Post on 17-Aug-2020
81
CHAPITRE III
ELASTOPLASTICITE DES SYSTEMES
DE BARRES EN FLEXION
82
83
1. Calcul élastoplastique d’une poutre console sous charge concentrée
Une poutre de longueur 2l, encastrée à son extrémité O et en appui simple au point B, est
soumise à une charge verticale concentrée d’intensité Q, appliquée en son milieu A, que l’on fait
croître progressivement à partir d’une valeur initiale nulle. La figure 1 montre l’allure générale,
affine par morceaux, d’un diagramme de moments fléchissants statiquement admissible pour le
problème. Il dépend de la réaction d’appui Y au point B, que l’on peut prendre comme inconnue
hyperstatique du problème (structure hyperstatique d’ordre 1). Il vient alors immédiatement :
lx lxlY
lx xlQxlY
xM
2 si )2(
0 si )()2(
)( (3.1)
OA
B
Q
Y
l l
Yl
lQY )2(
x
y
Figure 1. Diagramme de moments fléchissants statiquement admissibles pour une poutre sous
charge concentrée
Dans le cadre de la modélisation «poutre», la loi de comportement est du type moment-
courbure. Partant de la résolution du problème d’évolution élastoplastique pour un élément de
poutre, effectuée au chapitre II-section 4, on adoptera une schématisation simplifiée, de type
élastique parfaitement plastique, du diagramme de la figure 13 de ce chapitre (figure 2), dans
laquelle le comportement de l’élément de poutre demeure élastique tant que le moment de flexion
est inférieur à la valeur limite lM .
Le tableau ci-après récapitule les différents cas rencontrés selon les valeurs de MM et , dans
l’hypothèse où la valeur du moment limite est la même en flexion positive et négative. Il apparaît
notamment que, en raison du fait que dans le cas de la charge plastique 0M , le taux de
courbure est purement plastique, avec le même signe que celui du moment de flexion.
84
M
lM
eM
zEI
Figure 2. Schématisation simplifiée de la loi de comportement «moment-courbure» d’une poutre
en flexion élastoplastique
ll MMM
ze EIMM /
lMM
0M
0M
z
e EIM /
0
0
/
p
zEIM
lMM
0M
0M
z
e EIM /
0
0
/
p
zEIM
1.1. Phase de comportement élastique
Partant d’un état initial ( 0Q ) naturel (diagramme de moments nul) on augmente
progressivement la valeur du chargement. Le comportement de la poutre est alors en tout point
élastique, soit :
)(d
d)()( 2,0
2
2
xx
vEIxEIxMlx zz (3.2)
où v(x) désigne la flèche au point x, comptée positivement dans le sens de l’axe Oy, le moment
fléchissant M(x) étant positif selon le sens de l’axe Oz. La procédure de résolution directe de ce
problème est classique. Elle consiste à intégrer à deux reprises l’équation (3.2) où l’on tient
compte de (3.1), et à exprimer les différentes conditions aux limites :
85
encastrement en O : 0)0(d
d)0( x
x
vxv (3.3(a))
appui simple en B : 0)2( lxv (3.3(b))
ainsi que la condition de continuité de la flèche et de la rotation au point A :
)(d
d )(
d
d , )()( lx
x
vlx
x
vlxvlxv (3.4)
Le diagramme des moments fléchissants solution est alors après calculs (figure 3) :
lx lxlQ
lx lxQ
xMQ
Y
2 si )2(16
5
0 si 32
11
8)( 16
5 (3.5)
tandis que la flèche en tout point a pour expression :
lx lllxxxlEI
Qx
lx lx-EI
Qx
xv
z
z
2 si 8205296
0 si 181196
)(22
2
2
(3.6)
O A B
Q
16/5Ql
8/3Ql
zEIQlq 96/7 3
16/5QY
Figure 3. Diagramme de moments fléchissants et déformée de la structure dans la phase de
comportement élastique
d’où en particulier le déplacement q du point d’application de la charge (compté positivement
dans le sens des y négatifs) :
86
zEI
Qllxvq
96
7)(
3
(3.7)
Cette solution reste valable tant que lxMxM l 2,0 )( , c’est-à-dire compte tenu de
(3.5), tant que le moment à l’encastrement O est supérieur à lM . La limite d’élasticité qui
correspond à la plastification en flexion négative à l’encastrement est donc égale à :
l
MQMQlxM
lel
3
88/3)0( (3.8)
le déplacement correspondant valant :
z
lee
EI
lMQQqq
36
7)(
2
(3.9)
Remarque.
