Arbre Binaire

7/26/2019 Arbre Binaire

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X, Petite classe 5X, Petite classe 7

Parcours d'arbres

Prfixe: 1, 2, 4, 8, 9, 5, 10, 3, 6, 7

(VGD)Infixe: 8, 4, 9, 2, 10, 5, 1, 6, 3, 7(GVD)

Suffixe: 8, 9, 4, 10, 5, 2, 6, 7, 3, 1(GDV)

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10


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typedefstruct Noeud{

Element contenu;struct Noeud *filsG;

struct Noeud *filsD;}*Arbre;

voidParcoursPrefixe(Arbre a)

{if(a != NULL){

printf("%3d", a->contenu);ParcoursPrefixe(a->filsG);

ParcoursPrefixe(a->filsD);}

}


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voidParcoursInfixe(Arbre a){

if(a != NULL){

ParcoursInfixe(a->filsG);printf("%3d", a->contenu);ParcoursInfixe(a->filsD);

}}

voidParcoursSuffixe(Arbre a){

if(a != NULL){

ParcoursSuffixe(a->filsG);ParcoursSuffixe(a->filsD);printf("%3d", a->contenu);

}}


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Proprit de base : Pour chaque

noeud de valeur v, les noeuds dusous-arbre gauche ont une valeur< v et ceux du sous-arbre droitont une valeur > v.

Arbres de recherche

1310

8 14 2116

1912

15

17


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Exercices

(1) Montrer que le parcours infixeordonne les nuds par valeurcroissante.

(2) Montrer que si un nud adeux fils, son successeur dansl'ordre infixe n'a pas de fils

gauche et son prdcesseur n'apas de fils droit.

(3) Montrer que le successeurdu

nud n est le sommet le plus gauche dans le sous-arbre droitissu de n.


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Arbre Recherche(Element v, Arbre a){

if (a == NULL || v == a->contenu)

returna;if (v < a->contenu)

returnRecherche(v, a->filsG);returnRecherche(v, a->filsD);

}

Recherche


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Arbre NouvelArbre(Element v, Arbre a,Arbre b){ Arbre c;

c = (Arbre)malloc (sizeof(struct Noeud)); c->contenu = v; c->filsG = a; c->filsD = b; return c;}

voidAjouterArbre(Element v, Arbre *ap){

Arbre a = *ap;

if(a ==NULL )

a = NouvelArbre(v, NULL , NULL );else if(v contenu)

AjouterArbre(v, &a->filsG);else

AjouterArbre(v, &a->filsD);*ap = a;

}

Ajout d'un lment


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X, Petite classe 5X, Petite classe 7Suppression

(a) le noeud est une feuille : on lesupprime

10

8 14 2116

1912

15

171310

8 14 2116

1912

15

17

(b) le noeud est un a un seul fils :on la supprime

10

8 13 2116

1912

15

171310

8 14 2116

1912

15

17


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(c) le noeud s a deux fils : onsupprime son successeur t (quin'a pas de fils gauche), mais onremplace la valeur de s par cellede t.

1310

8 14 2116

1912

15

17 1310

8 14 2116

1912

15

17

1310

8 14 2117

1912

16


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voidSupprimerArbre(Element v, Arbre *ap){

Arbre a = *ap;

if(a == NULL)*ap = a;

else if(v < a->contenu)SupprimerArbre(v, &a->filsG);

else if(v > a->contenu)

SupprimerArbre(v, &a->filsD);else if(a->filsG == NULL )

*ap = a->filsD;else if(a->filsD == NULL )

*ap = a->filsG;else(*ap)->contenu =

SupprimerSuccesseur(&a);}

Element SupprimerSuccesseur(Arbre *ap){

Arbre a = *ap;Element v;

if(a->filsG == NULL ){

v = a->contenu;a =NULL ;return v;

}

return SupprimerSuccesseur(&(a->filsG));}


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O(log n) si l'arbre est quilibr

O(n) si l'arbre est filiforme

--> D'o l'intrt des arbresquilibrs!

