Post on 05-Jul-2015
Méthode des
Différences Finies
Cours de : 2010-2011
Master Energies Renouvelables
Département de Physique
Faculté des Sciences Ben M’Sik
Université Hassan-II Mohammedia-Casablanca
Pr: Hassane. LAHMAM
L.C.S.M
(Volume horaire du cours= 6 H)
I Rappels mathématiques
II Principe de la MDF
III Application de la MDF à des ED de type 1D
IV Application de la MDF à EDP (en 2D)
V Application à des EDP spatio-temporelles
Plan général du cours
Développements des fonctions analytiques
en séries de Taylor
))xx((O)x(f!n
)xx(
))xx((O)x(f!n
)xx()x(f)f(x
1N0
)n(
0x
N
0n
n0
1N0
)n(
0x
N
1n
n0
0
1I Rappels mathématiques
I.1 Série Taylor dans le cas 1D
N est l’ordre de troncature de la série
est le reste (ou erreur) de la
troncature de la série .
))xx((O 1N0
)h(O)x(f!n
h)x(f)hf(x 1N)n(
0x
N
1n
n
00
Autre écriture du développement précédent:
I.2 Série Taylor dans le cas 2D
))yy(,)xx((O
yx
)y,x(f)yy()xx(
!r)!rn(
1
)y,x(f)yf(x,
1N0
1N0
)0y,0x(
N
1nrrn
nr
0rn
0
n
0r
00
2
3
Cas où N=2
)k,h(O
yx
)y,x(fkh
!r)!rn(
1
)y,x(f)ky,hxf(
33)0y,0x(
2
1nrrn
nrrn
n
0r
0000
)k,h(O
yx
)y,x(fkh
!r)!rn(
1
)y,x(f)kyh,xf(
1N1N)0y,0x(
N
1nrrn
nrrn
n
0r
0000
4
)k,h(O
y
)y,x(fk
!2
1
yx
)y,x(fhk
x
)y,x(fh
!2
1
y
)y,x(fk
x
)y,x(fh)y,x(f)ky,hxf(
33
)y,x(
22
)y,x(
2
)y,x(
22
)y,x()y,x(
0000
00
2
0000
2
0000
II Principe de la MDF
La MDF permet de résoudre des EDP en discrétisant
des opérateurs différentiels.
Les dérivées premières et supérieures sont exprimées
en fonctions des inconnues aux nœuds voisins du
domaine discrétisé en un nombre fini de points
(nœuds).
II.1 Approximation de la dérivée totale première
)h(O)x(f!2
h)x(f
!1
h)x(f)hf(x
3)2(2
)1(
)h(O)x(f!2
h)x(f
!1
h)x(f)hf(x
3)2(2
)1(
5
II.1-a Approximation par la différence gauche
(ou arrière ou régressive)
)h(Oh
)hf(x)x(f)x(f
2)1(
II.1-c Approximation par la différence droite
ou progressive
)h(Oh
)f(x)hx(f)x(f
2)1(
II.1-b Approximation centrée
)h(Oh2
)hf(x)hx(f)x(f 2)1(
6
II.2 Approximation de la dérivée totale seconde
)h(Oh
)hf(x)x(f2)hx(f)x(f 2
2)2(
)h(O)x(f!2
h2)x(f2)hf(x)hf(x 4)2(
2
On a la somme
d’où
7
II.3 Approximation de la dérivée partielle première
(1) ; )k,h(O
fk!3
1fhk
!2
1kfh
!2
1fh
!3
1
fk!2
1hkffh
!2
1 kfhf)y,x(f)ky,hxf(
44
yyy'3
xyy'2
xxy'2
xxx'3
