8/9/2019 Fonctions spciales
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250
Chapitre XIIFonctions spciales
Chapitre XII
Fonctions spciales
XII.1 Dtermination de la fonction Gamma
La fonction Gamma est trs simple dduire partir de l'intgrale d'Euler:
0
1px .dxxe
ette intgrale est une fonction de paramtre p ! elle est reprsente par le s"m#ole
$p% et s'appelle lafonction Gamma.
L'intgrale d'Euler est une intgrale non propre& car la #orne suprieure est infinie&
l'intgrale est gale 1px pour 0x= et par consuent toutes les expressions sous intgrale
tendent (ers )ro pour p*1.
onsidrons pour uelles (aleurs de p l'intgrale peut exister. +our cela& di(isonsl'inter(alle d'intgration en trois parties: de )ro a1,0& de a1 a2et de a2 l'infini. -n aura:
1 2
1 2
1 1 1 1
0 0
.
a a
x p x p x p x p
a a
e x dx e x dx e x dx e x dx
= + +
ontrons ue la dernire intgrale existe pour n'importe uelle (aleur de p.
=a2
#
a2
1px/
#
1px dxxelimdxxe
%i la limite existe$. -n utilise pour montrer l'existence de la limite:
0e
xlim
x
1p
x=
+
%uon peut facilement monter en appliuant plusieurs fois la rgle de
lospital$ et par consuent& pour les grandes (aleurs de x& par exemple& si 0xx> & la
(aria#lex
1p
e
x +
sera infrieure ! si on pose 1= & ainsi pour 0xx> on a:
1e
xx
1p
1
>
1.
>
1
>
?
=
=
+=
=
+=
4monstration : reprsentons ( )1+ p par lintgrale dEuler et intgrons par parties :
( )
+==+0
1px
0
xpp
0
x &dxxepexdxxe1p
o@
.e(&dxed(
!dxpxdu&xu
xx
1pp
==
==
-r
0e
x
limexlim x
p
x
xp
x ==
+ar consuent :
( ) ( ).ppdxxep1p 1p
0
x ==+
Corollaire 1.
i p est nom#re entier& on a ( ) ( ).A1pp = 9insi& on a :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )A.1p11.2...2p1p....
2p2p1p1p1pp
=======
4onc& de ce corollaire& on peut remaruer comment la fonction gamma croit rapidement :
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25C2BB010120A5C12
20ABD2&1&2.0&1 & peut tre
dtermine par la formule %788.>$. La fonction gamma nexiste pas pour les p ngatifs entiers.
Exemple :
.>
2
1
>
2
>
1
>
2
est trou(e partir de la ta#le.Proprit 2
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255
Chapitre XIIFonctions spciales
( )( ) ( ) ( )np...2p1pp
nAnlim+
p
n +++=
.
ette formule est utilise pour le calcul approximatif de la fonction gamma.
+our la dmonstration& considrons la fonction :
( ) .dxxn
x1p&nf 1p
n
0
n
=
-n peut facilement (oir ue :
( ) ( )pp&nflimn
= . E(idemment :
( )
( ).pdxxedxxn
x1lim
dxxn
x1limp&nflim
1p
0
x1p
n
0
xxn
n
1p
n
0
n
nn
==
+=
=
=
4une autre part& en intgrant par parties& on o#tient pour f %n& p$ une expression sous la
forme :
( )
.&
!1
11
&$1%1
11&
1
1
0
1
01
0
p
xvdxxdv
dxnn
xndu
n
xu
o
dxxn
x
p
px
nxdxx
nxpnf
pp
nn
p
n
n
n
pn
p
n n
==
=
=
+
+
=
=
-n o#tient lexpression :
( ) dxxn
x1
p
1p&nf
n
0
p
1n
=
En lintgrant par parties encore une fois en posant :
1
1 & ( .
n
pxu d x dxn
= =
do@ du 1px(!dx
nx1
n1n
1p2n
+=
=
+
-n o#tient :
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25C
Chapitre XIIFonctions spciales
f( n , p )= 1p[(1xn)
n1x
p+1
p+1|n0+ n1n (p+1 )0n
(1xn)n2
xp+1
dx ]= n (n1 )n2p (p+1 )0n
x (1xn )n2
xp+1
dx
-u encore aprs intgration par parties n fois& on o#tient :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
0
1 2 ... 1& 11 2 .... 1
A.
