RDM Elements finis
Manuel dexercices
Yves Debard
Institut Universitaire de Technologie du MansDepartement Genie Mecanique et Productique
http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html
26 juin 2006 29 mars 2011
Table des matie`res
1 Elasticite 1ELA 1 : Plaque percee dun trou circulaire, sollicitee en traction . . . . . . . . . . . . . . . 1ELA 2 : Plaque rectangulaire soumise a` laction de la pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . 3ELA 3 : Disque annulaire en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5ELA 4 : Tube epais soumis a` un gradient thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7ELA 5 : Reservoir spherique soumis a` une pression interieure et a` un gradient thermique . . 9ELA 6 : Cylindre a` paroi epaisse sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12ELA 7 : Deformations et contraintes dorigine thermique dans une poutre . . . . . . . . . . 14
2 Flexion des plaques 16PLA 1 : Flexion dune plaque circulaire et encastree sur son contour . . . . . . . . . . . . . 16PLA 2 : Vibrations de flexion dune plaque mince, carree et encastree sur un cote . . . . . . 19PLA 3 : Vibrations de flexion dune plaque mince, carree et libre . . . . . . . . . . . . . . . 21PLA 4 : Plaque ou poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Section droite : caracteristiques et contraintes 25SEC 1 : Triangle equilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Thermique 274.1 Proble`mes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TS L 1 : Temperatures imposees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.1 TS L 2 : Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.2 TS L 3 : Temperatures imposees facteur de forme . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.3 TS L 4 : Convection et source volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.4 TS L 5 : Convection et source volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.5 TS L 6 : Temperatures imposees et source volumique . . . . . . . . . . . . . . 354.1.6 TS L 7 : Temperature imposee et convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.7 TS L 8 : Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.8 TS NL 1 : Convection et rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.9 TS NL 2 : Convection et rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.10 TS NL 3 : Convection et rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Proble`mes transitoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.1 TT L 1 : Plaque soumise a` un choc thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2 TT L 2 : Plaque et convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.3 TT L 3 : Sphe`re et convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.4 TT L 4 : Milieu semi-infini et convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.5 TT NL 1 : Radiation et source de chaleur volumique . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.6 TT NL 2 : Convection et radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Chapitre 1
Elasticite
ELA 1 : Plaque percee dun trou circulaire, sollicitee en traction
Reference : solution analytique.
Donnees :
La plaque carree de cote 2L et depaisseur t representee sur la figure est percee en son centre duntrou circulaire de rayon R petit devant L.
Soient E et les caracteristiques elastiques du materiau.
La plaque est soumise a` une contrainte de traction sur les cotes situes a` x = L.
On donne :
L = 400 mm , R = 20 mm , t = 10 mmE = 210000 MPa , = 0.27 = 10 MPa
Modelisation et calcul :
Le proble`me etant symetrique par rapport aux plans x = 0 et y = 0, il suffit donc de modeliser lequart de la pie`ce.
2 RDM Elements finis
Les etapes de la modelisation sont :
Lancer le module Dessin et maillage
Modifier les unites courantes
Longueur : mm
Fichier
Bibliothe`que
Structure 10 : xO = yO = 0 , L = H = 400 , R = 20 , sans sous-domaines
Mailler (Delaunay)
Nombre delements
400Modifier localement la taille des elements
En C : 0.5 , en A et B : 5
Discretiser le domaine en triangles a` 6 nuds a` bords curvilignes
Fichier
Elasticite/Thermique
Proble`me : contraintes planes
Materiau
Module de Young = 210000 MPa , coefficient de Poisson = 0.27
Epaisseur
Lepaisseur est egale a` 10 mm
Liaisons/Symetries
Symetrie par rapport aux plans x = 0 et y = 0
Cas de charges
La pression sur la face x = L est egale a` -10 MPa
Calculer
Analyse statique
Enregistrer les donnees et lancer le calcul
Resultats :
reference : pour une plaque infinie (L tre`s grand) :
xx(A) = 3 = 30.00 MPa , yy(B) = = 10.00 MPa solution elements finis :
xx(A) = 29.97 MPa , yy(B) = 10.08 MPaPour extraire ces quantites :
1. effectuer un zoom autour du trou.
2. afficher les faces principales.
