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Rpublique Algrienne Dmocratique et Populaire
Ministre de lEnseignement suprieur et de La Recherche
Scientifique
Universit :Hassiba BENBOUALI de CHLEF
Facult: Sciences
Dpartement :Physique
Domaine :ST-SM
Polycopie:
Vibrations et Ondes Mcaniques
Rappels de Cours
Problmes poss aux concours dentre aux
Grandes Ecoles Scientifiques
Module: Physique 03
Niveau :2ime Anne Licence
Prsent par:Dr Fouad BOUKLI HACENE
Anne Universitaire: 2012 /2013
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Avant propos
Ce document a t destin aux tudiants de deuxime anne des filiresscientifiques techniques des universits et coles dingnieurs dAlgrie. Il rpond au
programme officiel du module Vibrations et Ondes mcaniques enseigns en
deuxime anne des filires Sciences et techniques et Sciences de la matire.
Ce manuel contient une srie de problmes lis aux phnomnes de vibrations
et de propagation des ondes mcaniques avec un rappel de cours.
Le manuscrit est divis en deux grandes parties, vibrations et ondes mcaniques
rparties en sept chapitres. Le premier porte sur lutilisation du formalise de Lagrange
pour dcrire les oscillations des systmes physiques. Ltude des oscillations linaires
(de faible amplitude) libres des systmes un degr de libert est prsente dans le
chapitre deux. Le troisime chapitre traite le mouvement amorti qui prend en compte
les forces de frottements de viscosit proportionnelles la vitesse du mobile.
La notion de rsonance consacre aux oscillations forces est prsente au
quatrime chapitre. Le cinquime chapitre sur les vibrations aux plusieurs degrs de
libert. Les analogies entre les systmes lectriques et mcaniques sont prsentes les
cinq chapitres.
Le deuxime volet du programme recommande dintroduire linitiation des
phnomnes lis la propagation des ondes mcaniques dans diffrents milieux
matriels. A cet effet nous avons pris le, comme le modle de la corde vibrante.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
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Nomenclature
)t(p Coordonnes gnralises
TE Energie totale du systme
cE Energie Cintique du systme
cE Energie Cintique moyenne du systme
pE Energie potentielle su systme
L Lagrangien du systme
S Action du systme
exeF
Forces extrieures appliques au systme
exeM
Moments extrieurs appliqus au systme
0 Pulsation propre du mouvement libre
A Amplitude
Dphasage
0T Priode propre du mouvement libre
k Constante de raideur du ressort
C Constante de torsion
J Moment dinertie
R Rayon dun disque
m Masse dun systme
ix Coordonnes du systme
V
Vitesse du dplacement
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Masse volumique
l Longueur du ressort
0l Longueur du ressort vide
0P Pression du gaz lquilibre
0V Volume du gaz lquilibre
dx Tranche dlment entre les positionsx et x+dx
apC Capacit lectrique
indL Capacit lectrique
q Charge qui circule dans le circuit
)t(u Tension dalimentation
frf
Force de frottement
Coefficient de frottement
Facteur damortissement
Pseudo Pulsation du mouvement faiblement amorti
T Pseudo Priode du mouvement faiblement amorti
)t(f Force extrieure applique au systme
Pulsation Force extrieure applique au systme
)t(pg Solution gnrale du mouvement force
)t(pp Solution particulire
r Pulsation de rsonance du mouvement forc
21, Pulsation de coupure en rgime forc
Bande passante
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Q Facteur de qualit
Z~
Impdance
Masse linique de la corde
Masse surfacique
T Tension de la corde
Tension linaire
E Constante de Young
w Longueur donde
0k Vecteur donde
V Vitesse de propagation
s Coefficient de compressibilit
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DEDICACES
Je ddie ce travail en signe de respect et de reconnaissance : Mes chers parents pour tous les sacrifices qu'ils ont consentis, pour tous
les encouragements ainsi que pour leur soutient moral et matriel qui
m'a permis dachever ce travail.
Je le ddie galement :
Ma trs chre femme et mes chers enfants
Mes chers frres et surs
Mes oncles et tantes
Toute ma famille et mes proches
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Sommaire
Avant propos
Nomenclature
PREMIERE PARTIE : VIBRATIONS
Chapitre 1 :Gnralits sur les oscillations. 1
Chapitre 2 :Mouvement libre un degr de libert. 8
Chapitre 3 :Mouvement amorti un degr de libert. 28
Chapitre 4 :Mouvement forc un degr de libert. 39
Chapitre 5 :Mouvement plusieurs degrs de libert. 61
DEUXIEME PARTIE : ONDES MECANIQUES
Chapitre 6 :Gnralits sur le phnomne de propagation. 105
Chapitre 7: Appli cation: lquation de propagation mcanique dans
diffrents milieux. 116
Rfrences bibliographiques
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1Chapitre 1 : Gnralits sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
PARTIE I
VIBRATIONS
Chapitre 1:
Gnralits sur les oscillations
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2Chapitre 1 : Gnralits sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappel thor ique :
La vibration est un phnomne physique oscillatoire dun corps en mouvement
autour de sa position dquilibre.
Parmi les mouvements mcaniques les plus varis, il existe des mouvements qui
se rptent : les battements du cur, le mouvement d'une balanoire, le
mouvement alternatif des pistons d'un moteur explosion. Tous ces
mouvements ont un trait commun : une rptition du mouvement sur un cycle.
Un cycle est une suite ininterrompue de mouvements ou de phnomnes qui se
renouvellent toujours dans le mme ordre. Prenez titre d'exemple le cycle
quatre temps d'un moteur explosion. Un cycle complet comprend quatre
tapes (admission, compression, explosion, chappement) qui se rptent durant
un cycle moteur.
On appelle mouvement priodique un mouvement qui se rpte et dont chaque
cycle se reproduit identiquement. La dure d'un cycle est appele priode.
Un mouvement priodique particulirement intressant dans le domaine de la
mcanique est celui d'un objet qui se dplace de sa position d'quilibre et y
revient en effectuant un mouvement de va-et-vient par rapport cette position. Ce type de mouvement priodique se nomme oscillation ou mouvement
oscillatoire. Les oscillations d'une masse relie un ressort, le mouvement d'un
pendule ou les vibrations d'un instrument corde sont des exemples de
mouvements oscillatoires.
Tout systme mcanique, incluant les machines industrielles les plus
complexes, peut tre reprsent par des modles forms dun ressort, un
amortisseur et une masse. Le corps humain, souvent qualifi de "belle
mcanique", est dcompos la figure 1.1 en plusieurs sous-systmes "masse-
ressort-amortisseur" reprsentant la tte, les paules, la cage thoracique et les
jambes ou les pieds.
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3Chapitre 1 : Gnralits sur les oscillations
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Figure 1.1 : Modlisation masse-ressort-amortisseur de lhomme.
Pour comprendre le phnomne vibratoire, on associe tous les systmes
physiques un systme "masse-ressort" qui constitue un excellent modle
reprsentatif pour tudier les oscillations comme suit, figure 2.1 :
Figure 2.1: Schma masse-ressort
F(t) sappelle la force de rappelle qui est proportionnelle lallongement x(t).
La constantekest appele la constante de raideur.
Il existe deux autres configurations pour le systme masse-ressort, figure 3.1 :
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4Chapitre 1 : Gnralits sur les oscillations
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Figure 3.1 : Trois autres configurations pour le systme masse-ressort
La reprsentation de plusieurs ressorts se prsente en deux cas :
En parallle, figure 4.1 :
Figure 4.1 : Ressorts en parallles
La raideur quivalente est la somme des raideursk1et k2telle que :
21 kkkeq
En srie, figure 5.1 :
Figure 5.1 : Ressorts en sries
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5Chapitre 1 : Gnralits sur les oscillations
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La raideur quivalente pour les constantesk1et k2telle que :
21
111
kkkeq
Un systme physique oscillant est repr par la coordonne gnralisepqui est
dfinit par lcart par rapport la position dquilibre stable.
On dfinit q le nombre de degr de libert par le nombre de mouvements
indpendants dun systme physique qui dtermine le nombre dquations
diffrentielles du mouvement.
