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Dpartement de Gnie ElectriqueDpartement de Gnie Electrique
COURS DE MATHEMATIQUESCOURS DE MATHEMATIQUES
KHALID SBAIKHALID SBAI
Khalid Khalid SBAI SBAI COURSCOURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES
Ecole Suprieure de TechnologieEcole Suprieure de Technologie Dpartement de Gnie Electrique Dpartement de Gnie Electrique
kh.sbai@yahoo.fr kh.sbai@yahoo.fr
Universit Moulay IsmalUniversit Moulay Ismal
EnseignantEnseignant ChercheurChercheur
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Dpartement de Gnie ElectriqueDpartement de Gnie Electrique
ChapitreChapitre II II
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SERIES ENTIERESSERIES ENTIERES
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OnOn appelleappelle sriesrie entireentire dede variablevariable rellerelle x,x, toutetoute sriesrie dedefonctionsfonctions dontdont lele termeterme gnralgnral (U(Unn(x))(x)) estest dede lala formeforme: :
oo (a(a nn)) dsignedsigne uneune suitesuite dede nombresnombres rels,rels, appeleappele coefficientcoefficientdordredordre nn dede lala sriesrie entireentire . .
( ) n n nU x a x====
I. DEFINITIONSI. DEFINITIONSI.1 DfinitionI.1 Dfinition
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Une srie entire est note:Une srie entire est note:
SelonSelon cettecette dfinition,dfinition, lala sommesomme partiellepartielle (S(Snn)) dede rangrang nn estest ununpolynmepolynme dede degrdegr nn.. ElleElle constitueconstitue doncdonc uneune gnralisationgnralisation dede lala
notionnotion dede polynmepolynme. .
Pour une valeurPour une valeur x x00 fixe defixe de x x , est une srie numrique, est une srie numrique00
n
nn
a x
=
0
n
n
n x
====
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I.2 Lemme (Lemme dAbel)I.2 Lemme (Lemme dAbel)
Soit une srie entire. On suppose quil existe xSoit une srie entire. On suppose quil existe x 00RR
tel que la suite soit borne. Alors la srie:tel que la suite soit borne. Alors la srie:0
n
n
n
a x
=
( )0nn
na x
n
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est absolument convergente pour |x|0 tel que nnNN( )0nn na x
0.n
na x M R2. |x| > R diverge.diverge.
3. |x| = R est le cas douteux o on ne peut rien dire sur la3. |x| = R est le cas douteux o on ne peut rien dire sur lanature de la srie.nature de la srie.
0
n
nn
a x
=
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11.. PourPour
0
n
nn
a x
=
CeciCeci impliqueimplique: :
LaLa sriesrie estest absolumentabsolument convergenteconvergente. .
11 L x x
L<
DoncDonc::
estest lele rayonrayon dede convergenceconvergence dede lala sriesrie..
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ExerciceExercice: :
TrouverTrouver lele rayonrayon dede convergenceconvergence desdes sriessries suivantessuivantes: :
0 !
n
n
xn
=
11..
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22..
33..
21
n
n
xn
=
1 2
n
nn
x
=
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III.1 Continuit de la fonction sommeIII.1 Continuit de la fonction somme
0
n
nn a x
=Soit une srie entire de rayon de convergence RSoit une srie entire de rayon de convergence Ret soitet soit S(x)S(x) la fonction somme de cette srie dfinie par:la fonction somme de cette srie dfinie par:
III. PropritsIII. Proprits des sries entiresdes sries entires
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SS est alors une application continue sur lintervalle deest alors une application continue sur lintervalle de
convergence I = ]convergence I = ]- -R,R[.R,R[.
( ) lim ( )nnS x S x=
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III.2 DrivationIII.2 Drivation dune srie entiredune srie entiren
na x
UneUne sriesrie entireentire peutpeut--tretre drivedrive ouou primitive,primitive, termeterme terme,terme,dansdans touttout intervalleintervalle contenucontenu dansdans lintervallelintervalle dede convergenceconvergence dedelala sriesrie..
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et soit S(x) sa fonction somme dfinie par:et soit S(x) sa fonction somme dfinie par:
Alors S est drivable sur I = ]Alors S est drivable sur I = ]- -R, +R[ et on a:R, +R[ et on a:
0n=
0
( )n
nn
S x a x
=
=
1'
1
( )n
nn
S x n a x
=
=
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III.3 IntgrationIII.3 Intgration dune srie entiredune srie entire
0
n
n
n
a x
=
Soit une srie entire de rayon de convergence RSoit une srie entire de rayon de convergence Ret soit S(x) sa fonction somme dfinie par:et soit S(x) sa fonction somme dfinie par:
n
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on considre la fonction F: I = ]on considre la fonction F: I = ]- -R, +R[R, +R[ |R|R dfinie par:dfinie par:
Alors F(x) = S(x)Alors F(x) = S(x) xx I = ]I = ]--R, +R[ .R, +R[ .
