Activité d’introduction

· Modéliser les polynômes

- Jaune et vert sont normalement positif.

- Rouge et orange sont normalement négatif.

1. Modélise ces expressions à l’aide des carreaux algébriques et compare ta réponse avec celle de ton partenaire.

· Les polynômes équivalent.

Les polynômes suivants sont-ils équivalent? Démontre-le à l’aide des carreaux algébriques.

· Simplifier un polynôme à l’aide de termes semblables

1.

2.

Simplifie le polynôme suivant sans carreaux algébriques :

14x2 – 11 + 30x + 3 + 15x -25x2

3.

Simplifie le polynôme suivant sans carreaux algébriques :

4xy – y2 + 3x2 + 2xy - x – 3y2

210 MODULE 5 : Les polynômes

5.1 Modéliser des polynômes

OBJECTIF• Modéliser, écrire

et classer despolynômes.

Utilise des carreaux algébriques.

! Modélise chaque expression. Dessine lescarreaux. Comment sais-tu quels carreauxutiliser ? Comment sais-tu quelle quantité dechaque carreau il te faut ?

• x2 ! x " 3• "2x2 " 3 • 2x2 ! 3x• "2x2 " 3x ! 1• "3x ! 3

! Écris ta propre expression. Demande à ta ouà ton camarade de la modéliser à l’aide decarreaux. Modélise à ton tour l’expressionque ta ou ton camarade a écrite.

En arithmétique, les nombres entiers sontmodélisés à l’aide de matériel de base dix.Comment modéliserais-tu le nombre 234 ?

En algèbre, les nombres entiers et les variablessont modélisés à l’aide de carreaux algébriques.

Les jaunes sont des carreaux positifs ; les rouges,des carreaux négatifs.

Quelles sont les ressemblances entre le matérielde base dix et les carreaux algébriques ?

Pour la première activité, compare tes dessins avec ceux réalisés par uneautre équipe. Avez-vous utilisé les mêmes carreaux chaque fois ? Sinon, uneéquipe a-t-elle fait une erreur ? Est-il possible que, malgré les différences,vos équipes aient toutes les deux fourni de bonnes réponses ? Expliquecomment. L’ordre dans lequel les carreaux sont disposés importe-t-il ?Explique ta réponse.

Mise en commun

Explore 2

100 10 1

–x2 –x

xx 2 1

–1

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210 MODULE 5 : Les polynômes

5.1 Modéliser des polynômes

OBJECTIF• Modéliser, écrire

et classer despolynômes.

Utilise des carreaux algébriques.

! Modélise chaque expression. Dessine lescarreaux. Comment sais-tu quels carreauxutiliser ? Comment sais-tu quelle quantité dechaque carreau il te faut ?

• x2 ! x " 3• "2x2 " 3 • 2x2 ! 3x• "2x2 " 3x ! 1• "3x ! 3

! Écris ta propre expression. Demande à ta ouà ton camarade de la modéliser à l’aide decarreaux. Modélise à ton tour l’expressionque ta ou ton camarade a écrite.

En arithmétique, les nombres entiers sontmodélisés à l’aide de matériel de base dix.Comment modéliserais-tu le nombre 234 ?

En algèbre, les nombres entiers et les variablessont modélisés à l’aide de carreaux algébriques.

Les jaunes sont des carreaux positifs ; les rouges,des carreaux négatifs.

Quelles sont les ressemblances entre le matérielde base dix et les carreaux algébriques ?

Pour la première activité, compare tes dessins avec ceux réalisés par uneautre équipe. Avez-vous utilisé les mêmes carreaux chaque fois ? Sinon, uneéquipe a-t-elle fait une erreur ? Est-il possible que, malgré les différences,vos équipes aient toutes les deux fourni de bonnes réponses ? Expliquecomment. L’ordre dans lequel les carreaux sont disposés importe-t-il ?Explique ta réponse.

Mise en commun

Explore 2

100 10 1

–x2 –x

xx 2 1

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212 MODULE 5 : Les polynômes

Exemple 1 Reconnaître des polynômes identiques ayant des variables différentes

Parmi les polynômes suivants, lesquels peuvent être modélisés à l’aide du même ensemble decarreaux algébriques ?a) 3x2 ! 5x " 6 b) !5 " 6r " 3r2 c) !5m " 6 " 3m2

Explique ta réponse.

Une solution

a) 3x2 ! 5x " 6Utilise trois carreaux x2, cinq carreaux !x et six carreaux unitaires positifs.

b) !5 " 6r " 3r2

Utilise cinq carreaux unitaires négatifs, six carreaux r et trois carreaux r2.

c) !5m " 6 " 3m2

Utilise cinq carreaux !m, six carreaux unitaires positifs et trois carreaux m2.

En a) et c), tu as utilisé les mêmes carreaux algébriques. Donc, les polynômes 3x2 ! 5x " 6 et!5m " 6 " 3m2 peuvent être modélisés à l’aide du même ensemble de carreaux.

!

Exemple 2 Modéliser des polynômes à l’aide de carreaux algébriques

Modélise les polynômes suivants à l’aide de carreaux algébriques. Chaque polynôme est-il un monôme, un binôme ou un trinôme ? Explique ta réponse.a) !2x2 b) 2b2 ! b " 4 c) 5a ! 3

Une solution

a) Pour représenter !2x2, utilise deux carreaux !x2.Puisque tu utilises seulement un type de carreaux, !2x2 est un monôme.

b) Pour représenter 2b2 ! b " 4, utilise deux carreaux b2, un carreau !b et quatre carreaux unitaires positifs. Puisque tu utilises 3 types de carreaux,2b2 ! b " 4 est un trinôme.

c) Pour représenter 5a ! 3, utilise cinq carreaux aet trois carreaux unitaires négatifs. Puisque tu utilises 2 types de carreaux différents, 5a ! 3 est un binôme.

!

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5.2 Les termes semblables et les termes non semblables 219

Pour simplifier un polynôme, il faut regrouper les termes semblables et enlever les paires nulles.Dans sa forme simplifiée, !x2 " 3x2 devient 2x2.

Il est également possible de simplifier un polynôme en additionnant les coefficientsdes termes semblables. Autrement dit, il s’agit de combiner les termes semblables.!x2 " 3x2 # !1x2 " 3x2 Additionne les coefficients des termes semblables

# 2x2 ou des nombres entiers : !1 " 3 # 2

Les polynômes !x2 " 3x2 et 2x2 sont équivalents.Donc, un polynôme écrit dans sa forme simplifiée correspond au polynômeéquivalent dont tous les termes semblables ont été combinés.

!x2 " 3x ne peut être simplifié. Les coefficients de termes non semblables ne peuvent être additionnés.

Exemple 1 Simplifier un polynôme à l’aide de carreaux algébriquesSimplifie le polynôme suivant à l’aide de carreaux algébriques : 4n2 ! 1 ! 3n ! 3 " 5n ! 2n2

Note le processus de façon symbolique.

Une solution

Modèle en carreaux

Représente 4n2 ! 1 ! 3n ! 3 " 5n ! 2n2.

Regroupe les carreaux semblables.

Enlève les paires nulles.

Les carreaux restants représentent 2n2 " 2n ! 4.

Notation symbolique

4n2 ! 1 ! 3n ! 3 " 5n ! 2n2

Regroupe les termes semblables : 4n2 ! 2n2 " 5n ! 3n ! 1 ! 3

Combine les termes semblables :2n2 " 2n ! 4

!

0

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