Post on 21-Jan-2016
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Chapitre 2
La numération binaire
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Chapitre 2 : La numération binaireChapitre 2 : La numération binaire Introduction
1 - Le système binaire
2 - La conversion des nombres entiers2.1 - Base 2 vers base 102.2 - Base 10 vers base 2– Par divisions successives– Par soustractions successives
2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division)
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IntroductionIntroduction Les systèmes informatiques sont construits à
l’aide de circuits intégrés qui rassemblent sur une puce de silicium quelques millions de transistors.
Un transistor fonctionne selon une logique à 2 états :
Le courant ne passe pas (0)Le courant passe (1)
Toute information à traiter devra donc pouvoir être représentée sous une forme assimilable par la machine, et donc sous une forme binaire.
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IntroductionIntroduction
Langage compréhensiblepar l’homme
Langage compréhensiblepar le système informatique
la codification(ou le codage)
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IntroductionIntroductionUn langage, c’est :
un alphabet : ensemble de symboles utilisés
des mots, des phrases : combinaisons des éléments (des lettres) de l’alphabet
une syntaxe : ensemble de règles qui définissent comment construire ces mots et ces phrases
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IntroductionIntroductionPrenons le système décimal
La base 10, on l’utilise tous les jours !Alphabet : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9Mots : 2856,45Syntaxe : c’est un code de position. Cela signifie que la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans le nombre : son rang.
(ex: 2856 est différent de 8652, pourtant se sont les mêmes symboles qui sont utilisés)
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IntroductionIntroduction Le rang
position d’un chiffre dans un nombre, le rang se compte en partant de la droite, à partir du rang 1.
Le poidsA chaque rang est associé un poids, c’est à dire le coefficient par lequel il faudra multiplier le chiffre pour obtenir sa valeur réelle.2 8 6
5RANG 4 3 2 1
POIDS 1000 100 10 1
VALEUR = (2 x 1000) + (8 x 100) + (6 x 10) + (5 x 1) 2000 + 800 + 60 + 5 = 2865
x (multiplication)
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IntroductionIntroduction On peut en déduire une formule
qui lie le poids et le rang
Si on reprend l’exemple précédent,
POIDS = BASE (RANG –
1)
RANG 4 3 2 1
VALEUR = (2 x 103) + (8 x 102) + (6 x 101) + (5 x 100) = 2865
2 8 6 5
POIDS 1000 100 10 1
103 102 101 100
Pour le système décimalBase = 10 doncPOIDS = 10 (RANG – 1)
POIDS = 10 (2 – 1) = 101 = 10
POIDS = 10 (1 – 1) = 100 = 1
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Chapitre 2 : La numération binaireChapitre 2 : La numération binaire Introduction1 - Le système binaire2 - La conversion des nombres entiers
2.1 - Base 2 vers base 102.2 - Base 10 vers base 2– Par divisions successives– Par soustractions successives
2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division)
3 - La conversion des nombres fractionnaires
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1 – Le système binaire1 – Le système binaireAlphabet : 0 , 1Mots : 01101,101Syntaxe : code de position
Nous sommes donc en base 2POIDS = 2 (RANG – 1)
Notation des nombresn2 ex: (1001)2 pour un nombre en base 2
n10 ex: (9)10 pour un nombre en base 10
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Chapitre 2 : La numération binaireChapitre 2 : La numération binaire Introduction1 - Le système binaire2 - La conversion des nombres entiers
2.1 - Base 2 vers base 102.2 - Base 10 vers base 2– Par divisions successives– Par soustractions successives
2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division)
3 - La conversion des nombres fractionnaires
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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.1 – Base 2 vers base 10
Il est important de connaître par cœur les premières puissances de 2
Puissance
Valeur
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024
Attention 20 = 1
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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.1 – Base 2 vers base 10
Exemple (11100110)2 (?)10
POIDS = 2 (RANG – 1)
RANG 8 7 6 5 4 3 2 1
VALEUR = (1 x 27) + (1 x 26) + (1 x 25) + (0 x 24) + (0 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20)
= 128 + 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = (230)10
1 1 1 0 0 1 1 0
POIDS = 2 (6 – 1) = 25 = 32POIDS 27 26 25 24 23 22 21 20
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Chapitre 2 : La numération binaireChapitre 2 : La numération binaire Introduction1 - Le système binaire2 - La conversion des nombres entiers
2.1 - Base 2 vers base 102.2 - Base 10 vers base 2– Par divisions successives– Par soustractions successives
2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division)
3 - La conversion des nombres fractionnaires
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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.2 – Base 10 vers base 2Première méthode : les divisions
successives Principe
On divise le nombre en base 10 par 2
Puis, on divise successivement le quotient de chaque division par 2 jusqu’à ne plus pouvoir diviser par 2.