Arbre AVL(Adel'son-Vel'skii etLandis) : pour tout noeud, ladiffrence de hauteur entre lessous-arbres gauche et droit estgale -1, 0 ou 1.

Exemple: les tas

Hauteurd'un arbre AVL : O(log n)

Temps de calcul


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typedefstruct NoeudAVL{

int balance;Element contenu;struct NoeudAVL *filsG;

struct NoeudAVL *filsD;}*ArbreAVL;


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Thorme. Soit un arbre AVL dehauteur h n sommets. Alors

log2(1 + n) 1 + h 1,44 log2(1 + n)

Preuve. Pour une hauteur hdonne, le nombre maximum desommets est atteint pour l'arbrecomplet 2h+1- 1 sommets.Hauteur 0 :

Hauteur 1 :

Hauteur 2 :

Donc n 2h+1-1 et log2(1 + n) 1 + h


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Soit N(h) le nombre minimum desommets d'un arbre AVL dehauteur h. On a

N(0) = 0 N(1) = 2

N(h) = 1 + N(h-1) + N(h-2)

Donc F(h) = N(h) + 1 vrifieF(0) = 2 F(1) = 3

F(h) = F(h-1) + F(h-2)d'o F(h) = Fh+3=

1 [(1 + 5)h+3

- (1 - 5)h+3

]

h-1 h-2

5 2 2


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Rotation simple

h-1 h-2X Y

h-2Z

u v

x

h-1X

Yh-2

Z

u

v

x

u x v


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Double rotation

u v x w

x

h-2

h-2

X

V

h-2Z

u

v

w

W

v

w

u

X Z

h-2V W

x


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Donnes : une partition del'ensemble {1, ..., K}

Trouverla classe d'un lment

Faire l'unionde deux classes.

Partitions

Une premire solution :Reprsenter la partition par untableau classetel que classe[i]soit la classe de l'lment i.

Trouver: O(1)Union: O(n)


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Deuxime solution : utilisationd'une fort.

10

6

8 4

95

1

117

3

2

Trouver: O(n)Union: proportionnel lahauteur de l'arborescence

On reprsente la fort par untableau t tel que t[s] = pre de s(si s est une racine, t[s] = s)


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Union pondre

Rgle: Lors de l'union, la racinede l'arbre le moins haut devientfils de la racine de l'arbre le plus

haut.

6

10

8 4

95

1

117

3

2

On part de la partition de {1, ..., K}en K classes.

1 2 K


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Notons ti(x)la taille (= nombre denoeuds) et hi(x) la hauteur dusommet x aprs la i-me oprationd'union pondre. On a t0(x) = 1et

h0(x) = 0.

Lemme. On a ti(x) 2hi(x)et

hn(x) log2(n + 1).

Preuve.(a) Si hi(x) = 0, alorsti(x) = 1

(b) suivre

x


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Lemme. On a ti(x) 2hi(x)ethn(x) log2(n + 1).

Preuve (suite).

(b) Si hi(x) > 0, soit y un fils de x. On ahi(y) = hi(x) - 1. Si y est devenu un fils

de x lors de la j-ime union (j i), on a

tj-1(x) tj-1(y), d'o tj(y) = tj-1(y) et

tj(x)

2tj(y). Ensuite, la taille de y nevarie plus, mais celle de x peut crotre.De mme, la hauteur de y ne varie

plus, donc hi(y) = hj-1(y). Par hypothse

de rcurrence, tj-1(y) 2hj-1(y), donc

tj(y) = tj-1(y) 2hj-1(y)= 2hi(y)ettj(x)tj(x)2.tj(y)2.2

hi(y)=2hi(x)

Comme tn(x) n+1, on a la secondeingalit.

x

y


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Corollaire. Une suite de n-1

"unions" et de m "trouver" se

ralise en temps O(n + m log n).


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Compression des cheminsOn comprime un chemin en faisant

de chaque nud travers un fils de

la racine :

10

8 4

95

1

10

8

4 95

1

Prop. Une suite de n-1"unions" et

de m "trouver" (m n) se raliseen temps O(m.(n,m)), o estune sorte d'inverse de la fonction

d'Ackermann. En pratique, (n,m)2.

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