ELE1300 - CIRCUITS LOGIQUES Chapitre I – Systèmes de ...ELE1300 - CIRCUITS LOGIQUES Chapitre I...

Transparent 1.1

1.1 - Définitions ELE1300 - CIRCUITS LOGIQUES

Chapitre I – Systèmes de numération

Lectures recommandées : Givone / sections 2.1 et 2.2

Lectures facultatives : Givone / section 2.3

Forme générale d’un nombre :(système de numération pondérée)

[ ] ( )1 2 1 0 1 2 , n n m ba a a a a a a− − − − −L L

partie entièren chiffres

partie fractionnairem chiffres

base

Transparent 1.2


Chapitre I – Systèmes de numération (suite)

1 21 2 1 0 n n

n na b a b a b a− −− −× + × + + × +L

Valeur :

-1 -2 --1 -2 - m

ma b a b a b+ × + × + + ×L

[ ] ( )1 2 1 0 1 2 , n n m ba a a a a a a− − − − −L L

1 2 1 0 1 2 n n mb b b b b b b− − − − −L L

Transparent 1.3



SYSTÈME BASE CHIFFRES

BINAIRE

OCTAL

DÉCIMAL

HEXADÉCIMAL

2

8

10

16

{ }0,1,2,3,4,5,6,7ia ∈

{ }0,1ia ∈

{ }0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9ia ∈

{ }0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9, A,B,C,D, E,Fia ∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10243,6 2 10 4 10 3 10 6 10−= × + × + × + ×

Exemples :

(suite)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 0 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21011,101 1 10 0 10 1 10 1 10 1 10 0 10 1 10− − −= × + × + × + × + × + × + ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1

16 16 16 16 16 16 16 16 1612A, 4 1 10 2 10 A 10 4 10−= × + × + × + ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2

8 8 8 8 8 8 8 8 845,36 4 10 5 10 3 10 6 10− −= × + × + × + ×

Transparent 1.4

1.2 - Réalisation techniqueELE1300 - CIRCUITS LOGIQUES


BINAIRE

000000010010001101000101011001111000100110101011110011011110111110000

OCTAL

01234567101112131415161720

HEXADÉCIMAL

0123456789ABCDEF10

DÉCIMAL

012345678910111213141516

Transparent 1.5



Réalisation technique : manipulation de nombres binaires représentés par des tensions électriques

v(t)

+5 volts (bit « 1 »)

ou

0 volt (bit « 0 »)

5 volts

Diagramme temporel

t

v(t)

0 volt

5 volts

0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1Informationbinaire :

1

0

Transparent 1.6



Conversion analogique à numérique / sortie sérielle

CONVERTISSEUR

ANALOGIQUE À NUMÉRIQUEv(t)x(t)

1100 0000 1101 0110 0001 11110011 0001 1100

t

x(t)

t

5 Vv(t)

0 V

11 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0

Transparent 1.7



Conversion analogique à numérique / sorties parallèles

CONVERTISSEUR

ANALOGIQUE À NUMÉRIQUE

v3(t)

x(t)

t

5 Vv0(t) 0 V

v2(t)v1(t)v0(t)

t5 Vv1(t) 0 V

t

5 Vv2(t) 0 V

5 Vv3(t) 0 V t

1 1 1 1

1 1 1 1 1

111

1 1 1 1 1000

000 0 0 0

0

0

0

00

0 0 0 0

0

Transparent 1.8

1.3 - Conversions ELE1300 - CIRCUITS LOGIQUES


Lectures recommandées : Givone / sections 2.4 à 2.6

Conversion d’une base quelconque en base décimale :

MÉTHODE POLYNOMIALE

Exemple : binaire en décimal

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 0 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21011,101 1 10 0 10 1 10 1 10 1 10 0 10 1 10− − −= × + × + × + × + × + × + ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 0 1 2 3

2 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 101011,101 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2− − −= × + × + × + × + × + × + ×

( ) ( )2 101011,101 11,625=

Transparent 1.9



Exemple : octal en décimal

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1

16 16 16 16 16 16 16 16 1612A, 4 1 10 2 10 A 10 4 10−= × + × + × + ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1

16 10 10 10 10 10 10 10 1012A, 4 1 16 2 16 10 16 4 16−= × + × + × + ×

(suite)