Lnergie cintique dun systme mcanique scrit sous la forme :
2
ii1n
c pm2
1
E
Lnergie potentielle dun systme mcanique scrit partir de dveloppement
limit de Taylor sous la forme:
...pp
E
6
1p
p
E
2
1p
p
E)0(EE 30p3
p
3
2
0p2
p
2
0p
p
pp
La valeur p=0 correspond la position dquilibre du systme
caractrise par :
0p
E0p
i
p
Il existe deux types dquilibre :
Equilibre stable, figure 6.1 :
0p
E
0p2
p
2
Figure 6.1: Equilibre stable
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6Chapitre 1 : Gnralits sur les oscillations
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Equilibre instable, figure 7.1 :
0p
E0p2
p
2
Figure 7.1: Equilibre instable
Le mouvement oscillatoire est dit linaire si cet cart est infinitsimal. Ainsi,
lnergie potentielle prend la forme quadratique en fonction de lcart par
rapport la position dquilibre telle que :
2
02
2
2
1p
p
EE p
p
p
La constante2
2
pEp
est appele la constante de rappelle.
Ainsi ; la force de rappelle prend la forme linaire en fonction de lallongement
et oppose au mouvement telle que:
pp
EtF p
p
02
2
)(
Lquation du mouvement pour un systme conservatif peut tre dtermine
par trois mthodes :
Principe de la conservation dnergie totale :
0tan dt
dEteConsEEE TpcT
O TE est appele lnergie totale du systme.
Loi dynamique de Newton :
i1n
ii amF
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7Chapitre 1 : Gnralits sur les oscillations
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O ia
est appele lacclration des composantes du systme.
Mthode de Lagrange :
tetanConsEEL pc
OL est le Lagrangien du systme. Dans ce cas les forces drivent dun
potentiel et le mouvement du systme est conservatif.
Aprs lapplication le principe de moindre action, on obtient lquation
dEuler- Lagrange comme suit :
n,1i0)p
L)
p
L(
dt
d
ii
Lquation du mouvement pour un systme dissipatif (non conservatif) peut
tre dtermine comme suit :
Systme en translation :
n,1iF)p
L)
p
L(
dt
dext
ii
O extF
sont les forces extrieures appliques au systme.
Systme en rotation
n,1iM)p
L)
p
L(
dt
dext
ii
O extM
sont les moments extrieurs appliqus au systme.
Dans ce cas les forces ne drivent pas dun potentiel.
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Chapitre 2 :
Mouvement libre un degr de libert
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Rappels thor iques:
Un systme isol oscillant un degr de libert est dtermin par la coordonne
gnralisep qui est lcart par rapport lquilibre stable.
On dfinit loscillation harmonique par lquation diffrentielle suivante :
0)t(p)t(p 20
O0est appele la pulsation propre du systme.
On dfinit la priode propreT0comme suit :
0
0
2T
La solution de cette quation diffrentielle est de forme sinusodale tel que :
)tcos(A)t(p 0
OA reprsente lamplitude des oscillations et est le dphasage. Les constantes A et
sont dtermines par les conditions initiales suivantes :
0
0
p)0t(p
p)0t(p
Figure 2.1 : Mouvement sinusodal
Il faut signaler que toutes les oscillations de faible amplitude autour de la
position dquilibre peuvent tre assimiles des mouvements linaires et
lnergie potentielle peut sexprimer sous forme quadratique de la coordonne
gnralisep.
En revanche, au-del dune certaine amplitude loscillation devient non linaire.
Exemples :
Ressort :
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Figure 2.2 : Mouvement linaire dun ressort
Le vecteur de position :
ixvixmo
Lnergie cintique :
22c xm
2
1mv
2
1E
Lnergie potentielle pour des petites oscillations, scrit:
2p kx
2
1E
Alors, le Lagrangien du systme est de forme:
22
2
1
2
1kxxmEEL pc
Lquation de mouvement est de forme :
m
kavec0kxxmkx
x
Lxm
x
L0
x
L)
x
L(
dt
d 20
La solution de lquation diffrentielle :
)cos()( 0 tAtx
Pendule simple :
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Figure 2.3 : Mouvement linaire dun pendule simple
Le vecteur de position :
2222
sin
cos
cos
sin
lyxv
ly
lxv
ly
lxmo
Lnergie cintique :
22c ml
2
1mv
2
1E
Lnergie potentielle :
cosmglEp
Alors, le Lagrangien du systme scrit :
cos2
1 2 mglmlEEL pc
Lquation de mouvement pour des petites oscillations, est :
sinavec0mglmlsinmgl
Lml
L0
L)
L(
dt
d
La pulsation propre est gale :
m
k2
0
La solution de lquation diffrentielle est de forme :
)cos()( 0 tAtx
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Appli cations :
Pr obl me 1:
Soient les systmes mcaniques suivants :
o Une poulie de masse M, de moment dinertie J, et de rayon R, suspendue au
point O par un ressort de raideurk. Le fil inextensible glisse sur la poulie sans
frottement reli par une massem, figure 2.4.
o Un systme de bras rigidement lis et tournant dans le plan de la figure autour
du point fixeO. A lquilibre le brasL3est vertical, figure 2.5.
o Un systme hydraulique de forme U constitu de deux tuyaux cylindriques de
sections S1, S3 relis par un autre cylindre de section S2 et de longueur B qui
contient un liquide de masse volumique. Le systme est quivalent un
ressort de raideur ke et de masse Me. A lquilibre le liquide a la hauteur H,
figure 2.6.
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Dans le cas des oscillations linaires, dterminer pour chaque systme :
Le nombre de degr de libert.
Lnergie cintique, lnergie potentielle. En dduire le Lagrangien.
Lquation diffrentielle du mouvement.
La priode propre.
Solutions :
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Figure 2.4:
La figure 2.4 est reprsente en tat dquilibre (Figure 2.4a) et en tat de
mouvement (Figure 2.4b). Les paramtres, (X01, X02) et (X1, X2) reprsentent
respectivement les positions des masses M et m en tat dquilibre et enmouvement.
Le nombre de degr de libert :
La longueur du fillest la mme en mouvement et en quilibre tel que:
En quilibre :
)XX(RXDl 010201
En mouvement :
)XX(RXDl 121
Apres lgalit des deux quations, on obtient:
dpendantssontx,xx2x 2112
Le nombre de degr de libert est alors gal 1.
Le Lagrangien est :
Lnergie cintique :
22
21
21c xm
2
1J
2
1xM
2
1E
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Lnergie potentielle:
21p kx
2
1E
Le Lagrangien scrit alors :
21
212pc
kx2
1x)
R
Jm2M(
2
1EEL
Lquation diffrentielle est :
0x)
R
Jm4M
k(x0
x
L)
x
L(
dt
d1
2
111
La priode propreT0 :
2
O
R
Jm4M
k2T
Figure 2.5:
Le nombre de degr de libert :
On dfinit les dplacements infinitsimaux comme suit :
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dpendantssontx,x,xlx,lx,lx 321332211
Le nombre de degr de libert est gal 1
Le Lagrangien :
Lnergie cintique :
2233
2222
2211
2ii
1i
c lm2
1lm
2
1lm
2
1xm
2
1E
Lnergie potentielle :
cosglmkl2
1kl
2
1E 33
222
221p
Le Lagrangien scrit alors :
cosglm)l(k21lm
21EEL 33
2
2
1i
i
3
1i
2i
2iipc
Lquation diffrentielle est :
0)
lm
mglklkl(0
L)
L(
dt
d3
1i
2ii
121
22
La priode propreT0 :
1i
2
ii
1
2
1
2
2
O
lm
mglklkl2T
Figure 2.6:
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Le nombre de degr de libert :
On a la conservation du volume deau dplac dans le tube en forme U do,
sdpendantesontxxxscoordonnelesxSxSxS 321332211 ,,
Donc le nombre de degr de libert est gal a 1
Le Lagrangien :
Lnergie cintique :
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)S
S
S
S
h
B1(hSM
hSm,BSm,hSm
Avec
xM)S
S
S
S
h
B1(hSx
xM2
1xm
2
1E
3
1
2
11e
332211
21e
3
1
2
11
21
21e
3
1i
2iic
Lnergie potentielle :
On calcule la constante de rappelle partir de lnergie potentielle, on a alors :
)S
S1(ghSkx)
S
S1(ghS)xx(gSPSxkFxk
2
1E
3
11e1
3
1131111e
21ep
Le Lagrangien du systme scrit alors :
21e
21e
1i
2ii
2ii
1i
pc
xk2
1xM
2
1xk
2
1xm
2
1L
EEL
Lquation diffrentielle est :
0x)M
k(x 1
e
e1
La pulsation propre0est:
)SS
SS
hB1(hS
)S
S1(ghS
M
k
3
1
2
11
3
11
e
e20
Pr obl me 2:
On modlise le mouvement dun baffe dune radio par un rsonateur dHELMOTZ,
prsent comme un gaz parfait de pression P0, de volume V0 lquilibre thermique,
enferm dans une enceinte relie par un piston de masse mqui oscille sans frottement
suivant laxe Ox comme le montre la figure (2.7)ci-dessous.