1 2 ... 1
A A
1 ... 1 ...
n nn
n p
n
n pn
n
n p p
n
n n n n n xf n p x dxnn p p p p n
n x
n p p p p n n p
n n n n
n p p p n p p p n
+
+
+
= = + + +
= =+ + + +
= =+ + + +
+ar consuent :
( ) ( ) ( ) .np....1pp
Ann
limp
p
n ++=
Proprit !. 4ri(e du logaritme de la fonction gamma.
Hrou(ons la formule pour :
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1ln 1 :
1
A1 lim !
1 ...
1 lim ln ln A ln 1 .... ln !
1 1 1lim ln ... .
1 1
p
n
n
n
pp
p
n np p p p
p p p n
In p p n n p p n
pn
p p p n
+ + = +
+ = =+ +
+ = + + +
+ = + + +
En posant p ; 0&
.n
1
...2
1
1nlnlim$1%
$1%
n
+++=
La partie gauce de cette galit est gale approximati(ement /0&5??21I
La grandeur 0&5??21... sappelle la constante dEuler.
+ar consuent :
1 1lim ln 1 ... .
2nn C
n
+ + + =
4onc& on peut crire :
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25?
Chapitre XIIFonctions spciales
[
[
1 1
% 1$ 1 1 1 1lim ln 1 ... ...
% 1$ 2 >
1 1 1 11 ... J lim ln
2 >
1 1 1 1 11 ... .
2 >
n
n
p p
m m
pn
p p p n
np n p
Cn p m m
= =
+= + + + + + + +
+ + + + + + = +
+ + + + + = + +
XII.! Dtermination de la fonction de "essel de la premi#re esp#ce
Luation diffrentielle de Kessel est :
.011
2
2
=
++ y
xy
xy
%788.
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25B
Chapitre XIIFonctions spciales
Lidentit peut tre crite sous forme :
[ ] .xax$pi%a pi0i
i
2pi22
0i
i
+
=
+
= +
-n peut dduire ue :
$2%
2
ipi
aa ii +
=
En tenant compte ue :
&0a...&&0a&0a&0a 1M25>1 ==== + cest//dire ue les coefficients a"ant des indices impairs
sont nuls. ur la #ase de la formule de rcurrence& on peut crire :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
...................................................................................
!>p2p1p>.2.2
a$1%
Cp2C
aa
!2p1p2.2
a$1%
1
2
11
C
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2C>
Chapitre XIIFonctions spciales
est donc luation de Kessel. es solutions seront
( ) ( ) ( ) .J " e" J ou J x e" J x
onsidrons luation.
.0"=x=1"
x1" =
++
%788.C$
i lon introduit le signe %/$ sous la parentse et lon pose 1i2 = & luation %788.C$
de(ient :0"
=x
=i"
x
1" 2 =
++
& ui est un cas particulier de luation %788.5$& uand
i= . La solution de luation %788.5$ sera : ( ) ( )xiNetxiN
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )!
1M1M
2
x
i
1M1M
i
2
x
$1%xiN
!1M1M
2
x
i
1M1M
i2
x
$1%xiN
0M
M2
M2
M2
0M
M
0M
M2
M2
M2
0M
M
=
=
=
+
++
=
++
=
=++
=
+++
=
=+++
=
[ on a utilis ] .1$1%et&$1%i M2MM2 ==
Etant donn ue luation diffrentielle est omogne& donc uelue soit 1et uelue
soit 2 les fonctions $xi%N1 et $xi%N2 seront ses solutions.
