Théorie des Jeux

John von Neumann & Oskar Morgenstern (1944)

Comportements humains

Lewontin, Hamilton, Maynard-Smith, Charnov, PriceBiologie Evolutive

ESS: Evolutionary Stable Strategyou Equilibre de Nash (~1950) (Prix Nobel 1954)

Stratégie qui ne peut pas être envahie

 

Stratégies du joueur B

1 2 3 etc…  

Stratégies du Joueur A

1 xA11, xB11 xA12, xB12 xA13, XB13 etc…  

2 xA21, xB21 xA22, xB22 xA23, XB23 etc…  

3 xA31, xB31 xA32, xB32 XA33, XB33 etc…  

etc… etc… etc… etc… etc…  

           

Dilemme du prisonnier

 

Al

Avoue Nie

Bob

Avoue -10, -10 -4, -45

Nie -45, -4 -5, -5

Equilibre de NashESS

Optimum de ParetoVilfredo Pareto (1848-1923)

sociologue

 

Joueur 2

Papier Ciseau Pierre

Joueur 1

Papier 1, 1 0, 2 2, 0

Ciseau 2, 0 1, 1 0, 2

Pierre 0, 2 2, 0 1, 1

Maximisation individuelle ≠ Maximisation du système

Jeu sans équilibre

Jeux du faucon-colombe-bourgeoisMaynar-Smith

 

Joueur 2

Faucon Colombe

Joueur 1

Faucon 1/2(V-C), 1/2(V-C) V, 0

Colombe 0, V V/2, V/2

ESS si C<V

Si C>V, une fréquence d'équilibre existe, f(faucon)=V/C

 

Faucon Colombe Mixte

Faucon ColombeV/C faucon,

1-V/C colombe

Faucon Faucon -1/2(C-V), -1/2(C-V) V, 0 V(C-V)/2C, -V(C-V)/2C

Colombe Colombe 0, V V/2, V/2 V(C-V)/2C, V(C+V)/2C

MixteV/C faucon,

1-V/C colombe-V(C-V)/2C, V(C-V)/2C V(C+V)/2C, V(C-V)/2C V(C-V)/2C, V(C-V)/2C

Mixte envahit tout et n'est pas envahit→Mixte=ESS

 

Faucon Colombe Bourgeois

    Faucon chez lui

Faucon   -1/2(C-V), -1/2(C-V) V, 0 -1/2(C-V), -1/2(C-V)

Colombe   0, V V/2, V/2 0, V

Bourgeois Colombe chez les autres 0, V V/2, V/2 0, V

Stratégie du bourgeois

Si V>C faucon=ESS

Si V<C bourgeois=ESS (mais n'envahit pas colombe)

Pararge aegeria (tircis)

Les bourgeois dans la vie

=>

n parties

Faucon Colombe Tit For Tat

   Colombe la 1ère fois, même

stratégie que le 1er adversaire les fois suivantes

Faucon   -1/2(C-V)n, -1/2(C-V)n Vn, 0 V-(n-1)1/2(C-V), -1/2(n-1)(C-V)

Colombe   0, Vn Vn/2, Vn/2 Vn/2, Vn/2

Tit For Tat

Colombe la 1ère fois, même stratégie que le 1er

adversaire les fois suivantes

-1/2(n-1)(C-V), V-(n-1)1/2(C-V) Vn/2, Vn/2 Vn/2, Vn/2

Stratégie du Tit For Tat

1) n=1V>C, ESS=FauconV<C, Pas d'ESS

2) n>1

V>C

V<C, ESS=Tit For Tat

n<1+V/C, ESS=Faucon

n≥1+V/C, ESS=Faucon et Tit For Tat

ParasiteH

ôte

Killer DiplomateK

ille

rD

iplo

mat

eWh = Ph(Whmax-Rh)

Wp = Pp(Wpmax-Vp)

Wh = Whmax-Rh

Wp = 0

Wh = 0

Wp = Wpmax-Vp

Wh = Whmax-Gh

Wp = Wpmax-Gp

c

W

0 Wmax

Wmax

WB

ParasitoïdismeW = p(Wmax-c)p=f(c)

Parasitisme W

= Wmax -c (c>0)

Mutualisme (c<0)

Commen

salis

me c=0

Vigilance des oiseaux (Maynard-Smith, 1989)

k

Probabilité d'être prédatési non vigilant

Proportion de temps passé au nourrissage

pour les stratèges x(mêmes stratèges cherchent en même temps)

x

c

Gain par unité de temps de nourrissage

x*=ESS recherchée

x le mutant qui ne peut envahir que si x=x*

xx*=proportion de tempsde non vigilance de tous lesoiseaux

kxx*=proportion de x prédatés

W(x/x*)=Valeur sélective de x chez x*=cx(1-kxx*)=cx-ckx*x²On désire que W(x/x*) soit maximisé quand x=x*

W(x/x*)=Valeur sélective de x chez x*=cx(1-kxx*)=cx-ckx*x²

On désire que W(x/x*) soit maximisé quand x=x*

dW(x/x*)/dx=0 et d²W(x/x*)/dx<0 quand x=x*

dW(x/x*)/dx=c-2ckx*x=0 si x=x*

x*²=c/(2ck) (c≠0)

x*=1/√(2k)

Si k=1/2, x*=1

Donc ici, si la probabilité de se faire prédater est de 1/2 l'ESS est de se nourrir 100% du temps (100% de non vigilance)

Vigilance des oiseaux

Dispersion des graines (Hamilton & May, 1977)

         

         

         

         

         

         

N graines produitespar plante

(1-m)N

mNpp=survie

à la dispersion

mN

n cases, une plante par case

Dispersion des graines (Hamilton & May, 1977)

On cherche m* tel que si un mutant m survient dans une population m*,

ce dernier ne peut envahir que si m=m*C'est-à-dire que

W(m/m*) est maximum pour m=m*ou bien

dW(m/m*)/dm=0 et d²W(m/m*)/dm<0 quand m=m*

Case quelconque m*

(n-1)Nm*p(1/n) + Nmp(1/n) + N(1-m*) grainessoit environs, si n>>1

N(m*p+(1-m*)) graines en compétition

n cases, une plante par case

Case de la plante mutante m

(n-1)Nm*p(1/n) + Nmp(1/n) + N(1-m)soit environs, si n>>1

N(m*p+(1-m)) graines en compétition

Dans les cases mW(m/m*)=(n-1)Nmp(1/n)/( N(m*p+(1-m*)) )

soit environs, si n>>1W(m/m*)m*=mp/( m*p+(1-m*) )

Dans la case mW(m/m*)=N (1-m)/( N(m*p+(1-m)) )

soit environs, si n>>1W(m/m*) m=(1-m)/( m*p+(1-m) )

W(m/m*)=mp/( m*p+1-m* ) + (1-m)/( m*p+1-m )

Dispersion des graines (Hamilton & May, 1977)

W(m/m*)=mp/(m*p+1-m*) + (1-m)/( m*p+1-m)

Rappel: (f/g)'=(f'g-fg')/g²

2

22

1*

*

*1*

*)/(

1*

111*1

*1*

0*1**)/(

mpm

pm

mpm

p

dm

mmdW

mpm

mmpm

mpm

mpmp

dm

mmdW

On veut que dW(m/m*)/dm=0 pour m=m*, soit

Si p≠0 et m*≠1/(1-p) et donc p≠1

m*p+1-m*-m*=0 m*(p-2)+1=0 m*=1/(2-p)

Donc même si la survie à la dispersion p est proche de 0, l'ESS m*≈1/2