0n
n x a x== ,
x +
1
0
( )1
nn
n
aF x xn
+
=
=+
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sisi0
( )n
nn
S x a x
=
= RemarqueRemarque
avec aavec a nn |R et|R et xx I = ]I = ]--R, +R[ , alors:R, +R[ , alors:
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0 0 00 0
( ) n n x x xn nn n
S t dt a t dt a t dt
= =
= =
11
0 11n n
n n
n n
a a x xn n
+
= == =+
xx ]]--R, +R[ .R, +R[ .
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IV.IV. Oprations sur les sries entiresOprations sur les sries entires
n
na x
Soit et deux sries entires a antSoit et deux sries entires a antn
nb x
Les sries entires de coefficients aLes sries entires de coefficients a nn etet aa nn ont le mmeont le mmerayon de convergence.rayon de convergence.
IV.2 Somme de deux sries entiresIV.2 Somme de deux sries entires
IV.1 Multiplication dune srie entire par un scalaireIV.1 Multiplication dune srie entire par un scalaire
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0n =
respectivement Rrespectivement R 11 et Ret R 22 comme rayon de convergence. Alorscomme rayon de convergence. Alors lele
rayon de convergence R de la srie est: rayon de convergence R de la srie est:
1. si R1. si R 11 RR 22,,
2. R R, si R2. R R, si R 11 = R= R 22 = R= R
''1 2m in ( , ) R R R=
0n =
( )0
n
n nn
a b x
=
+
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ExempleExemple
Soient les deux sriesSoient les deux sries
Les deux sries ont pour rayon de convergence R = 1. Par contreLes deux sries ont pour rayon de convergence R = 1. Par contre
0( )
n
n f x x
== 0
1 2
( ) 2
nn
nng x x
=
=
etet
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a pour rayon de convergence R = 2.a pour rayon de convergence R = 2.
0
1( )( )
2
n
nn
f g x x
=
+ =
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V. Dveloppement dune fonction en srie entireV. Dveloppement dune fonction en srie entire
SoitSoit f f uneune fonctionfonction rellerelle dede lala variablevariable rellerelle dfiniedfinie dansdans unun
voisinagevoisinage dede 00.. OnOn ditdit queque f f estest dveloppabledveloppable enen sriesrie entireentireautourautour dede 00 silsil existeexiste uneune sriesrie entireentire rellerelle dede rayonrayon dedeconvergenceconvergence RR nonnon nulnul etet unun relrel strictementstrictement positif positif rr teltel queque::
V.1 DfinitionV.1 Dfinition
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0( )
n
nn
f x a x=
= ] [, x r r +V.2 PropositionV.2 Proposition
PourPour quunequune fonctionfonction f f soitsoit dveloppabledveloppable enen sriesrie entireentire auau
voisinagevoisinage dundun pointpoint xx00 |R,|R, ilil estest ncessairencessaire quellequelle soitsoit dede classeclasseCC dansdans unun voisinagevoisinage ]x]x00-- , , xx00+ [+ [ dede xx00 etet dansdans cece cascas onon aa::
( )( )
00
0
( )( )
!
nn
n
f x f x x x
n
=
= ] [, x r r +
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V.3 PropositionV.3 PropositionSoitSoit f f :: ]r,]r, r[r[ |R|R uneune applicationapplication dede classeclasse CC dansdans ununvoisinagevoisinage dede 00.. OnOn supposesuppose quilquil existeexiste MM >> 00 teltel queque pourpour touttoutnn NN ,, etet pourpour touttout xx ]] r,r, r[,r[,
( ) ( )n f x M
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Alors la srieAlors la srie
est simplement convergente dans ]r, r[ et on a:est simplement convergente dans ]r, r[ et on a:
( )
0
(0)!
n n
n
f xn
=
( )
0
(0)( )
!
nn
n
f f x x
n
=
= ] [, x r r +
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Preuve:Preuve:En effet, si:En effet, si:
0
( ) nnn
f x a x
=
= Par application de la proposition prcdente on a :Par application de la proposition prcdente on a :
' 1n x na x
=
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1
n
n =
( ) ( ) ( 1)( 2).......( 1)k n k nn k
f x n n n n k a x
=
= +
De cette expression, il rsulte queDe cette expression, il rsulte que ( ) (0) !k k f a k =
Cest dire que:Cest dire que:( ) (0)
!
k
k
f a
k =
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1
1
ln (1 ) ( 1)n
n
n
x xn
+
=
+ =
0 !
n x
n
xe
n
=
=
1 n
=
Intervalle de convergence ]Intervalle de convergence ]- - ,, [[
Intervalle de convergence ]Intervalle de convergence ]- -1, 1[1, 1[
Intervalle de conver enceIntervalle de conver ence - -1 11 1
Quelques sries entires connatreQuelques sries entires connatre
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01 n x =
1
(1 ) 1 ( 1)...( 1)!
n
n
x x n
n
=
+ = + + Intervalle de convergence ]Intervalle de convergence ]- -1, 1[1, 1[2 1
0
sin( )(2 1)!
n
n
x xn
+
=
=+ Intervalle de convergence ]Intervalle de convergence ]- - ,, [[
2
0
cos( ) ( 1)(2 ) !
nn
n
x x
n
=
= Intervalle de convergence ]Intervalle de convergence ]- - ,, [[
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FINFIN
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