Cours de structure en béton Prof. André Oribasi Rupture Application 8.2.4.2
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Chapitre 8
Les sections soumises à la torsion
Section 8.2 Le dimensionnement à la rupture
8.2.4.2 Exercice n°2 – Etude d’un avant-toit en béton armé Charge sur dalle : − Poids propre − Chape, e = 6 cm − Surcharge à définir
Procédure de calcul − Choix des matériaux − Estimations des dimensions des sections − Définition du système statique − Définition des charges appliquées − Calcul des efforts intérieurs dans les éléments − Dimensionnement du porte-à-faux − Dimensionnement du sommier − Schéma d’armature (vue en plan, élévation et coupes)
Réflexion (bis) : la reprise du moment de torsion est-elle nécessaire pour garantir la stabilité de la
structure
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1. Choix des matériaux
Ce choix doit toujours le résultat d’une réflexion commune avec le maître d’œuvre. Il dépend de : − Type de structures − Dimensions − Prix − Esthétique Dans notre cas, la structure sera en béton armé
2. Estimation des sections
Nous avons estimé les sections comme le montre le schéma ci-dessous. Nous obtenons ainsi un rapport l/d ̃ 10 environ pour le sommier et un
3. Définition du système statique
Sens transversal (dalle en porte-à-faux)
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Sens longitudinal (sommier + dalle)
4. Définition des charges appliquées
Les charges du sommier seront obtenues par la détermination des e fforts intérieurs de la dalle en porte-à-faux (sens transversal). On doit donc procéder tout d’abord à la détermination des charges agissant sur la dalle, puis calculer les efforts intérieurs. Sens transversal Les charges sont définies comme le montre le schéma ci-dessous. Le poids propre de la dalle à été divisé en deux charges réparties, l’une constante sur toute la longueur (g0-1) et l’autre triangulaire (g0-2).
0-1
0-2
1
k
g = 25 0.18 1.00 = 4.5 kN/m
g = 25 0.07 1.00 = 1.75 kN/m à l'encatrement
g = 24 0.06 1.00 = 1.44 kN/m
q = 1.2 kN/m selon la SIA 261 (en considérant l'ouvrage situé à Fribourg)
× ×
× ×
× ×
Sens longitudinal La charge répartie sur le sommier ainsi que le moment de torsion, seront équivalent à l’effort tranchant à l’encastrement de la dalle, respectivement au moment fléchissant.
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5. Efforts intérieurs
Sens transversal • Combinaison déterminante :
0-1 0-2 1 k
0-1 0-2 1 k
Md = 1.35(Mg + Mg + Mg ) + 1.5 Mq
Vd = 1.35(Vg + Vg + Vg ) + 1.5 Vq
×
×
• Efforts intérieurs Md [kN.m]
Vd [kN]
Sens longitudinal • Système statique
(g+q)d
Mxd • Charges ( ) ( )
x
g+q d = 27 + 25 0.3 0.5 1.35 = 32 kN/m
M d = 31.8 kN.m/m
× × ×
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• Efforts intérieurs Td [kN.m]
Md [kN.m]
Vd [kN]
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6. Dimensionnement de la dalle en porte-à-faux
Caractéristiques Acier B 500 B fsd = 435 N/mm2
Béton C30/37 fcd = 20 N/mm2
2cd = 1.1 N/mmτ
Armature de flexion Calcul avec le bras de levier approximatif
2sd
2cd
Ed
62 2Ed
sd
f = 435 N/mm
f = 20 N/mm
d = 250 - 50 = 200 mmM = 31.8 kN.m/m
donc
M 31.8 10As = = = 406 mm /m Ø10 / 150 mm (523 mm /m)
0.9 f d 0.9 435 200⋅
→× × × ×
Calcul avec le bras de levier exact (tableur Excel)
Ed
62 2Ed
d sd
d = 250 - 50 = 200 mmM = 31.8 kN.m/m
donc
M 31.8 10As = = = 394 mm /m Ø10 / 150 mm (523 mm /m)
f d 0.929 435 200χ⋅
→× × × ×
Vérification de la contrainte de béton
c cd
d = 250 - 45 = 205 mmM = 23.2 kN.m
= 14.2 kN.m < f OKσ →
Vérification à l’effort tranchant d = 205 mmz = 0.9 d = 185 mm
= 45°a = z cot = 185 cot 45 = 185 mmα
α
×
× ×
Dans ce cas, on ne tient pas compte de la distance a car Vdmax et Mdmax se trouvent au même endroit. Donc, on a : Vdmax = 27 kN/m
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Rd d cd
dv
v
d
Rd max
V = k d
1avec k =
1+k d
k = 31
k = = 0.621+3 0.205
V = 0.62 1.1 205 = 140 kN/m > Vd = 27 kN/m OK
τ× ×
×
×× × →
Pas besoin d’armature pour l’effort tranchant.
