Cours de structure en béton Prof. André Oribasi Rupture Application 8.2.4.2

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Chapitre 8

Les sections soumises à la torsion

Section 8.2 Le dimensionnement à la rupture

8.2.4.2 Exercice n°2 – Etude d’un avant-toit en béton armé Charge sur dalle : − Poids propre − Chape, e = 6 cm − Surcharge à définir

Procédure de calcul − Choix des matériaux − Estimations des dimensions des sections − Définition du système statique − Définition des charges appliquées − Calcul des efforts intérieurs dans les éléments − Dimensionnement du porte-à-faux − Dimensionnement du sommier − Schéma d’armature (vue en plan, élévation et coupes)

Réflexion (bis) : la reprise du moment de torsion est-elle nécessaire pour garantir la stabilité de la

structure

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1. Choix des matériaux

Ce choix doit toujours le résultat d’une réflexion commune avec le maître d’œuvre. Il dépend de : − Type de structures − Dimensions − Prix − Esthétique Dans notre cas, la structure sera en béton armé

2. Estimation des sections

Nous avons estimé les sections comme le montre le schéma ci-dessous. Nous obtenons ainsi un rapport l/d ̃ 10 environ pour le sommier et un

3. Définition du système statique

Sens transversal (dalle en porte-à-faux)

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Sens longitudinal (sommier + dalle)

4. Définition des charges appliquées

Les charges du sommier seront obtenues par la détermination des e fforts intérieurs de la dalle en porte-à-faux (sens transversal). On doit donc procéder tout d’abord à la détermination des charges agissant sur la dalle, puis calculer les efforts intérieurs. Sens transversal Les charges sont définies comme le montre le schéma ci-dessous. Le poids propre de la dalle à été divisé en deux charges réparties, l’une constante sur toute la longueur (g0-1) et l’autre triangulaire (g0-2).

0-1

0-2

1

k

g = 25 0.18 1.00 = 4.5 kN/m

g = 25 0.07 1.00 = 1.75 kN/m à l'encatrement

g = 24 0.06 1.00 = 1.44 kN/m

q = 1.2 kN/m selon la SIA 261 (en considérant l'ouvrage situé à Fribourg)

× ×

× ×

× ×

Sens longitudinal La charge répartie sur le sommier ainsi que le moment de torsion, seront équivalent à l’effort tranchant à l’encastrement de la dalle, respectivement au moment fléchissant.

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5. Efforts intérieurs

Sens transversal • Combinaison déterminante :

0-1 0-2 1 k

0-1 0-2 1 k

Md = 1.35(Mg + Mg + Mg ) + 1.5 Mq

Vd = 1.35(Vg + Vg + Vg ) + 1.5 Vq

×

×

• Efforts intérieurs Md [kN.m]

Vd [kN]

Sens longitudinal • Système statique

(g+q)d

Mxd • Charges ( ) ( )

x

g+q d = 27 + 25 0.3 0.5 1.35 = 32 kN/m

M d = 31.8 kN.m/m

× × ×

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• Efforts intérieurs Td [kN.m]

Md [kN.m]

Vd [kN]

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6. Dimensionnement de la dalle en porte-à-faux

Caractéristiques Acier B 500 B fsd = 435 N/mm2

Béton C30/37 fcd = 20 N/mm2

2cd = 1.1 N/mmτ

Armature de flexion Calcul avec le bras de levier approximatif

2sd

2cd

Ed

62 2Ed

sd

f = 435 N/mm

f = 20 N/mm

d = 250 - 50 = 200 mmM = 31.8 kN.m/m

donc

M 31.8 10As = = = 406 mm /m Ø10 / 150 mm (523 mm /m)

0.9 f d 0.9 435 200⋅

→× × × ×

Calcul avec le bras de levier exact (tableur Excel)

Ed

62 2Ed

d sd

d = 250 - 50 = 200 mmM = 31.8 kN.m/m

donc

M 31.8 10As = = = 394 mm /m Ø10 / 150 mm (523 mm /m)

f d 0.929 435 200χ⋅

→× × × ×

Vérification de la contrainte de béton

c cd

d = 250 - 45 = 205 mmM = 23.2 kN.m

= 14.2 kN.m < f OKσ →

Vérification à l’effort tranchant d = 205 mmz = 0.9 d = 185 mm

= 45°a = z cot = 185 cot 45 = 185 mmα

α

×

× ×

Dans ce cas, on ne tient pas compte de la distance a car Vdmax et Mdmax se trouvent au même endroit. Donc, on a : Vdmax = 27 kN/m

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Rd d cd

dv

v

d

Rd max

V = k d

1avec k =

1+k d

k = 31

k = = 0.621+3 0.205

V = 0.62 1.1 205 = 140 kN/m > Vd = 27 kN/m OK

τ× ×

×

×× × →

Pas besoin d’armature pour l’effort tranchant.