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Lensemble du systme volue en opration adiabatique.
Dterminer lquation diffrentielle du mouvement en appliquant la loi
fondamentale de la dynamique.
En dduire la pulsation propre du systme et la solution gnrale.
Solutions :
En appliquant la mthode des forces on obtient :
1i
rapixmPS
Ox:SuramFPamF
Puisque lopration est adiabatique, on a:
SxV
PP
V
V
P
PtetanconscPV
0
0
00
Lquation diffrentielle scrit alors :
0x)mV
SP(x
0
2
0
La pulsation propre est :
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mV
SP
0
2
02
0
La solution gnrale est :
)tcos(A)t(x 0
Pr obl me 3:
Soient les systmes mcaniques constitus par une tige de masse ngligeable relie par
un ressort de raideurkreprsents dans les figures 2.8 et 2.9 comme suit:
Pour des petites oscillations, dterminer pour le systme de la figure (2.8):
Le Lagrangien.
Lquation diffrentielle du mouvement.
La pulsation propre et la solution gnrale.
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Pr obl me 4:
On considre un flau constitu dune tige mtallique de masse ngligeable, de
longueurlportant deux masses m et M, tournant sans frottement autour de son axe au
point fixeO comme le montre la figure 2.10. A lquilibre la barre est horizontale.
Dterminer:
La condition dquilibre et lallongement du ressort.
Le Lagrangien du systme
Lquation diffrentielle du mouvement, la pulsation propre et la priode
propre.
La solution gnrale avec les conditions initiales suivantes :
0)0t(x et 0*
v)0t(x
Appl ication num rique:m=M=1Kg, k=20N/m
Solutions:
Le lagrangien :
On a les dplacements infinitsimaux comme suit :
dpandantssontx,x4l3x,
4lx 2121
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On a donc un seul degr de libert.
Lnergie cintique :
4
l3x,
4
lxavec)l
4
3(M
2
1)l
4
1(m
2
1xM
2
1xm
2
1E 21
2222
21c
Lnergie potentielle :
22p )
4
l(k
2
1)
4
l(k
2
1E
Le Lagrangien scrit alors :
222
222pc )
4
l(k)mM9(
16
l
2
1L)
4
l(k)l
4
3(M
2
1)l
4
1(m
2
1EEL
Lquation diffrentielle du mouvement :
0M9m
k20
L)
L(
dt
d
La pulsation propre0et la priode propre sont :
M9m
k2
2T
M9m
k2
O
20
La solution gnrale est :
)tcos(A)t( 0
Pr obl me 5 :
Soit un disque de masse M, de moment dinertieJli par deux ressorts, lun au centre
O, lautre au point A distant de (R/2) du point O se glissant sans frottement suivant
laxe Ox
comme le montre la figure 2.11:
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Etablir le Lagrangien du systme.
Dterminer lquation diffrentielle du mouvement
En dduire la pulsation propre du systme ainsi que la solution gnrale
Solutions :
Le degr de libert :
On a le dplacement infinitsimal comme suitdpendantssont,xRx
Le systme a un seul degr de libert
Le Lagrangien du systme:
Lnergie cintique :
RxavecxM
2
1J
2
1E
22c
Lnergie potentielle :
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22p )
2
Rx(k
2
1)x(k
2
1E
Le Lagrangien du systme scrit alors comme suit :
22
2 kx
4
13
2
1x)
R
JM(
2
1L
Lquation diffrentielle scrit alors :
0x
R
JM
k4
13
x0x
L)
x
L(
dt
d
2
La pulsation propre est :
2
20
R
JM
k
4
13
La solution gnrale scrit alors :
)tcos(A)t(x 0
Pr oblme6 :
Soit un systme lectrique (Lind, Cap) en srie reprsent dans la figure 2.12 commesuit :
A partir des lois du Kirchhoff, tablir lquation diffrentielle du mouvement.
En dduire la pulsation propre du mouvement.
Solutions :
La loi des mailles :
0
C
q
dt
)t(diLjLZavec0
C
q)t(iZ0V
ap
indindL
ap
L
i
i indind
Lquation diffrentielle devient alors :
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dt
dq)t(iavec0)t(q
C
1qL
ap
ind
On a lquivalence du systme mcanique-lectricit comme suit:
kc
1)t(x)t(q
mL
0)t(kxxm0)t(qC
1qL
ap
ind
apind
La pulsation propre du mouvement scrit sous la forme:
apind
2
0CL
1
Pr oblmes supplmentair es:
Pr oblme 6:
Soient deux ressorts de mme raideur k ont une longueur vide l0. La figure 2.13
reprsente une masse m relie leurs extrmits peut glisser sans frottement suivant
laxe Ox
Dterminer:
Le Lagrangien du systme. Lquation diffrentielle du mouvement.
La pulsation propre, la priode propre et la solution gnrale.
Pr oblme 7:
On considre un gaz ionis, un plasma, form dions et dlectrons ayant une
charge globale nulle. On ngligera les mouvements des ions beaucoup plus
lourds que les lectrons. On suppose que les lectrons ne se dplacent que
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Dr Fouad BOUKLI HACENE
paralllement laxe Ox. Au repos, le plasma est homogne et contient n0,
nombre dlectron par unit de volume. On considre une tranche de plasma dx,
les lectrons situs respectivement en position x et x +dx se dplacent par les
quantitss(x, t)et s(x+dx), la figure 2.14:
En utilisant lquation de poisson, dterminer lquation diffrentielle du
mouvement.
En dduire la pulsation propre du systme.
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28Chapitre 3: Mouvement amorti un degr de libert
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Chapitre 3 :
Mouvement amorti un degr de libert
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29Chapitre 3: Mouvement amorti un degr de libert
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Rappel th or ique :
En ralit tous les systmes physiques interagissent avec le milieu environnant. Dans
ce chapitre on doit tenir compte linfluence de la force de frottement visqueuse de type
Vffr
sur les oscillations du systme. Ce type de mouvement est appel
mouvement amorti.
On dfinit loscillation amorti comme suit :
0)t(pp2p 20
O est un coefficient positif et est appel facteur damortissement. La rsolution de
cette quation se fait par le changement de variable, lquation devient alors :
0r2r 202
On calcule le discriminent
on obtient alors :
2
0
2'
Il existe trois types de solutions :
Cas o le systme est fortement amorti : 0
La solution de lquation diffrentielle scrit comme suit :
2
0
2
2,1
tr
2
tr
1
r
eAeA)t(p 21
OA1et A2sont coefficients dterminer par les conditions initiales :
)0t(p
)0t(p
On dit que le systme a un mouvement apriodique.
Cas o lamortissement critique : 0
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30Chapitre 3: Mouvement amorti un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
La solution de lquation est de forme :
rrr
e)AtA()t(p
21
tr
21
OA1et A2sont coefficients dterminer par les conditions initiales :
)0t(p),0t(p
Cas o lamortissement est faible : 0
La solution de lquation diffrentielle est de forme :
22
0
t avec)tcos(Ae)t(p
OA et sont des constantes dterminer par les conditions initiales :
)0t(p
)0t(p
On dfinit la pulsation du systme comme suit:
22
0
On dfinit la priode du systmeTappel pseudo-priode comme suit :
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31Chapitre 3: Mouvement amorti un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
2T
On dfinit le dcrment logarithmiquequi reprsente la dcroissance de
lamplitude une seule priode du systme comme suit:
)Tt(p
)t(pLn
Il faut signaler que le systme subitune perte dnergie totaledue au travail des
forces de frottement.
0WEdWdt)t(p)t(dE rfTrf2
T
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32Chapitre 3: Mouvement amorti un degr de libert
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Appli cations :
Pr obl me 1 :
On dfinit un oscillateur amorti rgi par lquation diffrentielle suivante :
0kxxxm.
Avecmest la masse du corps,kest le coefficient de rappel et xest le dplacement du
corps. On lance le systme avec une vitesse initiale v0=25cm/s.
Donc t=0,x=0 et 0vx
Calculer la priode propre du systme, sachant que : m=150g etk=3.8N/m.
Montrer que si =0.6kg/s, le corps a un mouvement oscillatoire amorti.
Rsoudre dans ce cas lquation diffrentielle.
Calculer le pseudo-priode du mouvement.