yy'2
xy'xx'2
y'x'
8
(2) ; )k,h(O
fk!3
1fhk
!2
1kfh
!2
1fh
!3
1
fk!2
1hkffh
!2
1 kfhf)y,x(f)ky,hxf(
44
yyy'3
xyy'2
xxy'2
xxx'3
yy'2
xy'xx'2
y'x'
II.3-a Approximation à l’ordre deux
La différence (1)-(2) donne:
)k,h(O
fk6
1fhk
2
1kfh
2
1fh
6
12
kfhf2)ky,hxf()ky,hxf(
44
yyy'3
xyy'2
xxy'2
xxx'3
y'x'
Si k=0, on obtient l’approximation centrée suivante:
)h(Oh2
)yh,f(x)y,hx(f)y,x(f 2
x'
De même, si h=0, on obtient :
)k(Ok2
)kyf(x,)ky,x(f)y,x(f
2
y'
9
II.3-b Approximation à l’ordre quatre
(1) ; )h(Ofh!4
1 fh
!3
1fh
!2
1 hf)y,x(f)y,hxf( 5
xxxx'4
xxx'3
xx'2
x'
(2) ; )h(Ofh!4
1 fh
!3
1fh
!2
1 hf)y,x(f)y,hxf( 5
xxxx'4
xxx'3
xx'2
x'
(3) ; )h(Ofh!4
16 fh
!3
8fh
!2
4 hf2)y,x(f)y,h2xf( 5
xxxx'4
xxx'3
xx'2
x'
(4) ; )h(Ofh!4
16 fh
!3
8fh
!2
4 hf2)y,x(f)y,h2xf( 5
xxxx'4
xxx'3
xx'2
x'
10
On considère les développements suivants:
La combinaison 8(1)-8(2)+(3)-(4) donne:
(1) ; )h(Ofh24
1 fh
6
1fh
2
1 hf)y,x(f)y,hxf( 5
xxxx'4
xxx'3
xx'2
x'
(2) ; )h(Ofh24
1 fh
6
1fh
2
1 hf)y,x(f)y,hxf( 5
xxxx'4
xxx'3
xx'2
x'
(3) ; )h(Ofh24
16 fh
6
8fh2 hf2)y,x(f)y,h2xf( 5
xxxx'4
xxx'3
xx'2
x'
(4) ; )h(Ofh24
16 fh
6
8fh2 hf2)y,x(f)y,h2xf( 5
xxxx'4
xxx'3
xx'2
x'
)h(O h24
)y2h,f(x)y2h,f(x)y,hx(f8)y,hx(f8)y,x(f
4
x'
11
)k(O k24
)2kyf(x,)2kyf(x,)ky,x(f8)ky,x(f8)y,x(f
4
y'
12De même on a:
On considère la somme:
II.4 Approximation de la dérivée partielle seconde
II.4-a Approximation à l’ordre deux.
)k,h(O fk!4
1fhk
!3!1
1fkh
!2!2
1kfh
!1!3
1fh
!4
12
fk!2
1hkffh
!2
12
)y,x(f2)ky,hxf()ky,hxf(
55yyyy'
4xyyy'
3xxyy'
22xxxy'
3xxxx'
4
yy'2
xy'xx'2
13
Si k=0, on obtient l’approximation centrée
suivante:
)h(Oh
)yh,f(x)y,x(f2)y,hx(f)y,x(f 2
2xx'
De même, si h=0, on obtient:
)k(Ok
)kyf(x,)y,x(f2)ky,x(f)y,x(f 2
2yy'
II.4-b Approximation à l’ordre quatre.
On considère les développements suivants:
15
(1) ; )h(Ofh24
1 fh
6
1fh
2
1 hf)y,x(f)y,hxf( 5
xxxx'4
xxx'3
xx'2
x'
(2) ; )h(Ofh24
1 fh
6
1fh
2
1 hf)y,x(f)y,hxf( 5
xxxx'4
xxx'3
xx'2
x'
(3) ; )h(Ofh24
16 fh
6
8fh2 hf2)y,x(f)y,h2xf( 5
xxxx'4
xxx'3
xx'2
x'
(4) ; )h(Ofh24
16 fh
6
8fh2 hf2)y,x(f)y,h2xf( 5
xxxx'4
xxx'3
xx'2
x'
La combinaison 16(1)+16(2)-(3)-(4) donne:
)h(O h12
)y,h2x(f)y,hx(f16)yf(x,30)y,hx(f16)y,h2x(ff
4
2xx'
II.4-c Approximation à l’ordre deux de la
dérivée partielle seconde f,xy.