L’analyse de la structure en phase élastique, faite ici par l’approche directe, peut être réalisée
de manière totalement équivalente en recourant au théorème du potentiel minimum pour le calcul
de l’inconnue hyperstatique (équation (3.5)) et au théorème de Castigliano pour le calcul de la
flèche q (équation (3.7)).
1.2. Phase élastoplastique ; notion de rotule plastique
Le chargement étant poursuivi au-delà de la limite d’élasticité, on peut tout d’abord penser à
faire l’hypothèse d’une zone plastique se propageant à partir de l’encastrement, c’est-à-dire que
le moment limite en flexion négative serait atteint sur un intervalle de la forme 0 ,0 x :
00 )( xx MxM l (3.10)
Or une telle hypothèse ne peut convenir, car le diagramme de moments de la forme (3.10) qu’elle
implique ne peut être statiquement admissible, c’est-à-dire de la forme (3.1).
On propose alors une solution alternative consistant à admettre que seule la section située à
l’encastrement O reste plastifiée, le reste de la structure demeurant élastique. Compte tenu des
conditions d’équilibre, le diagramme de moments est alors nécessairement de la forme (figure 4) :
lxlxllMQ
lxxlMQM
xMQQl
ll
e
2 2/)2( /
0 2/ /
)( : (3.11)
87
La déformation (courbure) plastique, localisée au seul encastrement, est nécessairement de la
forme :
)()( 0 xx pp (3.12)
OA
B
Q
2/)/( lMQY l
2/)( QlM l
)(xv
lMxM )0(
)0(d/d xxvp
rotule
plastique
Figure 4. Diagramme des moments et déformée de la structure en phase élastoplastique
où 0 désigne la distribution de Dirac au point x=0, tandis que p représente la discontinuité de
rotation purement plastique (et donc totale puisqu’il n’y pas de discontinuité de rotation
élastique), en ce même point (figure 4), qui vaut alors :
)0(d
d)0(
d
d)0(
d
d
x
x
vx
x
vx
x
vp (3.13)
Il en résulte que le champ de déformation de courbure totale s’écrit :
)()(
)()()(d
d02
2
xEI
xMxxx
x
v p
z
pe (3.14)
et donc le champ de rotation, obtenu par intégration de (3.14), en tenant compte de (3.11) :
lxllxlxlMQllMQlM
lxxlMQxM
EI
xHxx
v
lll
ll
z
p
2 4/)3)(( )/(4/ /
0 4/ /1
)()(d
d
2
2
(3.15)
88
où H(x) désigne la fonction d’Heaviside ( 1)0( ,0)0( xHxH ). La déformée de la
structure (figure 4) est obtenue par intégration de (3.15) en tenant compte de la condition
0)0( xv . On obtient ainsi tous calculs faits :
lxllxlxlMQlxllMQ
lxlMllMQlM
lxxlMQxM
EI
xxv
ll
lll
ll
z
p
2 /12)4()/(4/)()/(
)( 12/ /2/
0 12/ /2/
1
)(
22
32
32
(3.16)
En exprimant alors que la flèche est nulle au point B )2( lx , il vient :
03/3/41
2)2( 32 QllMEI
llxv l
z
p (3.17)
d’où la valeur de la discontinuité de rotation plastique à l’encastrement
QQEI
lQlM
EI
l e
z
l
z
p 4
3/84
22
(3.18)
Cette dernière relation permet de montrer que la règle d’écoulement plastique est bien vérifiée
au niveau de la rotule plastique (rotule plastique «négative»), puisque :
04
0 , 2
QEI
lMMM
z
pl (3.19)
q
Q
lMQ le 3/8
lMQ ll /2 lMQ ll /3
Figure 5. Courbe charge-déplacement
89
Dans cette phase de comportement élastoplastique, l’expression du déplacement du point
d’application de la charge s’écrit :
ee
z
l
z
qQQEI
lMQl
EI
llxvq
646)(
32
(3.20)
qui correspond au second segment de droite de la courbe charge-déplacement représentée sur la
figure 5.
