ECOL

E POL

YTEC

HNIQ

UE Recueil

Microéconomie

Textes de contrôlesdes connaissances proposés

les années antérieures

Département d’Économie

Année 2Période 1ECO431

Microéconomie

Textes de contrôles des connaissancesproposés les années antérieures

Année 2019-2020

Les textes des contrôles antérieurs sont disponibles à la bibliothèque

ECO 431 - MicroeconomieMarie-Laure Allain et Pierre Boyer

Examen, novembre 2018

Polycopie, transparents et notes personnelles du cours autorises. Les calculatrices sont autorisees.L’epreuve comprend 4 exercices. Rediger les reponses aux exercices 1-2 sur les copies roses et 3-4 surles copies jaunes.

Exercice 1 : Choix de qualite par un monopole. 5 pointsOn considere un monopole qui produit un bien dont il peut ajuster la qualite. Augmenter la qualite

du bien est couteux : le cout de production d’une quantite q du bien de qualite s est C(q, s) = qs.Les consommateurs valorisent la qualite du bien : l’ensemble des consommateurs peut etre repre-

sente par un consommateur representatif dont la fonction d’utilite s’ecrit

U = q − q2

2s+R− pq

ou R est le revenu du consommateur, p est le prix du bien, q la quantite consommee, et s la qualitedu bien produit par le monopole. On suppose R ≥ 1 et s ∈ [0, 1].

1. Determiner la demande D(p, s) du consommateur pour un bien de qualite s au prix p.

2. On considere la qualite s du bien fixee. Quel est le prix pM (s) fixe par le monopole ? Quel estson profit πM (s) ?

3. Quelle est la qualite sM choisie par le monopole ? Quels sont le prix pM , la quantite qM et leprofit πM correspondants ?

4. Exprimer le surplus des consommateurs, le profit du monopole et le surplus social en fonctionde q et de s. Montrer que si l’on fixe le niveau de qualite a sM , on augmenterait le surplus socialen augmentant la quantite vendue au-dela de qM . Montrer aussi que si l’on fixe la quantitevendue a qM , on augmenterait le surplus social en diminuant la quantite du bien en-deca de sM .Commenter.

5. Determiner la production q∗ et la qualite s∗ qui maximisent le surplus social. Commenter.

Exercice 2 : Selection des optima de Pareto. 5 pointsOn considere une economie a deux biens X et Y, disponibles en quantites X = Y = 1, et deux

consommateurs 1 et 2 dont les fonctions d’utilite respectives, notees U1(X1, Y1) et U2(X2, Y2), sontstrictement croissantes en chacun de leurs arguments, differentiables, et concaves. On envisage deuxcriteres de selection entre les optima de Pareto.

1. Le critere egalitariste de Rawls consiste a selectionner une allocation realisable qui maximisel’utilite du consommateur le moins bien loti :

Max[Min[U1(X1, Y1), U2(X2, Y2)]].

Montrer que toute allocation solution est telle que l’utilite des deux agents est la meme. Endeduire que toute allocation solution est un optimum de Pareto.

1

2. Le critere utilitariste de Bentham consiste a attribuer un poids a chaque consommateur (ici,α ∈ [0, 1] au consommateur 1, et 1−α au consommateur 2) et a maximiser la moyenne pondereedes utilites :

MaxαU1(X1, Y1) + (1− α)U2(X2, Y2).

Montrer que toute allocation qui maximise ce critere est un optimum de Pareto. Reciproquement,montrer qu’a tout optimum de Pareto on peut associer une ponderation α telle qu’il maximisele critere de Bentham associe.

3. Application numerique : on suppose que les utilites sont les suivantes :

U1(X1, Y1) = lnX1 + lnY1

U2(X2, Y2) = lnX2 + lnY2.

— Determiner l’ensemble des optima de Pareto.— Determiner l’optimum egalitariste de Rawls.— Determiner pour chaque optimum la ponderation utilitariste qui lui est associee par le critere

de Bentham.

4. Commentez.

Exercice 3 : Externalite sur le marche de l’acier. 3 pointsConsiderons le cas du marche concurrentiel de l’acier (en equilibre partiel). La demande inverse

d’acier est donnee par pd(q) = 20− q et l’offre inverse d’acier est ps(q) = q = MCpr(q), avec MCpr(q)le cout marginal prive de production d’acier. Le cout total de l’externalite est donne par CE(q) = q2

(cout marginal de l’externalite MCE(q) = 2q).

1. Pourquoi la production d’acier genere-t-elle une externalite negative ?

2. Quel est l’equilibre concurrentiel de marche (qe, pe) ?

3. Quelle est la quantite d’acier produite a l’optimum de Pareto q∗ ? Commenter.

4. Le gouvernement pense introduire une taxe unitaire t sur la production d’acier. Quel est lenom de cette taxe et quel niveau de la taxe permet de decentraliser l’optimum a l’equilibre demarche ? Commenter.

Exercice 4 : Assurance et selection adverse. 7 pointsOn considere une economie avec deux types d’individus : des individus avec un risque eleve d’avoir

un accident de sante et ceux qui ont un risque faible. Les individus avec un risque eleve ont uneprobabilite pH d’avoir un accident et representent une fraction γH de la population. Les individus avecun risque faible ont une probabilite pL d’avoir un accident et representent une fraction γL = 1−γH de lapopulation. Nous faisons l’hypothese que pH > pL. Lorsque l’accident se realise il genere pour l’individuune perte monetaire egale a c > 0. Les individus ont pour fonction d’utilite u(.) avec u′(.) > 0 > u′′(.)et ils ont tous la meme richesse initiale w.

1. Ecrire l’utilite esperee des individus avec risque eleve et faible.

Nous supposons que l’economie possede un grand nombre de compagnies d’assurance et quel’offre d’assurance est parfaitement concurrentielle. Une police d’assurance est un contrat (δ, π)ou δ est la couverture (indemnite) si l’accident se realise et π est la prime d’assurance.

2. Qu’implique l’hypothese que l’offre d’assurance est parfaitement concurrentielle pour les profitsdes assureurs et pour la relation entre δ et π ?

2

3. Determiner les contrats d’assurance optimaux lorsque les compagnies d’assurance observentparfaitement le type des individus (information complete). Representer ces contrats dans ungraphique avec pour axe des abscisses δ et axe des ordonnees π. Obtenons-nous dans ce cas unoptimum de Pareto ? Commenter.

4. Montrer que les contrats obtenus en information complete ne peuvent pas etre offerts par lesassureurs lorsque les assureurs n’observent pas le type des individus (information incomplete).

5. En information incomplete, montrer graphiquement un exemple de contrats qui seraient pos-sibles a l’equilibre (lorsqu’un equilibre existe). Quelles proprietes ont les contrats dans ce cas ?L’intervention du gouvernement est-elle souhaitable ?

6. Montrer graphiquement les conditions qui peuvent conduire a une non-existence du marche del’assurance en information incomplete.

3

ECO 431 - MicroeconomieMarie-Laure Allain et Pierre Boyer

Examen, novembre 2018

Polycopie, transparents et notes personnelles du cours autorises. Les calculatrices sont autorisees.L’epreuve comprend 4 exercices. Rediger les reponses aux exercices 1-2 sur les copies roses et 3-4 surles copies jaunes.

Exercice 1 : Choix de qualite par un monopole. 5 pointsOn considere un monopole qui produit un bien dont il peut ajuster la qualite. Augmenter la qualite

du bien est couteux : le cout de production d’une quantite q du bien de qualite s est C(q, s) = qs.Les consommateurs valorisent la qualite du bien : l’ensemble des consommateurs peut etre repre-

sente par un consommateur representatif dont la fonction d’utilite s’ecrit

U = q − q2

2s+R− pq

ou R est le revenu du consommateur, p est le prix du bien, q la quantite consommee, et s la qualitedu bien produit par le monopole. On suppose R ≥ 1 et s ∈ [0, 1].

1. Determiner la demande D(p, s) du consommateur pour un bien de qualite s au prix p.

Le consommateur maximise son utilite :

Mqaxq − q2

2s+R− pq

stq ≥ 0

ce qui donne la demande suivante :

D(p, s) = s(1− p) si p<1

D(p, s) = 0 sinon

2. On considere la qualite s du bien fixee. Quel est le prix pM (s) fixe par le monopole ? Quel estson profit πM (s) ?

A s fixe, le monopole fixe son prix p afin de maximiser son profit (p−s)D(p, s) = s(p−s)(1−p).Le prix optimal est donc

pM (s) =1 + s

2.

La quantite echangee est alors

qM (s) =s(1− s)

2.

et le profit du monopole

πM (s) =s(1− s)2

4.

3. Quelle est la qualite sM choisie par le monopole ? Quels sont le prix pM , la quantite qM et leprofit πM correspondants ?

Anticipant ce profit, le monopole choisit le niveau de qualite s qui maximise πM (s), c’est-a-diresM = 1

3 . Le prix d’equilibre est alors pM = 23 , la quantite echangee est qM = 1

9 et le profit dumonopole πM = 1

27 .

1

4. Exprimer le surplus des consommateurs, le profit du monopole et le surplus social en fonctionde q et de s. Montrer que si l’on fixe le niveau de qualite a sM , on augmenterait le surplus socialen augmentant la quantite vendue au-dela de qM . Montrer aussi que si l’on fixe la quantitevendue a qM , on augmenterait le surplus social en diminuant la quantite du bien en-deca de sM .Commenter.

A s donne, le surplus des consommateurs est∫ q

0(1− x

s)dx− q(1− q

s)

=q2

2s.

Le profit du monopole est

π = (p− s)q = (1− s)q − q2

s.

Le surplus social est donc

W = (1− s)q − q2

2s.

Si l’on fixe la qualite s = sM = 13 , on a

∂W

∂q=

2

3− 3q.

donc en partant de qM = 19 , on a ∂W

∂q = 13 > 0 : augmenter la quantite vendue ameliorerait le

surplus social. A qualite donnee, le monopole produit trop peu.

Inversement, si l’on fixe la quantite q = qM = 19 , on a

∂W

∂s= −1

9+

1

162s2.

donc en partant de sM = 13 , on a ∂W

∂s = −19 + 1

18 < 0 : reduire la qualitite vendue amelioreraitle surplus social. A quantite donnee, le monopole choisit une qualite trop elevee.

5. Determiner la production q∗ et la qualite s∗ qui maximisent le surplus social. Commenter.

On maximiser W (s, q) en q et s. Les conditions du premier ordre s’ecrivent :

∂W

∂q= 1− s− q

s= 0

∂W

∂s= −q +

q2

2s2= 0.

On en deduit que les niveaux qui maximisent le surplus social sont

q∗ =2

9

s∗ =1

3

Source : Jullien et Picard, Exercices de Microeconomie, Montchrestien.