(1) ; )k,h(O
fk!2
1hkffh
!2
1 kfhf)y,x(f)ky,hxf(
33
yy'2
xy'xx'2
y'x'
(2) ; )k,h(O
fk!2
1hkffh
!2
1 kfhf)y,x(f)ky,hxf(
33
yy'2
xy'xx'2
y'x'
(3) ; )k,h(O
fk!2
1hkffh
!2
1 kfhf)y,x(f)ky,hxf(
33
yy'2
xy'xx'2
y'x'
(4) ; )k,h(O fk!2
1hkffh
!2
1 kfhf)y,x(f)ky,hxf(
33
yy'
2
xy'xx'
2
y'x'
16
La combinaison (1)+(2)-(3)+(4) donne:
)k,h(O hk4
)ky,hx(f)k-yh,f(x)ky,hx(f)ky,hx(ff
22
xy'
17
II.5 Approximation de la dérivée partielle troisième
par rapport à la variable x.
On considère les développements suivants:
II.5-a Approximation à l’ordre deux.
La combinaison (1)+(2)-(3)+(4) donne:
)k,h(O hk4
)ky,hx(f)k-yh,f(x)ky,hx(f)ky,hx(ff
22
xy'
18
II.5 Approximation de la dérivée partielle troisième
par rapport à la variable x.
On considère les développements suivants:
II.5-a Approximation à l’ordre deux.
(2) ; )h(O
fh!4
1fh
!3
1fh
!2
1 hf)y,x(f)y,hxf(
5
xxx'4
xxx'3
xx'2
x'
(4) ; )h(O
fh16!4
1fh8
!3
1fh4
!2
1 hf2)y,x(f)y,h2xf(
5
xxx'4
xxx'3
xx'2
x'
(1) ; )h(O
fh!4
1fh
!3
1fh
!2
1 hf)y,x(f)y,hxf(
5
xxx'4
xxx'3
xx'2
x'
(3) ; )h(O
fh16!4
1fh8
!3
1fh4
!2
1 hf2)y,x(f)y,h2xf(
5
xxx'4
xxx'3
xx'2
x'
19
La combinaison 2(1)-2(2)-(3)+(4) donne
l’approximation centrée suivante:
)h(O h2
)y,h2x(f)yh,f(x2)y,hx(f2)y,h2x(ff
2
3xxx'
20
On considère les développements suivants:
II.5-b Approximation à l’ordre quatre.
(1) ; )h(Of!6
6hf
!5
5h
f!4
hf
!3
hf
!2
h hf)y,x(f)y,hxf(
7xxxxxx'xxxxx'
xxxx'
4
xxx'
3
xx'
2
x'
(3) ; )h(Of!6
h64f
!5
h32
f!4
h16f
!3
h8f
!2
h4 hf2)y,x(f)y,h2xf(
7xxxxxx'
6
xxxxx'
5
xxxx'
4
xxx'
3
xx'
2
x'
21
(2) ; )h(Of!6
6hf
!5
5h
f!4
hf
!3
hf
!2
h hf)y,x(f)y,hxf(
7xxxxxx'xxxxx'
xxxx'
4
xxx'
3
xx'
2
x'
(4) ; )h(Of!6
h64f
!5
h32
f!4
h16f
!3
h8f
!2
h4 hf2)y,x(f)y,h2xf(
7xxxxxx'
6
xxxxx'
5
xxxx'
4
xxx'
3
xx'
2
x'
22
(5) ; )h(Of!6
h729f
!5
h243
f!4
h81f
!3
h27f
!2
h9 hf3)y,x(f)y,h3xf(
7xxxxxx'
6
xxxxx'
5
xxxx'
4
xxx'
3
xx'
2
x'
(6) ; )h(Of!6
h729f
!5
h243
f!4
h81f
!3
h27f
!2
h9 hf3)y,x(f)y,h3xf(
7xxxxxx'
6
xxxxx'
5
xxxx'
4
xxx'
3
xx'
2
x'
La combinaison 13(1)-13(2)-8(4)+8(5)+(6)-(7)
donne l’approximation centrée suivante:
)h(O h8
)y,h3x(f)y,h2x(f8)y,hx(f13)yh,f(x13)y,h2x(f8)y,h3x(ff
4
3xxx'
On considère les développements suivants:
II.6 Approximation l’ordre quatre de la dérivée
partielle quatrième par rapport à la variable x.
