Cours MDF Master+Energies+Renouvelables

Méthode des

Différences Finies

Cours de : 2010-2011

Master Energies Renouvelables

Département de Physique

Faculté des Sciences Ben M’Sik

Université Hassan-II Mohammedia-Casablanca

Pr: Hassane. LAHMAM

L.C.S.M

(Volume horaire du cours= 6 H)

I Rappels mathématiques

II Principe de la MDF

III Application de la MDF à des ED de type 1D

IV Application de la MDF à EDP (en 2D)

V Application à des EDP spatio-temporelles

Plan général du cours

Développements des fonctions analytiques

en séries de Taylor

))xx((O)x(f!n

)xx(

))xx((O)x(f!n

)xx()x(f)f(x

1N0

)n(

0x

N

0n

n0

1N0

)n(

0x

N

1n

n0

0

1I Rappels mathématiques

I.1 Série Taylor dans le cas 1D

N est l’ordre de troncature de la série

est le reste (ou erreur) de la

troncature de la série .

))xx((O 1N0

)h(O)x(f!n

h)x(f)hf(x 1N)n(

0x

N

1n

n

00

Autre écriture du développement précédent:

I.2 Série Taylor dans le cas 2D

))yy(,)xx((O

yx

)y,x(f)yy()xx(

!r)!rn(

1

)y,x(f)yf(x,

1N0

1N0

)0y,0x(

N

1nrrn

nr

0rn

0

n

0r

00

2

3

Cas où N=2

)k,h(O

yx

)y,x(fkh

!r)!rn(

1

)y,x(f)ky,hxf(

33)0y,0x(

2

1nrrn

nrrn

n

0r

0000

)k,h(O

yx

)y,x(fkh

!r)!rn(

1

)y,x(f)kyh,xf(

1N1N)0y,0x(

N

1nrrn

nrrn

n

0r

0000

4

)k,h(O

y

)y,x(fk

!2

1

yx

)y,x(fhk

x

)y,x(fh

!2

1

y

)y,x(fk

x

)y,x(fh)y,x(f)ky,hxf(

33

)y,x(

22

)y,x(

2

)y,x(

22

)y,x()y,x(

0000

00

2

0000

2

0000

II Principe de la MDF

La MDF permet de résoudre des EDP en discrétisant

des opérateurs différentiels.

Les dérivées premières et supérieures sont exprimées

en fonctions des inconnues aux nœuds voisins du

domaine discrétisé en un nombre fini de points

(nœuds).

II.1 Approximation de la dérivée totale première

)h(O)x(f!2

h)x(f

!1

h)x(f)hf(x

3)2(2

)1(

)h(O)x(f!2

h)x(f

!1

h)x(f)hf(x

3)2(2

)1(

5

II.1-a Approximation par la différence gauche

(ou arrière ou régressive)

)h(Oh

)hf(x)x(f)x(f

2)1(

II.1-c Approximation par la différence droite

ou progressive

)h(Oh

)f(x)hx(f)x(f

2)1(

II.1-b Approximation centrée

)h(Oh2

)hf(x)hx(f)x(f 2)1(

6

II.2 Approximation de la dérivée totale seconde

)h(Oh

)hf(x)x(f2)hx(f)x(f 2

2)2(

)h(O)x(f!2

h2)x(f2)hf(x)hf(x 4)2(

2

On a la somme

d’où

7

II.3 Approximation de la dérivée partielle première

(1) ; )k,h(O

fk!3

1fhk

!2

1kfh

!2

1fh

!3

1

fk!2

1hkffh

!2

1 kfhf)y,x(f)ky,hxf(

44

yyy'3

xyy'2

xxy'2

xxx'3

yy'2

xy'xx'2

y'x'

8

(2) ; )k,h(O

fk!3

1fhk

!2

1kfh

!2

1fh

!3

1

fk!2

1hkffh

!2


44

yyy'3

xyy'2

xxy'2

xxx'3

yy'2

xy'xx'2

y'x'

II.3-a Approximation à l’ordre deux

La différence (1)-(2) donne:

)k,h(O

fk6

1fhk

2

1kfh

2

1fh

6

12

kfhf2)ky,hxf()ky,hxf(

44

yyy'3

xyy'2

xxy'2

xxx'3

y'x'

Si k=0, on obtient l’approximation centrée suivante:

)h(Oh2

)yh,f(x)y,hx(f)y,x(f 2

x'