Exemple : hexadécimal en décimal

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2

8 10 10 10 10 10 10 10 1045,36 4 8 5 8 3 8 6 8− −= × + × + × + ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2

8 8 8 8 8 8 8 8 845,36 4 10 5 10 3 10 6 10− −= × + × + × + ×

( ) ( )8 1045,36 37, 46875=

( ) ( )16 1012A, 4 298, 25=

Transparent 1.10



Conversion d’une base décimale en base quelconque :

MÉTHODE ITÉRATIVE(Les parties entière et fractionnaire d’un nombre sont traitées séparément)

Partie entière : 1 2 1 01 2 1 0

nnE a b a b a b a b−−= + + + +L

0 02 1 01 2 1 1 1 0reste a anE

nb b ba b a b a b Q Q a−−= + + + + = + =L

1 1 13 01 2 2 2 1reste Q a an

nb b ba b a b Q Q a−−= + + + = + =L

2 2 24 01 3 3 3 2reste Q a an

nb b ba b a b Q Q a−−= + + + = + =L

(le processus est appliqué jusqu’à l’obtention du reste an-1 )

Transparent 1.11



Exemple : 57(10) = ?(2)

57 ÷ 2 = 28 reste 1(10) ou 1(2)

28 ÷ 2 = 14 reste 0(2)

14 ÷ 2 = 7 reste 0(2)

7 ÷ 2 = 3 reste 1(2)

3 ÷ 2 = 1 reste 1(2)

1 ÷ 2 = 0 reste 1(2)

d’où 57(10) = 111001(2)

(suite)

Exemple : 637(10) = ?(16)

637 ÷ 16 = 39 reste 13(10) ou D(16)

39 ÷ 16 = 2 reste 7(16)

2 ÷ 16 = 0 reste 2(16)

d’où 637(10) = 27D(16)

Transparent 1.12



Partie fractionnaire : 1 2 31 2 3

mmF a b a b a b a b− − − −

− − − −= + + + +L

(le processus est appliqué jusqu’à l’obtention d’une seule partie entière qui sera a-m )

0 1 2 11 2 3

mmbF a b a b a b a b− − − +

− − − −= + + + +L

0 1 2 21 2 3 4

mmbF a b a b a b a b− − − +

− − − −= + + + +L

Partie fractionnaire F1Partie entière

Partie fractionnaire F2Partie entière

(suite)

Transparent 1.13



Exemple : 0,6875(10) = ?(2) 0,6875 × 2 = 1,375 partie entière = 1(10) ou 1(2)

0,375 × 2 = 0,75 partie entière = 0(2)

0,75 × 2 = 1,5 partie entière = 1(2)

0,5 × 2 = 1,0 partie entière = 1(2)

d’où 0,6875(10) = 0,1011(2)


0,5 × 8 = 4,0 partie entière = 4(8)

d’où 0,8125(10) = 0,64(8)

Transparent 1.14




0,4 × 2 = 0,8 partie entière = 0(2)

0,8 × 2 = 1,6 partie entière = 1(2)

0,6 × 2 = 1,2 partie entière = 1(2)

0,2 × 2 = 0,4 partie entière = 0(2)

d’où 0,7(10) = 0 , 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 · · · (2)

RÉPÉTITION

Transparent 1.15



Conversion entre les bases binaire et octale

5 4 3 2 1 0 1 2 35 4 3 2 1 0 1 2 32 2 2 2 2 2 2 2 2a a a a a a a a a− − −

− − −+ + + + + + + + + +L L

( ) ( ) ( )2 3 2 0 2 35 4 3 2 1 0 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2a a a a a a a a a −

− − −= + + + + + + + + + +L L

( ) ( ) ( )2 1 2 0 2 15 4 3 2 1 0 1 2 3 2 2 8 2 2 8 2 2 8a a a a a a a a a −

− − −= + + + + + + + + + +L L

Conclusion :

Chaque groupe de trois bits d’un nombre binaire correspond à un chiffre du nombre octal correspondant.