2

Exercice 2 : Selection des optima de Pareto. 5 pointsOn considere une economie a deux biens X et Y, disponibles en quantites X = Y = 1, et deux

consommateurs 1 et 2 dont les fonctions d’utilite respectives, notees U1(X1, Y1) et U2(X2, Y2), sontstrictement croissantes en chacun de leurs arguments, differentiables, et concaves. On envisage deuxcriteres de selection entre les optima de Pareto.

1. Le critere egalitariste de Rawls consiste a selectionner une allocation realisable qui maximisel’utilite du consommateur le moins bien loti :

Max[Min[U1(X1, Y1), U2(X2, Y2)]].

Montrer que toute allocation solution est telle que l’utilite des deux agents est la meme. Endeduire que toute allocation solution est un optimum de Pareto.

Supposons qu’il existe une allocation ((X ′1, Y′1), (X ′2, Y

′2)) satisfaisant le critere de Rawls et telle

que, par exemple, U1(X′1, Y

′1) < U2(X

′2, Y

′2). Par continuite et stricte croissance de U1 et U2, il

existe ε > 0 tel que U1(X′1, Y

′1) < U1(X

′1 +ε, Y ′1) < U2(X

′2−ε, Y ′2) < U2(X

′2, Y

′2), ce qui contredit

le fait que ((X ′1, Y′1), (X ′2, Y

′2)) maximise [Min[U1(X1, Y1), U2(X2, Y2)]].

Considerons maintenant une allocation ((X1, Y1), (X2, Y2)) qui satisfait le critere de Rawls. Onsait donc que U1(X1, Y1) = U2(X2, Y2). Par ailleurs, cette allocation repartit necessairementtous les biens disponibles dans l’economie (X1 + X2 = X et Y1 + Y2 = Y ), sinon on pourraitaugmenter l’utilite des deux agents (et donc le min des deux) en leur distribuant le reste debien disponible. Supposons que cette allocation n’est pas un optimum de Pareto. Il existe doncune allocation realisable ((X ′1, Y

′1), (X ′2, Y

′2)) qui donne une utilite superieure a tous les agents

et strictement superieure a l’un d’entre eux, par exemple :

U1(X1, Y1) < U1(X′1, Y

′1)

U2(X2, Y2) ≤ U2(X′2, Y

′2)

— Si U2(X′2, Y

′2) > U2(X2, Y2), cela implique que l’allocation ((X1, Y1), (X2, Y2)) ne satisfait

pas le critere de Rawls, puisqu’on a une allocation realisable qui ameliore l’utilite des deuxagents, donc du moins bien loti.

— Considerons maintenant le cas ou U2(X′2, Y

′2) = U2(X2, Y2). Dans ce cas,

U1(X′1, Y

′1) > U1(X1, Y1) = U2(X2, Y2) = U2(X

′2, Y

′2).

Par continuite de U1 et U2, il existe ε > 0 tel que

U1(X′1, Y

′1) > U1(X

′1 − ε, Y ′1) > U2(X

′2 + ε, Y ′2) > U2(X

′2, Y

′2) = U2(X2, Y2),

ce qui contredit le fait que l’allocation ((X1, Y1), (X2, Y2)) satisfait le critere de Rawls.Donc l’allocation ((X1, Y1), (X2, Y2)) est un optimum de Pareto.

2. Le critere utilitariste de Bentham consiste a attribuer un poids a chaque consommateur (ici,α ∈ [0, 1] au consommateur 1, et 1−α au consommateur 2) et a maximiser la moyenne pondereedes utilites :

MaxαU1(X1, Y1) + (1− α)U2(X2, Y2).

Montrer que toute allocation qui maximise ce critere est un optimum de Pareto. Reciproquement,montrer qu’a tout optimum de Pareto on peut associer une ponderation α telle qu’il maximisele critere de Bentham associe.

3

Pour commencer, si α = 0 ou α = 1, l’allocation qui maximise le critere de Bentham est celle quialloue tous les biens disponibles a l’un des deux agents, ce qui constitue toujours une optimumde Pareto. Reciproquement, un optimum de Pareto de bord (qui alloue tous les biens a l’un desdeux agents) satisfait le critere de Bentham associe a la ponderation 1 pour cet agent et 0 pourl’autre.

Supposons desormais que α ∈]0, 1[. Soit une allocation realisable ((X1, Y1), (X2, Y2)) qui satisfaitle critere de Bentham associe a la ponderation α. Supposons que cette allocation n’est pas unoptimum de Pareto. Il existe donc une allocation realisable ((X ′1, Y

′1), (X ′2, Y

′2)) telle que (par

exemple si l’inegalite stricte s’applique a 1) :

U1(X1, Y1) < U1(X′1, Y

′1)

U2(X2, Y2) ≤ U2(X′2, Y

′2).

Dans ce cas,

αU1(X′1, Y

′1) + (1− α)U2(X

′2, Y

′2) > αU1(X1, Y1) + (1− α)U2(X2, Y2),

ce qui contredit le fait que l’allocation ((X1, Y1), (X2, Y2)) maximise le critere de Bentham. Donc((X1, Y1), (X2, Y2)) est necessairement un optimum de Pareto.

Reciproquement, soit un optimum de Pareto interieur ((X∗1 , Y∗1 ), (X∗2 , Y

∗2 )). La propriete de

l’egalite des TMS implique que∂U1∂X1

∂U1∂Y1

=∂U2∂X2

∂U2∂Y2

On definit alors

β =∂U1∂X1

∂U2∂X2

=∂U1∂Y1∂U2∂Y2

et on pose α = 11+β . On verifie que l’allocation ((X∗1 , Y

∗1 ), (X∗2 , Y

∗2 )) maximise bien le critere de

Bentham associe a la ponderation α.

3. Application numerique : on suppose que les utilites sont les suivantes :

U1(X1, Y1) = lnX1 + lnY1

U2(X2, Y2) = lnX2 + lnY2.

— Determiner l’ensemble des optima de Pareto. L’egalite des TMS determine la solution :

X1 = x

Y1 = x

X2 = 1− xY2 = 1− x

pour x ∈ [0, 1].— Determiner l’optimum egalitariste de Rawls. La condition d’egalite des deux utilites s’ecrit

2lnx = 2ln(1− x)⇒ x =1

2.

— Determiner pour chaque optimum la ponderation utilitariste qui lui est associee par le criterede Bentham. α = x .

4. Commentez. Dans les deux cas, on compare les niveaux d’utilite des agents : il faut donc postulerque les utilites sont comparables, ce qui est une limite forte.

4

Exercice 3 : Externalites de production. 3 pointsConsiderons le cas du marche concurrentiel de l’acier (en equilibre partiel). La demande inverse

d’acier est donnee par pd(q) = 20− q et l’offre inverse d’acier est ps(q) = q = MCpr(q), avec MCpr(q)le cout marginal prive de production d’acier. Le cout total de l’externalite est donne par CE(q) = q2

(cout marginal de l’externalite MCE(q) = 2q).

1. Pourquoi la production d’acier genere une externalite negative ?

La production d’acier genere une externalite negative car le cout marginal prive de production estdifferent et inferieur au cout marginal social (q = MCpr(q) < MCso(q) = MCpr(q)+MCE(q) =q + 2q = 3q).

2. Quel est l’equilibre concurrentiel de marche (qe, pe) ?

L’equilibre de marche est tel que demande = offre : 20− q = q d’ou qe = 10 et pe = 10.

3. Quel est la quantite d’acier qui devrait etre produite a l’optimum de Pareto q∗ ? Commenter.

L’optimum de Pareto est atteint lorsque le prix est egal a la somme du cout marginal de pro-duction et du cout marginal de l’externalite d’ou :

20− q = MCso(q) = MCpr(q) +MCE(q) = 3q.

Ainsi q∗ = 5 < qe = 10.

4. Le gouvernement pense introduire une taxe unitaire t sur la production d’acier. Quel est lenom de cette taxe et quel niveau de la taxe permet de decentraliser l’optimum a l’equilibre demarche ? Commenter.

Le gouvernement introduit une taxe pigouvienne. Avec cette taxe unitaire t, l’equilibre de marcheest tel que pd(q) = ps(q) + t et donc 20 − q = q + t. Nous avons q∗ = 5 donc le gouvernementva fixer t = MCso(q∗) −MCpr(q) = 15 − q et donc le nouvel equilibre de marche sera bien telque : q∗ = qe = 5.

5

Exercice 4 : Assurance et selection adverse. 7 pointsOn considere une economie avec deux types d’individus : des individus avec un risque eleve d’avoir

un accident de sante et ceux qui ont un risque faible. Les individus avec un risque eleve ont uneprobabilite pH d’avoir un accident et representent une fraction γH de la population. Les individus avecun risque faible ont une probabilite pL d’avoir un accident et representent une fraction γL = 1−γH de lapopulation. Nous faisons l’hypothese que pH > pL. Lorsque l’accident se realise il genere pour l’individuune perte monetaire egale a c > 0. Les individus ont pour fonction d’utilite u(.) avec u′(.) > 0 > u′′(.)et ils ont tous la meme richesse initiale w.

1. Ecrire l’utilite esperee des individus avec risque eleve et faible.

UH = pHu(w − c) + (1− pH)u(w)

etUL = pLu(w − c) + (1− pL)u(w).

Nous supposons que l’economie possede un grand nombre de compagnies d’assurance et quel’offre d’assurance est parfaitement concurrentielle. Une police d’assurance est un contrat (δ, π)ou δ est la couverture (indemnite) si l’accident se realise et π est la prime d’assurance.

2. Qu’implique l’hypothese que l’offre d’assurance est parfaitement concurrentielle pour les profitsdes assureurs et pour la relation entre δ et π ?

L’offre d’assurance est parfaitement concurrentielle donc profit nul pour les assureurs et primed’assurance = prime actuarielle : Π(δ, π) = π − pδ = 0 implique π = pδ avec p = pH ou p = pLsi separation, et p = γHpH + γLpL si pooling.

3. Determiner les contrats d’assurance optimaux lorsque les compagnies d’assurance observentparfaitement le type des individus (information complete). Representer ces contrats dans ungraphique avec pour axe des abscisses δ et axe des ordonnees π. Obtenons-nous dans ce cas unoptimum de Pareto ? Commenter.

A l’equilibre concurrentiel en information complete Les individus ont une couverture completeδ = c et payent le prime actuarielle correspondante : S∗h = (c, pHc) et S∗l = (c, pLc). Cet equilibreest Pareto-efficace. Graphiquement voir Figure 1.

4. Montrer que les contrats obtenus en information complete ne peuvent pas etre offerts par lesassureurs lorsque les assureurs n’observent pas le type des individus (information incomplete).