(1) ; )h(Of!7
7hf
!6
6h
f!5
5hf
!4
hf
!3
hf
!2
h hf)y,x(f)y,hxf(
8xxxxxxxx'xxxxxx'
xxxxx'xxxx'
4
xxx'
3
xx'
2
x'
(2) ; )h(Of!7
7hf
!6
6h
f!5
5hf
!4
hf
!3
hf
!2
h hf)y,x(f)y,hxf(
8xxxxxxxx'xxxxxx'
xxxxx'xxxx'
4
xxx'
3
xx'
2
x'
23
(3) ; )h(Of!7
h128f
!6
h64f
!5
h32
f!4
h16f
!3
h8f
!2
h4 hf2)y,x(f)y,h2xf(
8xxxxxxx'
7
xxxxxx'
6
xxxxx'
5
xxxx'
4
xxx'
3
xx'
2
x'
24
(4) ; )h(Of!7
h128f
!6
h64f
!5
h32
f!4
h16f
!3
h8f
!2
h4 hf2)y,x(f)y,h2xf(
8xxxxxxx'
7
xxxxxx'
6
xxxxx'
5
xxxx'
4
xxx'
3
xx'
2
x'
La combinaison 4(1)+4(2)-(3)-(4) donne
l’approximation centrée suivante:
)h(O h
)y,h2x(f)y,h2x(f8)y,hx(f4)y,x(f6)yh,f(x4)y,h2x(ff
4
4xxxx'
III Application de la MDF à des ED de type 1D
On considère l’équation différentielle linéaire
suivante:
0L)u( avec
L[L,-]x pour 1)x(udx
)x(ud
2
2
III .1 Résolution analytique
1BeAe)x(uxx
th
Avec:
1B.eA.e1B.eA.e
)S( LL
LL
25
1)x(ch
)L2(sh
)L(sh2)x(uth
III .2 Résolution par la MDF
III .2 –a Discrétisation du domaine de résolution
●●●● ● ● ●
x
3
L2x
3
Lx 0x Lx Lx
3
L2x
3
Lx
III .2 –b Approximation de la dérivée totale deuxième
3
L
6
2Lh :avec
)h(Oh
)hu(x)x(u2)hx(u
dx
)x(ud2
22
2
26
III .2 –c Ecriture du problème discrétisé global
6 noeud lepour 1uh
uu2u
5 noeud lepour 1uh
uu2u
4 noeud lepour 1uh
uu2u
3 noeud lepour 1uh
uu2u
2 noeud lepour 1uh
uu2u
62
765
52
654
42
543
32
432
22
321
27
Soit sous la forme matricielle:
6
5
4
3
2
uuuuu
- 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 1 -
avec:
2
2
hh2
Ecriture condensée du problème global discrétisé:
BUA
28
Nœud
Solution
uth-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
uapp-0.9902 -0.9999 -1.0000 -0.9999 -0.9902
Ecart
relatif x100
0.9760 0.0096 0.0002 0.0096 0.9760
30L
III .2 –c Analyse des résultats
Influence de la longueur L
29
-30 -20 -10 0 10 20 30-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
u
x
30L
30
Nœud
Solution
uth-0.9987 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9987
uapp-0.9785 -0.9995 -1.0000 -0.9995 -0.9785
Ecart
relatif x100
2.0294 0.0463 0.0020 0.0463 2.0294
20L
31
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
20L
u
x
32
Nœud
Solution
uth-0.9643 -0.9987 -0.9999 -0.9987 -0.9643
uapp-0.9233 -0.9941 -0.9991 -0.9941 -0.9233