De même, si h=0, on obtient :

)k(Ok2

)kyf(x,)ky,x(f)y,x(f

2

y'

9

II.3-b Approximation à l’ordre quatre

(1) ; )h(Ofh!4

1 fh

!3

1fh

!2

1 hf)y,x(f)y,hxf( 5

xxxx'4

xxx'3

xx'2

x'

(2) ; )h(Ofh!4

1 fh

!3

1fh

!2

1 hf)y,x(f)y,hxf( 5

xxxx'4

xxx'3

xx'2

x'

(3) ; )h(Ofh!4

16 fh

!3

8fh

!2

4 hf2)y,x(f)y,h2xf( 5

xxxx'4

xxx'3

xx'2

x'

(4) ; )h(Ofh!4

16 fh

!3

8fh

!2

4 hf2)y,x(f)y,h2xf( 5

xxxx'4

xxx'3

xx'2

x'

10

On considère les développements suivants:

La combinaison 8(1)-8(2)+(3)-(4) donne:

(1) ; )h(Ofh24

1 fh

6

1fh

2

1 hf)y,x(f)y,hxf( 5

xxxx'4

xxx'3

xx'2

x'

(2) ; )h(Ofh24

1 fh

6

1fh

2

1 hf)y,x(f)y,hxf( 5

xxxx'4

xxx'3

xx'2

x'

(3) ; )h(Ofh24

16 fh

6

8fh2 hf2)y,x(f)y,h2xf( 5

xxxx'4

xxx'3

xx'2

x'

(4) ; )h(Ofh24

16 fh

6


xxxx'4

xxx'3

xx'2

x'

)h(O h24

)y2h,f(x)y2h,f(x)y,hx(f8)y,hx(f8)y,x(f

4

x'

11

)k(O k24

)2kyf(x,)2kyf(x,)ky,x(f8)ky,x(f8)y,x(f

4

y'

12De même on a:

On considère la somme:

II.4 Approximation de la dérivée partielle seconde

II.4-a Approximation à l’ordre deux.

)k,h(O fk!4

1fhk

!3!1

1fkh

!2!2

1kfh

!1!3

1fh

!4

12

fk!2

1hkffh

!2

12

)y,x(f2)ky,hxf()ky,hxf(

55yyyy'

4xyyy'

3xxyy'

22xxxy'

3xxxx'

4

yy'2

xy'xx'2

13

Si k=0, on obtient l’approximation centrée

suivante:

)h(Oh

)yh,f(x)y,x(f2)y,hx(f)y,x(f 2

2xx'

De même, si h=0, on obtient:

)k(Ok

)kyf(x,)y,x(f2)ky,x(f)y,x(f 2

2yy'

II.4-b Approximation à l’ordre quatre.


15

(1) ; )h(Ofh24

1 fh

6

1fh

2

1 hf)y,x(f)y,hxf( 5

xxxx'4

xxx'3

xx'2

x'

(2) ; )h(Ofh24

1 fh

6

1fh

2

1 hf)y,x(f)y,hxf( 5

xxxx'4

xxx'3

xx'2

x'

(3) ; )h(Ofh24

16 fh

6


xxxx'4

xxx'3

xx'2

x'

(4) ; )h(Ofh24

16 fh

6


xxxx'4

xxx'3

xx'2

x'

La combinaison 16(1)+16(2)-(3)-(4) donne:

)h(O h12

)y,h2x(f)y,hx(f16)yf(x,30)y,hx(f16)y,h2x(ff

4

2xx'

II.4-c Approximation à l’ordre deux de la

dérivée partielle seconde f,xy.

(1) ; )k,h(O

fk!2

1hkffh

!2


33

yy'2

xy'xx'2

y'x'

(2) ; )k,h(O

fk!2

1hkffh

!2


33

yy'2

xy'xx'2

y'x'

(3) ; )k,h(O

fk!2

1hkffh

!2


33

yy'2

xy'xx'2

y'x'

(4) ; )k,h(O fk!2

1hkffh

!2


33

yy'

2

xy'xx'

2

y'x'

16

La combinaison (1)+(2)-(3)+(4) donne:

)k,h(O hk4

)ky,hx(f)k-yh,f(x)ky,hx(f)ky,hx(ff

22

xy'

17

II.5 Approximation de la dérivée partielle troisième

par rapport à la variable x.