Les contraintes d’incitations sontUH(Sh) ≥ UH(Sl) (ICH)

etUL(Sl) ≥ UL(Sh) (ICL)

Il est facile de verifier que les contrats S∗h et S∗l ne satisfont pas (ICH) car les individus hpreferent le contrat S∗l : meme quantite de couverture a un prix plus eleve.

5. En information incomplete, montrer graphiquement un exemple de contrats qui seraient pos-sibles a l’equilibre (lorsqu’un equilibre existe). Quelles proprietes ont les contrats dans ce cas ?L’intervention du gouvernement est-elle souhaitable ?

6

Equilibre en information complète

0

π

δd

δπ hp=

δπ p=

V

hV

*hS

*S l

l

l

Figure 1 – Information complete

Si un equilibre existe, les contrats optimaux sont separateurs et sont tels que : les individus Hont une assurance complete et payent la prime actuarielle correspondante alors que les individusL ne recoivent qu’une couverture partielle et payent la prime actuarielle correspondante. Cetequilibre n’est Pareto-efficace : les types H n’ont pas assez d’assurance (δ < c). Voir la Figure2.

Contrats séparateurs

0

π

δd

δπ hp=

δπ p=

V

hV

hS

S

l

ll

Figure 2 – Information incomplete

L’intervention du gouvernement est Pareto-ameliorante : en imposant une subvention croisee etune couverture minimale au niveau moyen de risque. Les subvention de la prime des individus

7

H sera telle que tH = tγH

et la taxe sur la prime des individus L : tL = tγL

. Les primes sontdonc pHδ− tH et pLδ+ tL. Graphiquement voir Figure 3 (attention a bien ajouter un niveau decouverture minimale sur le graphique).

6. Montrer graphiquement les conditions qui peuvent conduire a une non-existence du marche del’assurance en information incomplete.

Nous procedons en deux etapes : (1) Un equilibre de pooling (ou melangeant) peut etre optimalsi la fraction des types L est large : voir Figure 4.

(2) Un equilibre de pooling ne peut pas exister : il est toujours optimal pour une firme d’introduireun contrat qui attire que les individus avec type L : voir Figure 5.

8

Intervention de l’Etat

0

π

δd

V

( )tVh

S

( )0hV

( )hh tp λδ −

( )λδ tp + lll

Figure 3 – Intervention du gouvernement

Equilibre séparateur et mélangeant

0

π

δd

δπ hp=

δπ p=

V

hV

hS

S

oS

l

l

l

Figure 4 – Information incomplete : pooling

9

Non-Existence d’un équilibre mélangeant

0

π

δd

V

hV

S

l

Figure 5 – Information incomplete : non-existence

10

1 Exercice 1: discrimination et differenciation hori-

zontale - 6 points

On considere le marche d’un bien produit et vendu par deux entreprises localisees chacune

a l’extremite d’un segment de longueur 1: l’entreprise 1 est localisee a l’extremite gauche

(en 0) et l’entreprise 2 est localisee a l’extremite droite (en 1). Chacune produit le bien

avec un cout marginal constant c. Les deux entreprises sont en concurrence imparfaite,

elles se font concurrence en prix a la Hotelling: les deux entreprises fixent leurs prix

simultanement.

Les consommateurs sont distribues continument et uniformement le long du segment.

La masse totale des consommateurs est normalisee a 1. Chaque consommateur veut

acheter au plus une unite de bien. Il fait face a un cout de transport t par unite de

distance parcourue. L’utilite d’un consommateur qui achete une unite du bien aupres de

l’entreprise situee a la distance t de sa localisation est U(x, p) = v− p− tx; l’utilite d’un

consommateur qui n’achete pas est normalisee a 0. On suppose que le marche est couvert,

c’est-a-dire que v est suffisamment grand pour qu’a l’equilibre, tous les consommateurs

achetent. On supposera egalement qu’en cas d’indifference (lorsque le cout total de l’achat

chez 1 est identique au cout total de l’achat chez 2) le consommateur achete a l’entreprise

la plus proche.

1.1 Prix uniforme

On suppose pour commencer que la discrimination par les prix est interdite: chaque

entreprise doit fixer un prix unique pour tous les consommateurs. On note p1 le prix fixe

par l’entreprise 1 et p2 le prix fixe par l’entreprise 2.

1. Ecrire la demande qui s’adresse a chacune des entreprises, en fonction de p1 et p2.

2. On considere le prix p2 comme fixe. Quelle est le prix de meilleure reponse de

l’entreprise 1? Inversement, quelle est la meilleure reponse de l’entreprise 2 face au

prix p1?

3. Quels sont les prix d’equilibre de Nash du jeu simultane de concurrence en prix?

4. On considere le consommateur localise a distance x de l’entreprise 1. A quelle en-

treprise achete-t-il le bien, et quel est le cout total de l’achat pour ce consommateur

(prix + cout de transport)?

1

1.2 Discrimination au premier degre

On suppose maintenant que la discrimination par les prix au premier degre est permise:

chaque entreprise peut fixer un prix personnalise pour chaque consommateur.

1. On considere le consommateur localise a distance x ≤ 12

de l’entreprise 1. Quel est

le “meilleur prix” (le prix le plus faible) que l’entreprise 2 peut lui proposer? On

note pB2 (x) ce prix.

2. Quel est le cout total de l’achat pour ce consommateur (prix + cout de transport)

s’il achete chez 2?

3. Si l’entreprise 2 offre au consommateur situe en x le prix pB2 (x), quelle est la

meilleure reponse de l’entreprise 1?

4. Decrire l’equilibre du jeu: quels sont les prix proposes par chaque entreprise au

consommateur localise en x? Aupres de quelle enteprise achete-t-il le bien? Quel

est le cout total de l’achat pour ce consommateur (prix + cout de transport)?

1.3 Comparaison

Commentez l’effet de la discrimination sur le prix d’equilibre en fonction de la localisation

des consommateurs, sur le surplus des consommateurs, et sur le profit des entreprises.

Faire une figure avec en abscisse la localisation du consommateur x et en ordonnee le prix

avec et sans discrimination.

2

1 Exercice 1: discrimination et differenciation hori-

zontale CORRIGE

On considere le marche d’un bien produit et vendu par deux entreprises localisees chacune

a l’extremite d’un segment de longueur 1: l’entreprise 1 est localisee a l’extremite gauche

(en 0) et l’entreprise 2 est localisee a l’extremite droite (en 1). Chacune produit le bien

avec un cout marginal constant c. Les deux entreprises sont en concurrence imparfaite,

elles se font concurrence en prix a la Hotelling: les deux entreprises fixent leurs prix

simultanement.

Les consommateurs sont distribues continument et uniformement le long du segment.

La masse totale des consommateurs est normalisee a 1. Chaque consommateur veut

acheter au plus une unite de bien. Il fait face a un cout de transport t par unite de

distance parcourue. L’utilite d’un consommateur qui achete une unite du bien aupres de

l’entreprise situee a la distance t de sa localisation est U(x, p) = v− p− tx; l’utilite d’un

consommateur qui n’achete pas est normalisee a 0. On suppose que le marche est couvert,

c’est-a-dire que v est suffisamment grand pour qu’a l’equilibre, tous les consommateurs

achetent. On supposera egalement qu’en cas d’indifference (lorsque le cout total de l’achat

chez 1 est identique au cout total de l’achat chez 2) le consommateur achete a l’entreprise

la plus proche.

1.1 Prix uniforme

On suppose pour commencer que la discrimination par les prix est interdite: chaque

entreprise doit fixer un prix unique pour tous les consommateurs. On note p1 le prix fixe

par l’entreprise 1 et p2 le prix fixe par l’entreprise 2.

1. Ecrire la demande qui s’adresse a chacune des entreprises, en fonction de p1 et p2.

Le consommateur situe en x prefere acheter le bien chez 1 plutot que chez 2 ssi

p1 + tx ≤ p2 + t(1− x). On a donc:

D1 =1

2+p2 − p1

2tD2 = 1−D1

2. On considere le prix p2 comme fixe. Quelle est le prix de meilleure reponse de

l’entreprise 1? Inversement, quelle est la meilleure reponse de l’entreprise 2 face au

prix p1?

A p2 fixe, l’entreprise 1 maximise son profit en fixant le prix de meilleure reponse

1

pBR1 (p2):

Maxp1

π1 = (p1 − c)(

1

2+p2 − p1

2t

)⇒ pBR

1 (p2) =c+ t+ p2

2

3. Quels sont les prix d’equilibre de Nash du jeu simultane de concurrence en prix?

L’intersection des deux fonctions de meilleure reponse determine l’equilibre de Nash:

p∗1 = p∗2 = c+ t

4. On considere le consommateur localise a distance x de l’entreprise 1. A quelle en-

treprise achete-t-il le bien, et quel est le cout total de l’achat pour ce consommateur

(prix + cout de transport)?

Le consommateur achete a l’entreprise la plus proche (1 si x ≤ 12, sinon 2) pour un

cout total:

t+ c+ t.min{x, 1− x}.

1.2 Discrimination au premier degre

On suppose maintenant que la discrimination par les prix au premier degre est permise:

chaque entreprise peut fixer un prix personnalise pour chaque consommateur.

1. On considere le consommateur localise a distance x ≤ 12

de l’entreprise 1. Quel est

le “meilleur prix” (le prix le plus faible) que l’entreprise 2 peut lui proposer? On

note pB2 (x) ce prix.

Le plus bas prix que peut proposer l’entreprise 2 sans faire de pertes est pB2 (x) = c.

2. Quel est le cout total de l’achat pour ce consommateur (prix + cout de transport)

s’il achete chez 2?

Dans ce cas l’acheteur paie un cout total c+ t(1− x).

3. Si l’entreprise 2 offre au consommateur situe en x le prix pB2 (x), quelle est la

meilleure reponse de l’entreprise 1?

1 peut offrir un prix tel que le consommateur est indifferent entre acheter chez lui

et acheter chez 2:

p1 + tx = c+ t(1− x)⇒ p1 = c+ t− 2tx

2

4. Decrire l’equilibre du jeu: quels sont les prix proposes par chaque entreprise au

consommateur localise en x? Aupres de quelle enteprise achete-t-il le bien? Quel

est le cout total de l’achat pour ce consommateur (prix + cout de transport)?

Le ejue est en fait un jeu de concurrence a la Bertrand pour chaque consommateur

x, avec des couts differents entre les deux entreprises. Pour x ≤ 12

:

p1 = c+ t− 2tx

p2 = c

le consommateur achete chez 1.Pour x ≥ 12

:

p1 = c

p2 = c+ t− 2t(1− x)

le consommateur achete chez 2.

1.3 Comparaison

Commentez l’effet de la discrimination sur le prix d’equilibre en fonction de la localisation

des consommateurs, sur le surplus des consommateurs, et sur le profit des entreprises.

Faire une figure avec en abscisse la localisation du consommateur x et en ordonnee le prix

avec et sans discrimination.

La discrimination entraine une baisse des prix sur tout le segment, la plus forte baisse

concernant les consommateurs localises en milieu de segment, pour lesquels la concur-

rence entre les deux entreprises dans le regime de discrimination est la plus forte (couts

symetriques).

3

with  discrimina-on  

without  discrimina-on  

c  

0  

€

L2

€

L

€

c +3Lt2

€

c + Lt

€

c +Lt2

4

ECO 431 - Microeconomie

Exercice 1 : La tragedie des biens communs 2 pointsOn considere un lac sur lequel la peche n’est pas reglementee. Le cout pour les pecheurs d’envoyer

un bateau est r > 0. Lorsque b bateaux sont envoyees sur le lac, p(b) =√b poissons sont attrapes au

total. Chaque poisson peut ensuite etre revendu a un prix 1, independant de la quantite pechee.

1. Quel est le nombre de bateaux envoyes a l’equilibre concurrentiel ?

2. Quel est le nombre optimal au sens de Pareto de bateaux qui devraient etre envoyes ? Comparerau nombre de la question 1. Commenter.

3. Quelle taxe permettrait de restaurer l’optimalite.

Exercice 2 : La provision de bien public 4 pointsConsiderons une economie avec deux menages, i = A,B, avec pour fonction d’utilite :

UA(xA, G) =1

3ln(xA) +

2

3ln(G),

UB(xB, G) =1

2ln(xB) +

1

2ln(G),

ou xi ≥ 0 est la consommation de bien prive (le numeraire) et G ≥ 0 la consommation de bien public.Le cout marginal de production du bien public 1 et les dotations en numeraire sont ωA = ωB = 20.

1. Caracteriser la quantite optimale au sens de Pareto de bien public. Cette quantite est-elleunique ?

2. Nous supposons maintenant que les menages choisissent leur contribution de bien public demaniere non-cooperative. Soit gi ≥ 0 (i = A,B) la contribution du menage i, avec G = gA + gB.Quel est l’equilibre de Nash de ce jeu de contribution volontaire. La quantite offerte a cet equlibreest-elle optimale au sens de Pareto ?

3. Supposons que le gouvernement decide de produire GP unites de bien public qui sont financeespar une taxe lump-sum GP

2 sur chaque menage. Quel va etre la quantite totale de bien publicapres intervention du gouvernement a l’equilibre de Nash ? Commenter votre resultat.

Exercice 3 : Le marche des voitures d’occasion avec possibilite de garantie 3 pointsOn considere un marche de voiture d’occasions avec 90 vendeurs, dont 2/3 ont des voitures de

mauvaises qualites et 1/3 de bonnes qualites. Il y a 100 acheteurs potentiels sur le marche.Une voiture de bonne qualite n’a pas de probleme technique avec probabilite 3/4. En revanche, il

y a une probabilite 1/4 qu’elle tombe en panne. Pour les voitures de mauvaise qualite, les probabilitessont inversees : 1/4 de probabilite qu’elle ne tombe pas en panne et 3/4 qu’elle tombe en panne.

Si la voiture ne tombe pas en panne cela procure a un acheteur une utilite de 3. Si elle tombe enpanne, l’utilite de l’acheteur est 0. Pour les vendeurs, l’utilite est egale a 2 si la voiture ne tombe pasen panne, et 0 sinon.

Les acheteurs et les vendeurs sont neutres au risque.Les vendeurs savent si leur voiture est de bonne ou mauvaise qualite alors que cela n’est pas

observable par l’acheteur.

1. Montrer que l’equilibre du marche est tel que les bonnes voitures ne sont pas vendues. Com-menter.

1

2. A present on suppose que les vendeurs peuvent offrir une garantie aux acheteurs, du type “si lavoiture tombe en panne, nous vous remboursons une somme G”. Montrer qu’il existe un equilibreou les vendeurs de bonne qualite se signalent en offrant une garantie G, et ou les vendeurs demauvaise qualite n’offrent pas de garantie (donnez une condition sur G pour que ce soit le cas).

2

ECO 431 - Microeconomie - Correction

Exercice 1 : La tragedie des biens communs 2 pointsOn considere un lac sur lequel la peche n’est pas reglementee. Le cout pour les pecheurs d’envoyer

un bateau est r > 0. Lorsque b bateaux sont envoyees sur le lac, p(b) =√b poissons sont attrapes au

total. Chaque poisson peut ensuite etre revendu a un prix 1, independant de la quantite pechee.

1. Quel est le nombre de bateaux envoyes a l’equilibre concurrentiel ?

A l’equilibre de libre-entree, les pecheurs decident d’envoyer un bateau tant que cela leur apporteun gain net non nul, c’est-a-dire tant que

Π(b) = p(b)− rb ≥ 0.

Le profit sera nul a l’equilibre de libre-entree, et le nombre de bateaux be verifiera :

p(be)

be= r

d’ou be = 1r2

.

2. Quel est le nombre optimal au sens de Pareto de bateaux qui devraient etre envoyes ? Comparerau nombre de la question 1. Commenter.

Si un seul individu detient l’ensemble des bateaux, son objectif va etre de maximiser le profitΠ(b) = p(b) − rb ce qui va nous donner l’optimum de Pareto. On va atteindre ici le nombreoptimal de bateaux puisque l’individu internalise dans son programme l’externalite generee parl’envoi d’un bateau supplementaire sur le lac. L’optimalite de Pareto est donc :

p′(b∗) = r

d’ou b∗ = 14r2

par consequent, b∗ < be : il y a trop de bateaux a l’equilibre de libre-entree. Sans“regulation”, les pecheurs ne tiennent pas compte du fait que lorsqu’ils entrent sur le lac, ilsfont baisser le revenu des pecheurs deja presents (la fraction de poissons peches qui leur revientdiminue). La presence d’un nouvel utilisateur cree une externalite negative pour les autres. Cetteexternalite est internalisee quand on considere le surplus total, mais pas lorsque chaque individuse focalise sur sa propre utilite.

3. Quelle taxe permettrait de restaurer l’optimalite.

On decide d’instaurer une taxe t unitaire destinee a atteindre le nombre optimal de bateaux, al’equilibre de libre-entree. Le cout d’envoi d’un bateau n’est donc plus r mais r+ t. On veut quela taxe t soit telle qu’en laissant toujours les individus raisonner de facon individuelle, le nombrede bateaux envoye a l’equilibre correspond au nombre optimal de bateaux, c’est-a-dire :

p(b∗) = (r + t∗)b∗

soit

t∗ =p(b∗)

b∗− r

d’ou t∗ = r.

1

Exercice 2 : La provision de bien public 4 pointsConsiderons une economie avec deux menages, i = A,B, avec pour fonction d’utilite :

UA(xA, G) =1

3ln(xA) +

2

3ln(G),

UB(xB, G) =1

2ln(xB) +

1

2ln(G),

ou xi ≥ 0 est la consommation de bien prive (le numeraire) et G ≥ 0 la consommation de bien public.Le cout marginal de production du bien public 1 et les dotations en numeraire sont ωA = ωB = 20.

1. Caracteriser la quantite optimale au sens de Pareto de bien public. Cette quantite est-elleunique ?

Regle de Samuelson : la quantite optimale de bien public est telle que la somme des dispositionsmarginales a payer pour le bien public G est egale au cout marginal de production du bien publicd’ou

2xAG

+xBG

=2xA + xB

G= 1.

La contrainte budgetaire de l’economie est xA +xB +G = 40. Ici nous n’avons pas une quantiteunique de bien public pour toutes les allocations optimales au sens de Pareto.

2. Nous supposons maintenant que les menages choisissent leur contribution de bien public demaniere non-cooperative. Soit gi ≥ 0 (i = A,B) la contribution du menage i, avec G = gA + gB.Quel est l’equilibre de Nash de ce jeu de contribution volontaire. La quantite offerte a cet equlibreest-elle optimale au sens de Pareto ? Les fonctions de reaction des menages sont

ψA(gB) = max{0, 40

3− gB

3}

ψB(gA) = max{0, 10− gA2}

d’ou l’equilibre de Nash : gNA = 12 (donc xNA = 20− 12 = 8), gNB = 4 (donc xNB = 20− 4 = 16)et GN = gNA + gNB = 16. L’equilibre de Nash n’est pas optimal au sens de Pareto car il ne verifiepas la regle de Samuelson : 2xA + xB = G a l’optimum de Pareto alors qu’ici 2xNA + xNB 6= GN .

3. Supposons que le gouvernement decide de produire GP unites de bien public qui sont financeespar une taxe lump-sum GP

2 sur chaque menage. Quel va etre la quantite totale de bien pu-blic apres intervention du gouvernement a l’equilibre de Nash ? Commenter votre resultat. Lesfonctions de reaction des menages sont maintenant

ψA(gB, GP ) = max{0, 40

3− gB

3− 2GP

3}

ψB(gA, GP ) = max{0, 10− gA

2− 3GP

4}

d’ou l’equilibre de Nash : gNA = 12 − 12G

P , gNB = 4 − 12G

P et GN = GP + gNA + gNB = 16. Nousobtenons un effet total d’eviction : baisse de la fourniture prive qui est provoquee par une haussede la provision publique.

2

Exercice 3 : Le marche des voitures d’occasion avec possibilite de garantie 3 pointsOn considere un marche de voiture d’occasions avec 90 vendeurs, dont 2/3 ont des voitures de

mauvaises qualites et 1/3 de bonnes qualites. Il y a 100 acheteurs potentiels sur le marche.Une voiture de bonne qualite n’a pas de probleme technique avec probabilite 3/4. En revanche, il

y a une probabilite 1/4 qu’elle tombe en panne. Pour les voitures de mauvaise qualite, les probabilitessont inversees : 1/4 de probabilite qu’elle ne tombe pas en panne et 3/4 qu’elle tombe en panne.

Si la voiture ne tombe pas en panne cela procure a un acheteur une utilite de 3. Si elle tombe enpanne, l’utilite de l’acheteur est 0. Pour les vendeurs, l’utilite est egale a 2 si la voiture ne tombe pasen panne, et 0 sinon.

Les acheteurs et les vendeurs sont neutres au risque.Les vendeurs savent si leur voiture est de bonne ou mauvaise qualite alors que cela n’est pas

observable par l’acheteur.

1. Montrer que l’equilibre du marche est tel que les bonnes voitures ne sont pas vendues. Com-menter.

Nous avons l’offre de voitures :

S(p) =

90 si p > 32 ,

[60, 90] si p = 32 ,

60 si 12 < p < 3

2 ,

[0, 60] si p = 12 ,

0 si p < 12 .

