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OrthogonalitéAdjoint d'un endomorphisme dans un espace euclidien

Espaces préhilbertiens

10 janvier 2013




Dénition Espace préhilbertien = espace vectoriel avec un produit scalaire. Ilest normé par la norme associée au produit scalaire. Notation du produitscalaire, et de sa norme associée. Si la dimension est nie, alors l'espace esteuclidien (K = R) ou hermitien (K = C).



Vecteurs orthogonaux

Dénition x et y sont orthogonaux ssi (x |y) = 0. Vecteurs unitaires = denorme 1.Proposition En dimension nie : tout vecteur orthogonal à une base est nul.Proposition Familles orthogonales : une famille orthogonale de vecteurs nonnuls est libre.En particulier, toute famille orthonormale est libre.Remarque La base canonique de Rn est orthonormale pour le produit scalaire

canonique : (x |y) =n∑i=1

xiyi .

La famille (X k) de R[X ] est orthonormale pour le produit scalaire :

(∑i

aiXi |∑i

biXi ) =

+∞∑i=0

aibi .

La famille (X k) de R[X ] n'est pas orthonormale pour le produit scalaire :

(P|Q) =

∫1

0

P(t)Q(t) dt.



Relation de Pythagore

Proposition Relation de Pythagore. Si (xi ) est une famille de vecteurs 2 à 2orthogonaux, alors

p∑i=1

‖xi‖2 = ‖p∑i=1

xi‖2

Remarque Réciproque vraie pour p ≤ 2 seulement : si a = c = 1, b = −12,

alors a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2... ceci donne des contre-exemples dans toutedimension...



eve avec une base orthonormale

Proposition Utilisation d'une BON

1. Coordonnées dans une BON : xi = (ei |x).

2. Produit scalaire dans une BON.

3. Norme euclidienne.

4. Expression matricielle en BON : (x |y) = tXY .

5. P ∈Mn(R) est orthogonale ssi c'est la matrice de passage entre 2 baseorthonormales, ssi les colonnes forment une BON de Rn pour le pdtscalaire canonique. (P = (C1|...|Cn), (tPP)i,j = tCiCj ).



Construction de bases orthonormales

Proposition Procédé d'orthonormalisation de Gram-SchmidtSoit E un K −espacevectoriel . Si (u1, · · · , un) une famille libre, il existe uneunique famille (e1, · · · , en) telle que :

1. (e1, · · · , en) est orthonormale.

2. Pour tout p ≤ n, Vect(e1, · · · , ep) = Vect(u1, · · · , up)

3. Pour tout p ≤ n, (up|ep) > 0 (condition de normalisation, la même siK = R ou C).



Démonstration

Démonstration (par récurrence sur n).

Pour n = 1 : CN u1 = αe1, (u1|e1) = α, |α| = ||u1||, donc e1 =u1

||u1||. CS :

clair.Soit n ∈ N∗, on suppose le résultat de toute FL de n vecteurs.Soit (u1, ..., un+1) une FL. CN : Si (e1, ..., en+1) est solution, alors (e1, ..., en)est la FON obtenue à partir de (u1, ..., un) et elle est donc uniquement

déterminée par HR. On pose un+1 =∑

αiei , alors pour k ≤ n,

(un+1|ek) = αk , αn+1 = (un+1|ek+1) > 0 donc αn+1 = ||un+1 −n∑i=1

αiei ||.

CS : on vérie facilement que la famille (e1, ...en+1) ainsi obtenue convient.



Variantes du procédé de Gram-Schmidt

Remarque

1. On peut remplacer la condition (up|ep) > 0 par une autre condition denormalisation (p.ex, polynômes unitaires.)

2. Si la famille est déjà orthogonale, le procédé se réduit à normer lesvecteurs.

3. Exemple : orthonormalisation de la base canonique pour

(P,Q) =

∫1

0

P(t)Q(t)√1− t2

dt. (MAPLE)



Applications

Conséquences

1. Tout eve (et tout sev d'un eve) admet une BON (Schmidt).

2. Théorème de la base orthonormale incomplète. (Appliquer Schmidt à unebase quelconque qui complète la famille orthonormale, l'unicité du procédémontre que la famille initiale, déjà orthonormale, n'est pas modiée).