7. Dimensionnement du sommier

Caractéristiques Acier B 500 B fsd = 435 N/mm2

Béton C30/37 fcd = 20 N/mm2

2cd = 1.1 N/mmτ

Armature de flexion Calcul avec le bras de levier approximatif

Ed

62 2Ed

sd

d = 500 - 50 = 450 mmM = 64 kN.m/m

donc

M 64 10As = = = 364 mm /m 3 Ø14 (462 mm /m)

0.9 f d 0.9 435 450⋅

→× × × ×

Calcul avec le bras de levier exact (tableur Excel) 2

sd

2cd

Ed

62 2Ed

d sd

f = 435 N/mm

f = 20 N/mm

d = 500 - 50 = 450 mmM = 64 kN.m

donc

M 64 10As = = = 336 mm 3 Ø12 (339 mm )

f d 0.929 435 450χ⋅

→× × × ×

Vérification de la contrainte de béton

c cd

d = 500 - 30 - 10 - 6 = 454 mmM = 46.8 kN.m

= 9.6 kN.m < f OKσ →

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Vérification à l’effort tranchant et à la torsion

( )1

d = 454 mmz = 0.9 d = 409 mm

= 45°a = z cot = 409 cot 45 = 409 mm

64 2 - 0.409Vd = = 50.9 kN

2

αα

×

× ×

• Bielles de compression

Rd,c w c cd

c

Rd,c 1

Rd,c k k c cd

c

k

V = b z k f sin( ) cos( )

On prend k = 0.6

V = 300 409 0.6 20 sin(45) cos(45) = 735 kN > Vd = 50.9 kN OK

T = A t k f 2 sin( ) cos( )

On prend k = 0.6

d = 300 - (2 30 +10) = 23

α α

α α

× × × × ×

× × × × × →

× × × × × ×

×

kk

k

Rd,c d

0 mmd

t = 28.8 mm8

A = 230 410 = 94300 mm

T = 94300 28.8 0.6 20 2 sin(45) cos(45) = 32590 kN > T = 63.6 kN OK

≤

′×

′ ′× × × × × × →

Vérification de l’interaction

Ed Ed

Rd Rd

V T + 1

V T

50.9 63.6 + < 1 OK

735 34180

≤

→′

• Dimensionnement de l’armature d’effort tranchant

62d1

d1sd

92d

dsd k

,tot d1 d

VAsw 50.9 10V = = = 287 mm /m

s z f cot( ) 409 435 cot(45)

TAsw 63.6 10T = = = 776 mm /m

s 2 f A cot( ) 2 435 94300 cot(45)

Combinaison :

1 Asw Asw 2As = V + T =

2 s s

α

α

× × × × ×

× ′× × × × × ×

2 287 + 776 = 919 mm /m étriers Ø14/150 (1030 mm /m)

2→

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• Armature minimale ,min 3 2

w

2,min

As 0.2 > 0.2% b = 300 10 = 600 mm /m

s 1000As = 300 mm /m OK

× × ×

→

• Armature longitudinale

3Rd,s 2 2

d ,inf ,supsd

-3Rd,s d1 sd

6Rd,s k

dsd k

V cot( )1 1 53.3 10Asl,V = Asl = Asl = = = 61 mm 3Ø8 (151 mm )

2 f 2 435

AswAvec V = V z f cot( ) = 0.3 409 435 10 = 53.3 kN

s

57.4 10 2T u cot( )Asl,T = =

2 f A

α

α

α

× ×× × →

× × × × × ×

× × ×× ×

× ×( ) 2

-6Rd,s d sd k

230 410 = 895 mm

2 435 94300

AswAvec T = T 2 f A cot( ) = 0.7 2 435 94300 10 = 57.4 kN

sα

+′× ×

′× × × × × × × ×

2 2,tot d d

Combinaison :

As = Asl,V + Asl,T = 61 + 895 = 957 mm /m 10 Ø12 (1130 mm )→

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8. Schéma d’armature Section sommier Section dalle en porte-à-faux

Coupe longitudinale sommier Plan de la dalle en porte-à-faux