En posant == iet&i 21 & on o#tient la solution sous forme :
( )( )
( )( )
&1MAM
2
x
xiNi
!$1M%AM
2
x
1MAM
2
x
iixiNi
0M
M2
0M 0M
M2M2
=
=
=
++
+
=
++
=++
=
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2C&2&1M&Net&Q M0t=Ma=
MM ==
ui est une solution de %788.1>$. M sont les nom#res caractristiues du pro#lme. ( ) M0N
sont les fonctions caractristiues ou propres du pro#lme.
9ucune fonction
( )t&Q M =ne satisfait les conditions aux limites& tant donn ue pour t ;0 :
( ) &NQ M0MM = et non f% $.
9fin de trou(er la solution& prenons :
( )=
=
M
1M
0
t=a=
M NMe$t&%Q
pour t;0& Q; f% $ et par consuent :
=
= 1M M0M .[Nc$%f
La dernire srie est la dcomposition de $%f par la fonction de Kessel dordre 0 :
[ ]
=1
0
M02
M0
M[
d[
N$%f[$%'N
2c
donc :
[ ]
=
1
0
M022
M0
M d$%N$%f
[
1.
$%'N
2c
.La fonction :
2 2
0
1
% & $ % $ka "
k k
k
' " ! e J
=
=
est la solution du pro#lme pos.
Pro/l#me 2. +ro#lme de 4iriclet pour un c"lindre
oit un c"lindre ) ; 0& ) ;& [;1. Hrou(er la fonction armoniue lintrieure du c"lindre&
si lon connat ses (aleurs sur la surface.
8l faut rsoudre le pro#lme 0=' & a(ec les conditions aux limites :
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2?B
Chapitre XIIFonctions spciales
$.%fQ
&0Q
&0Q
0)
1
)
=
=
=
=
=
=
+uisue Q ne dpend pas de0Q&
2
2
=
et luation de(ient :
01
2
2
2
2
=
+
+
z
'''
+osons $)%\$%$)&%Q = . 4o@ :
$.)%\$%)
Q$!)%\$%
Q$!)%\$%
Q2
2
2
2
=
=
=
En les remplaant dans luation& on o#tient :
.0$)%\$%$)%\$J%1
$%S =+
+
4composons les (aria#les :
2
$)%\$)%\
$%
$%1
$%
==
+
+our trou(er $% et \%)$& o#tenons les uations :
0$)%\$)%\ 2 = %788.1C$
0$%$%1
$% 2 =+
+ %788.1?$
Luation %788.1C$ est une uation linaire et omogne du deuxime ordre. +our sa
rsolution& ta#lissons luation caractristiue :
.M&0M 22 ==
a solution gnrale sera :
.ee$)%\ )2)
1
+=
Luation %788.1?$ est une uation de Kessel dont la solution est$.%4N 0
La fonction :
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2?D
Chapitre XIIFonctions spciales
$%N$ee%4$&)%Q 0)
2
)
1 +=
sera la solution de luation de Laplace.
9fin ue pour ) ;& on a Q;0& il faut ue :0ee 2
1 =+
Lgalit sera satisfaite si :
.2
e&
2
e
2
1
==
4o@ :
$&)%s2
eeee
$)%$)%)
2
)
1 =+
=+
et la fonction $%N$)%4sG$&)%Q 0 = satisfera la premire condition aux limites. 9fin
de satisfaire la deuxime condition aux limites& il faut ue :
&0$%N&1 0 ==
'est//dire : .0$%N 0 =
i ...&...&&& M21 sont les racines de $&%N0 donc &...&2&1M= on a :
$%N$)%sG4Q M0MMM =
ui satisfera les deux premires conditions aux limites.