Si la probabilite d’obtenir un vehicule de bonne qualite est egale a q, l’esperance de gain d’unacheteur est donc

3q3

4+ 3(1− q)1

4=

3

4(2q + 1)

et elle doit etre compare au prix p. D’ou

D(p, q) =

100 si 3

4(2q + 1) > p,

[0, 100] si 34(2q + 1) = p,

0 si 34(2q + 1) < p.

Pour tout prix p si les vehicules de bonne qualite sont offerts sur le marche, ceux de mauvaisequalite le sont aussi. Cela nous permet d’exprimer q comme une fonction de y :

q(y) =

{y−60y si 60 ≤ y ≤ 90,

0 si 0 < y ≤ 60.

Definition de l’equilibre de marche : Un equilibre concurrentiel du marche a la Akerlof estdefini par des niveaux de prix p∗ > 0 et de quantites y∗ > 0 ainsi que par des anticipations (oudes croyances) q∗ ∈ [0, 1] tels que :

y∗ ∈ D(p∗, q∗),

y∗ ∈ S(p∗),

q∗ = q(y∗).

A tout equilibre on a 0 < y ≤ 90 et donc D(p, q(y)) ∈]0, 100], ce qui implique

p =3

4(2q(y) + 1)

3

et donc

p =

{34 [2y−60

y + 1] si 60 ≤ y ≤ 90,34 si 0 < y ≤ 60.

On obtient p∗ = 34 , y∗ = 60 et q∗ = 0 : a l’equilibre seuls les vehicules de mauvaise qualite sont

offerts sur le marche.

2. A present on suppose que les vendeurs peuvent offrir une garantie aux acheteurs, du type “si lavoiture tombe en panne, nous vous remboursons une somme G”. Montrer qu’il existe un equilibreou les vendeurs de bonne qualite se signalent en offrant une garantie G, et ou les vendeurs demauvaise qualite n’offrent pas de garantie (donnez une condition sur G pour que ce soit le cas).On suppose qu’il existe un equilibre ou les vendeurs de bonne qualite se signalent en offrant unegarantie G, et on determine les caracteristiques de cet equilibre. Avec G en cas de panne dupoint de vue de l’acheteur (il achete si l’esperance d’utilite est superieure au prix, et est cettefois capable de distinguer les vendeurs car on a suppose que l’equilibre etait separateur) :

pour une bonne voiture (avec prix pB)

3

43 +

1

4G ≥ pB

d’ou 9+G4 ≥ pB ;

pour une mauvaise voiture (avec prix pM )

1

43 +

3

40 =

3

4≥ pM

Supposons que ces contraintes soient saturees d’ou pM = 34 et pB = 9+G

4 . Quelles sont les condi-tions pour que la situation precedente soit bien un equilibre separateur, c’est-a-dire qu’aucuntype de vendeur n’ait interet a en devier ?

Point de vue du vendeur Bon (type B) : il propose une garantie (ne devie pas) si son esperancede profit dans ce cas est superieure a celle du cas ou il ne proposerait pas de garantie (devie),et se ferait donc passer pour un vendeur mauvais de type M aupres des clients

pB −1

4G ≥ pM

ou, si pM = 34 et pB = 9+G

4 ,9

4>

3

4

ce qui est toujours vrai.

Point de vue du vendeur M : il ne propose pas de garantie (ne devie pas) si son esperance deprofit dans ce cas est superieure a celle du cas ou il proposerait une garantie (devie), et se feraitdonc passer pour un vendeur de type B aupres des clients :

pM ≥ pB −3

4G

ou, si pM = 34 et pB = 9+G

4 ,3

4≥ 9 +G

4− 3

4G =

9− 2G

4

4

ouG ≥ 3.

Si G ≥ 3 nous avons bien ici un equilibre separateur ou les vendeurs de bonne qualite se signalenten offrant une garantieG, et ou les vendeurs de mauvaise qualite n’offrent pas de garantie. Notonsque les contraintes de participation sont egalement verifiees.

5

Promotion 2015

ECO 431Microéconomie

Contrôle classantSujet proposé par Marie-Laure Allain et Pierre Picard

Mercredi 2 novembre 2016Durée : 3 heures

Les seuls documents autorisés sont le polycopié du cours et les notespersonnelles. Les calculatrices sont autorisées.

L’épreuve comprend quatre problèmes.

Rédiger les réponses aux exercices 1-2 et 3-4 sur des copies distinctes.

Exercice 1: donation - 5 pointsOn étudie le comportement optimal d’un consommateur qui a la possibilité

de faire une donation de son vivant à ses enfants. Le consommateur vit deuxpériodes. Il existe un unique bien de consommation.En début de première période (en t = 1), le consommateur reçoit le revenu

R1. Il consomme C1. Il peut épargner ou emprunter E1: c’est une épargne siE1 > 0 et un emprunt si E1 < 0.En début de deuxième période (en t = 2), le consommateur reçoit un revenu

R2. Il consomme C2 mais peut aussi faire une donation D à ses enfants. Ilreçoit les revenus de son épargne ou rembourse ses emprunts. On suppose queles marchés financiers sont parfaits, c’est-à-dire que les consommateurs peuventemprunter ou épargner n’importe quel montant au même taux d’intérêt constantr.La fonction d’utilité du consommateur s’écrit:

U(C1, C2, H) = ln(C1) + δln(C2) + αln(D + Z)

L’utilité du consommateur est donc fonction de la donation qu’il a effectuéepar un effet d’altruisme. On introduit Z qui représente le revenu que gagnentses enfants.On suppose que le prix du bien de consommation est égal à 1 à chaque

période.

1. Que représentent les paramètres α et δ ?

2. Ecrire les contraintes budgétaires à chaque période t = 1 et t = 2.

1

3. En déduire que le consommateur doit satisfaire la contrainte suivante:

C1 +C2 +D

1 + r= R

où on note

R = R1 +R21 + r

.

R est appellé revenu actualisé du consommateur.

4. Résoudre alors le programme du consommateur et en déduire les valeursoptimales C1, C2, et D. On posera la notation suivante :

Z =Z

1 + r.

5. Montrer que le consommateur ne fera effectivement une donation que sison revenu actualisé est plus grand qu’une certaine valeur (fonction de Z,α et δ). Commenter. Résoudre alors son programme lorsqu’il ne fait pasde donation (D = 0).

Exercice 2: duopole - 5 pointsOn considère deux entreprises 1 et 2 qui produisent le même bien. Leurs

fonctions de coût sont:

C1(q1) = q1

C2(q2) =q222

où q1 est la quantité produite par l’entreprise 1, et q2 la quantité produitepar l’entreprise 2.La fonction de demande totale est D(p) = 6− p.

1. Déterminer le coût marginal et le coût moyen de chaque entreprise.

2. Les deux entreprises se font concurrence en quantités (à la Cournot):déterminer les fonctions de meilleure réponse des deux entreprises, ainsique les quantités, prix et profits à l’équilibre de Cournot. Déterminer lesurplus des consommateurs et le surplus social à l’équilibre.

3. Les deux entreprises fusionnent, et forment une seule entreprise en mono-pole, qui possède deux usines, correspondant aux deux anciennes entre-prises 1 et 2. L’objectif de l’entreprise fusionnée est de maximiser le profittotal qu’elle réalise avec ses deux usines. Quelle est la quantité produitedans chaque usine? Déterminer le prix d’équilibre de monopole, et le profitde l’entreprise fusionnée. Déterminer le surplus des consommateurs et lesurplus social.

2

4. Comparer les deux situations en termes de profits, de surplus des consom-mateurs et de surplus social.

5. Les deux entreprises pourraient-elles atteindre le même profit qu’à la ques-tion prZécédente sans fusionner? Discuter.

Exercice 3: attitude vis à vis du risque - 4pointsUn individu dont les préférences sont conformes à la théorie de l’espérance

d’utilité a une fonction d’utilité de von Neumann-Morgenstern

u(x) = x1/2,

où x désigne sa richesse. L’individu a une richesse initiale égale à 10. Il fait faceà la loterie X = ( 12 ,−6;

12 ,+6), conduisant à une richesse 10+ X.

1. Que pouvez vous dire de l’attitude vis à vis du risque de cet individu ?

2. Déterminez l’équivalent certain Cu et la prime de risque Ru de la loterieX.

3. Répondez à nouveau à la Question 1 en supposant que la fonction d’utilitésoit

v(x) = x1/4.

On notera Cv l’équivalent certain et Rv la prime de risque de la loterie Xpour la fonction v.

4. Déterminez Iu(x) et Iv(x) les indices absolus d’aversion pour le risque,respectivement pour les fonctions d’utilité u(x) et v(x). Déduisez uneinterprétation des résultats obtenus aux Questions 1 et 2.

Exercice 4: information cachée - 6 pointsOn envisage le marché des véhicules d’occasion de Akerlof avec les hypothèses

suivantes. Acheteurs et vendeurs sont en nombres égaux N . N est un nombreélevé de sorte que le marché possède tous les ingrédients de la concurrenceparfaite, mis à part l’asymétrie d’information sur la qualité des véhicules : lesacheteurs ne peuvent observer la qualité des véhicules avant l’achat. Chaqueacheteur est susceptible d’acheter un véhicule au plus et chaque vendeur possèdeun véhicule qu’il envisage de vendre et dont il connait la qualité. La qualité d’unvéhicule est représentée par une variable continue x qui est distribuée entre lesvendeurs dans l’intervalle [0, 1] avec une fonction de répartition G(x) = x3, etdonc une densité g(x) = 3x2 pour x ∈ [0, 1]. On note p le prix des véhicules sur

3

le marché. Un véhicule de qualité x a une valorisation monétaire égale à x pourle vendeur et cette valorisation est égale à (1+x)/2 pour un acheteur. Les gainsnet d’un vendeur et d’un acheteur sont donc respectivement p − x et 1+x

2 − p.Les acheteurs sont neutres vis à vis du risque.On note respectivement Y et q le nombre de véhicules échangés et leur

qualité moyenne. Soient S(p) l’offre de véhicules en fonction du prix et soitD(p, q) la demande en fonction du prix et de la qualité moyenne. Par souci desimplification, on considère Y, S(p) et D(p, q) comme des variables réelles et noncomme des nombres entiers.

1. Exprimez S(p) et D(p, q). [IMPORTANT: on s’appuyera sur l’hypothèsede neutralité au risque des acheteurs et on notera queD(p, q) est l’intervalle[0, N ] quand p et q vérifient une relation que l’on déterminera.]