Transparent 1.16



Exemple : 1011101,1001111(2) = ?(8)

0 0 1 0 1 1 1 0 1 , 1 0 0 1 1 1 1 0 0 (2)

1 3 5 , 4 7 4 (8)

Exemple : 27,56(8) = ?(2)

2 7 , 5 6 (8)

0 1 0 1 1 1 , 1 0 1 1 1 0 (2)

Transparent 1.17



Conversion entre les bases binaire et hexadécimale

7 6 5 4 3 2 1 07 6 5 4 3 2 1 02 2 2 2 2 2 2 2a a a a a a a a+ + + + + + + + +L L

( ) ( )3 2 4 3 2 07 6 5 4 3 2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2a a a a a a a a= + + + + + + + + +L L

Conclusion :

Chaque groupe de quatre bits d’un nombre binaire correspond à un chiffre du nombre hexadécimal correspondant.

( ) ( )3 2 1 3 2 07 6 5 4 3 2 1 0 2 2 2 16 2 2 2 16a a a a a a a a= + + + + + + + + +L L

Transparent 1.18



Exemple : 101010, 011 (2) = ?(16)

0 0 1 0 1 0 1 0 , 0 1 1 0 (2)

2 A , 6 (16)

Exemple : E2,0D(16) = ?(2)

E 2 , 0 D (16)

1 1 1 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 1 1 0 1 (2)

1 A 2 , B (16)

0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 , 1 0 1 1 (2)

0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 , 1 0 1 1 0 0 (2)

0 6 4 2 , 5 4 (8)

Exemple : 1A2,B(16) = ?(8)

Transparent 1.19



Problèmes suggérés : Givone / #2.10bdfh #2.13 #2.14acd

#2.17ad #2.18ad #2.19ad

RÉPONSES :

#2.10 b) 55,625(10) d) 142,333…(10) f) 829,25(10) 173,875(10)

#2.13 base 6

#2.14 a) 10100011,11(2) 11001010,111001100…(2)

c) 243,6(8) 312,714631463…(8)

d) A3,C(16) CA,E66…(16)

#2.17 a) 771,172(8) 1F9,3D(16) d) 3446,5(8) 726,A(16)

#2.18 a) 11111,101(2) d) 111010100,000110(2)

#2.19 a) 11100,0011(2) d) 100011101010,01011001(2)

Transparent 1.20

1.4 – Arithmétique binaire ELE1300 - CIRCUITS LOGIQUES


Lectures recommandées : Givone / sections 2.7 à 2.9

Complément d’un nombre : illustration du concept

0-3-10

37

ORIGINEORIGINEDÉCALÉE

7 est le « complément à 10 » de 3; il peut être utilisé pour représenter -3

• Cette façon de représenter des valeurs négatives est utilisée puisque facilite la réalisation de certaines opérations arithmétiques en binaire.

Transparent 1.21



Définition : le « complément à 2 » d’un nombre binaire

Soit un nombre binaire positif :

[ ] ( )2 1 0 1 2 2 0 , n mN a a a a a a− − − −= L L

Le « complément à 2 » de N est : ( )210nN N= −

Remarque : ( )N N=

Transparent 1.22



Exemple :( )20101,011N = ( n = 4 , m = 3 )

( ) ( ) ( )2 2 210000,000 0101,011 1010,101N = − =

Remarque : Pour obtenir le « complément à 2 » d’un nombre binaire, on inverse chacun des bits et on additionne (c’est-à-dire, on ajoute 1 au bit le moins significatiof).

( )210 m−

( ) ( )2 20101,011 : 1010,1001. Inversion de

( ) ( ) ( ) ( )32 2 2 210 : 1010,100 0,001 1010,101− + =2. On ajoute

Transparent 1.23



Définition : le « complément à 1 » d’un nombre binaire

Soit un nombre binaire positif :

[ ] ( )2 1 0 1 2 2 0 , n mN a a a a a a− − − −= L L

Le « complément à 1 » de N est : ( ) ( )2 210 10n mN N−= − −

Remarque : ( )N N=

Transparent 1.24



Exemple :( )20101,011N = ( n = 4 , m = 3 )

( ) ( ) ( )2 2 210000,000 0,001 0101,011N = − −

Remarque : Pour obtenir le « complément à 1 » d’un nombre binaire, on inverse chacun des bits.

( ) ( )2 20101,011 : 1010,100Inversion de

( )21010,100N =

Transparent 1.25



Attention! Il existe une différence entre « faire » le complément d’un chiffre et le « format » complément.

Format complément : • permet d’exprimer à la fois des nombres positifs et des nombre négatifs. • valeurs positives sont représentées en binaire naturel et se limite à la demie inférieur des code disponible (le bit le plus significatif est 0). • valeurs négatives sont représentées par le complément de la valeur absolue du chiffre que l’on veut représenter (le bit le plus significatif est 0).