En ualit dune nou(elle solution& prenons la fonction :
=
=1M
M0MM $.%N$)%s4$)&%Q
oisissons les coefficients de faon ue pour ) ;0& on a :
==
1M
M0MM $.%N$%s4$%f
Les conditions de la srie sont dtermines par la formule %788.12$. +ar consuent :
=1
0
M02
M0
MM .d$%N$%f.$J%]NS
2$%sG4
La fonction :
=
1M
M0MM $&%N$)%s4
sera la solution du pro#lme pos.
Pro/l#me !.onsidrons le pro#lme de 4iriclet a(ec les conditions sui(antes :
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2B0
Chapitre XIIFonctions spciales
$.%$&%&0$&%
&0$&%
1
0
zfz'z'
z'
(z
)
==
=
==
=
+osons :$&)%\$%$)&%Q =
-n trou(e :
$)%\
$)%\
$%
$%1
$%
=
+
ou encore :
0$%$%1
$% 2 =
+
et
0$)%\$)%\
2
=+La premire uation est une uation diffrentielle pour la fonction de Kessel du
troisime espce dordre 0 et dargument . a solution sera la fonction :
$.%8$% 0 =La deuxime uation est linaire coefficients constants. Les racines de luation
caractristiue 0M 22 =+ sont i .
La solution gnrale de cette uation sera :
)sin4)cos + .
La fonction :
$%$sincos%$&% 0 Iz*zCz' +=
sera la solution de luation de Laplace.
+our ue );0& on Q;0& il faut ue :
&00sin40cos =+
cose possi#le ue pour ;0.
+our ue pour );& on a Q;0& il faut ue 0sin4 = & cose possi#le ue pour :
.M =
+ar consuent&
MM
=
o@ M;1&2&>&I
La fonction :
M)sin
84$)&%Q
M
0MM
=
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2B1
Chapitre XIIFonctions spciales
atisfait les deux conditions aux limites. 9fin de trou(er la fonction satisfaisant la
troisime condition aux limites& prenons :
)
Msin
M84
1M
0M
=
et considrons ue :
=
=
1M
0M $.)%f
)Msin
M84
ette srie est la srie de Uourier pour la fonction $)%f .
+ar les formules de Uourier& on trou(e :
=
0
0M .d)
M)sin$)%f
2
M84
La fonction :
=
M)sin
M84$)&%Q 0M
sera la solution du pro#lme pos.
MM
=
sont les (aleurs propres et
M)sin
sont les
fonctions propres.
Exercices.
1. acant=
2
1
& trou(er
+
2
>M&
2
>&
2
1
o@ M est entier.
2. ontrer ue :
!xcosx
2$x%N&xsin
x
2$x%N
2
1
2
1 =
=
Ecrire luation diffrentielle pour$x%N
2
1
et$x%N
2
1
.
>. Trifier ue xxsin
et xxcos
satisfont luation diffrentielle :
0"xsin$x%N2sin$x%N2%i
...$1
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2B>
Chapitre XIIFonctions spciales
=
=0n
n
n .r$%cos+[
1
%788.1B$
+our r ;1 et ;0& &0cosr2r1 2 =+ et par consuent la fonction 16[ a un point
critiue. La srie con(erge seulement pour r *1.
+our o#tenir la formule pour $&%cos+n on pose .xcos = 4onc:
=
=+
=0n
n
n2
.r$x%+rrx21
1
[
1
%788.1D$
Les coefficients de la srie %788.1D$ peu(ent tre dtermins par la formule de c Laurin.
4onc:
0r
n
n
n
0r
0dr
[
1d
.An
1$x%+!1[1$x%+
=
=
===
+our trou(er $&x%+1 calculons d'a#ord:
>2
2
1
2
$rrx21%
rx$rrx21%
dr
d
[
1
dr
d
+
=+=
=
acant ue
&1
$%0
1
=
=
&d
dxP
on o#tient: .x$x%+1 =
9nalogiuement par la dri(e du second ordre par rapport [
1
& on peut o#tenir $x%+2
etc.