2. Déterminez la qualité moyenne des véhicules offerts sur le marché q lorsquele prix est p > 0. Cette qualité moyenne fonction de p sera notée f(p).[IMPORTANT: pour déterminer f(p), on utilisera le fait que seuls lespropriétaires d’un véhicule de qualité x ≤ p offrent leur véhicule sur lemarché. La qualité moyenne q doit donc être calculée dans l’ensemble desvéhicules effectivement offerts.] En déduire une expression de la qualitémoyenne q(Y ) en fonction du nombre de véhicules offerts Y par la relation

q(Y ) = f(S−1(Y )),

où la fonction S a été déterminée à la Question 1 et où on suppose Y ≤ N .

3. Quelles conditions doivent vérifier Y, p et q pour correspondre à un équili-bre de marché "à la Akerlof" ? On notera Y ∗, p∗ et q∗ ces valeurs de Y, p, qà l’équilibre du marché.

4. Représentez les relations Y = S(p) et Y ∈ D(p, q(Y )) par un graphiquedans le plan (Y, p), en se limitant à la partie 0 ≤ Y ≤ N . Déterminez lesvaleurs d’équilibre de Y, p et Q.

5. Quels sont les véhicules échangés à l’équilibre du marché. Montrez que leséchanges ne sont pas effi caces sur ce marché ? Construisez votre réponseen caractérisant les véhicules qui ne sont pas échangés et qui devraientl’être du point de vue de l’effi cacité économique.

6. Le résultat obtenu à la Question 5 illustre une propriété des marchés avecanti-sélection. Quelle est cette propriété? Donnez des exemples d’autresmarchés où des situation similaires peuvent être rencontrées.

4

Correction

1 Exercice 1 : donation

1. α et δ sont les elasticites vis a vis de la consommation a l’etape deux et du capitaldes enfants (revenu + don).

2. On doit avoir a t = 2,C1 + E1 6 R1,

etC2 +D 6 R2 + (1 + r)E1.

3. La fonction d’utilite etant monotone et non saturee, les contraintes budgetairesdoivent etre saturees. Ainsi en remplacant E1 dans la premiere equation, onobtient

C1 +C2 +D −R2

1 + r= R1,

et ainsi

C1 +C2 +D

1 + r= R1 +

R2

1 + r= R.

4. On va utiliser 3 methodes pour resoudre le probleme.

Methode 1: Se ramener a une Cobb-douglas classique:

U(C1, C2, D) = ln(C1) + δ ln(C2

1 + r) + δ ln(1 + r) + α ln(

D + Z

1 + r) + α ln(1 + r).

= ln(C1) + δ ln(C2) + α ln(D) + Constante.

ou on a pose C2 = C21+r et D = D+Z

1+r . La contrainte de budget devient: C1 + C2 +

D = R+ Z. Ainsi, on sait que la part de revenu de chaque bien est proportionelleau rapport de son exposant sur la somme des exposants:

C1 =R+ Z

1 + α+ δ,

C2 =δ

1 + α+ δ(R+ Z),

D =α

1 + α+ δ(R+ Z).

On a donc C2 = δ1+α+δ (Z+(1+r)R1+R2) et D = α

1+α+δ (Z+(1+r)R1+R2)−Z.

Methode 2: Taux marginaux de substitution.

A l’equilibre, on doit avoir egalite entre les taux marginaux de substitution etles rapports des prix. On peut interpreter l’equation de revenu de la question

precedente avec des prix fictifs de 1 pour C1 et de 1/(1 + r) pour C2 et pour D.Ainsi on obtient

∂U∂C1

∂U∂C2

= TMSC1,C2 =pC1

pC2

,

⇔ C2

δC1= (1 + r),

⇔ C2 = δ(1 + r)C1.

et∂U∂C1

∂U∂D

= TMSD,C1 =pC1

pD,

⇔ D + Z

αC1= (1 + r),

⇔ D = α(1 + r)C1 − Z.

En injectant dans la contrainte budgetaire, on obtien

C1(1 + δ + α)− Z = R.

Ainsi C1 = R+Z1+α+δ et on en deduit les autres en remplacant C1 par sa valeur.

Methode 3: On pose le Lagrangien associe a un probleme avec une contrainted’egalite:

L(C1, C2, D, λ) = ln(C1)+δ ln(C2)+α ln(D+Z)+λ

(R− C1 −

C2

1 + r− D

1 + r

).

Une solution interieure du probleme d’optimisation verifie:

∂L

∂C1=

∂L

∂C2=∂L

∂D= 0,

et∂L

∂λ= 0.

La derniere equation est simplement l’equation budgetaire et les autres donnentrespectivement

0 =∂L

∂C1=

1

C1− λ,

0 =∂L

∂C2=

δ

C2− λ

1 + r,

0 =∂L

∂D=

α

D + Z− λ

1 + r,

En isolant λ, on retrouve les equations d’egalite des taux marginaux de substitu-tions: λ = 1

C1, puis C2 = (1+r)δ

λ = (1 + r)δC1 et D + Z = (1+r)αλ = (1 + r)αC1.

5. Dans les calculs precedents, nous avons en fait omis une contrainte: D > 0. Cettecontrainte est verifiee par notre solution lorsque

α

1 + α+ δ((1 + r)R1 +R2) >

1 + δ

1 + α+ δZ,

ou encore

R >1 + δ

α

Z

1 + r=

1 + δ

αZ.

Si ce n’est pas le cas, alors le consommateur ne fait pas de donation. On estreduit a un probleme avec deux variables et un revenu actualise de R. On obtient

C1 =1

1 + δR,

et

C2 =δ(1 + r)

1 + δR.

2 Exercice 2

1. Pour l’entreprise 1, nous avons Cm(q1) = 1 et CM (q1) = 1. Pour l’entreprise 2,nous avons Cm(q2) = q2 et CM (q2) = q2

2 .

2. On calcule les deux fonctions de meilleures reponse. La fonction de demandeinverse est P (q) = 6− q. Etant donne q2, le profit de la firme 1 est donne par

Π1(q1) = D(q1 + q2)q1 − c(q1) = (6− q1 − q2)q1 − q1 = (5− q1 − q2)q1.

Ainsi la condition du premier ordre donne

MR1(q2) =

{5−q22 si q2 6 5,

0 sinon.

Concernant la firme 2, son profit est

Π2(q2) = D(q1+q2)q2−c(q2) = (6−q1−q2)q2−q222

= (6−q1−3

2q2)q2 =

3

2(4−2

3q1−q2)q2.

Ainsi la condition du premier ordre donne

MR2(q1) =

{4− 2

3q1

2 = 2− 13q1 si q1 6 6,

0 sinon.

On cherche un couple (q∗1, q∗2) tel que q∗1 = MR1(q

∗2) et q∗2 = MR2(q

∗1). On va

s’interesser a un equilibre tel que les deux firmes produisent:

q∗2 = 2− 1

3q∗1,

q∗1 =5− q∗2

2.

En remplacant, on obtient 6q∗2 = 12−2q∗1 = 12− (5− q∗2) = 7+q∗2. On a q∗2 = 7/5et q∗1 = 9/5.

• Le prix d’equilibre est donc pc = (6− 16/5) = 14/5,

• Les profits sont: Π1 = 14/5 ∗ 9/5 − 9/5 = 81/25 = 162/50 et Π2 = 14/5 ∗7/5− 49/50 = 14/5 ∗ 7/5− 7/10 ∗ 7/5 = 21/10 ∗ 7/5 = 147/50.

• Le surplus des consommateurs est donne par∫ 6

pc

D(p)dp =

∫ 6

14/5(6− p)dp =

1

2(6− 14/5)2 =

1

2(16/5)2 = 256/50.

• Le surplus social est donc egal a 565/50

3. Si les entreprises fusionnent, le profit de l’entreprise fusionnee devient

Π(q1, q2) = D(q1 + q2)(q1 + q2)− c(q1)− c(q2) = (6− q1 − q2)(q1 + q2)− q1 −q222.

sous la contrainte q1 > 0, q2 > 0 et q1 + q2 6 6. Calculons un point critique

∂D

∂q1= (6− q1 − q2)− (q1 + q2)− 1 = 0,

∂D

∂q2= (6− q1 − q2)− (q1 + q2)− q2 = 0.

En soustrayant les deux equations, on obtient q2 = 1 et 3− 2q1 = 0. Ainsi q2 = 1et q1 = 3/2. De plus, on voit que la fonction Π est la somme de 3 fonctionsconcaves sur {(q1, q2), q1 + q2 6 6} dont une est strictement concave ainsi c’estbien le maximum.

On remarque que le cout marginal de l’entreprise 2 est plus grand que le coutmarginal de l’entreprise 1 des que la quantite depasse 1. On aurait pu justifierdirectement que pour une production Q, la repartition optimal est (Q−1, 1) puisoptimiser sur la quantite Totale (fonction d’une variable).

• Le prix d’equilibre est pf = (6− 5/2) = 7/2

• Π = 7/2 ∗ 5/2− 3/2− 1/2 = 35/4− 8/4 = 27/4,

• Le surplus des consommateurs est donne par∫ 6

pf

D(p)dp =

∫ 6

7/2(6− p)dp =

1

2(6− 7/2)2 =

1

2(5/2)2 = 25/8.

• Le surplus social est donc egal a 79/8

4. On voit que le surplus social diminue legerement dans le cas de la fusion. Onobserve de plus un fort transfert. Lorsque les entreprise fusionnent, le surplus desconsommateur passe d’environ 5 a environ 4 tendis que le profit des entreprises(total des deux profits) passe d’environ 6 a 6.75.

5. Afin d’atteindre ce profit, les entreprises doivent s’entendre sur les quantites maissi elles decident de s’accorder sur les quantites, elles ne sont plus en meilleurereponse l’une de l’autre. On se retrouve dans un probleme type dilemne duprisonnier.

Neanmoins si on calcule le profit de chaque entreprise (lors de la collusion), onobtient que le profit de la firme 1 est 3/2 ∗ 7/2 − 3/2 = 15/4 et que le profitde la firme 2 est 1 ∗ 7/2 − 1/2 = 3. Ainsi les deux entreprises gagnent plus encolludant (sans besoin de transfert monetaire). Ainsi, on peut imaginer qu lesdeux entreprises soutiennent la collusion par exemple avec des menaces (dans uncontexte dynamique).

Problème 3 - 3 pointsUn individu dont les préférences sont conformes à la théorie de l’espérance

d’utilité a une fonction d’utilité

u(x) = x1/2,

où x désigne sa richesse. L’individu a une richesse initiale égale à 10. Il fait faceà la loterie X = ( 12 ,−6;

12 ,+6), conduisant à une richesse 10+ X.

Question 1: Déterminez l’équivalent certain Cu et la prime de risque Rude la loterie X.

Corrigé:En utilisant

1

2u(16) +

1

2u(4) = u(Cu),

Ru = 10− Cu,

on obtient

Cu = 9,

Ru = 1.

