Activités et terminologie Calcul intégral Compléments Exercices
Primitives et Intégrales
HARAU C.
21 janvier 2007
HARAU C. Primitives et Intégrales
Activités et terminologie Calcul intégral Compléments Exercices
Plan
1 Activités et terminologie
2 Calcul intégral
3 Compléments
4 Exercices
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Activités et terminologie Calcul intégral Compléments Exercices Activités Terminologie Exercice
Sommaire
1 Activités et terminologieActivitésTerminologieExercice
2 Calcul intégralSymbole et écritureInterprétation géométrique de l’intégraleApplication
3 ComplémentsPropriétésMoyenne
4 ExercicesFreestyle 2Onduleur
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Activités
Correction du premier exercice du contrôle de Sciences.
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Activités
Correction du premier exercice du contrôle de Sciences.
Étude du freinage
Le freinage est un mouvement rectiligne uniformément décéléré (a < 0) avec unevitesse initiale v0 :
v = at + v0
Le véhicule, lancé à 144 km/h, s’arrête en 10 secondes.1 Calculer l’accélération du mouvement et en déduire la loi des vitesses.2 Déterminer la loi horaire x(t) telle que x ′ = v , en utilisant le tableau des dérivées.3 Calculer la distance de freinage.
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Sommaire
1 Activités et terminologieActivitésTerminologieExercice
2 Calcul intégralSymbole et écritureInterprétation géométrique de l’intégraleApplication
3 ComplémentsPropriétésMoyenne
4 ExercicesFreestyle 2Onduleur
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Terminologie
Primitive
F est une primitive de f sur un intervalle I si, pour tout x de I, on a F ′(x) = f (x).
Remarque : Quelle différence faire entre une primitive et la primitive.
Trouver les primitives sur ] −∞; +∞[ des fonctions suivantes :
f : x 7→ 1
g : x 7→ 3x2 h : x 7→ x − 2
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Sommaire
1 Activités et terminologieActivitésTerminologieExercice
2 Calcul intégralSymbole et écritureInterprétation géométrique de l’intégraleApplication
3 ComplémentsPropriétésMoyenne
4 ExercicesFreestyle 2Onduleur
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Freinage
Dans le cas du freinage, la vitesse est donnée par v(t) = −4t + 40. En sachant quex(t) est une primitive de v(t), trouver x(t) la loi horaire du mouvement.
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Activités et terminologie Calcul intégral Compléments Exercices Symbole et écriture Interprétation géométrique de l’intégrale Application
Sommaire
1 Activités et terminologieActivitésTerminologieExercice
2 Calcul intégralSymbole et écritureInterprétation géométrique de l’intégraleApplication
3 ComplémentsPropriétésMoyenne
4 ExercicesFreestyle 2Onduleur
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Symbole et écriture
Définition de l’intégrale
On appelle intégrale de a à b d’une fonction f , le nombre I tel que :
I =
Z b
af (x)dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a)
où F est une primitive de la fonction f
Remarque :
le symbole I =R b
a se lit somme de a à b ou intégrale de a à b
la lettre x du symbole dx peut-être remplacée par tout autre lettre (sauf a et b)
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Sommaire
1 Activités et terminologieActivitésTerminologieExercice
2 Calcul intégralSymbole et écritureInterprétation géométrique de l’intégraleApplication
3 ComplémentsPropriétésMoyenne
4 ExercicesFreestyle 2Onduleur
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Interprétation géométrique de l’intégrale
Soit une fonction f , et F une de ses pri-mitives.Notons A l’aire délimitée par
la courbe
l’axe des abscisses
les droites d’équations x = a etx = b
Si f (x) ≥ 0 sur [a; b] alors A =
Z b
af (x)dx
Si f (x) ≤ 0 sur [a; b] alors A = −Z b
af (x)dx
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Sommaire
1 Activités et terminologieActivitésTerminologieExercice
2 Calcul intégralSymbole et écritureInterprétation géométrique de l’intégraleApplication
3 ComplémentsPropriétésMoyenne
4 ExercicesFreestyle 2Onduleur
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Application
Freestyle
On considère la rampe ci-contre. Sachant que la courbesupérieur a pour équation0, 5 × (x − 2)4.Déterminer la quantité depeinture nécessaire pourrepeindre la rampe.