La diffrentielle de %788.1D$ donne:
=
=
0n
1n
n nr$x%+dr
[
1d
ou
=
=+
0n
1n
n2
.nr$x%+$rrx21%
rx
En multipliant les deux parties de la dernire galit par $&rrx21% 2+ et remplaant
2rrx21
1
+ par la srie %788.1D$& on o#tient:
=
=
+=0n 0n
1n
n
2n
n .r$x%n+$rrx21%r$x%+$rx%
Egalisons les coefficients pour rn :
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2B$x%+2 012 =+ ou.
2
1x
2
>$x%+ 22 =
2. En posant n;2& on o#tient:0$x%+2$x%x+5$x%+> 12> =+
ou
.x2
>x
2
5$x%+ >> =
>. i n;>& on aura:0$x%+>$x%x+?$x%+< 2>< =+
ou
.B
>x
5$x%+ 2$
XII.1% Application des pol7n8mes de egendre ( la rsolution des pro/l#mes limites
Problme 1. Poblme de *ii!/le" pou une ,p/e
8l faut trou(er une fonction armoniue l'intrieur d'une spre si l'on connat ses
(aleurs sur la surface. upposons ue la fonction cerce Q ne dpend pas de la cordonne
spriue . Le centre de la spre est confondu a(ec l'origine des coordonnes. Le ra"on de
la spre est [. 9insi la condition aux limites est:
$.%f$&r%Q[r
==
La fonction $&r%Q doit satisfaire l'uation de Laplace .0Q= -n a &06Q 22 = et
par consuent:
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2BD
Chapitre XIIFonctions spciales
ou
.0$Q
%sin
sin
1
r
Qr2
r
Qr
0$Q
%sinsin
1$
r
Qr%
r
2
22
2
=
+
+
=
+
-n (a cercer la solution par la mtode Uourier. Ecri(ons la fonction sous forme
$.%H$r%$&r%Q = Hrou(ons la dri(e et remplaant la dans l'uation :
.0$J%HSsind
d
$r%sin
1
$%H$Jr%r2$r%rS
!$%H$r%r
Q
!$%H$r%r
Q!$%H$r%
r
Q
2
2
2
=++
=
=
=
9fin ue $%H$r%$&r%Q = soit la solution de l'uation de Laplace& il faut ue la
dernire galit soit une identit.
parons les (aria#les:
.$%H
$J%HSsind
d
sin
1
$r%
$r%r2$r%r2
=
+
Etant donn ue r et sont indpendants& l'galit sera possi#le ue si les parties gauce
et de droite sont gales une constante . -n o#tient:
0$%$%2$%2 =+
et
.0$%H$J%HSsind
d
sin
1=+
4onc pour $&1n%n += on dduit ue:
$.%cos+c$%H nn =
La premire uation prend la forme:
.0$r%$1n%n$r%r2$r%r2 =++
a solution sera cerce sous forme de .r$r% M= 4'o@:
.r$1M%M$r%&Mr$r% 2M1M ==
En la remplaant dans l'uation& on o#tient:
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2D0
Chapitre XIIFonctions spciales
ou .r$r%&nM&0$J1n%n$1M%MSr
0r$1n%nMr2Mr$1M%
nM
MMM
===++
=++
+our caue nom#re n& la solution de l'uation de Laplace s'crit sous la forme:
&r$%cos+c$&r%Q nnn =
ependant cette fonction ne satisfait pas la condition aux limites du pro#lme.
L'uation de Laplace est une uation omogne. +renons la fonction $&% ' sousforme :
=
=0n
n
nn r$%cos+c$&r%Q
oisissons les coefficients cnpour ue r ;[& la srie sera gale $&%f
c'est//dire:
$.%$%cos0
f&P n
n
nn! =
=
En posant &cos=x on trou(e ue& sin (ar ie 0 & ' :dx d e" de 0 d o =
.dsin$%cos+$%f2
1n2
[
1c
0
nnn
+
=
+ar consuent:
=
+
= 0n 0n
n
n $.%cos+[
r
.dsin$%cos+$%f2
1n2
$&r%Q%788.2
8/9/2019 Fonctions spciales
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2D1
Chapitre XIIFonctions spciales
o@ Q est la temprature.
