débutIllustration dans le plan complexe du repliement

spectral lors de

l’échantillonnage d’un mouvement

régulier de rotationdont on modifie la

fréquence

leroux@essi.fr

stroboscopeLe repliement spectral dû à l’échantillonnage est similaire à l’effet stroboscopique :

Illustration par le mouvement d’une roue au cinéma (24 images par seconde) à la télévision (25 images par seconde)

COLIBRI

fréquence faibleFréquence de la rotation

24 fois plus petite que la fréquence

d’échantillonnage

0 1 2 24 Hz.

tempsfréquence

0 1 s

On suit très bien le mouvement

fréquence augmentéeFréquence de la rotation 12 fois plus petite que la fréquence

d’échantillonnage

0 1 2.

tempsfréquence

0 1 s24 Hz

On suit encore le mouvement

fréquence moitiéFréquence de la rotation

4 fois plus petite que la fréquence

d’échantillonnage

0 1 2 12

tempsfréquence

6.

Le mouvement est moins bien suivi

0 1 s24 Hz

Le mouvement est moins bien suivi

fréquence moitiéFréquence de la rotation 2 fois plus petite que la fréquence

d’échantillonnage

0 1 2 12.

tempsfréquence

Le sens de rotation n’apparaît plus

0 1 s24 Hz

Le sens de rotation n’apparaît plus

fréquences négativesAugmentation de la fréquence de rotation au delà de la moitiéde la fréquence d’échantillonnage

Une fréquence positive

une fréquence négative

apparaît comme

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

changement de sens

Changement de signe : fréquence négative

Changement de signe : fréquence négative

Changement de signe : fréquence négative

Changement de signe : fréquence négative

Changement de signe : fréquence négative

Changement de signe : fréquence négative

Changement de signe : fréquence négative

un peu en dessous de la fréquence d ’échantillonnage

23

Fréquence de la rotation légèrement pluspetite que la fréquence d’échantillonnage :

le mouvement apparaît inversé

0 1 2-1

.

temps

fréquence

0 1 s

24 Hz

Au lieu de la fréquence ,

on observe la fréquence - ech

qui est négative

- ech

un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage

Fréquence de la rotation égale à la fréquence d’échantillonnage : la rotation ne se voit plus, la roueparaît immobile

0 1 2 24-1 25

tempsfréquence

.

- ech

0 1 s

Hz

un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage

Fréquence de la rotation plus grande que la fréquence d’échantillonnage : résultat identique au premier cas,repliement spectral

0 1 2 24-1 25

.

tempsfréquence

- ech

0 1 s

Hz

Au lieu de la fréquence ,

on observe la fréquence - ech

Repliement spectral

condition de nyquist 1Un mouvement sinusoïdal réel est la somme de deux composantes complexes l’une de fréquence positive et l’autre de fréquence négative

2 cos t = e jt + e - jt

2j sin t = e jt - e - jt

.

fréquence

0

condition de nyquist 2Pour ne pas perdre d’informationlors de l’échantillonnage d’un mouvement réel,sa fréquence doit être inférieure à la moitié de la fréquence d’échantillonnage.

.fréquence

ech ech

0

référencesEffet stroboscopique : Plateau, von Stampfer (1830)Analyse du mouvement, Chronophotographie : Muybridge, Marey (1870)Cinématographe : Edison, Lumière (1890)Théorie de l’échantillonnage pour les transmissions : Nyquist (1928), Shannon (1948)

Consultez les différents sites qui leur sont consacrés !

http://www.essi.fr/~leroux/listen_to_aliasingUne illustration sonore du repliement