Le nombre binaire s’obtient en relevant le reste de chaque division en partant de la dernière division vers la première(sens de lecture vers le haut).
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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.2 – Base 10 vers base 2
Première méthode : les divisions successivesExemple : 23010 (?)2
2
115
230
2
57 2
28 2
14 2
7 2
3 2
1 2
0
Sens de lecture
Réponse : (11100110)2
0
1
1
0
0
1
1
1
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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.2 – Base 10 vers base 2 Deuxième méthode :
les soustractions successives Principe
Cette méthode consiste à retrancher du nombre la plus grande puissance de 2 possible, et ainsi de suite dans l’ordre décroissant des puissances.Si on peut retirer la puissance de 2 concernée, on note (1) sinon on note (0) et on continue de la même manière jusqu’à la plus petite puissance de 2 possible (20 pour les entiers)
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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.2 – Base 10 vers base 2 Deuxième méthode : les soustractions
successivesExemple : 23010 (?)2
On recherche le plus grand poids que l’on peut retrancher au nombre à convertir (230)10
Ici, on peut retirer 128 (27) donc on note 1 sous ce poids Poids 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 0 0 1 1 0
102
38 6 6 6 2 0 0 Reste
( )2
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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.2 – Base 10 vers base 2
On peut en déduire les premiers nombres binaires
Base 10 Base 2
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010
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Chapitre 2 : La numération binaireChapitre 2 : La numération binaire Introduction1 - Le système binaire2 - La conversion des nombres entiers
2.1 - Base 2 vers base 102.2 - Base 10 vers base 2– Par divisions successives– Par soustractions successives
2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division)
3 - La conversion des nombres fractionnaires
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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.3 – Les opérations binaires2.3.1 - L’addition
* 1 + 1 = 10 Je pose 0 et je retiens 1
0 1
1 0*
+ 0 1
0
1 1 0 1 1 + 0 1 1 0 ------------------------
10001
11
Exemple(1011)2 + (0110)2
Soit (11)10 + (6)10 = (17)10
(17)10
1
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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.3 – Les opérations binaires2.3.2 – La soustraction
* Je pose 1 et je retiens 1
0 1*
1 0
- 0 1
0
1
1 0 1 1 - 0 1 1 0
------------------------1010
1
Exemple(1011)2 - (0110)2
Soit (11)10 - (6)10 = (5)10
(5)10
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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.3 – Les opérations binaires2.3.3 – La multiplication
0 0
0 1
x 0 1
0
1
1 0 1 1 x 1 1 0 ------------------------
.110
Exemple(1011)2 x (110)2
Soit (11)10 x (6)10 = (66)10
(66)10
0 0 0 01
. .110
01000------------------------------1
1
111
0
1
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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.3 – Les opérations binaires2.3.4 – La division
Exemple(101100)2 ÷ (100)2
Soit (44)10 ÷ (4)10 = (11)10
1 0 1 1 0 0 1 0 0
- 1 0 0 -------
1
- 1 0 0 -------
1 0- 1 0 0 -------
0
1 0 1 (44)101 1
1 1 0
0
Sens de lecture
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Fin du chapitre 2Fin du chapitre 2