La combinaison (1)+(2)-(3)+(4) donne:

)k,h(O hk4

)ky,hx(f)k-yh,f(x)ky,hx(f)ky,hx(ff

22

xy'

18

II.5 Approximation de la dérivée partielle troisième

par rapport à la variable x.



(2) ; )h(O

fh!4

1fh

!3

1fh

!2

1 hf)y,x(f)y,hxf(

5

xxx'4

xxx'3

xx'2

x'

(4) ; )h(O

fh16!4

1fh8

!3

1fh4

!2

1 hf2)y,x(f)y,h2xf(

5

xxx'4

xxx'3

xx'2

x'

(1) ; )h(O

fh!4

1fh

!3

1fh

!2

1 hf)y,x(f)y,hxf(

5

xxx'4

xxx'3

xx'2

x'

(3) ; )h(O

fh16!4

1fh8

!3

1fh4

!2

1 hf2)y,x(f)y,h2xf(

5

xxx'4

xxx'3

xx'2

x'

19

La combinaison 2(1)-2(2)-(3)+(4) donne

l’approximation centrée suivante:

)h(O h2

)y,h2x(f)yh,f(x2)y,hx(f2)y,h2x(ff

2

3xxx'

20


II.5-b Approximation à l’ordre quatre.

(1) ; )h(Of!6

6hf

!5

5h

f!4

hf

!3

hf

!2

h hf)y,x(f)y,hxf(

7xxxxxx'xxxxx'

xxxx'

4

xxx'

3

xx'

2

x'

(3) ; )h(Of!6

h64f

!5

h32

f!4

h16f

!3

h8f

!2

h4 hf2)y,x(f)y,h2xf(

7xxxxxx'

6

xxxxx'

5

xxxx'

4

xxx'

3

xx'

2

x'

21

(2) ; )h(Of!6

6hf

!5

5h

f!4

hf

!3

hf

!2

h hf)y,x(f)y,hxf(

7xxxxxx'xxxxx'

xxxx'

4

xxx'

3

xx'

2

x'

(4) ; )h(Of!6

h64f

!5

h32

f!4

h16f

!3

h8f

!2


7xxxxxx'

6

xxxxx'

5

xxxx'

4

xxx'

3

xx'

2

x'

22

(5) ; )h(Of!6

h729f

!5

h243

f!4

h81f

!3

h27f

!2


7xxxxxx'

6

xxxxx'

5

xxxx'

4

xxx'

3

xx'

2

x'

(6) ; )h(Of!6

h729f

!5

h243

f!4

h81f

!3

h27f

!2


7xxxxxx'

6

xxxxx'

5

xxxx'

4

xxx'

3

xx'

2

x'

La combinaison 13(1)-13(2)-8(4)+8(5)+(6)-(7)

donne l’approximation centrée suivante:

)h(O h8

)y,h3x(f)y,h2x(f8)y,hx(f13)yh,f(x13)y,h2x(f8)y,h3x(ff

4

3xxx'


II.6 Approximation l’ordre quatre de la dérivée

partielle quatrième par rapport à la variable x.

(1) ; )h(Of!7

7hf

!6

6h

f!5

5hf

!4

hf

!3

hf

!2

h hf)y,x(f)y,hxf(

8xxxxxxxx'xxxxxx'

xxxxx'xxxx'

4

xxx'

3

xx'

2

x'

(2) ; )h(Of!7

7hf

!6

6h

f!5

5hf

!4

hf

!3

hf

!2

h hf)y,x(f)y,hxf(

8xxxxxxxx'xxxxxx'

xxxxx'xxxx'

4

xxx'

3

xx'

2

x'

23

(3) ; )h(Of!7

h128f

!6

h64f

!5

h32

f!4

h16f

!3

h8f

!2


8xxxxxxx'

7

xxxxxx'

6

xxxxx'

5

xxxx'

4

xxx'

3

xx'

2

x'

24

(4) ; )h(Of!7

h128f

!6

h64f

!5

h32

f!4

h16f

!3

h8f

!2


8xxxxxxx'

7

xxxxxx'

6

xxxxx'

5

xxxx'

4

xxx'

3

xx'

2

x'

La combinaison 4(1)+4(2)-(3)-(4) donne

l’approximation centrée suivante:

)h(O h

)y,h2x(f)y,h2x(f8)y,hx(f4)y,x(f6)yh,f(x4)y,h2x(ff

4

4xxxx'

