: principe

Relation de récurrence:V0=0V1=CE/(C+Ca)V2= [CE+CaV1] /(C+Ca)…Vn= [CE+CaVn-1] /(C+Ca)

ECC

C1V

n

a

an

00,20,40,60,8

11,2

0 20 40 60

Vn

Eexp1V aRCnT

n

R=T/C

électronique analogique45

filtrage

Circuits à capacités commutées: mise en oeuvre

vs

C 0

C

2

R=T/C

CTC

j

1

RCj

1

v

v

00e

s

ve

1

C 02

ve

1

12vs

électronique analogique46

transformation de Fourier signal périodiquesignal non périodique

systèmes linéaires

amplificationamplificateuramplificateur opérationnel

filtrage

oscillateurs

électronique analogique

électronique analogique47

Génération de signaux

Principe !

x(t) y(t)

X(f) Y(f)=G(f).X(f)

G(f)

amplificateur

ve

ie

vs

is

Le gain du système est dépendant: des tolérances sur les composants actifs de la température du vielillissement

électronique analogique48

Génération de signaux

Système bouclé: stabilité !

x yG(f)

Pour IGHI >1, le gain du système ne dépend que de H

+-

H(f)

yr

yr=G.H.

=x- yr

GH1

G

x

y)f(F

Instabilité pour GH=-1

Conditions d ’instabilité: IGHI=1 et Arg(GH)=

électronique analogique49

Génération de signaux

Système bouclé: stabilité !

yG(f)

H(f)

yr

IGHI>1

saturation

-

x +

électronique analogique50

Génération de signaux

Oscillateurs sinusoïdaux: systèmes bouclés fonctionnant à la limitede l ’instabilité

yG(f)

-

k

yr

En général la chaîne de retourest passive.

Condition d ’accrochage: kG(f)=-1

yG(f)

k

Condition d ’accrochage: kG(f)=1

électronique analogique51

Génération de signaux

Oscillateurs sinusoïdaux: exemple oscillateur de Colpitts

Condition d ’accrochage: kG(f)=1

ve

is=gve

L

CCLC

2

R

1g

R

électronique analogique52

Génération de signaux

Oscillateurs sinusoïdaux HF: un circuit résonnant fixe la fréquence des oscillations l ’amplificateur compense les pertes du circuit résonnant

ve

is=gve

L

C

C ’

R

L

Oscillateur de Hartley

électronique analogique53

Génération de signaux

Oscillateurs sinusoïdaux HF: Oscillateur de Clapp

ve

is=gve

R L

C1 C2

C

1

2

C

C

R

1g

C

1

C

1

C

1

L

1

21

électronique analogique54

1,00E+01

1,00E+02

1,00E+03

1,00E+04

1,00E+05

1,00E+06

1,00E+07

9,9 9,95 10 10,05 10,1

Génération de signaux

Oscillateurs à quartz

Q

Cs

CLR

(Mrd/s)

Z()

fs=10 Mrd/s

fp=10,005 Mrd/sEx: R= 30 Cs=10fF L=1H C0=10pF

électronique analogique55

Génération de signaux

Oscillateurs à quartz: résonance série

Q

ve vs

Re

G.ve

principe: instabilité pour Q résistif foscfs

Q

Oscillateur à portes CMOS

électronique analogique56

Génération de signaux

Oscillateurs à réseau déphaseur (BF)

principe:

ve vs

Re

G.ve

Amplificateur (en général à A.Op.)

Réseau RC

électronique analogique57

Génération de signaux

Oscillateurs à réseau déphaseur (BF)

Exemple:

-AR

C C C

R R

v1 v2

3332221

2

CjRCR5jRC61

1

v

v

v2/v1 doit être réelRC

60

29A

électronique analogique58

Génération de signaux

Oscillateurs à réseau déphaseur (BF)

Exemple: oscillateur à pont de Wien

AR C

CRv1 v2

2221

2

CRjRC31

jRC

v

v

RC

10

3A

v2/v1 doit être réel