Ecart
relatif x100
4.2567 0.4652 0.0812 0.4652 4.2567
10L
33
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
u
x
uapp uex
10L
34
Nœud
Solution
uth-0.8109 -0.9631 -0.9865 -0.9631 -0.8109
uapp-0.7801 -0.9496 -0.9789 -0.9496 -0.7801
Ecart
relatif x100
3.7923 1.4008 0.7742 1.4008 3.7923
5L
35
5L
u
x
uapp uex
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
uapp uex
36
Nœud
Solution
uth-0.2025 -0.3156 -0.3519 -0.3156 -0.2025
uapp-0.2012 -0.3136 -0.3497 -0.3136 -0.2012
Ecart
relatif x100
0.6718 0.6492 0.6416 0.6492 0.6718
1L
37
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.4
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
u
x
1L
38
Cas d’une discrétisation à N nœuds
1N
L2h
1N
2
u
u
- 1 0 0
1
0
0
1
0 0 1 -
avec:
39
Nœud
Solution (11)
uth-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
uapp: N=13 -0.9986 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9986
uapp: N=7 -0.9902 -0.9999 -1.0000 -0.9999 -0.9902
Ecart relatif
x100
0.1330 0.0002 0.0000 0.0002 0.1330
13N ; 30L
Influence du nombre de nœuds40
Nœud
Solution (13) (17) (21)
uth-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
uapp-0.9998 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9998
Ecart
relatif x100
0.0024 0.0000 0.0000 0.0000 0.0024
25N ; 30L
41
IV.1 Résolution de l’équation de Poisson avec
conditions aux limites de type Dirichlet:
y)(x,pour )y,x(gy)(x,u avec
[bb,-[x]aa,-] y)(x,pour )y,x(f)y,x(u
IV.1-a Discrétisation du domaine de résolution
42
●● ●
● ●
● ●
x
ax
●● ●
●● ●
●● ●
●● ●
●
●
●
●
●
●
ax
by
y
by
O
1 2 3 4 5
109876
11 12 13 14 15
2019181716
21 22 23 24 25
IV.1 –b Approximation de l’opérateur laplacien
)k(Ok
)kyu(x,)y,x(u2)ky,x(u
)h(Oh
)yh,u(x)y,x(u2)y,hx(u
y
)y,x(u
x
)y,x(u)y,x(u
22
22
2
2
2
2
2
b
4
2bket
2
a
4
2ah :avec
43
IV.2 –c Ecriture du problème discrétisé global44
19 noeud lepour )k,h(fk
uu2u
h
uu2u
18 noeud lepour )k,0(fk
uu2u
h
uu2u
17 noeud lepour )k,h(fk
uu2u
h
uu2u
14 noeud lepour )0,h(fk
uu2u
h
uu2u
13 noeud lepour )0,0(fk
uu2u
h
uu2u
12 noeud lepour )0,h(fk
uu2u
h
uu2u
9 noeud lepour )k,h(fk
uu2u
h
uu2u
8 noeud lepour )k,0(fk
uu2u
h
uu2u
7 noeud lepour )k,h(fk
uu2u
h
uu2u
2
241914
2
201918
2