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Calcul de volume de révolution
Volume d’un cône
On considère un cône de rayon R et de hauteur h, soit l’axe de révolution du cône(x ′Sx), d’origine le sommet et orienté vers le bas.
1 Compléter le schéma en y ajoutant h et R.2 Exprimer en fonction de x le rayon de la section de
cône coupée par un plan horizontal passant par x .3 En déduire f (x) l’aire de ce disque.4 Donner l’intervalle où évolue x .5 Trouver le volume V du cône sachant que
V =
Z H
0f (x)dx
S
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Calcul de volume de révolution
Volume d’une boule
On considère une boule de rayon R , soit un axe de révolution (x ′Ox), d’origine lecentre sommet et orienté vers le haut.
1 Exprimer en fonction de x le rayon de la section dela boule coupée en x perpendiculairement à l’axepar un plan horizontal.
2 En déduire f (x) l’aire de ce disque.3 Donner l’intervalle où évolue x .4 Trouver le volume V de la boule sachant que
V =
Z R
−Rf (x)dx
O
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Sommaire
1 Activités et terminologieActivitésTerminologieExercice
2 Calcul intégralSymbole et écritureInterprétation géométrique de l’intégraleApplication
3 ComplémentsPropriétésMoyenne
4 ExercicesFreestyle 2Onduleur
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Relation de ChaslesZ c
af (x)dx =
Z b
af (x)dx +
Z c
bf (x)dx
Linéarité de l’intégraleZ b
a(f (x) + g(x))dx =
Z b
af (x)dx +
Z b
ag(x)dx
Z b
akf (x)dx = k
Z b
af (x)dx
Z b
af (x)dx = −
Z a
bf (x)dx
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Sommaire
1 Activités et terminologieActivitésTerminologieExercice
2 Calcul intégralSymbole et écritureInterprétation géométrique de l’intégraleApplication
3 ComplémentsPropriétésMoyenne
4 ExercicesFreestyle 2Onduleur
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La valeur moyenne f , d’une fonction f , sur un intervalle [a; b] est donnée par la relation
f =1
b − a
Z b
af (x)dx.
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La valeur moyenne f , d’une fonction f , sur un intervalle [a; b] est donnée par la relation
f =1
b − a
Z b
af (x)dx.
Valeur moyenne de la tension du secteur sur une période.
L’expression d’une tension alternative sinusoïdale est :
u(t) = 325 sin(ωt) avec ω =2π
T
Calculer alors la valeur moyenne de u sur une période T = 0, 02s.
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La valeur moyenne f , d’une fonction f , sur un intervalle [a; b] est donnée par la relation
f =1
b − a
Z b
af (x)dx.
Valeur moyenne de la tension du secteur sur une période.
L’expression d’une tension alternative sinusoïdale est :
u(t) = 325 sin(ωt) avec ω =2π
T
Calculer alors la valeur moyenne de u sur une période T = 0, 02s.
Correction
La moyenne de u est donnée par la relation : u =1
T
Z T
0Um sin(ωt)dt.
une primitive de u est U(t) = −Um cos(ωt)
ω
Donc u =1
0, 02
»
−Um cos(ωt)
ω
–0,02
0= 0
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2 Calcul intégralSymbole et écritureInterprétation géométrique de l’intégraleApplication
3 ComplémentsPropriétésMoyenne
4 ExercicesFreestyle 2Onduleur
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Freestyle
On considère à nouveau larampe ci-contre. Sachant quela courbe supérieur a pouréquation 0, 5 × (x − 2)4.Soit la droite d’équationd1 : y = 5 Déterminer laquantité de peinture néces-saire pour repeindre la rampesi elle est tronquée des partiesqui se trouvent au-dessus ded1.
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3 ComplémentsPropriétésMoyenne
4 ExercicesFreestyle 2Onduleur
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Activités et terminologie Calcul intégral Compléments Exercices Freestyle 2 Onduleur
La figure ci-dessous est l’oscillogramme obtenu aux bornes d’un onduleur :
1 Quelle est la période T du signal observé ?2 Déduisez-en la pulsation ω.3 La fonction de base étant la fonction u définie par :
u(t) = 220√
2 sin(100πt),calculez la valeur moyenne u du signal soit
u =1
T
Z 0,018
0,008220
√2 sin(ωt)dt
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