Coloration gap sommet identifiante de graphes

12èmes journée Journées Graphes et Algorithmes (JGA’10), Marseille France.

Mohammed Amin TahraouiEric DuchêneHamamache Kheddouci

Université de Lyon 1

Plan

Coloration de graphe

Coloration arêtes

Étiquetage des sommets

Coloration sommet identifiante

Définition

Variantes du problème

Coloration Gap sommet-identifiante

Formalisation

Résultats

Perspectives

2

Colorations de graphe Coloration arêtes

Affecter à toutes les arêtes de graphe G=(V,E) une couleur de telle

sorte que deux arêtes adjacentes n’aient jamais la même couleur.

c :E {0,1,…,k-1}

’ (G) : Le nombre minimum de couleurs à utiliser pour

obtenir une coloration arête.

Théorème de Vizing’s : Δ ≤ ’ (G) ≤ Δ +1

12

(G) =3

3

1

2

3

3

Colorations de graphe Etiquetage des sommets

Sommet-identifiante (Vertex-distinguishing ) L’étiquetage des sommets est appelé sommet-identifiant si chaque

sommet de G est déterminé uniquement par son étiquette.

Sommet adjacent -identifiante (Adjacent vertex-distinguishing )L’étiquetage des sommets est appelé sommet adjacent-identifiant si deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur.

Une coloration des arêtes peut induire une coloration sommet-identifiante ou une coloration sommet adjacent -identifiante

Coloration Sommet-Identifiante (Vertex-Distinguishing Edge Colorings)

4

Coloration sommet-identifianteDéfinition

Irregular weighting(Chartrand et al ,86)

1

2 2

3

3

2

6

32

3

5

8

610

7

9

5

Coloration des arêtes qui permette de distinguer

via une fonction de codage c

propreimpropre Tous Les sommets

Sommets adjacentsSommeUnion setUnion multi-set

vertex-distinguishing edge-colorings (Burris & Schelp, 97)

{1,2}

{2,4}{1,4}

{1,5}

{1,2,3}{1,3}1

2 2

4

3

1

5

31 {3,5}

ev

efvc )()(

ev

efvc

)()(

Coloration sommet-identifiante Variantes de problème

Propre impropre Tous Les sommets

Sommets adjacents

Sum Set Multi-set Reference

Irregular weighting

x x x Chartrand et al ,86

vertex-colouring edge-weighting

x x x Karonski et al, 04

VD-coloring x x x Burris & Schelp, 97

Adjacent strong edge coloring

x x x Zhang et al ,02

point distinguishing edge-coloring

x x x Harary & Pltholtan,85

detectablecoloring

x x x Chartrand et al ,06

vertex-colouring edge-partition

x x x Addario-Berry et al 04

General neighbour-distinguishing

x x x Ervin et al, 05

Coloration arête Identifiante Fonction de codage

Coloration Gap sommet-identifianteDéfinition

via une fonction de codage c. Somme Union setUnion multi-set

7

Gap

Coloration des arêtes qui permette de distinguer properNon proper Tous Les sommets

Sommets adjacents

Coloration Gap sommet-identifiante Formalisation

Définition 1 Soit un graphe G=(V, E)Soit f : E → {1,……k} Pour chaque sommet v de G :

7

1 2

9

6

2

2

32

109

10

6 5

7

4

0

1

8

Max

Min

Nombre chromatique gap (G): Le plus petit k tel que G admette une

coloration Gap-sommet-identifiante

Max f(e) v ∈ e - Min f(e) v ∈ e si d(v)>1

f(e) si d(v)=1 c(v)=

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Bornes inférieures

Théorème 1 Soit G un graphe de n sommets tel que G ne contient aucune composante isomorphe à K1 ou K2

gap(G) ≥ n si (i) δ(G) ≥ 2 ou (ii) Tout sommet de degré au moins égale à 2 possède au moins deux sommets adjacents de degré 1 gap (G) ≥ n − 1 Sinon

4

1

2

3

5

0

1

02

3

2

4

41

1

30

3

3

234

1

32

1

5

5

Bornes supérieures

Conjecture: Pour tout graph connexe G d’ordre n>2 gap(G) ≤ n+1

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Graphe de degré minimum δ (G) ≥ 2

Théorème 2 (Résultat principal)

Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k ≥ 2,

gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a)

gap(G) = n+1 sinon (b)

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Théorème 3 :

gap(Cn) = n, si n=0, 1(mod 4) (a)

gap(Cn) = n+1 si n=2, 3(mod 4) (b)

Cycle

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Coloration Gap sommet-identifiante

(a) : gap(Cn) = n Si n=0, 1(mod 4)

gap(Cn) ≥ n gap(Cn) ≤ n ? ? ?