1.3. Charge limite et mécanisme de ruine plastique
La solution mise en évidence dans la phase de comportement élastoplastique demeure valable
tant que le point A où le moment est maximal reste élastique, soit :
l
MQQMQlM
llll 3 2/)( (3.21)
Cette valeur du chargement ne peut être dépassée. En effet, un diagramme de moments
fléchissants statiquement admissible avec une valeur Q du chargement est de la forme (3.1). Il
respecte le critère de plasticité en tout point de la structure si et seulement si les moments
extrêmes aux points O et A satisfont ce critère :
ll MYl-QlMYl 2 et (3.22)
OA
B
lMQQ ll /3
lMY l /
lM
lM
y
0p
02 p
Figure 6. Diagramme des moments associé à la charge limite et mécanisme de ruine plastique
Il est alors facile de voir que les deux inégalités précédentes ne peuvent être simultanément
satisfaites si lMQQ ll /3 . En d’autres termes il n’est pas possible d’équilibrer une valeur du
chargement strictement supérieure à lQ par une distribution de moments fléchissants qui respecte
le critère de plasticité. Il s’agit encore une fois d’un raisonnement de calcul à la rupture fondé sur
90
l’examen de la compatibilité entre les conditions d’équilibre de la poutre, se traduisant par
l’expression (1) du diagramme des moments, et le respect d’un critère de résistance.
lQQ constitue la charge limite de la structure. Maintenant le chargement à cette valeur :
0 , 3 Ql
MQQ
ll (3.23)
la distribution correspondante des moments fléchissant est :
lx llxM
lx lxMxM
l
l
2 si /2
0 si 1/2)( (3.24)
Elle correspond à la plastification en flexion négative de la section O (encastrement) et en flexion
positive de la section A située au point d’application de la charge (figure 6).
Puisque le diagramme des moments reste constant ( 0M en tout point) les taux de
déformation de courbure sont purement plastiques, donc nulles en dehors des points O et A où le
critère de plasticité est atteint. Ces sections sont le siège de rotules plastiques, négative en O et
positive en A compte tenu de la loi de comportement. La compatibilité géométrique implique que
les taux de discontinuités de rotation plastiques en ces points sont reliées entre elles : 0p en
O et 02 p en A. Le mécanisme de ruine plastique correspondant est représenté sur la figure
6 : il s’agit d’un «mécanisme de poutre» dans lequel les deux moitiés de la structure sont animées
de mouvements de rotation de vitesses respectives p et p . Cette phase d’écoulement
plastique libre est associée au palier horizontal de la courbe charge-déplacement de la figure 5.
1.4. Phase de décharge et état résiduel
Partant de l’état où la section A vient juste d’entrer en plasticité, on effectue une décharge que
l’on suppose élastique. Le diagramme des moments résiduels (figure 7(c)) qui correspond à la
décharge totale de la structure, est alors obtenu en superposant au diagramme associé à la charge
limite (figure 7(a)) celui correspondant à un calcul purement élastique où lQQ (figure 7(b)).
Il vient alors compte tenu des expressions (3.5) des distributions de moments en phase
élastique, écrites pour lMQ l /3 , et de (3.24)
lx
M
lx lxll
MlxM
lx lxl
MlxM
xMl
ll
ll
r 2/18
2 si )2(16
15/2
0 si 32
11
8
31/2
)(
(3.25)
91
Une telle distribution de moments résiduels est autoéquilibrée, c’est-à-dire de la forme (3.1)
avec lMYQ lr 16/et 0 . On observe encore une fois que ce sont ces efforts résiduels qui,
par le biais des déformations élastiques qu’ils engendrent, rétablissent la compatibilité
géométrique des déformations plastiques acquises par la structure dans sa phase de chargement.