III Application de la MDF à des ED de type 1D

On considère l’équation différentielle linéaire

suivante:

0L)u( avec

L[L,-]x pour 1)x(udx

)x(ud

2

2

III .1 Résolution analytique

1BeAe)x(uxx

th

Avec:

1B.eA.e1B.eA.e

)S( LL

LL

25

1)x(ch

)L2(sh

)L(sh2)x(uth

III .2 Résolution par la MDF

III .2 –a Discrétisation du domaine de résolution

●●●● ● ● ●

x

3

L2x

3

Lx 0x Lx Lx

3

L2x

3

Lx

III .2 –b Approximation de la dérivée totale deuxième

3

L

6

2Lh :avec

)h(Oh

)hu(x)x(u2)hx(u

dx

)x(ud2

22

2

26

III .2 –c Ecriture du problème discrétisé global

6 noeud lepour 1uh

uu2u

5 noeud lepour 1uh

uu2u

4 noeud lepour 1uh

uu2u

3 noeud lepour 1uh

uu2u

2 noeud lepour 1uh

uu2u

62

765

52

654

42

543

32

432

22

321

27

Soit sous la forme matricielle:

6

5

4

3

2

uuuuu

- 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 1 -

avec:

2

2

hh2

Ecriture condensée du problème global discrétisé:

BUA

28

Nœud

Solution

uth-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000

uapp-0.9902 -0.9999 -1.0000 -0.9999 -0.9902

Ecart

relatif x100

0.9760 0.0096 0.0002 0.0096 0.9760

30L

III .2 –c Analyse des résultats

Influence de la longueur L

29

-30 -20 -10 0 10 20 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

u

x

30L

30

Nœud

Solution

uth-0.9987 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9987

uapp-0.9785 -0.9995 -1.0000 -0.9995 -0.9785

Ecart

relatif x100

2.0294 0.0463 0.0020 0.0463 2.0294

20L

31

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

20L

u

x

32

Nœud

Solution

uth-0.9643 -0.9987 -0.9999 -0.9987 -0.9643

uapp-0.9233 -0.9941 -0.9991 -0.9941 -0.9233

Ecart

relatif x100

4.2567 0.4652 0.0812 0.4652 4.2567

10L

33

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

u

x

uapp uex

10L

34

Nœud

Solution

uth-0.8109 -0.9631 -0.9865 -0.9631 -0.8109

uapp-0.7801 -0.9496 -0.9789 -0.9496 -0.7801

Ecart

relatif x100

3.7923 1.4008 0.7742 1.4008 3.7923

5L

35

5L

u

x

uapp uex

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

uapp uex

36

Nœud

Solution

uth-0.2025 -0.3156 -0.3519 -0.3156 -0.2025

uapp-0.2012 -0.3136 -0.3497 -0.3136 -0.2012

Ecart

relatif x100

0.6718 0.6492 0.6416 0.6492 0.6718

1L

37

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

u

x

1L

38

Cas d’une discrétisation à N nœuds

1N

L2h

1N

2

u

u

- 1 0 0

1

0

0

1

0 0 1 -

avec:

39

Nœud

Solution (11)

uth-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000

uapp: N=13 -0.9986 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9986

uapp: N=7 -0.9902 -0.9999 -1.0000 -0.9999 -0.9902

Ecart relatif

x100

0.1330 0.0002 0.0000 0.0002 0.1330

13N ; 30L

Influence du nombre de nœuds40

Nœud

Solution (13) (17) (21)

uth-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000

uapp-0.9998 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9998

Ecart

relatif x100

0.0024 0.0000 0.0000 0.0000 0.0024

25N ; 30L

41

IV.1 Résolution de l’équation de Poisson avec

conditions aux limites de type Dirichlet:

y)(x,pour )y,x(gy)(x,u avec

[bb,-[x]aa,-] y)(x,pour )y,x(f)y,x(u

IV.1-a Discrétisation du domaine de résolution

42

●● ●

● ●

● ●

x

ax

●● ●

●● ●

●● ●

●● ●

●

●

●

●

●

●

ax

by

y

by

O

1 2 3 4 5

109876

11 12 13 14 15

2019181716

21 22 23 24 25

IV.1 –b Approximation de l’opérateur laplacien

)k(Ok

)kyu(x,)y,x(u2)ky,x(u

)h(Oh

)yh,u(x)y,x(u2)y,hx(u

y

)y,x(u

x

)y,x(u)y,x(u

22

22

2

2

2

2

2

b

4

2bket

2

a

4

2ah :avec

43

IV.2 –c Ecriture du problème discrétisé global44

19 noeud lepour )k,h(fk

uu2u

h

uu2u

18 noeud lepour )k,0(fk

uu2u

h

uu2u


uu2u

h

uu2u

14 noeud lepour )0,h(fk

uu2u

h

uu2u

13 noeud lepour )0,0(fk

uu2u

h

uu2u

12 noeud lepour )0,h(fk

uu2u

h

uu2u


uu2u

h

uu2u

8 noeud lepour )k,0(fk

uu2u

h

uu2u


uu2u

h

uu2u

2

241914

2

201918

2

231813

2

191817

2

221712

2

181716

2

19149

2

151413

2

18138

2

141312

2

17127

2

131211

2

1494

2

1098

2

1383

2

987

2

1272

2

876

45

19 noeud ; )k,h(fkh)uu2u(h)uu2u(k

18 noeud ; )k,0(fkh)uu2u(h)uu2u(k


14 noeud ; )h,0(fkh)uu2u(h)uu2u(k

13 noeud ; )0,0(fkh)uu2u(h)uu2u(k

12 noeud ; )0,h(fkh)uu2u(h)uu2u(k


8 noeud ; )k,0(fkh)uu2u(h)uu2u(k


22241914

2201918

2

22231813

2191817

2

22221712

2181716

2

2219149

2151413

2

2218138

2141312

2

2217127

2131211

2

221494

21098

2

221383

2987

2

221272

2876

2

46

19 noeud ; SMuuu

18 noeud ; SMuuuu

17 noeud ; SMuu

14 noeud ; SMuuu

13 noeud ; SMuuuu

12 noeud ; SMuuuu

9 noeud ; SMuuu

8 noeud ; SMuuuu

7 noeud ; SMuuu

19141918

1813191817

171817

1491413

1318141312

121713127

91498

813987

71287

avec:

)kh(2Kh

22

2

2

47

19 noeud ; )k,h(fuuSM

18 noeud ; )k,0(fuSM


14 noeud ; )h,0(fuuSM

13 noeud ; )0,0(fuSM

12 noeud ; )0,h(fuSM


8 noeud ; )k,h(fuSM

7 noeud ; )k,h2(fuuSM

202419

2318

162217

191514

613

1112

1049

38

627et:

19 noeud ; )k,h(f)k,h2(g)k2,h(gSM

18 noeud ; )k,0(f)k2,0(gSM


14 noeud ; )h,0(f)0,h2(gSM

13 noeud ; )0,0(f)k,h2(gSM

12 noeud ; )0,h(f)0,h2(gSM


8 noeud ; )k,h(f)k2,0(gSM

7 noeud ; )k,h2(f)k,h2(g)k2,h(gSM

19

18

17

14

13

12

9

8

7

Ecriture matricielle problème global discrétisé :

19

18

17

14

13

12

9

8

7

19

18

17

14

13

12

9

8

7

SMSMSMSMSMSMSMSMSM

uuuuuuuuu

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

48

IV.1-d Ecriture générique du problème local discrétisé

Direction x

(Ligne I)

●

●

●

● ●

Nœud i+Nx

Nœud i-Nx

Nœud iNœud i-1 Nœud i+1

Direction y

(Colonne J)

)y,x(uk

)ky,x(u)y,x(u2)ky,x(u

h

)y,hx(u)y,x(u2)y,hx(u

i noeud lepour locale Equation

ii2

iiiiii

2

iiiiii

49

uu)Nxi,i(Au)Nxi,i(A

u)1i,i(Au)i,i(Au)1i,i(A

esmatriciell notations lesutilisant enSoit

iNxiNxi

1ii1i

k

1)Nxi,i(A)Nxi,i(A ;

h

1)1i,i(A)1i,i(A

)k

1

h

1(2)i,i(A

22

22

end end

J1)-(I*Nx)J,I(i

1-Nx:2 J for

1-Ny: 2 I for

:par donnéest i interne noeud du numéro Le

I et J sont respectivement les numéros de la Ième

ligne et Jème colonne du maillage.