4ans le cas d'une rpartition stationnaire& on a .0Q= La condition aux limites est:
$.%fQ [r ==
4onc& le pro#lme 2 est un cas particulier du pro#lme 1 et sa solution est donne par la
srie %788.2
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2D2
Chapitre XIIFonctions spciales
=
=
=
=
0n
n
0n
n
1n
n .r$x%+x
[
1
&r$x%n+r
[
1
En remplaant les expressions trou(es dans luation %788.2C$& on o#tient :
n
0n 0n
n
1n
n r$x%p$rx%r$x%npr =
=
=
En galisant les coefficients pour r:
$x%++x$x%n+ 1nnn = %788.2?$
La diffrentielle de la formule %788.20$& donne:
.0$x%+n$x%+x$1n2%$x%+$1n2%$x%+$1n% 1nnn1n =+++=+ +
En remplaant nPx par la formule %788.2?$& on o#tient:
$.x%n+$Jx%+$x%n+$S1n2%$x%+$1n2%$x%+$1n% 1n1nnn1n + ++++=+
En simplifiant par nF1& on o#tient la formule %788.25$.
XII.1* Fonctions successi9es de egendre
Les fonctions successi(es de Legendre sont dsignes par $x%+ m
n et sont dterminespar:
m
n
m
2
m
2m
ndx
$x%+d$x1%$x%+
=
n/ est la puissance suprieure des fonctions et m/ caractrise la succession.
Les fonctions +m1%x$& +m2%x$& ...& +mn%x$& ...& sont ortogonales sur l'inter(alle %/1&1$& c'est//dire:
=1
1
m
n
m
M &nM&0dx$x%+$x%+
et
++
=1
1
2m
n$Amn%
$Amn%
1n2
2dx$Jx%+S
La fonction +mn%x$ satisfait l'uation diffrentielle:
.01
$1%2$1%2
22 =
++ yx
mnnyxyx
+our +mn%cos $& l'uation prend la forme:
.0sin
$1%sinsin
12
2
=
++
ym
nnd
dy
d
d
XII.1+ Fonctions spriues 9olumiues superficielles
8/9/2019 Fonctions spciales
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2D>
Chapitre XIIFonctions spciales
La fonction spriue (olumiue satisfait l'uation de Laplace:
.0)
Q
"
Q
x
Q2
2
2
2
2
2
=
+
+
Le pol"nVme omogne de degr n peut s'crire sous forme:
&)"xaQnpm
pm
mpn =++
=
o@ mpa
est un coefficient.
Le pol"nVme omogne de degr 2 peut s'crire sous forme:
.")ax)ax"a)a"axaQ 0111011102
002
2
020
2
2002 +++++=
a dri(e partielle d'ordre 2 est:
.a2)
Q&a2
"
Q&a2
x
Q0022
2
2
0202
2
2
2002
2
2
=
=
=
Q2satisfait l'uation de Laplace si:
.0aaa00 2020200
=++
Le s"stme de coordonnes spriues est reprsent par la figure $788.?%.
Fig XII.+
Luation de Laplace en coordonnes spriues scrit sous forme:
.0Q
sin
1$
Q%sin
sin
1
r
Qr%
r 2
2
2
2 =
+
+
9(ec:
.cosr)&sinsin)"
&cossinrx
= =
=
Le pol"nVme omogne prend la forme:
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2D
&0a=sin
=m$1n%n
d
dasin
d
d
sin
1$2
0a$1n%n$d
da%sin
d
d
sin
1$1
nmnm
nmnm
0n0n
=
++
=
++
=++
La premire uation est un pol"nVme de Legendre& d'o@:
$.%cos+a$%a 00n =
+our a nm% $ et #nm% $& on a:&$%cos+#$%#&$%cos+a$%a nmnm
m
nmnm ==
o@ a nm% $ et #nm% $ sont des constantes.