O
lMQQ ll /3
lM
lM
O
O
16/15 lM
8/9 lM
8/lM
16/lM
)(a
)(b
)(c
lQQ
Figure 7: Décharge élastique totale et diagramme de moments résiduels
Cette observation est illustrée sur la figure 8. Le champ des déformations plastiques s’écrit en
effet :
)()()( xQQx O
lpp (3.26)
avec d’après (3.18) :
z
llp
EI
lMQQ
12)( (3.27)
de sorte qu’en intégrant deux fois par rapport à x et en tenant compte des conditions aux limites à
l’encastrement 0)0(d/d)0( xvvxv , l’expression de la flèche résiduelle, notée pv ,
s’écrit:
92
xQxv lpp )()( (3.28)
On voit donc que le champ (3.26) est bien intégrable, mais que la distribution de flèche dont
il dérive n’est pas géométriquement compatible, car ne respectant pas la condition d’appui en
lx 2 (figure 8(a)). En revanche, si l’on superpose à pv la flèche élastique associée à la
distribution de moments résiduels (3.25) égale à (figure 8(b)) :
6/16
6/)( 3232 xlxlEI
Mxlx
EI
Yxv
z
l
z
rel (3.29)
la distribution de flèche résiduelle (figure 8(c)) s’écrit :
)2(96
6/1612
)()()( 32 xll
x
EI
Mxlx
lEI
Mx
EI
lMxvxvxv
z
l
z
l
z
lelpr (3.30)
On voit donc qu’elle est bien géométriquement compatible puisque
0)2()0( lxvxv rr (3.31)
)(a
)(b
)(c
)( lp Q
)(xM rrY
)(xM r
rY
)(xv p
)(xvel
)(xv r
Figure 8: Interprétation des moments résiduels comme rétablissant la compatibilité géométrique
des déformations plastiques
93
2. Méthode de résolution énergétique
On se propose dans cette section de reprendre la résolution du problème d’évolution
élastoplastique précédent, en s’appuyant sur un principe de minimum de l’énergie que l’on établit
préalablement dans le cas général de structures planes chargées dans leur plan.
2.1. Principe de minimum en contrainte
Considérant un système de barres en flexion, noté L, on se place pour simplifier1 dans la
situation où :
les données en déplacements sont nulles (appuis fixes, encastrements,..) ;
les données en efforts dépendant d’un seul paramètre de chargement noté Q ;
la structure est supposée une fois hyperstatique, et l’on désigne par Y l’inconnue
hyperstatique.
Les barres ont un comportement élastique parfaitement plastique de sorte que, l’état initial du
système étant naturel, la déformation de courbure en un point quelconque repéré par son abscisse
s, s’écrit :
))((
)()()(
sEI
sMss p (3.32)
où p est la courbure plastique, M le moment fléchissant et EI le module de rigidité à la flexion.
On suppose que cette structure a subi une évolution élastoplastique au terme de laquelle on
désigne par Q la valeur du paramètre de chargement, q la valeur correspondante du déplacement
généralisé, p la distribution de courbure élastoplastique engendrée par le chargement, et Y la
valeur de l’inconnue hyperstatique. Désignant alors par (Q’,Y’) un couple de valeurs quelconques
du paramètre de chargement et de l’inconnue hyperstatique, on introduit la fonction quadratique
suivante :
YQ
sYQMEI
YQMYQ p '
','(
d )','(2
)','()','(
)
2
G
FL
(3.33)
où )','( YQM désigne la distribution de moments fléchissants en équilibre avec (Q’,Y’). Nous
allons établir que le couple solution (Q,Y) réalise, à pq et fixés, le minimum de cette fonction
quadratique.
