Théorie des Jeux
John von Neumann & Oskar Morgenstern (1944)
Comportements humains
Lewontin, Hamilton, Maynard-Smith, Charnov, PriceBiologie Evolutive
ESS: Evolutionary Stable Strategyou Equilibre de Nash (~1950) (Prix Nobel 1954)
Stratégie qui ne peut pas être envahie
Stratégies du joueur B
1 2 3 etc…
Stratégies du Joueur A
1 xA11, xB11 xA12, xB12 xA13, XB13 etc…
2 xA21, xB21 xA22, xB22 xA23, XB23 etc…
3 xA31, xB31 xA32, xB32 XA33, XB33 etc…
etc… etc… etc… etc… etc…
Dilemme du prisonnier
Al
Avoue Nie
Bob
Avoue -10, -10 -4, -45
Nie -45, -4 -5, -5
Equilibre de NashESS
Optimum de ParetoVilfredo Pareto (1848-1923)
sociologue
Joueur 2
Papier Ciseau Pierre
Joueur 1
Papier 1, 1 0, 2 2, 0
Ciseau 2, 0 1, 1 0, 2
Pierre 0, 2 2, 0 1, 1
Maximisation individuelle ≠ Maximisation du système
Jeu sans équilibre
Jeux du faucon-colombe-bourgeoisMaynar-Smith
Joueur 2
Faucon Colombe
Joueur 1
Faucon 1/2(V-C), 1/2(V-C) V, 0
Colombe 0, V V/2, V/2
ESS si C<V
Si C>V, une fréquence d'équilibre existe, f(faucon)=V/C
Faucon Colombe Mixte
Faucon ColombeV/C faucon,
1-V/C colombe
Faucon Faucon -1/2(C-V), -1/2(C-V) V, 0 V(C-V)/2C, -V(C-V)/2C
Colombe Colombe 0, V V/2, V/2 V(C-V)/2C, V(C+V)/2C
MixteV/C faucon,
1-V/C colombe-V(C-V)/2C, V(C-V)/2C V(C+V)/2C, V(C-V)/2C V(C-V)/2C, V(C-V)/2C
Mixte envahit tout et n'est pas envahit→Mixte=ESS
Faucon Colombe Bourgeois
Faucon chez lui
Faucon -1/2(C-V), -1/2(C-V) V, 0 -1/2(C-V), -1/2(C-V)
Colombe 0, V V/2, V/2 0, V
Bourgeois Colombe chez les autres 0, V V/2, V/2 0, V
Stratégie du bourgeois
Si V>C faucon=ESS
Si V<C bourgeois=ESS (mais n'envahit pas colombe)
Pararge aegeria (tircis)
Les bourgeois dans la vie
=>
n parties
Faucon Colombe Tit For Tat
Colombe la 1ère fois, même
stratégie que le 1er adversaire les fois suivantes
Faucon -1/2(C-V)n, -1/2(C-V)n Vn, 0 V-(n-1)1/2(C-V), -1/2(n-1)(C-V)
Colombe 0, Vn Vn/2, Vn/2 Vn/2, Vn/2
Tit For Tat
Colombe la 1ère fois, même stratégie que le 1er
adversaire les fois suivantes
-1/2(n-1)(C-V), V-(n-1)1/2(C-V) Vn/2, Vn/2 Vn/2, Vn/2
Stratégie du Tit For Tat
1) n=1V>C, ESS=FauconV<C, Pas d'ESS
2) n>1
V>C
V<C, ESS=Tit For Tat
n<1+V/C, ESS=Faucon
n≥1+V/C, ESS=Faucon et Tit For Tat
ParasiteH
ôte
Killer DiplomateK
ille
rD
iplo
mat
eWh = Ph(Whmax-Rh)
Wp = Pp(Wpmax-Vp)
Wh = Whmax-Rh
Wp = 0
Wh = 0
Wp = Wpmax-Vp
Wh = Whmax-Gh
Wp = Wpmax-Gp
c
W
0 Wmax
Wmax
WB
ParasitoïdismeW = p(Wmax-c)p=f(c)
Parasitisme W
= Wmax -c (c>0)
Mutualisme (c<0)
Commen
salis
me c=0
Vigilance des oiseaux (Maynard-Smith, 1989)
k
Probabilité d'être prédatési non vigilant
Proportion de temps passé au nourrissage
pour les stratèges x(mêmes stratèges cherchent en même temps)
x
c
Gain par unité de temps de nourrissage
x*=ESS recherchée
x le mutant qui ne peut envahir que si x=x*
xx*=proportion de tempsde non vigilance de tous lesoiseaux
kxx*=proportion de x prédatés
W(x/x*)=Valeur sélective de x chez x*=cx(1-kxx*)=cx-ckx*x²On désire que W(x/x*) soit maximisé quand x=x*
W(x/x*)=Valeur sélective de x chez x*=cx(1-kxx*)=cx-ckx*x²
On désire que W(x/x*) soit maximisé quand x=x*
dW(x/x*)/dx=0 et d²W(x/x*)/dx<0 quand x=x*
dW(x/x*)/dx=c-2ckx*x=0 si x=x*
x*²=c/(2ck) (c≠0)
x*=1/√(2k)
Si k=1/2, x*=1
Donc ici, si la probabilité de se faire prédater est de 1/2 l'ESS est de se nourrir 100% du temps (100% de non vigilance)
Vigilance des oiseaux
Dispersion des graines (Hamilton & May, 1977)
N graines produitespar plante
(1-m)N
mNpp=survie
à la dispersion
mN
n cases, une plante par case
Dispersion des graines (Hamilton & May, 1977)
On cherche m* tel que si un mutant m survient dans une population m*,
ce dernier ne peut envahir que si m=m*C'est-à-dire que
W(m/m*) est maximum pour m=m*ou bien
dW(m/m*)/dm=0 et d²W(m/m*)/dm<0 quand m=m*
Case quelconque m*
(n-1)Nm*p(1/n) + Nmp(1/n) + N(1-m*) grainessoit environs, si n>>1
N(m*p+(1-m*)) graines en compétition
n cases, une plante par case
Case de la plante mutante m
(n-1)Nm*p(1/n) + Nmp(1/n) + N(1-m)soit environs, si n>>1
N(m*p+(1-m)) graines en compétition
Dans les cases mW(m/m*)=(n-1)Nmp(1/n)/( N(m*p+(1-m*)) )
soit environs, si n>>1W(m/m*)m*=mp/( m*p+(1-m*) )
Dans la case mW(m/m*)=N (1-m)/( N(m*p+(1-m)) )
soit environs, si n>>1W(m/m*) m=(1-m)/( m*p+(1-m) )
W(m/m*)=mp/( m*p+1-m* ) + (1-m)/( m*p+1-m )
Dispersion des graines (Hamilton & May, 1977)
W(m/m*)=mp/(m*p+1-m*) + (1-m)/( m*p+1-m)
Rappel: (f/g)'=(f'g-fg')/g²
2
22
1*
*
*1*
*)/(
1*
111*1
*1*
0*1**)/(
mpm
pm
mpm
p
dm
mmdW
mpm
mmpm
mpm
mpmp
dm
mmdW
On veut que dW(m/m*)/dm=0 pour m=m*, soit
Si p≠0 et m*≠1/(1-p) et donc p≠1
m*p+1-m*-m*=0 m*(p-2)+1=0 m*=1/(2-p)
Donc même si la survie à la dispersion p est proche de 0, l'ESS m*≈1/2
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