Case (a).1 : n mod 4 =0

n/2 i mod 4=2f(ei) =

(i+1)/2 i impaire

n i mod 4=0

c(vi) =

n-(i+1)/2 i mod 4=1

(n-i)/2 i mod 4=2(n –i-1)/2 i mod 4=3

n-(i/2) i mod 4=0

f(e1)=1

2

4

8

3

4

4

8

7 3

2

6

51

4

0

gapCn) ≤ n ?

Case a.2 : n mod 4 =1

n-1 i mod 4=2f(ei) =

i i paire

n i mod 4=0

f(e1)=1

8

3

9

58

8

7

9

7

5

6

4

3

0

1

2

8

gap(Cn) =n

c(vi) =

n-1 i mod 4=2

n-i+1 i mod 4=0

n –i-1 i mod 4=3

n-i i mod 4=1

Coloration Gap sommet-identifiante

(a) : gap(Cn) = n Si n=0, 1(mod 4)

gap(Cn) > n ? ? ?

Chaque terme f(ei) apparaît deux fois avec le même signe (ou par deux signes différents)

Contradiction !!!!(n (n-1)/2 est impaire Si n=2, 3(mod 4) )

gap(Cn) > n

Coloration Gap sommet-identifiante

(b) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4)

o gap(Cn) ≥ n+1

o gap(Cn) ≤ n+1 ? ? ?

Case (b).1 : n mod 4 =3

n+1 mod 4= 0 (gap(Cn+1) = n+1)

Cn+1 doit contenir deux bords successifs de mêmes couleurs.

8

6

5

gap(Cn) = n+1

1

2

4

3

4

4

8

7 3

2

1

4

0

Coloration Gap sommet-identifiante

(b) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4)

4

gap(Cn) ≤ n+1 ?

Case (b).2 : n mod 4 =2

f(en)= f(en-1)=2, f(en-2)=3 et

1 i mod 4=2Pour 1≤ i ≤ n-3, f(ei) =

n+2-i i paire

2 i mod 4=0

f(e1)=7

1

52

2

6

4

21

0

5

gap(Cn) =n+1

Coloration Gap sommet-identifiante

(a) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4)

3

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Coloration arête équilibrée

Définition 2Pour chaque sommet v de G=(V, E):

Soit un intervalle I(v)=[Min f(e) v ∈ e , Max f(e) v ∈ e ] Une coloration arête f de G est une coloration équilibrée si seulement si : Pour toute pair u,v de V : I(u) ∩ I(v)≠ Ø

I(v1)=[1,6]

v1

5

3

1

6

5

v2

v3

v4

I(v1) ∩ I(v2) ∩ I(v3) ∩ I(v4) ={5}

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Théorème 4 :Soit G un graphe avec δ(G) ≥ 2. 1.S'il existe un sous-graphe couvrant H de G tel que δ(H) ≥2 2.S’il existe une coloration arête équilibrée de H tel que gap(H) ≤ k.

gap(G) ≤ k.

Preuve gap(H) ≤ k. Pour toute (u,v) de V:

c(u)≠c(v) et f : coloration équilibrée : x∈ I(u) ∩ I(v)

Pour toute (u,v) ∈ E(G)/E(H), f(e)=x,

gap(G) ≤ k.

3

0

2

2

4

2

1

2

I(v1) ∩ I(v2) ∩ I(v3) ∩ I(v4) ={2}

2

Théorème 5Pour tout graphe 2-arête-connexe G d’ordre n tel que G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4), nous avons

gap(G) = n

Idée de preuve Proposer une coloration arête équilibrée d’un sous-graphe couvrant G’ de G.

Algorithme Polynomial

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Notations

Au cours de l'algorithme:

Soit Sc l’ensemble courant des sommets codés .

Initialement Sc= Ø.

Un sommet v est inséré dans Sc si et seulement si il est incident à  au

moins deux arêtes colorées (e1,e2). On fixe c(v) à |f(e1)-f(e2)|.

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

1

8

7

Sc

N(Sc)

P(u)

vu

Notations

Une fonction N(Sc) retourne l'ensemble des sommets voisins de Sc et

non encore inclus dans l’ensemble Sc.

Pour chaque sommet u de N(Sc), soit la fonction P(u) qui renvoie une

chaine entre deux sommets de Sc qui passe forcément par le sommet u.

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Algorithme

Input: un graphe 2-arête-connexe G = (V, E) d'ordre n, différent d'un cycle

de longueur 1, 2 ou 3 (mod 4).

Output: une coloration gap sommet-identifiante de G avec n couleurs.

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Etape 1: Prendre un sous-graphe H de G tel que H est isomorphe à :

Cycle de longueur multiple de 4.

Deux cycles distincts ayant au moins un sommet commun.

Observation

Par hypothése, si G est différent d'un cycle de longueur multiple de 4, Alors Δ(G) ≥3 , le sous-graphe H peut être toujours

obtenu à partir de G.

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Etape 2: Coloration de sous-graphe H (10 fonctions de coloration)

Par exemple : H est un cycle de longueur multiple de 4

Sc=V(H)

1 i mod 4=2f(ei) =

n-i+1 i impaire

2 i mod 4=0

1

8

7

2

6

6

5

4

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Principe1. Pour tout sommet v de H : 2 I(v)∈2. Pour toute paire de sommets (u,v) de H, c(u)≠c(v)

Etape 3: Choisir un sommet u ∈N(Sc),

Soit une chaine R=P(u) d’ordre k

Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R selon la valeur k mod

4=0,1,2,3.

Sc= Sc U V(R)

Si |Sc|<|V|

1

8

7

2

6

6

5

4

u5

2

3

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Principe1. Pour tout sommet v de Sc : 2 I(v)∈2. Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)≠c(v)

Etape 3: Choisir un sommet u ∈N(Sc),

Soit une chaine R=P(u) d’ordre k

Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R selon la

valeur k mod 4=0,1,2,3.

Sc= Sc U V(R)

1

8

7

2

6

6

5

4

u

Principe1. Pour tout sommet v de Sc : 2 I(v)∈2. Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)≠c(v)

5

2

3

5

32

2 2

1

0

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Etape 4:

Pour chaque sommet v de G : 2 I(v)∈

Pour toute paire de sommets (u,v) de G, c(u)≠c(v)

Pour chaque arête non-colorée: f(e) =2

Fin de l’algorithme

gap(G)=n.

1

8

7

2

6

6

5

4

5

2

3

5

32

2 2

1

0

2

2

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Corollaire 6Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k>2, nous avons gap(G)=n

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Pour tout entier k>2, tout graphe k-arête-connexe contient un sous-

graphe 2-arête connexe couvrant G’ différent d'un cycle.

Selon l’algorithme précédent, G’ admet une coloration Gap sommet

identifiante équilibrée

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Nous pouvons maintenant conclure que le résultat du Théorème 2 est

une conséquence directe du Théorème 3 et le Corollaire 6.

Théorème 2 (Résultat principal)

Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k ≥ 2,

gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a)

gap(G) = n+1 sinon (b)

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Graphe de degré minimum δ (G) = 1

Théorème 7 :

gap(Pn) = n, si n=2, 3(mod 4) (a)

gap(Pn) = n-1 si n=0, 1(mod 4) (b)

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Théorème 8 Pour tout arbre binaire complet BT d’ordre n > 3, nous avons

gap(BT) = n − 1.

Théorème 9Soit T un arbre de n sommets tel que T a au moins deux feuilles à une distance égale à 2, nous avons

gap(T) ≤ n.

Graphe de degré minimum δ (G) = 1

Coloration Gap sommet-identifiante Perspective

Conjecture 2 (Graphe de degré minimum δ (G) ≥ 2)

Pour tout graphe G d’ordre n avec un degré minimum δ (G) ≥ 2,

gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a)

gap(G) = n+1 sinon (b)

Conjecture 3 (Arbre)

Pour tout arbre T d’ordre n ≥ 3,

gap(T) = n, si la condition (ii) du Théorème 1 est remplie (a)

gap(T) = n-1 sinon (b)

34

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