Calculer le temps mt au bout duquel la premire amplitude mx est atteinte. En
dduire mx .
Calculer la vitesse dune pseudo-priode.
Solutions :
Lquation du mouvement amorti est de forme :
20
20
..
m
k,2
mavec0xx2x0kxxxm
La priode propre du systme est T0:
s25.1
m
k
2T
s/rad5m
k
O
0
Lquation diffrentielle du mouvement se transforme en :
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33Chapitre 3: Mouvement amorti un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
21
Avec
021'
0r2r
220
20
2'
20
2
Le corpsm a un mouvement oscillatoire amorti.
La rsolution de cette quation diffrentielle est de forme :
)tcos(Ae)t(x t
En appliquant les conditions initiales :
20cos0x,0t
2avec
vAvx,0t 00
La solution finale sera exprime comme suit :
tsinev
)t(x)tcos(Ae)t(x t0t
La figure 2.1 reprsente le mouvement oscillatoire amorti.
La pseudo-priode :
s37.12
T
Le temps de la premire amplitude mt
Il faut que :
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34Chapitre 3: Mouvement amorti un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Arctg
t0dt
)t(dx)tt(x mttm m
Do :
4
Ts25.0tm
Pr obl me 2 :
Soient les systmes mcaniques reprsents dans les figures 2.2 et 2.3 come suit :
Pour des petites oscillations, dterminer pour chaque systme :
Le Lagrangien et lquation diffrentielle du mouvement.
La pulsation propre et la solution gnrale pour un faible amortissement.
Solutions :
Figure 2.2 :
Le Lagrangien:
Lnergie cintique :
222c ml
2
1mv
2
1E
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35Chapitre 3: Mouvement amorti un degr de libert
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Lnergie Potentielle :
asinaxaveccosmglkx2
1E 2p
Le Lagrangien scrit :
cosmgl)a(k2
1ml
2
1EEL 222pc
Lquation diffrentielle est :
2
220
20
2
2
ext
ml
ka,
m2
02
0ml
ka
mM
L)
L(
dt
d
La solution gnrale est pour un faible amortissement est de forme:
)tcos(Ae)t( t
Figure 2.3:
Le Lagrangien:
Lnergie cintique :
22
c xm2
1
mv2
1
E
Lnergie Potentielle :
22p )x(k
2
1kx
2
1E
Le Lagrangien scrit alors :
22
pc kxxm2
1EEL
Lquation diffrentielle est :
m
k2,
m2
0xx2x
0xm
k2x
mxF
L)
L(
dt
d20
20
ext
La solution gnrale pour un faible amortissement est :
)tcos(Ae)t(x t
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36Chapitre 3: Mouvement amorti un degr de libert
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Pr obl me 3 :
On considre un systme mcanique amorti, oscillant autour dun axe passant par O
reprsent par une tige mtallique de longueurlde masse ngligeable relie par deuxressorts identiques de constante de raideur kau point l/2 comme le montre la figure
2.4 :
Etablir le Lagrangien du systme.
Dterminer lquation diffrentielle du mouvement.
En dduire la pulsation propre du systme.
Rsoudre dans le cas de faible amortissement lquation diffrentielle du
mouvement avec les conditions initiales suivantes :
0)0t(,0)0t(
Solutions :
Le Lagrangien:
Lnergie cintique :
222c ml
2
1mv
2
1E
Lnergie Potentielle :
2
lsin
2
lxavecmglCos)x(k
2
1kx
2
1E 22p
Le Lagrangien scrit :
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37Chapitre 3: Mouvement amorti un degr de libert
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cosmgl)2
l(kml
2
1EEL 222pc
Lquation diffrentielle est :
2
2
20
20
2
2
ext
ml
mgl2
lk
,m
2
02
0ml
mgl2
lk
mM
L)
L(
dt
d
Pour un faible amortissement la solution scrit sous la forme :
0
0t
A,2
,0,0t
avec)tcos(Ae)t(
Alors, la solution gnrale scrit :
tsine)t( t0
Pr obl me 4:
Soit une boule de massem suspendue une tige de longueurl, de masse ngligeable et
plonge dans un liquide. Cette masse est soumise une force de frottement visqueuse
dont le coefficient de frottement estcomme le montre la figure 2.6 comme suit :
Etablir le Lagrangien du systme.
Dterminer lquation du mouvement.
Rsoudre dans le cas de faible amortissement lquation diffrentielle.
Applicati on nu mrique:m=1Kg, l=50cm, g=10m/s. Calculer la valeur maximalequene doit pas atteindre pour que le systme oscille.
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38Chapitre 3: Mouvement amorti un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
On prend la valeur de gale 10N.s/m, calculer le temps ncessaire pour que
lamplitude diminue de sa valeur.
Solutions :Le Lagrangien du systme:
cosmglml2
1EEL
22
pc
Lquation diffrentielle est :
lg,
m2
Avec
02
20
2
0
La solution gnrale est :
)tcos(Ae)t( t
La valeur maximale de max :
m/s.N94.8l
gm20 max
2
0
2
Le temps :
s28.04ln
e4
1Ae t)t(
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39Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Chapitre 4 :
Mouvement forc un degr de libert
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40Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
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Rappel th or ique :
On dfinit une oscillation force, tout systme en mouvement sous laction dune force
extrieure. On dfinit lquation du mouvement forc comme suit :
)t(fpp2p 20
O f(t) est appele la fonction excitation extrieure. Cette quation est linaire de
second ordre non homogne coefficients constant.
La solutionp(t)de lquation diffrentielle qui prsente la rponse du systme
laction extrieure, est la somme de deux thermes :
)t(p)t(p)t(p pg
O )t(pg et )t(pp reprsentent respectivement la solution gnrale la solution
particulire.
Il faut signaler quau dbut du mouvement p(t) reprsente le rgime
transitoire. Au fil du temps la solution homogne )t(pg devient ngligeable
devant la solution particulire )t(pp qui dfinitle rgime permanant. Ainsi la
solution totale dans ce cas, est de forme :
)t(p)t(p p
Dans le cas o lexcitation est sinusodale de type :
tj
00 eftcosf)t(f
La solution totale scrit alors comme suit :
)tcos(A)t(p)t(pp
OAreprsente lamplitude de la solution totale etle dphasage.
On cherche la solution de lquation diffrentielle sous forme complexe :
)t(j
p Ae)t(p)t(p
Avec
)t(jAej)t(p
)t(j2Ae)t(p
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41Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Alors lamplitude scrit :
j2
fAe
2
0
2
0j
En module :
22220
2
0
4)(
fA
En Argument :
20
2
2Artg
Ltude des variations du module de lamplitude se fait par :
0
d
Ad
Il existe deux pulsations :
220r 2
0
On appelle r la pulsation de rsonance.On dfinit ainsi :
La largeur de la bande passante :
12
Le facteur de qualitQpour un faible amortissement :
12
rQ
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42Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Appli cations :
Pr obl me 1:
Soit un immeuble Amodlis par le systme physique reprsent par une masse Metun ressort de raideur k subit un mouvement sismique sinusodal damplitude a de
forme tcosaxs comme suit:
Quelle est la rponse du systme. Justifier
Solutions : Le Lagrangien du systme :
Lnergie cintique :
22c xm
2
1mv
2
1E
Lnergie potentielle :
2sp )xx(k
2
1E
Le Lagrangien du systme scrit alors :
2s
2 )xx(k21xm
21L
Lquation diffrentielle est de forme :
m
k
em
aR)t(x)t(x
tcosm
a)t(x
m
k)t(xF
L)
L(
dt
d
20
tje
20
ext
La solution de cette quation est :)t(j
p Ae)t(x)t(x
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43Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
En remplaant dans lquation de mouvement, on dtermine lamplitude de la
rponse comme suit :
2
0
2
m
a
)(A
La rponse du systme est reprsente dans la figure 3.3 :
0lorsque)(A
Limmeuble va seffondrer face au sisme car le systme oscille avec la
pulsation propre. On appelle ce phnomne la rsonance. On se propose dans cecas la de mettre en place un moyen damortir les oscillations extrieurs du
systme qui se traduit par une force de frottement visqueuse.
Pr obl me 2:
Soit le circuit forme par lassociation parallle R, Lind, Capet alimente par une source
de courant sinusodale dlivrant un courant dintensit tcos2i)t(i 0 comme le
montre la figure 4.4 ci-dessous.
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44Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Exprimer la tension complexe u aux bornes de lassociation parallle en
fonction de, i0,et des paramtres du circuit.