Traduction matricielle

Remarque Traduction matricielle du procédé de Schmidt : la décompositionQR.Pour toute matrice inversible M il existe un unique Ω orthogonal et Ttriangulaire, à coecients diagonaux positifs, telles que : M = Ω.T .Remarque Ne pas comfondre avec la décomposition polaire QS où S est unematrice symétrique !



Applcation : Inégalité d'Hadamard

Application (Inégalité d'Hadamard) |Det(u1, ..., un)| ≤ ||u1|| · · · ||un||. (produitmixte = déterminant en base orthonormale.) Le pavé droit est donc celui deplus grand volume.



Application : Matrices de Gram

Application Matrices de Gram. v1, ..., vn indép ssi (vi |vj ) est inversible. (Onécrit M, matrice de (v) en BON, la matrice de Gram est alors tMM).

Exemple La matrice [1

i + j + 1] est inversible. (

∫1

0

t i t j dt =1

i + j + 1)



Sous-espaces orthogonaux

Dénition sevs orthogonaux. F ⊥ G ssi ∀(x , y) ∈ F × G , x ⊥ y .Proposition Une famille de sevs 2 à 2 orthogonaux est en somme directe.Démonstration On applique la relation de Pythagore à x1 + · · ·+ xp = 0, ilvient x1 = · · · = xp = 0.Notation Somme directe orthogonale F ⊕⊥ G ou

⊕⊥1≤i≤p Fi .



Orthogonal d'un sev

Dénition L'orthogonal de F est le sous-espace :

F⊥ = x ∈ E ,∀y ∈ F , x ⊥ y

Notation F 0 ou F⊥.Propriétés

1. G ⊥ F ⇔ G ⊂ F⊥.

2. F⊥ ⊥ F . En particulier, F ⊂ (F⊥)⊥.

3. E⊥ = 0 ; 0⊥ = E .

4. F ⊂ G ⇒ G⊥ ⊂ F⊥.



Supplémentaire orthogonal

Remarque En général (en dimension innie) F 6= (F⊥)⊥. Par ex. pourE = C([a, b]), on montre R[X ]⊥ = 0, or 0⊥ = E .Proposition Si F admet un supplémentaire orthogonal H, alors H = F⊥. C'estle supplémentaire orthogonal,Démonstration On a H ⊂ F⊥.Soit x ∈ F⊥. On décompose x = xF + xH . xF est orthogonal à x et xH , donc àlui-même, d'où xF = 0 et x ∈ H, cqfd.Conséquences

1. Si F ⊕ F⊥ 6= E , alors F n'a pas de supplémentaire orthogonal.

2. Si F ⊕ F⊥ = E , alors F = (F⊥)⊥.



Remarque F peut être l'orthogonal de F⊥ sans que F⊥ soit supplémenaire deF : prendre E = C([−1, 1]), F = f ∈ E |∀x ≤ 0, f (x) = 0 etG = g ∈ E |∀x ≥ 0, g(x) = 0 et le produit scalaire déni par

(f |g) =

∫1

−1f (t)g(t) dt. On constate F = G⊥ et G = F⊥, donc F = (F⊥)⊥,

mais ∀f ∈ F , g ∈ G , on a (f + g)(0) = 0, ce qui montre F ⊕ G 6= E .Proposition Si F est de dimension nie, alors F admet un supplémentaireorthogonal.

Démonstration Pour tout x ∈ E , x −p∑i=1

(ei |x)ei ∈ F⊥.

Remarque Le résultat est donc immédiat si E est de dimension nie.



Projection orthogonale

Dénition Un projecteur p est orthogonal ssi Im p ⊥ ker p.Remarque

1. On peut dénir la projection orthogonale sur F ssi F ⊕ F⊥ = E .

2. Le projecteur conjugué Id−p est le projeté orthogonal de x sur F⊥.



Inégalité de Bessel

Proposition Pour tout x ∈ E , ||p(x)||2 = (x , p(x)).Proposition Inégalité de Bessel ‖p(x)‖ ≤ ‖x‖Exercice 1 p projecteur est orthogonal ssi on a cette inégalité pour tout x .



Utilisation d'une base orthonormale

Proposition Si (e1, ..., ep) BON de F , alors pF (x) =

p∑i=1

(ei |x)ei .

Remarque Tout sev de dimension nie d'un ephr admet un supplémentaireorthogonal.



Distance à un sev d'un eve

Dénition Si x ