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Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre :
"Accès à l'université" chez DUNOD
Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les
démonstrations, ni certains schémas et exemples vus en cours.
Pour une bonne compréhension du cours, la présence et l'écoute en cours restent
vivement conseillés.
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Chapitre VII :
Fonction logarithme,
exponentielle,
puissance
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I. Fonction logarithme népérien 1) Définitions Quand � ∈ ℤ − {−1} la fonction � ⟼ � admet pour primitives sur ℝ�
∗ , les fonctions
� ⟼ ����
��+ � ou c est une constante réelle. Or sur ℝ�
∗ , la fonction � ⟼ �� est
continue, elle admet donc des primitives sur ℝ�∗ :
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Definition :
On appelle fonction logarithme népérien, noté ln, la primitive sur ℝ�∗ , qui s’annule
en 1 de la fonction � ⟼ ��
Remarque : d’autres notations sont possibles, on a :
ln(x)=ln x = Log x=L x
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2) Propriétés essentielles
A. Conséquences immédiates de la définition
ln 1 = 0 et pour tout � ��]0 , +∞[ "ln x$% = ��
On note indifféremment : "ln x$% = ln ′� = ''�
ln �
Si la fonction ( est dérivable sur ) :
• Si ("�$ > 0, ''�
ln"("�$$ = +,"�$+"�$
-(. )
• Si ("�$ ≠ 0, ''�
ln |("�$ | = +,"�$+"�$
-(. )
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Exemples :
• sur ] − 1, +1[ ''�
ln"1 − �²$ = 23��2�²
• sur ] − ∞, −1[ ∪]1, +∞[ ''�
ln"�3 − 1$ = 3��²2�
• sur ℝ − {−1,1} ''�
ln |1 − �3 | = ''�
ln |�3 − 1 | = 3��2�²
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B. Propriétés algébriques
Soit a et b deux nombres réels strictement positifs, on a :
• 56 7 × 9 = 56 7 + 56 9
• 56 79
= 56 7 − 56 9
• 56 7: = : 56 7 avec � ∈ ℚ
• "<: 7 = <: 9$ ⟺ "7 = 9$
• "<: 7 > >� ?$ ⟺ "7 > ?$
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3) Limites 5@A
�→C�56 D = −∞, la courbe représentative de ln admet pour asymptote l’axe des
ordonnées.
5@A �→�E
56 D = +∞ FG 5@A �→�E
56 DD
= C , la courbe représentative de ln admet une
branche parabolique de direction les abscisses
5@A �→�
56 DD2�
= 5@A H→C
56"��I$I
= � est la valeur de la dérivée en 1
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4) Le nombre e
Le nombre solution unique dans ℝ�∗ de l’équation ln x = 1 est noté e, on a donc ln e =
1
Remarque :
� ≈ 2,718281828 … est un nombre irrationnel et on peut noter que � = 1 + ��!
+�3!
+ �P!
+ ⋯
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5) Tableau de variations et représentation graphique Dans un repère orthonormé, on a :
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Remarque :
La fonction ln est une bijection de]0; +∞[ -(. ] − ∞; +∞[, elle est strictement
croissante sur ]0; +∞[
• Elle admet une fonction réciproque
• Si a et b sont 2 nombres réels strictement positifs, on a :
ln S = ln ? ⇔ S = ?
ln S < ln ? ⇔ S < ?
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II. Fonction exponentielle
népérienne 1) Définitions La fonction exponentielle népérienne souvent appelée fonction exponentielle (notée
exp) est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. On a :
V = FDW"�$ ⇔ � = 56 V
7XYZ � ∈ ℝ Y[ V ∈ ℝ�∗
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Remarque :
Pour tout � �� ℝ, ln"��$ = �
Pour tout � �� ℝ�∗ , e]^ _ = �
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2) Propriétés La réciprocité des fonctions ln et exp, et les propriétés de la fonction ln permettent
d’obtenir les résultats suivants :
A. Propriétés algébriques
Soit ` �a b deux nombres réels :
YC = �
Y� = Y
Y∝ > 0
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Y7 × Y9 = Y7�9
Y7
Y9 = Y729
"Y7$: = Y:.7
"Y7 = Y9$ ⟺ "7 = 9$
"Y7 > Y9$ ⟺ "7 > ?$
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B. Dérivées
La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ telle que :
"Y�$% = Y�
Si u est dérivable sur un intervalle I,
ee�
Yf"�$ = gYf"�$h%
= f%"�$. Yf"�$
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C. Limites
5@A D→2E
FD = C� La courbe représentative de �� admet pour asymptote l’axe des
abscisses.
5@A D→�E
FD = +∞ et et et et 5@A D→�E
FD
D= +∞ La courbe représentative de �� admet une
branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
5@A D→C
FD2�D
= � est la valeur de la dérivée de �� en 0
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3) Tableau de variations et représentation graphique
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III. Les fonctions logarithme et
exponentielle de base a Pour a>0
La fonction � ↦ S� définie par S� = ��.]^ } est appelée exponentielle de base a
On peut noter :��~}"�$ = S�
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Pour 7 > 0 �a S ≠ 1
La fonction � ↦ >��}"�$ définie par >��}"�$ = ]^ �]^ }
est appelée logarithme de base a
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Remarques :
• La fonction logarithme népérien est la fonction logarithme de base e >�"�$ =]^ �]^ �
= >���"�$
• La fonction logarithme de base 10 est la fonction logarithme décimal >��"�$ =]^ �
]^ ��
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• Formules de changement de base
Si S �a ? ∈ ℝ�∗ − {1}�� S
<��9"�$ = 56 �56 9
= 56 �56 7
× 56 756 9
= <��7"�$ × <��9"7$
9� = Y�.56 9 = Y�.56 7×56 956 7 = Y�.56 7×<��79 = 7�×<��79
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Pour 7 > 0 �a S ≠ 1
V = 7� ⇔ <: V = <: 7�
⇔ <: V = �. <: 7
⇔ � = <: V<:7
⇔ � = <��7V
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Les propriétés des exp et log en base a se déduisent immédiatement des exp et log de base e.
En particulier :
• S� = 1 • S� × S� = S���
• }�
}� = S�2�
• �
}� = S2�
• "S�$� = S�×�
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Dans le plan muni d’un repère orthonormé :
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IV. La fonction puissance (avec
exposants réels) On sait que �� = ��.]^ � donc on retrouve des résultats déjà connus :
���
�� =�
����.]^ � =
��
��.]^ � =��
�� = �. ��2�
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On pourra donc étudier les fonctions du type :
� ↦ f"�$X"�$ 7XYZ f"�$ > 0
En ramenant
f"�$X"�$ = YX"�$.56 f"�$
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V. Conséquences des limites des
fonctions log, expo et
puissance
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4) Croissance comparée A partir des deux résultats fondamentaux suivants :
5@A �→�E
56 DD
= C�
5@A D→�E
FD
D= +∞
On peut démontrer les 4 résultats suivants
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Si S �a � -��a ��(� ���?.�- .é�>- S��� S > 1 �a � > 0
5@A �→�E
56 DDA = C
5@A D→�E
�D
DA = +∞
On a coutume de dire "mais ce n’est pas une démonstration$ que au voisinage de l’infini, l’exponentielle de base >1 « l’emporte » sur la fonction puissance et la fonction puissance « l’emporte » sur la fonction ln
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Si S �a � -��a ��(� ���?.�- .é�>- S��� S > 1 �a � > 0
5@A �→C�
DA. 56 D = C
5@A �→2E
|D|A. �D = C