École des Mines d'Albi-CarmauxFormation Initiale 3ième année

Décembre 2003

AUTOMATIQUEANALYSE ET COMMANDE DES SYSTÈMES LINÉAIRES

CONTINUS OU ÉCHANTILLONNÉS(Notes de cours et TD autorisées)

- Les 5 exercices sont indépendants -

Les calculs doivent être détaillés au maximum.

Exercice 1 :

On considère un processus continu de fonction de transfert:

G(p) = 1

On réalise une commande numérique de ce système suivant le schéma de la figure 1.

u(t) 1 1 y(t)1 . Proce~UB 1

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Lmmm mmm_m___m_~;~!mmm_1

ORDINATEUR

FIG. 1 - Processus continu dans une boucle numérique d'asservissement

On choisit un correcteur numérique de fonction de transfert:

C(z) = z-0,2z-l

1

On choisit une fréquence d'échantillonnage de 2, 5 Hz. \1.1) Calculer la fonction de transfert numérique ~~:~ en boucle fermée (FTBF).

Donner son gain statique (justifier le résultat).

1.2) Après avoir remarqué que la FTBF correspond à un deuxième ordre numérique,utiliser les abaques fournies en annexe1 pour déterminer:

a) le dépassement en réponse à un échelon,

b) l'instant du premier dépassement.

Exerc~ 2 :/

On considère le schéma de la figure 2.

CALCULATEUR

r------------1 1

1 e(kT) + E(kT) : T:J1 Gc(z) 1 :l1 lu(kT)

1 1

1

1 11-------------

BOZ

H G(p) ~~S(t)s(kT) 1 T

FIG. 2 -

Un calcul de correcteur numérique a conduit à l'équation récurrente suivante:

u(k) = u(k - 1) - e(k + 1) + €(k)

2.1) Calculer la fonction de transfert Gc(z) du correcteur numérique correspondant.

2.2) Expliquer pourquoi ce correcteur n'est pas utilisable.

1Les abaques utilisées devront être jointes à la copie.

2

Exercice 3 :

On considère le circuit électrique de la figure 3.

i(t) R--

u(t) 1

c

FIG.3 - ....

u(t) désigne la tension d'excitation du circuit.vc(t) désigne la tension aux bornes du condensateur.i(t) désigne le courant parcourant le circuit. Il sera considéré comme la sortie du système.

C..J.À -

On choisit comme vecteur d'état: x(t) = vc(t)...

u(. =-

3.1) Donner la représentation d'état du système correspondant au vecteur d'état choisi.

3.2) En déduire la fonction de transfert du système ~~.

.

.1.

,.\ t 11

J- =.u ,)- ~L(\\

f'

Exercice 4 :1J

On considèrele systèmeldiscr~dont une représentation d'état est donnée par :

x(k + 1) = Fx(k) + Gu(k)

avec:

F = [ -o~ 16 !1 ]

1ACalculer les pôles du système. Commentaire.

4.2) Calculer la commande par retour d'état qui permet d'obtenir un système en bouclefermée présentant 2 pôles égaux à Zl,2 = 0,5 :f:j 0, 5.

4.3) Calculer la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) correspondante. -

3

"'\

'\

Exercilé 5 :,On considère le système continu dont une représentation d'état est donnée par :

[ ~: ] = [ - ~ ~] [ ~: ] + [ ~ ] u

y = [1 0] [ ~~ ]

5.1) Ce système est-il commandable? Est-il observable?

On échantillonne ce système avec une période T.

5.2) Calculer la représentation d'état du système échantillonné correspondant.

\0 5.3) Quelle condition doit vérifier la période T pour garantir la commandabilité etl'observabilité du système échantillonné?

\D(%)

Dépassement indiciel D(%) =/("(,/;)

oy<o

o ..........--..-..Zo

y>o

r r~~or--r I------

"(

-80° -40" -20" 20" 40°

6

z-zoH(z)=(Z-Zl)(Z-Zt)

Temps du premier maximum na = f (Y.ç)

100"

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na

Zo o1<0

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150"

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