231813
2
191817
2
221712
2
181716
2
19149
2
151413
2
18138
2
141312
2
17127
2
131211
2
1494
2
1098
2
1383
2
987
2
1272
2
876
45
19 noeud ; )k,h(fkh)uu2u(h)uu2u(k
18 noeud ; )k,0(fkh)uu2u(h)uu2u(k
17 noeud ; )k,h(fkh)uu2u(h)uu2u(k
14 noeud ; )h,0(fkh)uu2u(h)uu2u(k
13 noeud ; )0,0(fkh)uu2u(h)uu2u(k
12 noeud ; )0,h(fkh)uu2u(h)uu2u(k
9 noeud ; )k,h(fkh)uu2u(h)uu2u(k
8 noeud ; )k,0(fkh)uu2u(h)uu2u(k
7 noeud ; )k,h(fkh)uu2u(h)uu2u(k
22241914
2201918
2
22231813
2191817
2
22221712
2181716
2
2219149
2151413
2
2218138
2141312
2
2217127
2131211
2
221494
21098
2
221383
2987
2
221272
2876
2
46
19 noeud ; SMuuu
18 noeud ; SMuuuu
17 noeud ; SMuu
14 noeud ; SMuuu
13 noeud ; SMuuuu
12 noeud ; SMuuuu
9 noeud ; SMuuu
8 noeud ; SMuuuu
7 noeud ; SMuuu
19141918
1813191817
171817
1491413
1318141312
121713127
91498
813987
71287
avec:
)kh(2Kh
22
2
2
47
19 noeud ; )k,h(fuuSM
18 noeud ; )k,0(fuSM
17 noeud ; )k,h(fuuSM
14 noeud ; )h,0(fuuSM
13 noeud ; )0,0(fuSM
12 noeud ; )0,h(fuSM
9 noeud ; )k,h(fuuSM
8 noeud ; )k,h(fuSM
7 noeud ; )k,h2(fuuSM
202419
2318
162217
191514
613
1112
1049
38
627et:
19 noeud ; )k,h(f)k,h2(g)k2,h(gSM
18 noeud ; )k,0(f)k2,0(gSM
17 noeud ; )k,h(f)k,h2(g)k2,h(gSM
14 noeud ; )h,0(f)0,h2(gSM
13 noeud ; )0,0(f)k,h2(gSM
12 noeud ; )0,h(f)0,h2(gSM
9 noeud ; )k,h(f)k,h2(g)k2,h(gSM
8 noeud ; )k,h(f)k2,0(gSM
7 noeud ; )k,h2(f)k,h2(g)k2,h(gSM
19
18
17
14
13
12
9
8
7
Ecriture matricielle problème global discrétisé :
19
18
17
14
13
12
9
8
7
19
18
17
14
13
12
9
8
7
SMSMSMSMSMSMSMSMSM
uuuuuuuuu
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
48
IV.1-d Ecriture générique du problème local discrétisé
Direction x
(Ligne I)
●
●
●
● ●
Nœud i+Nx
Nœud i-Nx
Nœud iNœud i-1 Nœud i+1
Direction y
(Colonne J)
)y,x(uk
)ky,x(u)y,x(u2)ky,x(u
h
)y,hx(u)y,x(u2)y,hx(u
i noeud lepour locale Equation
ii2
iiiiii
2
iiiiii
49
uu)Nxi,i(Au)Nxi,i(A
u)1i,i(Au)i,i(Au)1i,i(A
esmatriciell notations lesutilisant enSoit
iNxiNxi
1ii1i
k
1)Nxi,i(A)Nxi,i(A ;
h
1)1i,i(A)1i,i(A
)k
1
h
1(2)i,i(A
22
22
end end
J1)-(I*Nx)J,I(i
1-Nx:2 J for
1-Ny: 2 I for
:par donnéest i interne noeud du numéro Le
I et J sont respectivement les numéros de la Ième
ligne et Jème colonne du maillage.