Faire le complément : • obtenir la valeur inverse d’un nombre qui est déjà dans le format complément.

Transparent 1.26



VALEUR

+7+6+5+4+3+2+10

-1-2-3-4-5-6-7-8

(suite)

BINAIREAVEC SIGNE

0111011001010100001100100001

0000 ou 10001001101010111100110111101111-----

BINAIRECOMPLÉMENT À 1

0111011001010100001100100001

0000 ou 11111110110111001011101010011000-----

BINAIRECOMPLÉMENT À 2

0111011001010100001100100001000011111110110111001011101010011000

Soit un nombre binaire entier de 4 bits ( n = 4 , m = 0 )

Transparent 1.27



Remarques :

En binaire avec signe, chaque nombre est constitué d’une valeur exprimée par 3 bits précédés d’un bit de signe 0 (positif) ou 1 (négatif).

En binaire avec signe et en binaire à complément à 1, il y a deux façons d’exprimer la valeur 0.

En binaire à complément à 2, il y a une valeur négative supplémentaire (-8) qui peut être représentée. Toutefois, la valeur positive correspondante (+8) ne l’est pas.

Transparent 1.28



Addition et soustraction

Ces deux opérations sont similaires car la soustraction peut être vue comme une addition avec l’inverse du diminuteur comme cumulateur :

( )1 2 1 2N N N N− = + −

Il y a deux cas à étudier :

on exprime la valeur négative par un complément à 1,

on exprime la valeur négative par un complément à 2.

où N1 et N2 sont des nombres positifs

Transparent 1.29



2NSoit , le complément à 1 de 2N

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22 2 2 210 10 10 10n m n mN N N N N N− −+ = + − − = − + −

( ) ( )

( ) ( )

1 22 2 1 2

1 21 22 2

10 10 , si est positif, si est négatif10 10

n m

n m

N N N NN NN N

−

−

⎧ − + − −⎪= ⎨ −− − −⎪⎩

1er cas : on exprime la valeur négative par un complément à 1

Conclusion :

Si l’addition engendre une retenue, on l’élimine et on ajoute le bit 1 au bit le moinssignificatif ; le résultat est une valeur positive.

Si l’addition n’engendre aucune retenue, le résultat est une valeur négativeexprimée par un complément à 1.

Transparent 1.30



Exemple : ( ) ( )1 10 229,5 011101,10N = = ( n = 6, m = 2 )

( )2 2110011,10N =( ) ( )2 10 212, 25 001100,01N = =( )1 2100010,01N =

2 1 2 1N N N N− = +1 2 1 2N N N N− = +

0 1 1 1 0 1 , 1 0

+ 1 1 0 0 1 1 , 1 0

1 0 1 0 0 0 1 , 0 0

0 0 1 1 0 0 , 0 1

+ 1 0 0 0 1 0 , 0 1

1 0 1 1 1 0 , 1 0

On élimine la retenue ; le résultat est :010001,00(2) + 0,01(2) = 010001,01(2) ou 17,25(10)

Il n’y a aucune retenue ; le résultat négatif est exprimépar le complément à 1 de 010001,01(2) ou 17,25(10)

Transparent 1.31



2NSoit , le complément à 2 de 2N

( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22 210 10n nN N N N N N+ = + − = + −

( )

( )

1 22 1 2

1 21 22

10 , si est positif, si est négatif10

n

n

N N N NN NN N

⎧ + − −⎪= ⎨ −− −⎪⎩

2e cas : on exprime la valeur négative par un complément à 2

Conclusion :

Si l’addition engendre une retenue, on l’élimine ; le résultat est une valeur positive.

Si l’addition n’engendre aucune retenue, le résultat est une valeur négativeexprimée par un complément à 2.

Transparent 1.32



Exemple : ( ) ( )1 10 229,5 011101,10N = = ( n = 6, m = 2 )

( )2 2110011,11N =( ) ( )2 10 212, 25 001100,01N = =( )1 2100010,10N =

2 1 2 1N N N N− = +1 2 1 2N N N N− = +

0 1 1 1 0 1 , 1 0

+ 1 1 0 0 1 1 , 1 1

1 0 1 0 0 0 1 , 0 1

0 0 1 1 0 0 , 0 1

+ 1 0 0 0 1 0 , 1 0

1 0 1 1 1 0 , 1 1

On élimine la retenue ; le résultat est :010001,01(2) ou 17,25(10)

Il n’y a aucune retenue ; le résultat négatif est exprimépar le complément à 2 de 010001,01(2) ou 17,25(10)

Transparent 1.33



Addition de deux valeurs négatives

( ) ( )1 2 1 2N N N N− + − = +avec les compléments à 1 :

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22 2 2 210 10 10 10n m n mN N N N− −+ = − − + − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22 2 2 210 10 10 10n m n mN N N N− −⎡ ⎤+ = − + − − +⎣ ⎦

Soient N1 et N2 , deux nombres positifs,

Conclusion :

On élimine la retenue et on ajoute le bit 1 au bit le moins significatif ; le résultat est une valeur négative exprimée par un complément à 1.

( ) ( ) ( )1 2 1 22 210 10n mN N N N−+ = − + +

Transparent 1.34



( ) ( )1 2 1 2N N N N− + − = +avec les compléments à 2 :

( ) ( )1 2 1 22 210 10n nN N N N+ = − + −

( ) ( ) ( )1 2 1 22 210 10n nN N N N⎡ ⎤+ = + − +⎣ ⎦

Conclusion :

On élimine la retenue ; le résultat est une valeur négative exprimée par un complément à 2.

( ) ( )1 2 1 2210nN N N N+ = + +

Transparent 1.35



Dépassement de capacité (« Overflow »)

Si une addition ou une soustraction engendre un résultat trop grand (positivement ou négativement), on dit qu’il y a dépassement de capacité (ou débordement).

Soit un nombre binaire comportant n = 6 bits dans la partie entière et m = 2 bits dans la partie fractionnaire. Les plus grandes valeurs pouvant être représentées sont :

( ) ( )2 10011111,11 31,75=

( )( )

( )

10

210

-31,75 , pour un complément à 1100000,00

-32,00 , pour un complément à 2

⎧⎪= ⎨⎪⎩

et

Transparent 1.36



Soient : ( ) ( )1 10 220 010100,00N = =

( )2 2110000,11N =( ) ( )2 10 215 001111,00N = =

( )1 2101011,11N =

1 2N N+ 0 1 0 1 0 0 , 0 0

+ 0 0 1 1 1 1 , 0 0

1 0 0 0 1 1 , 0 0

Le résultat correspond à une valeur négative (débutant par 1) alors que c’est la somme de deux valeurs positives (débutant par 0). Il y a donc eu dépassement de capacité ; le résultat n’est pas valable.

( )1 2101100,00N =

( )2 2110001,00N =

Transparent 1.37



1 2 1 2N N N N− − = +

1 0 1 0 1 1 , 1 1

+ 1 1 0 0 0 0 , 1 1

1 0 1 1 1 0 0 , 1 0

Les résultats correspondent à des valeurs positives (débutant par 0) alors que ce sont des sommes de deux valeurs négatives (débutant par 1). Il y a donc eu dépassement de capacité ; les résultats ne sont pas valables.

1 2 1 2N N N N− − = +

1 0 1 1 0 0 , 0 0

+ 1 1 0 0 0 1 , 0 0

1 0 1 1 1 0 1 , 0 0

+ 0 , 0 1

0 1 1 1 0 0 , 1 1

Transparent 1.38



Réalisation technique possible

x0

x1

x2

x3

y0

y1

y2

y3

c

a0

a1

a2

a3

d

UNITÉ

ARITHMÉTIQUE

AFFICHEUR

TÉMOIN DE DÉPASSEMENT DE CAPACITÉ

COMMANDE D’OPÉRATION0 = ADDITION / 1 = SOUSTRACTION

Transparent 1.39



Remarque concernant le dépassement de capacité

Dans une suite de plusieurs opérations (additions ou soustractions), la présence de dépassements de capacité dans des résultats intermédiaires n’affecte pas la validité du résultat final si globalement cette suite correspond à une opération sans dépassement de capacité.

