Méthodes de prévision (STT-3220)
Section 6
Classe des modèles ARMA
Version: 16 décembre 2008
STT-3220; Méthodes de prévision2
Classe des processus ARMA(p,q)
Soit le processus tel que et supposons que . Le processus est autorégressif moyenne mobile d’ordre (p,q) s’il satisfait la relation:
Le processus est un bruit blanc Les paramètres sont
des nombres réels.
tZ 2tZE
0tZE tZ
taaaZZZ qtqttptptt ,1111 ta 2,0 aBB
.,1,;,1, qipi ii
STT-3220; Méthodes de prévision3
Opérateur retard B (backward shift operator)
Soit le processus . L’opérateur retard B se définit comme suit:
tZ
mttm
tttt
tt
zzB
zBzBzBzB
zBz
21
2
1
STT-3220; Méthodes de prévision4
Opérateur retard (suite)
On suppose également que de sorte que .
De plus: . L’opérateur retard est linéaire:
IB 0
tt zIz mtt
mt
m zzBzB
.
,
1
1111
ttt
tttttt
zBzzB
BwBzwzwzB
STT-3220; Méthodes de prévision5
Opérateur retard (suite)
Considérons l’opérateur polynomial B:
On a alors que: p
pBBIBf 10
ptptt
tp
pt
zzz
zBBIzBf
110
10 ,
STT-3220; Méthodes de prévision6
Opérateur retard (suite et fin)
Somme, produit et produit par un scalaire se définissent de la même façon que pour des polynômes d’une variable réelle.
p
pp
pp
pp
BbaBbabaBfBfBff
BbBbbBf
BaBaaBf
11002121
102
101
2212121 11 BRRBRBRIBRBR
STT-3220; Méthodes de prévision7
Opérateur « différence » ainsi que « différence saisonnière »
D’autres opérateurs sont utiles: Opérateur différence: Par exemple:
Opérateur différence saisonnière: Soit s. On le définit comme:
Exemple:
BI
21
222
1
2
2
ttt
ttt
tttt
zzz
zBBIzBIz
zzzBIz
ss BI
1212
12 tttt zzzBIz
STT-3220; Méthodes de prévision8
Réécriture des modèles ARMA à l’aide de l’opérateur retard
Posons:
Il est élégant et économique d’écrire:
Si , on dit que le processus est ARMA(p,q) si
.
,
1
1
pp
BBIB
BBIB
., taBZB tt tZE tZ
.
.,
tt
tt
ZZ
taBZB
STT-3220; Méthodes de prévision9
Processus autorégressifs; Processus moyennes mobiles
Un processus ARMA(p,0) est souvent noté AR(p):
Un processus ARMA(0,q) est souvent noté MA(q):
pptt
tptptt
BBIBaZB
taZZZ
1
11
,
,,
qqtt
qtqttt
BBIBaBZ
taaaZ
1
11
,
,
STT-3220; Méthodes de prévision10
Racines communes Considérons un modèle ARMA:
Comme nous allons le constater, la stationnarité et l’inversibilité reposeront sur l’étude des racines du polynôme autorégressif (stationnarité) et du polynôme moyenne mobile (inversibilité).
Cependant, il faudra s’assurer que les deux polynômes n’ont pas de racines communes. Si tel est le cas, on retire simplement les facteurs communs.
Exemple: n’est pas un ARMA(1,1), mais le bruit blanc: .
tt aBXB 5.015.01
., taBZB tt
tt aX
STT-3220; Méthodes de prévision11
Étude de la stationnarité d’un processus ARMA(p,q)
Soit un processus qui est ARMA(p,q). Se demander si ce processus est stationnaire est se questionner si admet une représentation du genre:
On rappelle que: On aimerait faire « disparaître » l’opérateur . On aimerait multiplier par de chaque côté.
tZ
tZtaZ
j jtjt ,0
0jj
., taBZB tt B
B1
STT-3220; Méthodes de prévision12
Étude de la stationnarité (suite)
Un résultat stipule que pour avoir l’existence de l’opérateur , il faut étudier les racines de l’équation:
Résultat fondamental: existe si et seulement si les racines de
l’équation sont plus grandes que un en module.