50
Nœud
Solution
(11) (12) (13) (14) (15)
Uapp pour a=b=30 1.0000 127.8571 286.4286 127.8571 1.0000
Uapp pour a=b=20 1.0000 56.4286 125.7143 56.4286 1.0000
Uapp pour a=b=10 1.0000 13.5714 29.2857 13.5714 1.0000
Uapp pour a=b=5 1.0000 2.8571 5.1786 2.8571 1.0000
Uapp pour a=b=1 1.0000 -0.5714 -2.5357 -0.5714 1.0000
1y)g(x, ; 1y)f(x,5Ny 5;Nx ; 30b ; 30a
III .2 –e Analyse des résultats
Influence de la géométrie
51
-30 -20 -10 0 10 20 300
50
100
150
200
250
300
u
x
30ba
52
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200
20
40
60
80
100
120
140
20ba
u
x
53
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
5
10
15
20
25
30
10ba
u
x
54
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 51
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
5ba
u
x
55
1ba
u
x
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
56
Nœud
Solution(11) (12) (13) (14) (15)
Uapp pour Nx=Ny=5 1.0000 127.8571 286.4286 127.8571 1.0000
Uapp pour Nx=Ny=9 1.0000 -89.8382 13.5294 -89.8382 1.0000
Uapp pour Nx=Ny=17 1.0000 7.7450 15.8167 7.7450 1.0000
Uapp pour Nx=Ny=33 1.0000 1.1222 0.6120 1.1222 1.0000
Uapp pour Nx=Ny=65 1.0000 -1.4307 -0.2309 -1.4307 1.0000
Uapp pour Nx=Ny=81 1.0000 XX 0.4472 XX 1.0000
1y)g(x, ; 1y)f(x, ; 30b ; 30a
Influence de nombre de nœuds57
-30 -20 -10 0 10 20 30-150
-100
-50
0
50
100
9NyNx1y)g(x, ; 1y)f(x, ; 30b ; 30a
u
x
58
17NyNx1y)g(x, ; 1y)f(x, ; 30b ; 30a
-30 -20 -10 0 10 20 300
2
4
6
8
10
12
14
16
u
x
59
33NyNx1y)g(x, ; 1y)f(x, ; 30b ; 30a
-30 -20 -10 0 10 20 300.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
u
x
60
65NyNx1y)g(x, ; 1y)f(x, ; 30b ; 30a
-30 -20 -10 0 10 20 30-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
u
x
61
81NyNx1y)g(x, ; 1y)f(x, ; 30b ; 30a
-30 -20 -10 0 10 20 30-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
u
x
62
IV.2 Résolution de l’équation de Poisson avec les
conditions aux limites de type Neumann:
y)(x,pour 0n
u avec
[bb,-[x]aa,-] y)(x,pour )y,x(f)y,x(u
63
n = i
ax ax
by
by
On =- i
n = j
n =- j
64
jn normalvecteur de inférieure frontière lapour y
u
n
u
jn normalvecteur de supérieure frontière lapour y
u
n
u
in normalvecteur de gauche frontière lapour x
u
n
u
in normalvecteur de droite frontière lapour x
u
n
u
IV.2 –a Approximation de la dérivée partielle par rapport
à la variable normale
avec:
(1) ; )h(Ofh2
1 hf)y,x(f)y,hxf( 3
xx'2
x'
(2) ; )h(O fh2
1 hf)y,x(f)y,hxf( 3
xx'2
x'
)h(O h
)y,x(f)y,hx(f)y,x(f 2
x'
65
(3) ; )k(Ofk2
1 kf)y,x(f)ky,xf( 3
yy'2
y'
(4) ; )k(O fk2
1 kf)y,x(f)ky,xf( 3
yy'2
y'
)h(O h
)y,hx(f)y,x(f)y,x(f 2
x'
)k(O k
)y,x(f)ky,x(f)y,x(f 2
y'
)k(O k
)ky,x(f)y,x(f)y,x(f 2
y'
h
)y,ha(u)y,a(u
x
u
n
u : a on in Pour
y)a,(x
66
h
)y,a(u)y,ha(u
x
u
n
u : a on in Pour
y)a,(x
k
)kb,x(u)b,x(u
y
u
n
u : a on jn Pour
b)y(x,
k
)b,x(u)kb,x(u
y
u
n
u : a on jn Pour
)b(x,
Remarque:On doit tenir compte de la
discontinuité de la normale aux sommets du
domaine (frontière non régulière).