On poseapind
2
0CL
1 ,
0
x
et on dfinit le facteur de qualit du circuit
comme suit : 0apRCQ
Exprimer le module de la tension uaux bornes de lassociation parallle
en fonction deR, i0, Qetx.
Montrer que u passe par un maximum maxu pour une valeur de x
dterminer.
Reprsenter sommairementmaxu
u)x(f en fonction de x. Que retrouve t-
on ?
Calculer la largeur de la bande passante.
Solutions :
La tension complexe u du systme est de forme:
qui
quiZ~
)t(u)t(io'd)t(iZ
~)t(u
Soit quiZ~
limpdance complexe quivalente du circuit R.L.C en parallle.
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45Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
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Avec :
)L
1
C(jR1
)t(Ri)t(uo'd
jL
1jC
R
1
Z~
1
indap
ind
ap
qui
Le module de la tension scrit alors :
22
0
)x
1x(Q1
2Ri)t(u
On constate que :
1xlorsque2Riuu 0max
Le schma de la fonctionmaxu
u)x(f est reprsent dans la figure 3.4
comme suit :
Rsonance1xsi1)x(fAvec
)x
1x(Q1
1
u
u)x(f
22max
La bande passante scrit comme suit :
22
12
)x
1x(Q1
1
2
1avecxxx
Aprs transformation on obtient la largeur relle de la bande passante :
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46Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
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RC
1o'dx0
Pr obl me 3:
On considre un systme de rception radio modlis par un circuit R, Lind, Capen srie
et aliment par une source de tension sinusodale dintensit tcosu)t(u 0 comme
le montre la figure 4.6 ci-dessous.
Dterminer limpdance totale du systme.
En dduire le module du courant parcourue par le circuit en fonction des
paramtresR, Lind, Capet .
Etudier les variations du module de courant en fonction de
Trouver la frquence de rsonance. En dduire le courant maximum.
Etablir la bande passante et le facteur de qualit en fonction des paramtres du
circuit R, Lind, Capet .
Donner une explication pour le fonctionnement de ce systme.
Solutions : Le circuit est en srie, limpdance totale est :
)C
1L(jRZ
~
ap
ind
Le module du courant est :
2
apind
2
00
)C
1L(R
u
Z~
)t(uI
Les variations du module du courant sont :
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47Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
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apind
0r
ap
ind
0max0
CL
1o'd0
C
1LPour
R
uI
On appellerpar la pulsation de rsonance.
La figure 4.7 reprsente lallureI0en fonction de
La bande passante et le facteur de qualit sont dfinit :
R
LQ
L
R
0ind0
ind
12
Lapplication technique de ce phnomne est la slection des frquences de
rsonances pour diffrentes stations de radio.
Pr obl me 4:
On dfinit un sismomtre comme un systme physique appel capteur qui comprend
un support et une masse m reli par un ressort et un amortisseur disposs en parallle,
la figure 4.8. La masse, de centre de gravit G, ne peut se dplacer que verticalement.
Le support, le ressort et lamortisseur ont une masse ngligeable.
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48Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
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Le ressort a une longueur vide let une rigiditk. La constante de frottement est. On
prcise que si, les extrmits A et B dun amortisseur appartenant un systme
mcanique, dcrivent un axeparallle laxe Ox avec des vitesses respectives av et
bv , lamortisseur exercice sur le reste du systme en point Aune force i)vv( ab
et
en pointBune force i)vv( aa
o i
est le vecteur unitaire.
Partie A :
Le support est immobile par rapport au repre (R0).
Calculer labscissex0 du centre dinertie de la masse en quilibre.
Ecrire lquation diffrentielle du mouvement de la masse cart de sa position
dquilibre.
Que devient cette quation quand on posex=x0+X.
On posem
k20 , Cf avec km4f
2
c . Montrer que lquation diffrentielle
scrit sous la forme suivante :
0xxx...
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49Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Calculer* et* en fonction deet 0.
On donne= 0.5, 0=10 rad/s. A linstant initial,X=1 cmet 0X . Dterminer
Xpourt= 0.2s.
Partie B :
On suppose maintenant que le support est solidaire du carter dune machine anim
dun mouvement sinusodale verticale tsinbx1 par rapport au repre (R0),
comme le montre la figure 4.9. On suppose que best positif.
Ecrire lquation de la masse par rapport (R0). Montrer que lquation diffrentielle peut scrire sous la forme suivante :
tsinbCXxAvec
tsinHxxx...
DterminerHetC, que reprsenteX?
Etudier la solution en rgime permanent )tsin(B)t(X avec Bpositif.
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50Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
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Calculer le rapportb
Bet tan en fonction de et
0 .
Tracer lallure du graphe deBen fonction detel queB=f ().
On suppose que=0.5, montrer que siest suprieur une certaine valeur1,
1b
B est infrieur 10-2. Calculer1.
En dduire une condition pour que lappareil puisse fonctionner en capteur
damplitude.
Solutions :Partie A :Le support est immobile par rapport au repre(R0).
Labscissex0scrit comme suit :
)al(k
mgx 0
Lquation diffrentielle du mouvement est de forme :
0kXXXmAlorsXxXxo'd
xmg))al(x(kxm
La nouvelle quation du mouvement scrit alors :
2
00
2
00
2Avec
0XX2X
La rsolution de cette quation diffrentielle :
22
0
22
0
2
00
2
15.0
)1(
0r2r
La solution est de forme :
2
0
0
t
1
X
BXAAvec
)tsinBtcosA(e)t(X 0
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51Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le systme a un mouvement amorti.
La valeur deXest :X=0.15m
Partie B :Le support est mobile par rapport au repre (R0). La relation dynamique du mouvement :
tsinbXxxetxXxo'd
)xx(mg))al(xx(kxm
211
11
Lquation
du mouvement devient alors :
bHAvec
tsinbXX2X
2
2200
La solution totale de lquation diffrentielle en rgime permanent est :
)tsin(B)t(X)t(X p
En notation complexe on aura la forme suivante :
)2
t(j
p Be)t(X~
)t(X~
En remplaant dans lquation diffrentielle, on obtient alors :
0
2222
2
Avec
1
2tan
)2()1(
bB
Les
variations deB=f() :
2
1si
21
10
0d
dB2
mm
Ainsi on distingue deux cas :
2
1
Amortissement faible Rsonance
2
1 Amortissement important
On peut en dduire que :
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52Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
bB
0B0
Pour=0.5,on aura :
05.7o'd101)1(
si101b
B
2pourb15.1BB
12
21
21
21
12
mmax
On peut conclure que lappareil reproduit les oscillations du carter si la
pulsation est importante. Il fonctionne alors en capteur damplitude.
Pr obl me 5:
On dfinit le modle dun oscillateur harmonique, figure 4.10, reprsente par une
massemplace dans un potentiel lastique du type : 22
1kxEp
Cette masse est soumise une force de frottement visqueuse et dont le coefficient de
frottement est .
Modelibre: Dans le cas des oscillations libres
Dterminer le Lagrangien du systme.
Etablir lquation du mouvement.
En dduire la solution gnrale avec les conditions initiales suivantes :
x(t=0)=0et 0v)0t(x .
M ode for c:On admet que les frottements existent, la masse m effectue des
oscillations forces sous leffet dune force sinusodale : tcosf)t(f 0
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53Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
On admet que la vitesse du mobile est de forme : )tcos(v)t(v 0
tablir lquation du mouvement.
Rsoudre lquation diffrentielle en rgime permanent.
Dterminer limpdance mcanique complexe dfinit comme rapport entre la
force applique et la vitesse du mobile.
Comparer le rsultat avec le systme lectrique.
Solutions :Modelibre:
Le lagrangien du systme :
22 kx2
1xm
2
1L
Lquation du mouvement :
m
kavec0xx0kxxm 20
20
La solution gnrale est de forme :
tsinv
)t(x 00
0
M ode forc:
Lquation du mouvement :
m
k
m2
avecm
)t(fxx2x)t(fkxxxm
20
20
Cest une quation diffrentielle inhomogne linaire, dun mouvement force.
La rsolution de cette quation diffrentielle en rgime permanent est :
)t(j
ep AeR)tcos(A)t(x)t(x
SoientAlamplitude de la solution etson argument.