7. Dimensionnement du sommier
Caractéristiques Acier B 500 B fsd = 435 N/mm2
Béton C30/37 fcd = 20 N/mm2
2cd = 1.1 N/mmτ
Armature de flexion Calcul avec le bras de levier approximatif
Ed
62 2Ed
sd
d = 500 - 50 = 450 mmM = 64 kN.m/m
donc
M 64 10As = = = 364 mm /m 3 Ø14 (462 mm /m)
0.9 f d 0.9 435 450⋅
→× × × ×
Calcul avec le bras de levier exact (tableur Excel) 2
sd
2cd
Ed
62 2Ed
d sd
f = 435 N/mm
f = 20 N/mm
d = 500 - 50 = 450 mmM = 64 kN.m
donc
M 64 10As = = = 336 mm 3 Ø12 (339 mm )
f d 0.929 435 450χ⋅
→× × × ×
Vérification de la contrainte de béton
c cd
d = 500 - 30 - 10 - 6 = 454 mmM = 46.8 kN.m
= 9.6 kN.m < f OKσ →
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Vérification à l’effort tranchant et à la torsion
( )1
d = 454 mmz = 0.9 d = 409 mm
= 45°a = z cot = 409 cot 45 = 409 mm
64 2 - 0.409Vd = = 50.9 kN
2
αα
×
× ×
• Bielles de compression
Rd,c w c cd
c
Rd,c 1
Rd,c k k c cd
c
k
V = b z k f sin( ) cos( )
On prend k = 0.6
V = 300 409 0.6 20 sin(45) cos(45) = 735 kN > Vd = 50.9 kN OK
T = A t k f 2 sin( ) cos( )
On prend k = 0.6
d = 300 - (2 30 +10) = 23
α α
α α
× × × × ×
× × × × × →
× × × × × ×
×
kk
k
Rd,c d
0 mmd
t = 28.8 mm8
A = 230 410 = 94300 mm
T = 94300 28.8 0.6 20 2 sin(45) cos(45) = 32590 kN > T = 63.6 kN OK
≤
′×
′ ′× × × × × × →
Vérification de l’interaction
Ed Ed
Rd Rd
V T + 1
V T
50.9 63.6 + < 1 OK
735 34180
≤
→′
• Dimensionnement de l’armature d’effort tranchant
62d1
d1sd
92d
dsd k
,tot d1 d
VAsw 50.9 10V = = = 287 mm /m
s z f cot( ) 409 435 cot(45)
TAsw 63.6 10T = = = 776 mm /m
s 2 f A cot( ) 2 435 94300 cot(45)
Combinaison :
1 Asw Asw 2As = V + T =
2 s s
α
α
× × × × ×
× ′× × × × × ×
2 287 + 776 = 919 mm /m étriers Ø14/150 (1030 mm /m)
2→
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• Armature minimale ,min 3 2
w
2,min
As 0.2 > 0.2% b = 300 10 = 600 mm /m
s 1000As = 300 mm /m OK
× × ×
→
• Armature longitudinale
3Rd,s 2 2
d ,inf ,supsd
-3Rd,s d1 sd
6Rd,s k
dsd k
V cot( )1 1 53.3 10Asl,V = Asl = Asl = = = 61 mm 3Ø8 (151 mm )
2 f 2 435
AswAvec V = V z f cot( ) = 0.3 409 435 10 = 53.3 kN
s
57.4 10 2T u cot( )Asl,T = =
2 f A
α
α
α
× ×× × →
× × × × × ×
× × ×× ×
× ×( ) 2
-6Rd,s d sd k
230 410 = 895 mm
2 435 94300
AswAvec T = T 2 f A cot( ) = 0.7 2 435 94300 10 = 57.4 kN
sα
+′× ×
′× × × × × × × ×
2 2,tot d d
Combinaison :
As = Asl,V + Asl,T = 61 + 895 = 957 mm /m 10 Ø12 (1130 mm )→
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8. Schéma d’armature Section sommier Section dalle en porte-à-faux
Coupe longitudinale sommier Plan de la dalle en porte-à-faux
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