50

Nœud

Solution

(11) (12) (13) (14) (15)

Uapp pour a=b=30 1.0000 127.8571 286.4286 127.8571 1.0000

Uapp pour a=b=20 1.0000 56.4286 125.7143 56.4286 1.0000

Uapp pour a=b=10 1.0000 13.5714 29.2857 13.5714 1.0000

Uapp pour a=b=5 1.0000 2.8571 5.1786 2.8571 1.0000

Uapp pour a=b=1 1.0000 -0.5714 -2.5357 -0.5714 1.0000

1y)g(x, ; 1y)f(x,5Ny 5;Nx ; 30b ; 30a

III .2 –e Analyse des résultats

Influence de la géométrie

51

-30 -20 -10 0 10 20 300

50

100

150

200

250

300

u

x

30ba

52

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

20

40

60

80

100

120

140

20ba

u

x

53

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

5

10

15

20

25

30

10ba

u

x

54

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 51

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

5ba

u

x

55

1ba

u

x

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

56

Nœud

Solution(11) (12) (13) (14) (15)

Uapp pour Nx=Ny=5 1.0000 127.8571 286.4286 127.8571 1.0000

Uapp pour Nx=Ny=9 1.0000 -89.8382 13.5294 -89.8382 1.0000

Uapp pour Nx=Ny=17 1.0000 7.7450 15.8167 7.7450 1.0000

Uapp pour Nx=Ny=33 1.0000 1.1222 0.6120 1.1222 1.0000

Uapp pour Nx=Ny=65 1.0000 -1.4307 -0.2309 -1.4307 1.0000

Uapp pour Nx=Ny=81 1.0000 XX 0.4472 XX 1.0000

1y)g(x, ; 1y)f(x, ; 30b ; 30a

Influence de nombre de nœuds57

-30 -20 -10 0 10 20 30-150

-100

-50

0

50

100

9NyNx1y)g(x, ; 1y)f(x, ; 30b ; 30a

u

x

58

17NyNx1y)g(x, ; 1y)f(x, ; 30b ; 30a

-30 -20 -10 0 10 20 300

2

4

6

8

10

12

14

16

u

x

59

33NyNx1y)g(x, ; 1y)f(x, ; 30b ; 30a

-30 -20 -10 0 10 20 300.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

u

x

60

65NyNx1y)g(x, ; 1y)f(x, ; 30b ; 30a

-30 -20 -10 0 10 20 30-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

u

x

61

81NyNx1y)g(x, ; 1y)f(x, ; 30b ; 30a

-30 -20 -10 0 10 20 30-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

u

x

62

IV.2 Résolution de l’équation de Poisson avec les

conditions aux limites de type Neumann:

y)(x,pour 0n

u avec

[bb,-[x]aa,-] y)(x,pour )y,x(f)y,x(u

63

n = i

ax ax

by

by

On =- i

n = j

n =- j

64

jn normalvecteur de inférieure frontière lapour y

u

n

u

jn normalvecteur de supérieure frontière lapour y

u

n

u

in normalvecteur de gauche frontière lapour x

u

n

u

in normalvecteur de droite frontière lapour x

u

n

u

IV.2 –a Approximation de la dérivée partielle par rapport

à la variable normale

avec:

(1) ; )h(Ofh2

1 hf)y,x(f)y,hxf( 3

xx'2

x'

(2) ; )h(O fh2

1 hf)y,x(f)y,hxf( 3

xx'2

x'

)h(O h

)y,x(f)y,hx(f)y,x(f 2

x'

65

(3) ; )k(Ofk2

1 kf)y,x(f)ky,xf( 3

yy'2

y'

(4) ; )k(O fk2

1 kf)y,x(f)ky,xf( 3

yy'2

y'

)h(O h

)y,hx(f)y,x(f)y,x(f 2

x'

)k(O k

)y,x(f)ky,x(f)y,x(f 2

y'

)k(O k

)ky,x(f)y,x(f)y,x(f 2

y'

h

)y,ha(u)y,a(u

x

u

n

u : a on in Pour

y)a,(x

66

h

)y,a(u)y,ha(u

x

u

n

u : a on in Pour

y)a,(x

k

)kb,x(u)b,x(u

y

u

n

u : a on jn Pour

b)y(x,

k

)b,x(u)kb,x(u

y

u

n

u : a on jn Pour

)b(x,

Remarque:On doit tenir compte de la

discontinuité de la normale aux sommets du

domaine (frontière non régulière).

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