En remplaant dans lquation diffrentielle et aprs le calcul, On obtient
alors :
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54Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
20
22220
2
0
2tanet
)2()(
m
f
)(A
Les variations de )(A sont dtermines par :
Rsonance20d
)(dA 22r
En remplaant dans lquation du mouvement, limpdance complexe est crite
comme suit :
)k
m(jZ~
)t(v
)t(fZ~
mcanimcani
Pour le systme lectrique, le rsultat est donn comme suit:
)C
1L(jRZ
~
)t(i
)t(uZ~
apindlectrilectri
On conclue donc les quivalences suivantes :
ap
ind
C
1k
Lm
R
Pr obl me 6:
Lorsquun moteur lectrique fonctionne, il prsente des vibrations naturelles quil est
ncessaire damortir pour viter de les transmettre a son chssis. On prvoit donc un
systme de suspension.
Le moteur est assimile au point matriel m de masse m pouvant se dplacer
paralllement a laxe verticalOz. La suspension le reliant au chssis est modlise par
un ressort de longueur vide l0 et de raideur k en parallle avec un amortisseur
exerant sur le moteur une force de freinage zfr uzf
Le chssis reste fixe dans un rfrencier galilen et on note le champ de pesanteurg
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55Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Mode A : Le moteur ne fonctionne pas et il est immobile.
Dterminer dans ce cas la longueur ldu ressort. On prend la rfrence z=0au
pointm.
M ode B :Le moteur tant toujours arrt, on lcarte de sa position dquilibre et puis
on le laisse voluer librement.
Dterminer le Lagrangien du systme.
tablir lquation diffrentielle du mouvement vrifie parz(t).
On posem
k20 et
0m2
Donner la forme de la solution gnralez(t)en fonction des paramtres et 0,
on suppose que
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56Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
)tcos(V)t(etV)tcos(z)t(z 00 Donner lexpression de la grandeur ieVV 0
Exprimer lamplitude V0en fonction de et des paramtres v, 0etF0/m. Donner lallure deV0().
Appl ication numrique: la pulsation vaut 628 rad/s, le moteur a une masse
m=10kg. On dispose de deux ressorts de raideurs k1=4 106n/m et k2=10
6n/m.
lequel faut il choisir pour raliser la suspension ?
Solutions :
Mode A : En quilibre
La longueur du ressort :
k
mgll0F 0
1i
i
Mode B : En mouvement amorti
Le lagrangien du systme :
22 kz2
1zm
2
1L
Lquation diffrentielle :
0zz2z
m2m
kAvec
0kzzm
2
00
0
2
0
La rsolution de lquation du mouvement :
10j)1()(
0r2r
222
0
2
0
2
0
2
00
2
Le systeme a un mouvement oscillatoire amorti.
La solution est de forme :
)tcos(Ae)t(z t0
lnergie totale du systeme :
0zdt
)t(dE]zkzzm[z
kz2
1)
dt
dz(m
2
1)t(E
2T
22
T
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57Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
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Le systeme nest conservatif. La diminution dnergie totale est due au travail
des forces de frottement.
M ode C :En mouvement forc
Lquation du mouvement est :
m
)t(Fzz2z
m2m
kAvec
)t(Fkzzm
2
00
0
2
0
La solution de lquation diffrentielle est :
)t(zj)t(zj
)t(z)t(zAvec
eVR)tcos(V)t(V)t(z )t(j0e0
En remplaant dans lquation du mouvement on obtient alors :
tj
2
20
0
0
e
)1(j2
m
F
)t(V
Le module de la vitesse est de forme :
2
2
2022
0
0
0
)1()2(
m
F
)(V
Ltude des variations du module de la vitesse :
0r
max00 V)(V
0d
)(dV
Pour cette pulsation on a le phnomne de rsonance.
Lallure de la courbeV0()est de forme :
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58Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
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Appl ication num rique:
02
01
01
02
02
0022max
2022r
01
0011max
1011r
)(V
)(V
m2
F)(V
m
k
m2
F)(V
m
k
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59Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pr oblmes supplmentai res
Pr obl me 7 :
Soit un disque de masse ngligeable enroul par un fil inextensible et non glissant,
comme le montre la figure ci-dessous :
Modelibre:
Dans le cas des oscillations libres
Dterminer le Lagrangien du systme
Etablir lquation diffrentielle du mouvement.
En dduire la pulsation propre
Donner la solution gnrale avec les conditions suivantes :
0)0t( , 0)0t( .
M ode forc:
On admet que les frottements existent, la masse m1 effectue des oscillations forces
sous leffet dune force sinusodale : tcosf)t(f 0
Etablir la nouvelle quation du mouvement.
Dterminer le module de la solution permanente de lquation diffrentielle.
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61Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Chapitre 5 :
Mouvement plusieurs degrs de libert
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62Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappel thor ique
On dfinit les systmes plusieurs degrs de liberts par les systmes qui
ncessitent plusieurs coordonnes indpendantes pour spcifier leurs. Le nombre dedegr de libert dtermine les modes propres.
Il existe deux types de systmes :
Systmes simples plusieurs sous systmes dcoupls comme le montre la
figure 5.1:
Il existe deux degrs de libert, 21 x,x
Le lagrangien du systme scrit alors :
2
1i
2
ii
2
i
2
1i
i xk2
1xm
2
1L
Les deux sous systmes sont indpendants et dcoupls :
1
1202
1
1201
2
2
022
12
011
2222
1111
m
k,
m
kavec
0xx
0xx
0xkxm
0xkxm
Les deux solutions des sous systmes sont indpendantes de formes :
)tcos(B)t(x
)tcos(A)t(x
2022
1011
Systmes complexe plusieurs sous systmes coupls comme le montre la
figure 5.2:
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67Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
0kxkx2xm
0kxkx2xm
122
211
Les pulsations propres :
Les solutions du systme sont de types sinusodaux :
)t(j
2
)t(j
1
p
p
Be)t(x
Ae)t(x
En remplaant les solutions dans le systme diffrentiel, On obtient un
systme linaire symtrique suivant :
0kAB)k2m(
0kBA)k2m(2
p
2
p
Le systme admet des solutions non nulles si seulement si :
0k)k2m(0k2mk
kk2m0det 222p2
p
2p
Les deux pulsations propres sont :
m
k3
m
k
2
p2
2p1
Les solutions gnrales :
)tcos(B)tcos(B)t(x
)tcos(A)tcos(A)t(x
p22p112
p22p111
En appliquant les conditions initiales, on trouve :
t2sint2sinC)t(x
t2
cost2
cosC)t(x
p2p1p2p1
2
p2p1p2p11
Le phnomne tudi est le battement ou modulation damplitude.
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68Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Partie 3 :
Les quations du mouvement scrivent comme suit :
0kxkx2xm
efR)t(fkxkx2xm
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
122
tj0e211
22
11
Les solutions particulires sont :
)t(jp22
)t(j
p11
p
p
Be)t(x)t(x
Ae)t(x)t(x
En remplaant les solutions dans le systme diffrentiel, On obtient un
systme linaire forc suivant :
jj
2p
02p
eBB~
AeA~
Avec
0A~
kB~
)k2m(
fB~
kA~
)k2m(
Les modules des amplitudes sont :
))((
m
kf
k2mk
kk2m
0k
fk2m
B
))((
)mk(
m
f
k2mk
kk2m
k2m0
kf
A
2p2
22p1
2
2
0
2p
2p
02p
2p2
22p1
2
20
2p
2p
2p
0
Les phnomnes tudis sont :
la rsonance
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69Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
p2p1quandB
A
anti rsonance.
m
kquand
tetanconsB
0A
Pr obl me 2 :
On considre deux circuits lectriques )C,L,R( apind coupls reprsent par la figure
5.7 comme suit:
Quel est le nombre de degr de libert ?
Dterminer le Lagrangien du systme.
Donner les quations du mouvement
On nglige les rsistances des deux circuits. On prend les nouvelles grandeurs
physiques tel que: indind2ind1 LLL et apap2ap1 CCC etapind
2
0CL
1 .
Etablir les nouvelles quations diffrentielles du mouvement.
En dduire les pulsations propres du systme en fonction de0.
Donner les solutions gnrales.
Quel est le modle mcanique quivalent ?
Solutions :
Nombre de degr de libert est 2 car les deux courants parcourus dans les deux
circuits sont diffrents.
Le Lagrangien du systme est exprim comme suit :
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71Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le systme mcanique quivalent est reprsent par la figure 5.9 comme suit:
Pr oblme 3 :
On a un systme mcanique constitu par trois masses coupls par deux ressorts
identiques de constante de raideurkreprsent dans la figure 5.10 comme suit:
Etablir le Lagrangien du systme.
Dterminer les quations diffrentielles du mouvement.
En dduire les pulsations propres ainsi la nature du mouvement.
Donner la matrice de passage.
Donner les solutions gnrales.