3. designer les points A et B a` laide du bouton droit de la souris.
Remarque : pour visualiser la concentration de contrainte autour du trou, effectuer une coupe le longde la ligne AA.
Elasticite 3
ELA 2 : Plaque rectangulaire soumise a` laction de la pesanteur
Reference : S.P. Timoshenko, J.N. Goodier, Theorie de lelasticite, Librairie Polytechnique Be-ranger, 1961, page 266.
Donnees :
Geometrie :
plaque rectangulaire : L = 1000 mm , H = 3000 mm , epaisseur = 100 mm
Proprietes du materiau :
masse volumique : = 7800 kg m3
module de Young : E = 200000 MPacoefficient de poisson : = 0.3
Conditions aux limites :
au point A(0, H) : u = v = 0au point B(0, 0) : u = 0
Charges :
la face superieure est soumise a` une force de pression egale a` gH ou` g est lacceleration dela pesanteur (g = 10 m s2)la plaque est soumise a` son poids propre
Modelisation et calcul :
Les etapes de la modelisation sont :
Lancer le module Dessin et maillage
Fichier
Bibliothe`que
structure 1 : xO = yO = 0 , L = 1000 , H = 3000
Points
ajouter un point au milieu de la face superieure (A)
4 RDM Elements finis
ajouter un point au milieu de la face inferieure (B)
ajouter un point au milieu du rectangle (M)
Points a` mailler
transformer les points A, B et M en points a` mailler (nuds du maillage)
Mailler (Delaunay)
Nombre delements
200Discretiser la structure en triangles a` 6 nuds
Fichier
Elasticite/Thermique
Proble`me : contraintes planes
Materiau
module de Young = 200000 MPa
coefficient de Poisson = 0.3
masse volumique = 7800 kg m3
Epaisseur
lepaisseur est egale a` 100 mm
Liaisons
au point A : u = v = 0
au point B : u = 0
Cas de charges
poids propre
pression : - 0.234 MPa sur la face superieure
Calculer
Analyse statique
Enregistrer les donnees et lancer le calcul
Resultats :
Reference :xx = 0 , xy = 0 , yy = g y
u = g x yE
, v = g
2E(y2 + x2 H2)
Solution elements finis :
Reference RDM Elements finis
v en B 1.7550 103 mm 1.7550 103 mmv en C 1.7404 103 mm 1.7404 103 mmu en D 0.1755 103 mm 0.1755 103 mmyy en M 0.117 MPa 0.117 MPa
yy en A 0.234 MPa 0.234 MPa
Elasticite 5
ELA 3 : Disque annulaire en rotation
Reference : A. Bazergui, T. Bui-Quoc, A. Biron, G. McIntyre, C. Laberge, Resistance desmateriaux, Editions de lEcole Polytechnique de Montreal, 1987, page 294.
Donnees :
Geometrie :
Disque annulaire daxe z :Rayon interieur : Ri = 10 mm , rayon exterieur : Re = 100 mmEpaisseur : 2 t = 20 mm
Proprietes du materiau :
Masse volumique : = 7800 kg/m3
Module de Young : E = 200000 MPaCoefficient de Poisson : = 0.3
Conditions aux limites :
w = 0 pour tous les points du plan moyen du disque
Chargement :
Le disque tourne autour de laxe z : vitesse de rotation N = 3000 tours/min
Modelisation et calcul :
Il suffit de modeliser la moitie dune section meridienne.