-n peut crire alors la fonction spriue sous forme:
$.%cos+Jmsin#mcosaS$%cos+a$&%P m
n
n
1m
mmn0n ++= =
XII.24 5rtogonalit des fonctions spriues
+our montrer l'ortogonalit& on utilise la formule de Green:
.d($QTTQ%dsdn
dQT
dn
dTQ
T
=
oit une spre de ra"on r %fig.788.B$. -n a:
$.&%PrT&$&%PrQ mm
n
n ==
et.0T!0Q ==
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2D?
Chapitre XIIFonctions spciales
Fig XII. ,
La partie droite de la formule de Green sera nulle et par consuent:
&0dsdn
$Pr%dPr
dn
$Pr%dPrS
n
n
m
mm
m
n
n =
La normale est dirige sui(ant le ra"on de la spre& d'o@:
$.&%Pmr$Pr%dr
d$Pr%
dn
dm
1m
m
m
m
m ==
9nalogiuement& on a:
$.&%Pnr$Pr%dn
dn
1n
n
n =
+our une spre .dsin=rds =
9prs remplacement& on o#tient:
.0ddsinPP$nm%r
mn
1mn = ++
En faisant sortir rnFmF1%m/n$ en deors de l'intgrale et en simplifiant& on o#tient:
=
mn .mnpour&0ddsin$&%P$&%P
ce ui exprime l'ortogonalit des fonctions spriues.
La fonction $&%f peut tre dcompose en srie par les fonctions spriues:
...$&%P...$&%P$&%P$&%f n10 ++++=
Exercices
1. Hrou(er $x%+5 et $x%+C par la formule de rcurrence.
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2DB
Chapitre XIIFonctions spciales
2. Hrou(er par la formule de rcurrence $.0%+n
&+pon,e :
n...C..1
$1%$0%+ 2
n
n
=pour n/ pair.
et
$0%+n pour n impair.
>. 4composer en srie par les pol"nVmes de Legendre:
=!10&1
01&0$%
x
xxf
&+pon,e :
...x+A2A>2
A
2
1$x%f >C2
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2DD
Chapitre XIIFonctions spciales
En comparant les expressions pour $t&x% et&
t
on trou(e:
.0$t&x%$x2t2%t
=+
En remplaant dans cette uation la srie correspondante& on trou(e:
=
=
=
+ =+0n 0n 0n
nn1nn1nn .0tAn
$x%x2t
An
$x%2nt
An
$x%
Les coefficients puissance t sont nuls. 9insi:
0An
$x%x2
$A1n%
$x%2$1n%
$A1n%
$x% n1n1n =
+++
+
ou
!0$x%n2$x%x2$x% 1nn1n =+ + %788.>0$
c'est la formule de rcurrence du pol"nVme d'ermite.