Solutions : Le Lagrangien du systme:
232
221
2i
3
1i
i )xx(k2
1)xx(k
2
1xm
2
1L
Lquation diffrentielle :
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72Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
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0kxkxxm
0kxkxkx2xm2
0kxkxxm
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
233
3122
211
33
22
11
Les pulsations propres :
On considre les solutions du systme de type sinusodal :
)t(j
3
)t(j
2
)t(j
1
p
p
p
Ce)t(x
Be)t(x
Ae)t(x
En remplaant les solutions dans le systme diffrentiel, On obtient un
systme linaire suivant :
0kBC)km(
0kCkAB)k2m2(
0kBA)km(
2p
2p
2p
Le systme admet des solutions non nulles si seulement si :
0]k)km)[(km(0det 222p2p
Les pulsations propres sont :
m
k2
0
m
k
2p3
2p2
2p1
La matrice de passage scrit:
000
110
111
P
La solution gnrale est :
)tcos(
)tcos(
)tcos(
P
)t(x
)t(x
)t(x
3p3
2p2
1p1
1
2
1
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73Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pr obl me 4 :
Sur un arbre OOhorizontal et fixe, de masse ngligeable, encastr ses extrmits O
etO, sont fixs trois disques (D1), (D2) et (D3) de centres respectifs O1, O2et O3 et demme moment dinertie J par rapport leur axe commun OO. On dsignera 1(t),
2(t) et3(t), les angles angulaires de rotation de chacun des trois disques par rapport
leur position de repos, figure 5.11 :
Les quatre partisOO1, O1O2, O2O3et O3Ode larbre ont mme constante de torsion C.
On poseraJ
C20 .
Rgi me libr e: Dterminer le Lagrangien de ce systme.
Etablir les quations diffrentielles du second ordre vrifies par les angles
1(t),2(t) et3(t).
En dduire les trois pulsations propres 1p,2p et3pde ce systme en fonction
de0.
Dterminer pour chaque des trois modes propres, les amplitudes angulaires des
disquesD2et D3si lamplitude angulaire du disqueD1estA= 1 radian.
Calculer lnergie mcanique totale ET de cette chane de trois disques, pour
chacun des modes propres, en fonction de C et de lamplitude angulaire 10 du
disqueD1.
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74Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rgi me for c:
On applique au seul disque (D1) un couple moteur sinusodal de
moment )tcos()t( 0 ,de pulsation rglable et damplitude0.
Etablir en fonction du paramtre 2
0
)(X
, les amplitudes angulairesA1, A2 et
A3de chacun des disques en rgime forc.
Pour quelles valeurs deXce systme est il en rsonance ?
Solutions :
Rgi me libr e:
Le Lagrangien de ce systme.
21
23
232
221
2i
3
1i
C2
1C
2
1)(C
2
1)(C
2
1J
2
1L
Les quations diffrentielles sont :
0)2(
0)2(
0)2(
0
L
)
L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
23
2
03
3122
02
212
01
33
22
11
Les pulsations propres :
On considre les solutions du systme de type sinusodal :
)t(j
3
)t(j
2
)t(j
1
p
p
p
Ce)t(
Be)t(
Ae)t(
En remplaant les solutions dans le systme diffrentiel, On obtient unsystme linaire suivant :
0BC)2(
0CAB)2(
0BA)2(
20
20
2p
20
20
20
2p
20
20
2p
Le systme admet des solutions non nulles si seulement si :
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75Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
0])2()2)[(22(0
20
2
02
0det 22022
p20
20
2p
20
2p
20
20
20
2p
20
20
20
2p
Les pulsations propres sont :
22
22
2
0p3
0p2
0p1
Les amplitudes angulaires des disquesD2et D3
32120p3p
32120p2p
2320p1p
2222
2222
02
Lnergie mcanique totaleET :
21
23
232
221
2i
3
1i
T C2
1C
2
1)(C
2
1)(C
2
1J
2
1E
Rgi me for c:
Les amplitudes angulairesA1, A2et A3 :
0)2(
0)2(
)tcos()(CCJ
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
232
03
3122
02
02111
33
22
11
En rgime forc les solutions sont du type :
tj33
tj22
tj11
eA)t(
eA)t(
eA)t(
En remplaant dans le systme diffrentiel, on obtient le rsultat
suivant :
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76Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
)X22)(X22)(X2(
1
CA
)X22)(X22(
1
CA
)X22)(X22)(X2(
)X3)(X1(
CA
03
02
01
Ce systme entre en rsonnance pour les valeurs deXsuivantes :
22X
22X
2X
Pr obl me 5 :On considre trois pendules simples identiques, de masses m, de longueurl, prsents
dans la figure 5.12. Les masses sont relies entre elles par lintermdiaire de deux
ressorts identiques, de raideur k. A lquilibre, les pendules sont verticaux, les trois
masses sont quidistantes sur une mme, et les ressorts ont leur longueur naturelle. Le
systme en mouvement est dfini, linstant t, par les longations angulaires 1, 2, 3
des pendules avec la verticale descendante. On poseram
k20 et
l
g20 .
Dterminer le Lagrangien du systme
Etablir les quations diffrentielles du second ordre vrifies par les longations
angulaires 1(t), 2(t),et 3(t)pour les petites oscillations du systme.
Dterminer les pulsations propres du systme.
Appl ication num rique:m=1kg, k=10N/m ; l=1m, g=10m s-2.
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77Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Dterminer le rapport des amplitudes angulairesA
Bet
A
Cpour chacun des
modes propres de ce systme.
Solutions :
Le Lagrangien du systme:
3
1i
i2
322
212
i
3
1i
2cosmgl)ll(k
2
1)ll(k
2
1ml
2
1L
Lquation diffrentielle :
0)(
0)2(
0)(
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(
dt
d
0L
)L
(dt
d
22
032
02
03
32
012
022
02
02
22
012
02
01
33
22
11
Les pulsations propres :
On considre les solutions du systme de type sinusodal :
)t(j3
)t(j
2
)t(j
1
p
p
p
Ce)t(
Be)t(
Ae)t(
En remplaant les solutions dans le systme diffrentiel, On obtient un
systme linaire suivant :
0BC)(
0CAB)2(
0BA)(
20
20
20
2p
20
20
20
20
2p
20
20
20
2p
Le systme admet des solutions non nulles si seulement
0]3)32()[(
0
0
2
0
0det
20
20
40
2p
20
20
4p
20
20
2p
20
20
2p
20
20
20
20
2p
20
20
20
20
2p
Les pulsations propres sont alors:
s/rad32.63
s/rad46.4
s/rad16.3
p2020p3
p2
02
0p2
p0p1
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78Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Les rapports des amplitudes sont :
1A
C2
A
B3
1A
C0
A
B
1A
C1
A
B
20
20p3
2
0
2
0p2
0p1
Pr obl me 6:
Soit le systme mcanique, constitu de deux pendules simples de longueur l et de
massesm1, m2 reprsents dans la figure 5.13 comme suit :
Etablir le Lagrangien du systme
Donner les quations diffrentielles du mouvement pour les faibles oscillations.
On posel
g20 et
2
1
m
m . Dterminer1pet2p les pulsations propres du
systme en fonction des paramtres et0.
Solutions:
Le Lagrangien du systme :
Lnergie cintique scrit :
2m2
2m1c 21
Vm2
1Vm
2
1E
En calculant les vitesses par rapport au repre fixe :
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80Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pr obl me 7:
Un ressort est relie par ses deux extrmits a deux points matriels, B de masse Met P de
masse m, figure 5.14. Ce dernier peut se dplacer sans frottement le long de laxe Ox tandis
que B est fixe lextrmit inferieur dun fil inextensible, de longueur l=OA, de masse
ngligeable, accroche en a un support horizontal et pouvant tourner librement autour de
laxe Az . Le ressort a une masse ngligeable, une raideurket une longueur a vide galement
ngligeable. Il a la possibilit, avecP, dtre gauche ou droite de B. le champ de pesanteur
est de la forme yugg et on suppose que langledfini par lattitude du fil relativement
la verticale reste petit.
Etablir le Lagrangien du systme
Dterminer les quations du mouvement
On posel
g20 ,
m
k21 ,
k22 et 2
1
20
2r
.
Mettre les quations du mouvement en fonction les paramtres 0,1et2.
On cherche une solution de la forme : tj
ppXex
et tj pYel .
Dterminer les modes propres p2p1 et
On nadmet dsormais quem=M.
Exprimer les deux pulsations propres p2p1 et en fonction deret 1.
En dduire la solution gnrale.