1 Ces hypothèses simplificatrices ne nuisent pas à la généralisation des résultats présentés.
94
)','(Min),( fixés et )','(
YQYQqQX
p FF (3.34)
Cette propriété est aisément démontrable. Il suffit pour cela de calculer la différence :
qQQsYQMYQMEI
YQMYQM
YQYQ
p )'(d ),()','(2
),()','(
),()','(
22
L
FF (3.35)
soit en tenant compte de l’inégalité :
),()','(),(
2
),()','( 2222
YQMYQMEI
YQM
EI
YQMYQM
(3.36)
et de la loi de comportement (3.32) :
qQQsYQMYQM
qQQsYQMYQMEI
YQMYQYQ p
)'(d ),()','(
)'(d ),()','(),(
),()','(
L
L
FF
(3.37)
Or )(s étant cinématiquement admissible avec q (car solution du problème d’évolution), et la
distribution de moments fléchissants ),()','( YQMYQM étant statiquement admissible avec
QQ ' , l’application du théorème des travaux virtuels conduit à la nullité du membre de droite de
(3.37). D’où le principe de minimum énoncé (3.37), qui se traduit par l’annulation des dérivées
partielles :
)( ,'
0,'
)( 0,'
,'
bYQY
qYQQ
aYQY
YQY
GF
GF
(3.38)
Dans le cas d’une évolution purement élastique, pour laquelle 0p , la fonction G n’est
autre que l’énergie complémentaire, et l’équation (3.38(a)) le principe du minimum en contrainte
(ou théorème du potentiel minimum), tandis que la seconde équation constitue le théorème de
Castigliano relatif aux structures élastiques. Dans le cas général, où la distribution de courbure p est de nature anélastique (plastique, mais aussi par exemple thermique, etc.), l’équation
(3.38(a)) est désignée sous l’appellation de théorème de Colonnetti.
95
2.2. Retour sur l’exemple de la poutre-console
Dans l’exemple de la poutre traité au début de ce chapitre, l’ensemble des distributions de
moments fléchissants statiquement admissibles pour le problème est de la forme (3.1), c’est-à-
dire paramétré par l’inconnue hyperstatique Y. Le calcul de la fonctionnelle G donne alors :
l
p
l
p
z
xxlxQxxlxYQYQYEI
lYQ
0
2
0
223
d)('d2)('''5''86
)'';( G (3.39)
Le principe du minimum en contrainte établi au paragraphe précédent est alors appliqué aux
différentes phases d’évolution du système.
Phase élastique.
Dans cette phase 0)( xp , et les équations (3.38) donnent immédiatement compte tenu de
(3.39) :
16
5 0,
QYYQ
Y
G (3.40)
ainsi que (théorème de Castigliano) :
EI
QlYQ
EI
lqYQ
YQq
z 96
7)52(
6 ,
'
33
G
(3.41)
Phase élastoplastique.
Le champ de déformation plastique, correspondant à la formation d’une rotule plastique à
l’encastrement, est de la forme
)()( 0 xx pp (3.42)
d’où :
p
z
lQYQYQYEI
lYQ )''2(''5''8
6)','( 22
3
G (3.43)
et par suite
)( 526
,'
)( 025166
,'
3
3
blYQEI
lYQ
alQYEI
lYQ
Y
p
z
p
z
G
G
(3.44)
96
L’équation (3.44(a)) combinée avec le fait que lMQQYlxM )(2)0( (hypothèse de
plastification en flexion négative à l’encastrement) permet alors de retrouver l’expression (3.18)
de la rotation plastique :
QlMEI
l l
z
p 3/84
2
(3.45)
Tenant compte de ce résultat, l’équation (3.44(b)) fournit quant à elle l’équation de la courbe
donnant le déplacement en fonction de la charge en phase élastoplastique :
4/6/ 526
,'
23l
z
p
z
MQlEI
llYQ
EI
lYQ
G (3.46)
Charge limite et écoulement plastique libre.
Le champ de déformation plastique correspond à la formation de deux rotules plastiques
repectivement localisées en O et A. Désignant par pp et les dicontinuités de rotation
plastiques en ces points, le champ de courbure plastique peut s’écritre :
)()()( 0 xxx l
ppp (3.47)
où )(xl désigne la distribution de Dirac au point A(x=l), de sorte que la fonctionnelle à
minimiser a pour expression :
pp
z
lYlQYQYQYEI
lYQ ')''2(''5''8
6)','( 22
3
G (3.48)
d’où par application du principe de minimum (3.38) :
)( 526
,'
)( 025166
,'
3
3
blYQEI
lYQ
allQYEI
lYQ
Y
p
z
pp
z
G
G
(3.49)
La première équation donne puisque lMQQ ll /3 et lMY l / :
pp
z
lpp
EI
lM 2
62 (3.50)
qui représente l’équation de compatibilité géométrique, reliant les taux de rotations plastiques. La
seconde équation conduit à l’expression du déplacement de la charge en phase d’écoulement
plastique, en fonction de de la discontinuité de rotation plastique 0p qui demeure arbitraire :
97
06
2
p
z
lp lq
EI
lMlq (3.51)
*************