En posant n;1& on trou(e:
.2=x ==
XII.22 &uation diffrentielle pour les pol7n8mes d);ermite
onsidrons l'uation %788.>0$ et calculons sa diffrentielle:
0$x%n2$x%x2$x%2$x% 1nnn1n =+ + %788.>1$-n a aussi :
.A
$%22 1
0
2= +
=
+ == n
n
n"x" "n
x("e
x
et
.A
$%
0
=
=
n
nn "n
x(
x
Egalisons les coefficients pour tnF1. -n o#tient :
.A
$%2
$A1%
$%1
n
x(
n
x( nn =+
+
o@
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>00
Chapitre XIIFonctions spciales
$.x%$1n%2$x% n1n += +4o@
$x%n2$x% 1nn =et
1% $ 2 % $n n( x n( x =
En remplaant $x% 1n+ et $x% 1n dans %788.>1$& on o#tient :
0$x%$x%x2$x%2$x%$1n%2 nnnn =++
ou
!0$x%n2$x%x2$x% nnn =+
9insi& les pol"nVmes dermite satisfont luation diffrentielle :0n"2"x2" =+
XII.2! 5rtogonalit des pol7n8mes d);ermite
ontrons ue :
0dx$x%$x%e mnx
2
=
+osons .)$x%et)$x% 2m1n == 4onc :
&111 0n)2)x2) =+
.0m)2)x2) 222 =+
ultipliant la premire uation par2
2% $
xe z et la seconde par2
1% $.x
e z
4onc :
[ ] .0))e$mn%2$))))%edxd
!0))e$mn%2
$))))%xe2$))))%e
21
x
1221
x
21
x
1221
x
1221
x
22
2
22
=+
=+
+
8ntgrons par rapport x de :
=+ .0dx))e$mn%2J$))))%eS 21=x
1221
x2
4o@ :
=0dx))e 21=x
ou
.0dx$x%$x%=xe mn2x =
-n peut crire ue :
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>01
Chapitre XIIFonctions spciales
.An2dx$x%e n=n=x =
Les fonctions...$&x%$&x% 1 peu(ent tre utilises pour dcomposer les fonctions
$%xf
en srie.
XII.2$ 6paration des 9aria/les en coordonnes cartsiennes dans la rsolution de
l)uation de aplace
8l faut trou(er lintgrale de :
0=)
Q
="
Q
=x
222
=
+
+
=%788.>>$
Ecri(ons $)&"&x%Q sous forme :
&$)%\$"%P$x%7$)&"&x%Q = %788.>>$& et di(is par $)&"&x%Q & on trou(e :
0\
\
P
P
7
7=
+
+
%788.>5$+osons :
= ! = ! = =1 Y )
1 Y )
= = = + .4onc %788.>>$ de(ient :
= 0 ! = 0 ! = &1 1 Y Y ) ) + = + = =
o@=.== += %788.>C$
Lintgrale sera :
.!! zyizi e)eYe1
===
4onc& lintgrale partielle %788.>
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>02
Chapitre XIIFonctions spciales
plan spectral ( , ) . +ar consuent& luation prend la forme dune transforme
in(erse de Uourier :
~U( , )ez=
ei+i
U( , , z )d d %788.>D$
La fonction spectrale $&%Q doit tre dtermine partir des conditions aux limites.
En posant ) ; 0 dans luation %788.>D$& on o#tient :
( ) ( ) .dd)&&Qee&Q` ii) =
+
%788.B$ et %788.
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>0>
Chapitre XIIFonctions spciales
Lintgrale %788.
222 ++
=
%788.
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>0222 $"%$x%
ddd$&&%$"&x%g
%788.5>$
onsidrons ue la source est dans le (olume dont la section ori)ontale trans(ersale
est m %fig.788.D$.
Fig.XII.-
Le prolongement du corps (ers le #as peut tre infini& cependant les masses doi(ent tre
localises une profondeur suprieure ; .
La densit est nulle $0% = lextrieur du (olume dsign et est gale m lintrieur.
4onc de lexpression %788.5>$& on a :
.2
3(
m ddd
#
4o@ :
g mm
%788.5
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Chapitre XIIFonctions spciales
ontrons maintenant comment lexpression %788.52$ diminue pour (/ . 4ans notre cas :
2 2
>
2 2
% & $ % & & $ & % $
% $
i i y d d dy# e dxdy x
y
+= = +
+ +
%
En cangeant x et " respecti(ement par +x et +" & on o#tient :
.$%
$&&%$&%`26>222
++= ++ yx
dxdyeddde# yixiii
Le module sera :
.2
2$&%`
(mm
(
mm e3
de3#
==
%788.55$
4onc& la fonction spectrale diminue en exponentielle et surtout uand est important.
Luation %788.52$ scrit donc :
&dd$&%ge
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