Exercices - Formes lineaires - Dualite : enonce

Exercice 1 - Une forme lineaire - L1/Math Sup - ?Determiner la forme lineaire f definie sur R3 telle que

f(1, 1, 1) = 0, f(2, 0, 1) = 1 et f(1, 2, 3) = 4.

Donner une base du noyau de ker(f).

Exercice 2 - Une base en dimension 2 - L1/Math Sup - ?Soient f1, f2 les deux elements de L(R2,R) definis par

f1(x, y) = x+ y et f2(x, y) = x− y.

1. Montrer que (f1, f2) forme une base de (R2)∗.2. Exprimer les formes lineaires suivantes dans la base (f1, f2) :

g(x, y) = x, h(x, y) = 2x− 6y.

Exercice 3 - Coordonnees - L2/Math Spe - ??Soit E = Rn[X] muni de la base B = {1, X, . . . ,Xn}. Pour tout i de {0, . . . , n}, on definit

une forme lineaire fi sur E par

∀j ∈ {0, . . . , n}, fi(Xj) ={

1 si i = j

0 si i 6= j.

1. Demontrer que (f0, . . . , fn) est une base de E∗.

2. On considere les deux elements φ et ψ de E∗ definis par, pour tout P ∈ E, φ(P ) = P (1)et ψ(P ) = P ′(0). Determiner les coordonnees de chacune des formes φ et ψ dans la base(f0, . . . , fn).

Exercice 4 - Base duale - L2/Math Spe - ??Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3, (e1, e2, e3) une base de E. Soient f∗1 , f∗2 et f∗3

les formes lineaires sur E definies par

f∗1 = 2e∗1 + e∗2 + e∗3, f∗2 = −e∗1 + 2e∗3, f∗3 = e∗1 + 3e∗2.

Montrer que (f∗1 , f∗2 , f∗3 ) est une base de E∗ et determiner la base (f1, f2, f3) de E dont elle estla base duale.

Exercice 5 - Bases duales et polynomes - L2/Math Spe - ??Soit E = R3[X]. On considere la famille F = {f0, f1, f2, f3} d’elements de E∗ definis, pour

j = 0, . . . , 3, par∀P ∈ E, fj(P ) = P (j).

1. Montrer que la famille F est une base de E∗.

2. Determiner la base B de E dont F est la base duale.

Exercice 6 - Formes lineaires sur un espace de polynomes - L2/Math Spe - ??Soit E = Rn[X], et x0, . . . , xn des nombres reels distincts. On pose, pour tout P ∈ E,

φ(P ) =∫ 1−1

P (t)1+cos2(t)dt. Montrer qu’il existe λ0, . . . , λn ∈ R tels que, pour tout P ∈ E, φ(P ) =

λ0P (x0) + · · ·+ λnP (xn).

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Exercices - Formes lineaires - Dualite : enonce

Exercice 7 - Formes lineaires multiplicatives sur les matrices - L2/Math Spe - ??Soit φ une forme lineaire sur Mn(R) verifiant φ(AB) = φ(BA) pour toutes matrices A,B ∈

Mn(R). Montrer qu’il existe λ ∈ R tel que φ(M) = λTr(M).

Exercice 8 - Separation - L2/Math Spe - ??Soit E un espace vectoriel et x, y ∈ E. Demontrer que x = y si et seulement si, pour tout

φ ∈ E∗, φ(x) = φ(y).

Exercice 9 - Intersection d’hyperplans - L2/Math Spe - ???Soit E un espace vectoriel de dimension q et (fi)1≤i≤p une famille de p formes lineaires. On

rappelle que f ∈ L(E,K) si et seulement si

p⋂i=1

ker(fi) ⊂ ker(f).

1. On note F =⋂p

i=1 ker(fi). Montrer que F est de dimension superieure ou egale a q − p,avec egalite si et seulement si les formes lineaires sont independantes.

2. En deduire la dimension de F , l’espace vectoriel des matrices carrees de taille n dont lasomme de chaque ligne est nulle.

3. En appliquant le resultat de la premiere question a F et aux formes lineaires gj(M) =∑ni=1mi,j , pour j = 1, . . . , n−1, en deduire la dimension de l’espace vectoriel des matrices

carrees de taille n dont la somme de chaque ligne et la somme de chaque colonne est nulle.Pourquoi ne considere-t-on pas (gj) pour j = 1, . . . , n ?

Exercice 10 - Hyperplans de Mn(K) - L2/Math Spe/Oral X/Agreg - ???

1. Soit ϕ une forme lineaire sur Mn(K). Montrer qu’il existe une matrice A ∈ Mn(K) telque, pour tout M de Mn(K). ϕ(M) = Tr(AM).

2. En deduire que tout hyperplan de Mn(K) contient une matrice inversible.

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