Les etapes de la modelisation sont :
Lancer le module Dessin et maillage
Fichier
Bibliothe`que
structure 1 : xO = 10 , yO = 0 , L = 90 , H = 10
Mailler (Delaunay)
Nombre delements
200Discretiser la structure triangles a` 6 nuds
6 RDM Elements finis
Fichier
Elasticite/Thermique
Proble`me : Elasticite axisymetrique
Materiau
module de Young = 200000 MPa
coefficient de Poisson = 0.3
masse volumique = 7800 kg/m3
Liaisons
w = 0 sur AB
Cas de charges
vitesse de rotation = 3000 tours/min
Calculer
Analyse statique
Enregistrer les donnees et lancer le calcul
Resultats :
Reference ( = 2piN/60 rad s1) :
r = Ri :
rr = 0 , =1 4
2R2e
(3 +
1 +(RiRe
)2)
u =3 +
4E2RiR
2e
(1 +
1 3 +
(RiRe
)2) r = Re :
rr = 0 , =1 4
2R2e
(1 +
3 +
1 (RiRe
)2)
u =3 +
4E2R3e
(1 3 +
+
(RiRe
)2)
la contrainte radiale est maximale pour rm =RiRe et rr(rm) =
3 +
82R2e
(1 Ri
Re
)2 Solution elements finis :
Reference RDM Elements finis
u en A 3.182 104 mm 3.186 104 mm en A 6.36 MPa 6.43 MPa
u en B 7.054 104 mm 7.076 104 mm en B 1.41 MPa 1.41 MPa
rr max 2.57 MPa a` 30 mm 2.58 MPa a` 32.5 mm
Remarque : pour extraire ces quantites, selectionner la commande Coupe suivant ligne puisdesigner les points A et B.
Elasticite 7
ELA 4 : Tube epais soumis a` un gradient thermique
Reference : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 332.
Donnees :
Geometrie :
Cylindre creux daxe z : Ri = 20 mm , Re = 80 mm , H = 20 mm
Proprietes du materiau :
Module de Young E = 100000 MPaCoefficient de Poisson = 0.3Coefficient de dilatation = 105 K1
Conditions aux limites :
La structure est axisymetriquew = 0 sur les faces AB et CD
Charges thermique :
Temperature interieure Ti = 100 CTemperature exterieure Te = 0 CTemperature de reference T0 = 0 C
Modelisation et calcul :
Les etapes de la modelisation sont :
Lancer le module Dessin et maillage
Bibliothe`que
structure 1 : xO = 20 , yO = 0 , L = 60 , H = 20
Mailler (Delaunay)
Nombre delements
200Discretiser la structure triangles a` 6 nuds
Fichier
Elasticite/Thermique
8 RDM Elements finis
Proble`me : Elasticite axisymetrique
Materiau
module de Young = 100000 MPa
coefficient de Poisson = 0.3
coefficient de dilatation = 1E5 K1
Liaisons
w = 0 sur AB et CD
Charges thermiques
temperature imposee : TAC = 100 C , TBD = 0 C
Cas de charges
gradient thermique : temperature de reference = 0 C
Calculer
Analyse statique
Enregistrer les donnees et lancer le calcul
Resultats :
On obtient :
r Grandeur Reference RDM Elements finis
Ri 100.86 MPa 103.75 MPazz 130.26 MPa 133.34 MPaur 7.644 10
3 mm 7.70 103 mmRe 42.00 MPa 41.97 MPa
zz 12.60 MPa 12.57 MPa
ur 30.60 103 mm 30.60 103 mm
Remarque : pour extraire ces quantites, selectionner la commande Coupe suivant droite.
Elasticite 9
ELA 5 : Reservoir spherique soumis a` une pression interieure et a`un gradient thermique
References :
L. Landau, E. Lifchitz, Theorie de lelasticite, Mir, 1967, page 31.S.P. Timoshenko, J.N. Goodier, Theorie de lelasticite, Librairie Polytechnique Beranger, 1961,page 452.
Donnees :
Geometrie :
Rayon interieur de la sphe`re : Ri = 100 mmRayon exterieur de la sphe`re : Re = 200 mm
Proprietes du materiau :
Module de Young : E = 200000 MPaCoefficient de Poisson : = 0.3Coefficient de dilatation : = 12 E6 K1
Chargement thermique :
Temperature interieure : Ti = 100 CTemperature exterieure : Te = 0 C
Cas de charge 1 :
La face interieure de la sphe`re est soumise a` une pression egale a` : p = 100 MPa.
Cas de charge 2 :
La sphe`re est soumise au gradient thermique defini ci-dessus. La temperature initiale T0 estegale a` 0 C.