Exemple : ( ) ( )1 10 220 010100,00N = = ( n = 6, m = 2 )*

( )3 2111011,00N =( ) ( )3 10 25 000101,00N = =( ) ( )2 10 215 001111,00N = =

* Valeurs limites : -32,0(10) et +31,75(10)

( ) ( )1 2 3 2 10011110,00 30N N N+ + = =

Transparent 1.40



Exemple (suite) :1 2 3 1 2 3N N N N N N+ − = + +

0 1 0 1 0 0 , 0 0

+ 0 0 1 1 1 1 , 0 0

1 0 0 0 1 1 , 0 0

1 2N N+Le résultat correspond à une valeur négative (débutant par 1) alors que c’est la somme de deux valeurs positives (débutant par 0). Il y a donc eu dépassement de capacité ; le résultat n’est pas valable.

1 0 0 0 1 1 , 0 0

+ 1 1 1 0 1 1 , 0 0

1 0 1 1 1 1 0 , 0 0

( )1 2 3N N N+ +Le résultat est correct même s’il y a eu dépassement de capacité lors de l’opération précédente.

(qui doit donner +35(10) )

(qui doit donner +30(10) )

Transparent 1.41



Multiplication et division par des puissances de 2

Pour un nombre binaire naturel, une multiplication par 2 est réalisée par un décalage des bits vers la gauche et une division par 2 est réalisée par un décalage des bits vers la droite.

Exemple :

( )20101101,010N =

Soient n = 7 , m = 3 (dimensions fixes)

et

1 0 1 1 0 1 0 1 0,

( )210 :N ×

01 1 1 0 1 1 0 0,0

1 0 1 1 0 1 0 1 0,

( )210 :N ÷

0 10 0 1 1 1 00 , 0

0

0

0

1(perdu) (perdu)

Transparent 1.42



Pour un nombre binaire naturel, il y a dépassement de capacité si le bit 1 le plus significatif est perdu. Il y a troncation si le bit le moins significatif perdu a la valeur 1.

1 0 1 1 0 1 0 1 0,

( )2100 :N ×

01 1 1 0 1 1 0 0,0

1 0 1 1 0 1 0 1 0,

( )2100 :N ÷

0 10 0 1 1 1 00 , 0

0

0

0

1

DÉPASSEMENT DE CAPACITÉ

10 1 0 1 0 0 0 0,1 1 1 00 1 0 1 0 10 , 10

TRONCATION

Transparent 1.43



Pour un nombre binaire en complément (à 2 ou à 1), une multiplication par 2 est réalisée par un décalage des bits vers la gauche. Une division par 2 est réalisée par un décalage des bits vers la droite, excluant le bit le plus significatif qui garde la même valeur.

Exemple :

( ) ( )2 101101101,010 18,75N = = −

Soient n = 7 , m = 3 (dimensions fixes) en complément à 2

et

1 0 1 1 0 1 0 1 0,

( )210 :N ×

01 1 1 0 1 1 0 0,1

1 0 1 1 0 1 0 1 0,

( )210 :N ÷

0 11 0 1 1 1 01 , 0

1

0

1

1(perdu) (perdu)

-18,75(10)

-37,5(10)

-18,75(10)

-9,375(10)

Transparent 1.44



Pour un nombre binaire en format complément (à 1 ou à 2), il y a dépassement de capacité si le bit le plus significatif change de valeur. Il y a troncation si le bit 1 le moins significatif est perdu.

1 0 1 1 0 1 0 1 0,

( )2100 :N ×

01 1 1 0 1 1 0 0,1

1 0 1 1 0 1 0 1 0,

( )2100 :N ÷

0 11 0 1 1 1 01 , 0

1

0

1

1

DÉPASSEMENT DE CAPACITÉ

10 1 0 1 0 0 0 0,1 1 1 01 1 0 1 0 11 , 11

TRONCATION

-18,75(10)

-37,5(10)

53(10)

-18,75(10)

-9,375(10)

-4,75(10)

Transparent 1.45



Problèmes suggérés : Givone / #2.22acef #2.29 #2.31

RÉPONSES :

#2.22 a) 01000100 01000101 c) 010011 010100

e) 101,00 101,01 f) 00100,011 00100,100

#2.29 a) 00011001 b) 01110011 c) 10001101 d) 11100111

#2.31 a) 01000011 b) 01101001 c) 10010110 d) 10111100

Dans les problèmes #2.29 et #2.31, on considèrera le bit de signe comme partie intégrante du nombre.

Ex : 0S01011 = 0010111S10101 = 110101

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