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débutIllustration dans le plan complexe du repliement

spectral lors de

l’échantillonnage d’un mouvement

régulier de rotationdont on modifie la

fréquence

[email protected]

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stroboscopeLe repliement spectral dû à l’échantillonnage est similaire à l’effet stroboscopique :

Illustration par le mouvement d’une roue au cinéma (24 images par seconde) à la télévision (25 images par seconde)

COLIBRI

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fréquence faibleFréquence de la rotation

24 fois plus petite que la fréquence

d’échantillonnage

0 1 2 24 Hz.

tempsfréquence

0 1 s

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On suit très bien le mouvement

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fréquence augmentéeFréquence de la rotation 12 fois plus petite que la fréquence

d’échantillonnage

0 1 2.

tempsfréquence

0 1 s24 Hz

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On suit encore le mouvement

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fréquence moitiéFréquence de la rotation

4 fois plus petite que la fréquence

d’échantillonnage

0 1 2 12

tempsfréquence

6.

Le mouvement est moins bien suivi

0 1 s24 Hz

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Le mouvement est moins bien suivi

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fréquence moitiéFréquence de la rotation 2 fois plus petite que la fréquence

d’échantillonnage

0 1 2 12.

tempsfréquence

Le sens de rotation n’apparaît plus

0 1 s24 Hz

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Le sens de rotation n’apparaît plus

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fréquences négativesAugmentation de la fréquence de rotation au delà de la moitiéde la fréquence d’échantillonnage

Une fréquence positive

une fréquence négative

apparaît comme

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Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

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Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

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Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

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Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

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Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

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Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

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Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

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changement de sens

Changement de signe : fréquence négative

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Changement de signe : fréquence négative

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Changement de signe : fréquence négative

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Changement de signe : fréquence négative

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Changement de signe : fréquence négative

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Changement de signe : fréquence négative

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Changement de signe : fréquence négative

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un peu en dessous de la fréquence d ’échantillonnage

23

Fréquence de la rotation légèrement pluspetite que la fréquence d’échantillonnage :

le mouvement apparaît inversé

0 1 2-1

.

temps

fréquence

0 1 s

24 Hz

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Au lieu de la fréquence ,

on observe la fréquence - ech

qui est négative

- ech

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un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage

Fréquence de la rotation égale à la fréquence d’échantillonnage : la rotation ne se voit plus, la roueparaît immobile

0 1 2 24-1 25

tempsfréquence

.

- ech

0 1 s

Hz

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un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage

Fréquence de la rotation plus grande que la fréquence d’échantillonnage : résultat identique au premier cas,repliement spectral

0 1 2 24-1 25

.

tempsfréquence

- ech

0 1 s

Hz

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Au lieu de la fréquence ,

on observe la fréquence - ech

Repliement spectral

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condition de nyquist 1Un mouvement sinusoïdal réel est la somme de deux composantes complexes l’une de fréquence positive et l’autre de fréquence négative

2 cos t = e jt + e - jt

2j sin t = e jt - e - jt

.

fréquence

0

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condition de nyquist 2Pour ne pas perdre d’informationlors de l’échantillonnage d’un mouvement réel,sa fréquence doit être inférieure à la moitié de la fréquence d’échantillonnage.

.fréquence

ech ech

0

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référencesEffet stroboscopique : Plateau, von Stampfer (1830)Analyse du mouvement, Chronophotographie : Muybridge, Marey (1870)Cinématographe : Edison, Lumière (1890)Théorie de l’échantillonnage pour les transmissions : Nyquist (1928), Shannon (1948)

Consultez les différents sites qui leur sont consacrés !

http://www.essi.fr/~leroux/listen_to_aliasingUne illustration sonore du repliement

http://www.essi.fr/~leroux/listen_to_aliasing
http://www.polytech.unice.fr/~leroux/listen_to_aliasing/index.htm

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