B1
0z
B1 0z
STT-3220; Méthodes de prévision13
Exemple: processus AR(1)
Le processus est: De manière équivalente: L’équation caractéristique est:
La racine de cette équation est: Si on a alors que:
ttt aZZ 1 tt aZB 1
01 zz
01
1111
STT-3220; Méthodes de prévision14
Stationnarité d’un ARMA(p,q)
Si est un opérateur qui existe, on a alors que l’équation peut être multipliée de chaque côté par l’opérateur , ce qui nous donne:
B1 tt aBZB
B1
jtjtt
tt
tt
aaBZ
aBBZ
aBBZBB
1
11
STT-3220; Méthodes de prévision15
Inversibilité d’un processus ARMA(p,q)
Soit un processus qui est ARMA(p,q). Se demander si ce processus est inversible est se questionner si admet une représentation du genre:
La discussion est en tout point similaire à celle sur la stationnarité. Dans , on veut multiplier de chaque côté par .
tZ tZ
tj jtjt aZZ 1 1j j
tt aBZB B1
STT-3220; Méthodes de prévision16
Inversibilité d’un ARMA(p,q) (suite)
L’opérateur existe si et seulement si les racines de l’équation sont plus grandes que un en module.
Dans un tel cas:
B1 0z
tt
tt
tt
aZB
aZBB
aBBZBB
1
11
STT-3220; Méthodes de prévision17
Inversibilité d’un ARMA(p,q) (suite)
On note que dans:
Ainsi:
1
1
j
jjBIBBB
.
,
,
,
1
1
1
tj jtjt
tj tj
jt
ttj
jj
tt
aZZ
aZBZ
aZBI
aZB
STT-3220; Méthodes de prévision18
Exemple: Inversibilité d’un processus MA(1)
Le processus est: De manière équivalente: L’équation caractéristique est:
La racine de cette équation est: Si on a alors que:
1 ttt aaZ tt aBIZ
01 zz 1
011
11
STT-3220; Méthodes de prévision19
Remarques Soient l’éqn ,
ou l’éqn avec
En général, les racines de ces équations pourraient être des nombres complexes.
On rappelle que si est racine d’une équation, avec , il en est de même du conjugué, i.e. que sera également racine.
Rappel: le module d’un nombre complexe est donné par la formule:
0z ppBBIB 1
0z qqBBIB 1
biaz 1i
biaz biaz
22 baz
STT-3220; Méthodes de prévision20
Plan complexe
z = a+bib
| z |
a
STT-3220; Méthodes de prévision21
Expressions consacrées!
Vous allez souvent rencontrer des expressions du genre:
« Les racines de (…) sont plus grandes que un en module ».
Ou encore: « Les racines de (…) sont à l’extérieur du
cercle unité ».
STT-3220; Méthodes de prévision22
Cercle unité (dans le plan complexe)
z = a + bi
1
STT-3220; Méthodes de prévision23
Étude de la stationnarité et de l’inversibilité d’un AR(p)
Processus AR(p): Ce processus est stationnaire ssi les racines
de sont plus grandes que un en module.
Ce processus est toujours inversible. Exemple: AR(1) admet
une représentation en terme des valeurs passées et est stationnaire ssi
tt aZB
z
ttt aZZ 1
1
STT-3220; Méthodes de prévision24
Étude de la stationnarité et de l’inversibilité d’un MA(q)
Processus MA(q): Ce processus est inversible ssi les racines de
sont plus grandes que un en module.
Ce processus est toujours stationnaire. Exemple: MA(1) admet
une représentation en terme d’un bruit blanc et est inversible ssi
tt aBZ
z
1 ttt aaZ
1
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