Solutions :
Le Lagrangien du systme :
cosMgl)lx(k21)l(M
21xm
21L
2p
22p
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81Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
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Les quations du mouvement :
0lxx
0xl)(l2
1p2
1p
p22
20
22
Les solutions sont de forme :
tjp Xex
et tjYel .
En remplaant les solutions dans le systme diffrentiel, On
obtient un systme linaire symtrique suivant :
0YX)(
0Y)(X2
12
12p
22
20
2p
22
Le systme admet des solutions non nulles si seulement si :
0))((0det 2221
21
2p
22
20
2p
Les deux pulsations propres sont :
21
20
21p2
21
20
221
20
21
202
p2
21p1
21
20
221
20
21
202
p1
2ravec
1r1r2
4)2(2
1r1r2
4)2(2
Les solutions gnrales :
)tcos(Y)tcos(Y)t(Y
)tcos(X)tcos(X)t(x
p22p11
p22p11p
Pr obl me 8 :
Parti e A : Rgime libr e
Soient deux circuits )CL( apind identiques de rsistances ngligeables, figure 5.15.
Le couplage par inductance mutuelle M est caractris par le coefficient de
couplageindL
Mk . On posera
apind
20
CL
1 .
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82Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
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Ecrire les deux quations diffrentielles vrifies par les chargesq1(t) et q2(t)des
condensateurs des circuits (1) et (2).
Dterminer les quations diffrentielles vrifies par la sommeS(t)=q1+q2et la
diffrenceD(t)=q1-q2.
En dduire les pulsations propreset de ce systme coupl, en fonction
des paramtres0et k.
On admet le couplage faible (indL
Mk 1). A linstant t =0 o on ferme
linterrupteur, le condensateur du circuit (1) porte la charge q10 et celui du circuit (2)
est dcharg.
Montrer que la charge du condensateur du circuit (1) volue au cours du temps
suivant la loi:
tcostcosq)t(q 0101
O le paramtresera exprim en fonction de0et k.
En dduire la loi dvolution de la chargeq2(t)du circuit (2).
Quelle est la nature du phnomne tudi ? Commenter.
Par ti e B : Rgime for c:
Le circuit primaire (1), Figure 5.16 est maintenant aliment par un gnrateur
sinusodal de f..m. tel que tsinu)t(u 0 .
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83Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
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On tudie le circuit coupl en rgime permanent.
Exprimer les chargesq1(t)et q2(t)sous la forme
tcos)(A)t(q 1 et tcos)(B)t(q2
O on dterminera les amplitudesq1()et q2()en fonction deu0,Lind,0et k.
Dterminer la pulsation adanti rsonance pour laquelleq1(a) = 0. En
dduire lamplitudeq2(a).
Tracer lallure des graphesq1()etq2().
Solutions :
Les deux quations diffrentielles :
0dt
diM
dt
diL
C
q2Circuit
0dt
diM
dt
diL
C
q1Circuit
12ind
ap
2
21ind
ap
1
En introduisant le couplage
indL
Mk , on obtient :
0Dk1
D
0Sk1
S
0qkqq2Circuit
0qkqq1Circuit2
0
2
0
12
2
02
21
2
01
Les pulsations propreset sont :
k1et
k1
00
Les lois dvolution des chargesq2(t) et q2(t):
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84Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
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2
kAvec
tsint
2
ksinq)t(q
tcost2
kcosq)t(q
0
00
12
00
11
0
0
La nature du mouvement : Les battements
Par ti e B : Rgime for c:
Les chargesq1(t)et q2(t) :
0dt
diM
dt
diL
C
q2Circuit
eudt
diM
dt
diL
C
q1Circuit
12ind
ap
2
tj
021
ind
ap
1
En introduisant le couplageindL
Mk , on obtient :
0qkqq2Circuit
e
L
uqkqq1Circuit
12
2
02
tj021
2
01
Les solutions particulires :
tcos)(A)t(q 1 et tcos)(B)t(q2
En remplaant dans le systme diffrentiel, on obtient alors :
0AkB)(2CircuitL
uBkA)(1Circuit
22
0
2
022
0
2
Alors aprs le calcul, on aura :
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85Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
Dr Fouad BOUKLI HACENE
222220
2
ind
0
22222
0
22
0
ind
0
)k()(
k
L
u)(B
)k()(L
u)(A
La pulsationadanti rsonance :
2
0ind
0A0A
k
1
L
u)(B
Pr oblme 09 :
Deux pendules simples identiques O1A1 et O2A2 de masse m et de longueur l, sont
coupls par un ressort horizontal de raideurkqui relie les deux masses A1et A2,figure
5.18. A lquilibre, le ressort horizontal a sa longueur naturellel0tel quel0= O1O2.
Les deux pendules sont reprs, linstant t, par leurs longations angulaires 1 et 2
supposes petites par rapport leur position verticale dquilibre. On dsignera g
lacclration de la pesanteur.
M odes propres : Dterminer le Lagrangien du systme.
Etablir les quations diffrentielles couples vrifies par les deux longations
angulaires instantanes1et 2
Exprimer en fonction deg, k, l et m, les deux pulsations propres 1p et 2pde ce
systme.
Appli cation s nu mr iques: Calculer1pet 2psachant que:
m= 100g ; l= 80cm ; k=9.2 N/m et g= 9.8m/s2.
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86Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
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On lche sans vitesses initiales le systme linstant t=0 dans les conditions initiales
suivantes :1=0et 2=0
En dduire les lois dvolution.1et 2aux instants t0. Quel est le phnomne tudi.
M odes for cs :
La masseA est soumise une force excitatrice horizontale de forme :
)tcos(F)t(F 0
Ecrire les nouvelles quations diffrentielles couples en1et 2.
Exprimer les relations complexes qui concernent les vitesses linairesV1 et V2
des pointsA1et A2en rgime forc.
En dduire limpdance dentre complexe1
e
V~
FZ .
Solutions :
Le Lagrangien du systme :
2
1i
i2
212
i
2
1i
2cosmgl)ll(k
2
1ml
2
1L
Les quations diffrentielles couples :
122
211
m
k)
m
k
l
g(
m
k)
m
k
l
g(
Les pulsations propres1pet 2p:
On considre les solutions du systme de type sinusodal :
)t(j
2
)t(j
1p
p
Be)t(
Ae)t(
En remplaant les solutions dans le systme diffrentiel, On
obtient un systme linaire symtrique suivant :
0B)m
k
l
g(A
m
k
0Bm
kA)
m
k
l
g(
2p
2p
Le systme admet des solutions non nulles si seulement si :
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87Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
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0)m
k()
m
k
l
g(0det
222
p
Les deux pulsations propres sont :
s/rad14m
k2
l
g
s/rad5.3l
g
p22
p2
p12
p1
Les solutions gnrales :
)tcos(B)tcos(B)t(
)tcos(A)tcos(A)t(
p22p112
p22p111
En appliquant les conditions initiales, on trouve :
t2
t2
Avec
tsintsinc)t(x
tcostcosc)t(x
t2
sint2
sinC)t(x
t2
cost2
cosC)t(x
p1p2p1p2
2
1
p2p1p2p1
2
p2p1p2p1
1
Le phnomne tudi est les battements.
M odes for cs :
Les nouvelles quations diffrentielles couples :
0kl)klmg(ml
tcosFkl)klmg(ml
122
0211
Les relations complexes qui concernent les vitesses linairesV1et V2 :
Les solutions particulires sont :
22
11
lj)t(V~
lj)t(V~
En remplaant les solutions dans le systme diffrentiel, On obtient un
0V~
)m
k
l
g(V
~
m
k
e
m
FjV
~
m
kV~
)
m
k
l
g(
22
1
tj021
2
Limpdance dentre complexe :
)mkl
mg(
mkl
mg
kj
V~
FZ
2
2
2
1
e
Ce systme mcanique fonctionne comme un filtre de frquence puisque son
impdance varie en fonction de la frquence.
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88Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts
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Pr oblme 10:
Soit un pendule de masse m et de longueur l pivote autour de M qui glisse sans
frottement sur le plan horizontal, comme le montre la figure 4.16, comme suit :
Partie A :
Dterminer le Lagrangien du systme ?
En dduire les quations diffrentielles de mouvements.
Dterminer les pulsations propres du systme.
Trouver le rapport damplitude dans les modes normaux.
Donner les solutions gnrales lorsque : M tend vers linfini et l tend vers 0.
Discuter.
Partie B :
On impose au point s un mouvement sinusodal de type tsinaxs comme le montre
la figure 5.20 :
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89Chapitre 5: Mouve
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