Question 2: Répondez à nouveau à la question 1 en supposant que lafonction d’utilité soit

v(x) = x1/4.

On notera Cv l’équivalent certain et Rv la prime de risque de la loterie X pourla fonction v.

Corrigé:Le même calcul pour la fonction v(x) donne

Cv =

(2 +√2

2

)4' 8.493,

Rv = 10− Cv ' 1.507.

Question 3: Déterminez Iu(x) et Iv(x) les indices absolus d’aversion pourle risque, respectivement pour les fonctions d’utilité u(x) et v(x). Déduisez uneinterprétation des résultats obtenus aux question 1 et 2.

Corrigé:On a

Iu(x) = −u′′(x)

u′(x)=1

2x,

Iv(x) = −v′′(x)

v′(x)=3

4x,

1

et donc Iv(x) > Iu(x) pour tout x. La fonction d’utilité v(x) correspond à uneaversion pour le risque plus grande que pour la fonction u(x), si on la mesurepar l’indice absolu d’aversion pour le risque. Cette aversion pour le risque plusélevée conduit à une plus grande prime de risque: Rv > Ru.

Problème 4 - 7 pointsOn envisage le marché des véhicules d’occasion de Akerlof avec les hypothèses

suivantes. Acheteurs et vendeurs sont en nombre égaux N . N est un nombreélevé de sorte que le marché possède tous les ingrédients de la concurrenceparfaite, mis à part l’asymétrie d’information sur la qualité des véhicules : lesacheteurs ne peuvent observer la qualité des véhicules avant l’achat. Chaqueacheteur est susceptible d’acheter un véhicule au plus et chaque vendeur possèdeun véhicule qu’il envisage de vendre et dont il connait la qualité. La qualité d’unvéhicule est représentée par une variable continue x qui est distribuée entre lesvendeurs dans l’intervalle [0, 1] avec une fonction de répartition G(x) = x3, etdonc une densité g(x) = 3x2 pour x ∈ [0, 1]. On note p le prix des véhiculessur le marché. Un véhicule de qualité x a une valorisation monétaire égale à xpour le vendeur et cette valorisation est égale à (1 + x)/2 pour un acheteur. Legain net d’un vendeur et d’un acheteur sont donc p − x et (1 + x)/2 − p. Lesacheteurs sont neutres vis à vis du risque.On note respectivement y et q le nombre de véhicules échangés et leur qualité

moyenne. Soient S(p) l’offre de véhicules en fonction du prix et soit D(p, q) lademande en fonction du prix et de la qualité moyenne.

Question 1Exprimez S(p) etD(p, q). [IMPORTANT: On notera queD(p, q) est l’intervalle

[0, N ] quand p et q vérifient une relation que l’on déterminera, en s’appuyantsur l’hypothèse de neutralité au risque des acheteurs.]

Corrigé:

S(p) = Np3 si p < 1,

S(p) = N si p ≥ 1.

D(p, q) = N si p < (q + 1)/2,

D(p, q) = [0, N ] si p = (q + 1)/2,

D(p, q) = 0 si p > (q + 1)/2.

Question 2Déterminez la qualité moyenne des véhicules offerts sur le marché q lorsque

le prix est p > 0. Cette qualité moyenne fonction de p sera notée f(p). [IM-PORTANT: pour déterminer f(p), on utilisera le fait que seuls les propriétairesd’un véhicule de qualité x ≤ p offrent leur véhicule sur le marché. La qualité

2

moyenne q doit donc être calculée dans l’ensemble des véhicules effectivementofferts.]En déduire une expression de la qualité moyenne q(Y ) en fonction du nombre

de véhicules offerts Y par la relation

q(Y ) = f(S−1(Y )),

où la fonction S a été déterminée à la question 1 et où on suppose Y ≤ N .

Corrigé:Un vendeur offre son véhicule si sa qualité x est plus petite que le prix p.

On a donc

f(p) =1

G(p)

∫ p

0

xg(x)dx

=1

p3

∫ p

0

x× 3x2dx

=3

4p

si p ≤ 1, etf(p) = 1,

si p > 1.

On en déduit

q(Y ) =3

4

(Y

N

) 13

pour Y ≤ N.

Question 3Quelles conditions doivent vérifier Y, p et q pour correspondre à un équilibre

de marché "à la Akerlof" ? On notera Y ∗, p∗ et q∗ ces valeurs de Y, p, q àl’équilibre du marché.

Corrigé:

Y ∗ = S(p∗),

Y ∗ ∈ D(p∗, q∗),

q∗ = q(Y ∗).

Question 4Représentez les relations Y = S(p) et Y ∈ D(p, q(Y )) par un graphique dans

le plan (Y, p), en se limitant à la partie 0 ≤ Y ≤ N . Déterminez les valeursd’équilibre de Y, p et Q.

Corrigé:

3

Y = S(p)⇔ p =

(Y

N

) 13

,

Y ∈ D(p, q(Y ))⇔ p =3

8

(Y

N

) 13

+1

2.

La deuxième relation est déduite de p = [q(Y ) + 1]/2, et donc elle doit êtrevérifiée pour 0 < Y < N. Quand Y = 0, on a p ≥ 1/2 et quand Y = N , on ap ≤ 7/8. On vérifie sur le graphique que l’intersection des courbes s’effectue àY = N × (4/5)3 = 0.512N . On a donc

Y ∗ =

(4

5

)3N,

p∗ =4

5,

q∗ =3

5.

Question 5Quels sont les véhicules échangés à l’équilibre du marché. Montrez que les

échanges ne sont pas effi caces sur ce marché ? Construisez votre réponse encaractérisant les véhicules qui ne sont pas échangés et qui devraient l’être dupoint de vue de l’effi cacité économique

Corrigé:Les véhicules échangés sont ceux dont la qualité x est inférieure au prix

p∗: celà correspond à x ∈ [0, 4/5]. Pour tout véhicule de qualité x ∈ [0, 1],le prix minimal exigé par le vendeur, qui est égal à x, est inférieur au prixmaximal accepté par les acheteurs, qui est égal à (1+x)/2. Comme il y autantd’acheteurs que de vendeurs, le critère d’effi cacité économique doit conduire à ceque tous les véhicules soient échangés, quelle que soit leur qualité. Ce n’est pasle cas à l’équilibre du marché puisque les véhicules dont la qualité x est telle que4/5 < x ≤ 1 ne sont pas échangés. Les propriétaires de ces véhicules pourraientréaliser un échange mutuellement avantageux avec un acheteur. Par exemple,si la qualité est x = 9/10, le vendeur est prêt à céder son véhicule pour un prixp ≥ 9/10 et un acheteur serait disposer à l’acquérir pour un prix p ≤ 19/20.Tout prix p dans l’intervalle [9/10, 19/20] conviendrait à la fois à l’acheteur etau vendeur, mais cet échange ne se réalise pas car la qualité du véhicule n’estpas observable par l’acheteur.Question 6Le résultat obtenu à la question 5 illustre une propriété des marchés avec

anti-sélection. Quelle est cette propriété? Donnez des exemples d’autres marchésoù des situation similaires peuvet être rencontrées.

Corrigé:

4

L’asymmétrie d’information rompt l’équivalence entre effi cacité (ou optimal-ité de Pareto dans un contexte d’équilibre général) et équilibre concurrentiel,bien que les autres hypothèses de la concurrence parfaite soient maintenues, no-tamment le fait que les agents soient suffi samment nombreux pour ne pas pou-voir affecter le niveau du prix qu’ils considèrent commme donné. Les marchésd’assurance, du crédit ou du travail pemettent aussi d’illustrer cette conclusion.

5

Promotion 2014

ECO 431Microéconomie

Contrôle classantSujet proposé par Marie-Laure Allain et Pierre Picard

Vendredi 6 novembre 2015Durée : 2 heures

Les seuls documents autorisés sont le polycopié du cours et les notespersonnelles. Les calculatrices sont autorisées.

L’épreuve comprend trois problèmes.

Problème 1 - 7 points

On considère deux pays initialement en autarcie. Dans le pays 1, deuxentreprises en concurrence parfaite produisent le même bien. Pour des prixdes facteurs de production donnés dans le pays 1, ces entreprises ont la mêmefonction de coût C1(y1) = y21 où y1 est la quantité produite par chaque entreprisedu pays 1. La demande des consommateurs du pays 1 est:

D1(p1) = d− p1,

où p1 est le prix du bien dans ce pays et d est un paramètre positif. Dans le pays2, deux entreprises, également en concurrence parfaite, produisent le même bienque celles du pays 1. Les prix des facteurs de production étant donnés dans lepays 2, ces entreprises ont la même fonction de coût C2(y2) = y22/2 où y2 est laquantité produite. La demande des consommateurs du pays 2 est:

D1(p1) = 1− p2,

où p2 est le prix du bien dans ce pays.

Question 1Initialement, les deux pays sont donc en autarcie: les fontières sont fermées

et les consommateurs d’un pays ne peuvent acheter que les biens produits dansce pays.

• Déterminez les fonctions d’offre et de demande dans chaque pays.

• Calculez le prix d’équilibre général concurrentiel dans chaque pays.

Question 2Déterminez le surplus des consommateurs ainsi que les profits des entreprises

à l’équilibre dans chaque pays. Calculez le surplus social (la somme du surplusdes consommateurs et des profits des entreprises) dans chaque pays.

1

Question 3On ouvre désormais les frontières: les entreprises peuvent vendre leur pro-

duction dans les deux pays (sans coût supplémentaire), et les consommateurspeuvent acheter le produit chez n’importe quelle entreprise locale ou étrangère.On note p le prix du bien sur ce nouveau marché global.

• Déterminez les fonctions d’offre et de demande totale dans le nouveaumarché global.

• Calculez le prix d’équilibre général concurrentiel.

• Calculez le surplus des consommateurs dans chaque pays. Comparez avecles résultats avec le cas de l’autarcie et discuter selon les valeurs de d.Commentez.

• Calculez le profit des entreprises dans chaque pays. Comparez avec lesrésultats dans le cas de l’autarcie et discuter selon les valeurs de d. Com-mentez.

• Calculez le surplus social (la somme du surplus des consommateurs et desprofits des entreprises) dans chaque pays. Comparez avec les résultatsdans le cas de l’autarcie et discuter selon les valeurs de d. Commentez.

Problème 2 - 4 pointsUne entreprise produit un bien en quantité y à l’aide de deux facteurs dont

les quantités sont notées respectivement x1 et x2 et les prix w1 et w2. La fonctionde coût de cette entreprise est

C(y, w1, w2) = w1y −w21w2

si y ≥ 2w1w2

,

C(y, w1, w2) =w2y

2

4si y <

2w1w2

.