10 RDM Elements finis
Modelisation et calcul :
Les etapes de la modelisation sont :
Lancer le module Dessin et maillage
Il suffit de modeliser la moitie dune section meridienne de la sphe`re
Fichier
Bibliothe`que
structure 20 : rayon interieur = 100 mm , rayon exterieur = 200 mm (pas de sous-domaine)
Mailler (Delaunay)
Nombre delements
400Discretiser la structure triangles a` 6 nuds et a` bords curvilignes
Fichier
Elasticite/Thermique
Elasticite : proble`me de revolution
Materiau
module de Young = 200000 MPa
coefficient de Poisson = 0.3
coefficient de dilatation = 12 E6 K1
Liaisons
symetrie par rapport au plan z = 0 (AB)
Charges thermiques
temperature imposee surfacique : Ti = 100 C , Te = 0 C
Cas de charges
la surface interieure de la sphe`re est soumise a` une pression : p = 100 MPa
Ajouter un cas de charges
la sphe`re est soumise a` un gradient thermique : T0 = 0 C
Calculer
Analyse statique
Enregistrer les donnees et lancer le calcul
Resultats :
Cas de charge 1 :
Reference :
Posons :
A =pR3i
R3e R3i, B = AR3e
Le deplacement radial est :
u =1 2 E
Ar +1 +
E
B
2 r2
Les composantes non nulles du tenseur des contraintes sont :
rr = A Br3
, = A B2 r3
Elasticite 11
Solution elements finis :
Reference RDM Elements finis
u(r = Ri) 0.0400 mm 0.0400 mm
u(r = Re) 0.0150 mm 0.0150 mm
rr(r = Ri) 100 MPa 99.62 MParr(r = Re) 0 0.05 MPa
(r = Ri) 71.43 MPa 71.48 MPa
(r = Re) 21.43 MPa 21.44 MPa
Remarque : pour extraire ces resultats, effectuer une coupe suivant la ligne AB.
Cas de charges 2 :
Reference :
rr = C0
(C1 C2
r+C3r3
) = C0
(C1 C2
2 r+
C32 r3
)ou`
C0 =E Ti1
RiReR3e R3i
C1 = Ri +Re , C2 = R2i +RiRe +R
2e , C3 = R
2i R
2e
La contrainte rr est maximale lorsque r2 =
3C3C2
.
Solution elements finis :
Reference RDM Elements finis
u(r = Ri) 0.0343 mm
u(r = Re) 0.0686 mm
u maximal 0.0752 mm a` r = 161 mm
rr(r = Ri) 0 2.41 MPa
rr(r = Re) 0 0.35 MParr maximal 55.27 MPa a` r = 130.93 mm 56.25 MPa a` r = 133.33 mm(r = Ri) 244.90 MPa 245.58 MPa(r = Re) 97.96 MPa 97.82 MPa
Remarque : pour extraire ces resultats, effectuer une coupe suivant la ligne AB.
12 RDM Elements finis
ELA 6 : Cylindre a` paroi epaisse sous pression
Reference : solution analytique.
Donnees :
On conside`re un cylindre creux daxe z. Ce cylindre est en acier de module de Young E et de coefficientde Poisson . Il est soumis successivement a` une pression interieure pi et a` une pression exterieure pe.
On donne :
Ri = 100 mm , Re = 200 mmE = 200000 MPa , = 0.3pi = pe = 100 MPa
Modelisation :
Structure parametree 1 : xO = 100 mm , yO = 0 , L = 100 mm , H = 10 mm.Discretiser la structure en 400 triangles a` 6 nuds.Proble`me de revolution daxe z.
Resultats :
Cas de charge 1 : le cylindre est soumis a` une pression interieure.
Reference :
u =r
E
((1 )A+ (1 + ) B
r2
)avec A =
piR2i
R2e R2i, B = AR2e
rr = A Br2
, = A+B
r2
On obtient :
Reference RDM Elements finis
u(r = Ri) 0.0885 mm 0.0885 mm
u(r = Re) 0.0600 mm 0.0600 mm
rr(r = Ri) 90 MPa 89.96 MParr(r = Re) 0 MPa 0.00 MPa
(r = Ri) 150.00 MPa 150.02 MPa
(r = Re) 60.00 MPa 60.00 MPa
Elasticite 13
Cas de charge 2 : le cylindre est soumis a` une pression exterieure.
Reference :
u =r
E
((1 )A+ (1 + ) B
r2
)avec A = peR
2e
R2e R2i, B = AR2i
rr = A Br2
, = A+B
r2
Le deplacement radial u passe par une valeur maximale pour :
rm = Ri
1 +
1 si
Ri < rm < Re soit
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