Analyse Numé · PDF file Ordinateur et analyse numérique Les calculatrices et...

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  • Université Abderrahmane Mira de Béjaia

    Faculté des sciences exactes Département de mathématiques

    Analyse Numérique Cours, 2ème année licence mathématiques

    Karima MEBARKI1.

    1version 1.0 mebarqi_karima@hotmail.fr pour toute remarque

  • ii

  • Table des matières

    Introduction vii

    I Analyse numérique I 1

    1 Notions sur les erreurs 3 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Erreurs absolue et relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2.1 Erreur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Erreur relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Majorants des erreurs absolue et relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.3 Représentation décimale des nombres approchés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Chi�re signi�catif (c.s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Chi�re signi�catif exact (c.s.e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.4 Troncature et arrondissement d'un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Propagation des erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.5.1 Erreurs d'une addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.2 Erreurs d'une soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.3 Erreurs d'une multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.4 Erreurs d'une division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.5 Erreurs d'une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Interpolation polynomiale 11

    2.1 Position du problème d'interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.3.1 Di�érences divisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.2 Polynôme d'interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.3 Cas particulier : points équidistants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.4 Erreur d'interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Interpolation de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Evaluation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.6.1 Cas d'un polynôme quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6.2 Cas d'un polynôme d'interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6.3 Cas d'un polynôme d'interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.7 Complément du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.7.1 Interpolation d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.7.2 Meilleur choix de points d'interpolation et polynômes de Tchebychev . . . . . 27

    iii

  • iv TABLE DES MATIÈRES

    2.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3 Approximation au sens des moindres carrés 35 3.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3.2.1 Existence et unicité de la meilleure approximation au s.m.c. . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Détermination de la meilleure approximation au s.m.c. . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.3 Erreur d'approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.4 Algorithme de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.3 Application au cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Application au cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    4 Intégration numérique 41 4.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Formules de Newton-Côtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    4.2.1 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.2 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    4.3 Formules de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.4 Complément du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    5 Dérivation numérique 53 5.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2 Approximation de la dérivée première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    5.2.1 Formules à deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.2 Formules à trois points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2.3 Approximation de la dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.2.4 Approximation des dérivées d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    II Analyse Numérique II 59

    6 Résolution des systèmes linéaires 61 6.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.2 Méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    6.2.1 Systèmes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.2.2 Méthode d'élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2.3 Problème posé par la (quasi) annulation des pivots . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.2.4 Méthode de la décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.2.5 Méthode de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.2.6 Méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    6.3 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.3.1 Matrice d'itération et les conditions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.3.2 Principales méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

  • TABLE DES MATIÈRES v

    7 Calcul des valeurs et vecteurs propres d'une matrice 89 7.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2 Méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.3 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    7.3.1 Méthode de la puissance itérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.3.2 Méthode de Rutishauser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    8 Résolution des équations non linéaires 95 8.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    8.1.1 Séparation des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.2 Méthode de dichotomie (ou de la bissection) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.3 Méthode du point �xe (des approximations successives) . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    8.3.1 Ordre de convergence d'une méthode itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.4 Méthodes de type xn+1 = φ(xn) = xn − f(xn)g(xn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.4.1 Méthode de Newton-Raphson (méthode de la tangente) . . . . . . . . . . . . . 103

    8.4.2 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.4.3 Méthode de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    8.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    9 Résolution des équations di�érentielles ordinaires 111 9.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.2 Méthode d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9.3 Méthodes de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 9.4 Méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    9.4.1 Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9.4.2 Méthode d'Euler modi�ée . . . . . . . . . . . .