Question 1Quelle est la fonction de production de cette entreprise.

Question 2Caractérisez les rendements d’échelle de cette entreprise. Comment ces ren-

dements se reflètent-ils dans les coûts de l’entreprise ?

Problème 3 - 9 points

Soit un individu dont l’utilité (au sens de von Neumann-Morgenstern) notéeU dépend de deux variables: la richesse R et l’état de santé, représenté par une

2

variable réelle H. Une valeur plus grande de H signifie que l’individu est enmeilleure santé. On suppose que

U(R,H) = u(R) +H,

avec u′ > 0, u′′ < 0. On a R = w − T où w désigne la richesse initiale (audébut de la période envisagée) et T représente le montant net de paiementde l’individu pour ses dépenses de santé, incluant en particulier les transfertsréalisés avec l’assurance santé dont dispose l’individu. On note m les dépensesde soin de l’individu, c’est à dire ce qu’il paye au système de santé - médecins,médicaments, hôpitaux... - sans tenir compte des remboursements d’assurancedont il bénéficie, ni de la prime d’assurance qu’il paye. Dans tout ce qui suit,on suppose que les unités de mesure de ces dépenses et de la richesse sont tellesque m ∈ [0, 1].L’état de santé est affecté par un état initial h0, par une maladie dont la

gravité est une variable aléatoireX distribuée sur un intervalle [a, b], a > 0 et parles dépenses de soin m. La valeur a correspond à la meilleure situation possibleen termes de santé, celui d’une maladie totalement bénigne. Des valeurs plusgrandes de X correspondent à des pathologies plus sévères. On suppose

H = h0 −X(1−m).

En d’autres termes, l’état de santé H est d’autant meilleur que l’état initialest bon (h0 grand) et que la maladie éventuelle est bénigne (X petit), mais unaccroissement des dépenses de soin (m plus grand) améliore l’état de santé del’individu.L’individu est remboursé de ses dépenses de soin par un barême d’assurance

selon lequel il reçoit une indemnité I(m) lorsqu’il dépense m. Par ailleurs, ilpaye une prime d’assurance P . On a donc

T = m+ P − I(m),R = w − T = w − P −m+ I(m)

Lorsque la maladie a une gravité x l’individu choisit d’effectuer la dépensem(x) qui maximise son utilité. En d’autres termes,

m(x) ∈ argmaxm≥0

{u(w − P − m+ I(m)) + h0 − x(1− m)} ,

c’est à direm(x) ∈ argmax

m≥0{u(w − P − m+ I(m)) + xm]}

La richesse et l’état de santé final deviennent alors de variables aléatoires:

R(X) = w − P −m(X) + I(m(X)),H(X) = h0 − x[1−m(X)].

3

Dans tout ce qui suit, on suppose

u(R) =1− exp{−αR}

α, α > 0.

Question 1Que représente le coeffi cient α ?

Question 2Quelle est la limite de E[u(R(X))] quand α tend vers 0 ? On pourra se

placer dans le cas de lotterie simples où X prend la valeur xi avec probabilitépi, avec i = 1, ...., n.

Dans tout ce qui suit, on suppose que le barême d’assurance spécifie que lesdépenses m sont remboursées pour une fraction θ ∈ [0, 1]. De plus, la primepayée est actuarielle. En d’autres termes, on a

I(m) = θm,

P = θE[m(X)].

,On suppose également que le paramêtre a (c’est à dire la borne inférieure

des valeurs prises par la variable aléatoire X) est tel que m(a) > 0 et donc quem(x) > 0 pour toute valeur de x dans [a, b] puisque m(x) va être une fonctioncroissante.

Question 3Ecrivez la condition du premier ordre que doit vérifier m(x) pour correspon-

dre au choix optimal de dépenses de soin lorsque la maladie a une gravité x.Utilisez cette condition pour exprimer R(x) en fonction des différents paramêtresdu problème.

Question 4Déduisez m(x) puis P . L’expression de m(x) ainsi obtenue dépend notam-

ment de x, P et θ et celle de P dépend notamment de θ.

Question 5Ecrire l’espérance d’utilité de l’individu

E[u(R(X)] + h0 − E[X(1−m(X))].

Cette expression dépend de θ ∈ [0, 1]. Ecrivez cette expression de manière plussimple avec le changement de variable z = 1/(1− θ) ∈ [1,+∞). On notera V (z)l’expression obtenue.

Question 6Calculez la valeur optimale de θ, c’est à dire celle qui maximise l’espérance

d’utilité de l’individu. On supposera E[X ln(X)]−E[X]E[ln(X)] < E[X]. Com-mentez le résultat obtenu.

4

Promotion 2014

Microéconomie ECO 431Contrôle classant

Vendredi 6 novembre 2015

Corrigé

Problème 1Question 1Initialement, les deux pays sont en autarcie: les fontières sont fermées et

les consommateurs d’un pays ne peuvent acheter que les biens produits dans cepays.Dans le pays 1: les entreprises égalisent leur coût marginal de production

au prix, donc p1 = C ′1 = 2y1. L’offre de chaque entreprise est donc yi1 = p12 et

l’offre totale Y1 = p1.Dans le pays 2: les entreprises égalisent leur coût marginal de production au

prix, donc p2 = C ′2 = y2. L’offre de chaque entreprise est donc yi2 = p2 et l’offretotale Y2 = 2p2.Dans le pays 1: A l’équilibre, l’offre égale la demande: d − p1 = p1 d’où le

prix d’équilibre p∗1 = d2 .

Dans le pays 2: A l’équilibre, l’offre égale la demande: 1− p2 = 2p2 d’où leprix d’équilibre p∗2 = 1

3 .

Question 2

• Dans le pays 1: S1 = (d−p1)22 = d2

8 ; chaque entreprise fait un profit

π1 = p2

4 donc le profit total réalisé par les deux entreprises est Π1 = d2

8 .

• Dans le pays 2: S2 = (1−p2)22 = 2

9 ; chaque entreprise fait un profit π2 = p2

2donc le profit total réalisé par les deux entreprises est Π2 = 1

9 .

• Dans le pays 1: W1 = S1 + Π1 = d2

4 . Dans le pays 2: W2 = S2 + Π2 = 13 .

Question 3On ouvre désormais les frontières: les entreprises peuvent vendre leur pro-

duction dans les deux pays (sans coût supplémentaire), et les consommateurspeuvent acheter le produit chez n’importe quelle entreprise locale ou étrangère.

• La demande totale est la somme des demandes des deux pays: D(p) =D1(p) +D2(p) = 1 + d− 2p.

• L’offre totale est la somme des offres des entreprises, soit: Y (p) = Y1(p) +Y2(p) = 3p.

1

• Offre = demande implique p∗ = 1+d5 .

• Si d < 23 , p

∗1 < p∗ < p∗2: l’ouverture des marchés augmente le prix dans le

pays 1 et le diminue dans le pays 2. Le surplus des consommateurs diminuedans le pays 1 et augmente dans le pays 2. Si d > 2

3 , p∗2 < p∗ < p∗1: c’est

l’inverse.

• Si d < 23 , le profit total augmente dans le pays 1 et le diminue dans le

pays 2. Si d > 23 , c’est l’inverse.

• Dans le pays 1: W open1 = (1+d)2

50 + (4d−1)250 est supérieur au surplus total en

autarcie. Dans le pays 2: W open2 = (1+d)2

25 + (4−d)250 est supérieur au surplus

total en autarcie W2 = 13 . Dans chaque pays, le surplus total augmente,

mais la répartition su surplus total entre consommateurs et entreprisesvarie.

Problème 2Question 1Si y ≥ 2w1/w2, on a

∂C

∂w1= y − 2w1

w2= x1,

∂C

∂w2=

w21w22

= x2,

ce qui donney = x1 + 2

√x2.

Si y < 2w1/w2, on a

∂C

∂w1= 0 = x1,

∂C

∂w2=

y2

4= x2,

ce qui donney = 2

√x2.

La fonction de production est donc y = f(x1, x2) = x1+2√x2 pour toute valeur

de x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Question 2On a f(λx1, λx2) < λf(x1, x2) si on se limite aux cas où x2 > 0. Les

rendements d’échelle sont donc décroissants. Ceci se reflète dans le fait que lecoût moyen C(y, w1, w2)/y est une fonction croissante de y.

2

Problème 3Question 1A état de santé donné, on est dans le cas d’une fonction CARA, et α

représente l’indice absolu d’aversion pour le risque relatif à la richesse.

Question 2En utilisant la Règle de L’Hôpital, on obtient :

limα→0

E[u(R(X))] = E[R(X)].

Question 3Un individu dont la maladie a la gravité x choisit m(x) tel que

m(x) ∈ arg max

[− 1

αexp{−α(w − (1− θ)m− P )}+ xm

]m≥0

.

La condition d’optimalité du premier ordre pour m(x) > 0 s’écrit

−(1− θ) exp{−αR(x)}+ x = 0,

où R(x) = w − (1− θ)m(x)− P , ce qui donne

R(x) =1

αln

(1− θx

).

Question 4On en déduit

m(x) =α(w − P ) + ln

(x1−θ

)α(1− θ) .

En utilisant P = θE[m(X)], on obtient

E[R(X)] = w − (1− θ)E[m(X)]− P

= w − P

θ

=1

αE

[ln

(1− θX

)]et donc

P = θw +θ

αE

[ln

(X

1− θ

)].

Question 5Les résultats de la Question 4 nous permettent d’écrire

m(x) =w − P −R(x)

1− θ

= w +1

αln

(1

1− θ

)+

ln(x)− θE[ln(x)]

α(1− θ)

3

et le barême d’assurance optimal maximise

− 1

αE [exp{−αR(X)}] + E[Xm(X)]

= − E[X]

α(1− θ)

+

[E[X]w +

E[X]

αln

(1

1− θ

)+E[X ln(X)]− θE[X]E[ln(X)]

α(1− θ)

]par rapport à θ ∈ [0, 1].

Soit z = 1/(1− θ). De manière équivalente, z maximise

V (z) ≡ E[X] ln(z) + z[∆− E[X]],

dans [1,+∞),où

∆ = E[X ln(X)]− E[X]E[ln(X)] > 0.

.Question 6On a

V ′(z) = ∆− E[X] +E[X]

z,

V ′′(z) = −E[X]

z2< 0.

etV ′(1) = ∆ > 0

Si ∆ < E[X], V (z) atteint un maximum sur [1,+∞) quand

z =E[X]

E[X]−∆> 1,

c’est à dire

θ =∆

E[X]∈ (0, 1).

On observe que la solution optimale ne dépend pas du degré d’aversion au risquemesuré par α contrairement aux résultats obtenus dans des modèles simples dedemande d’assurance.

4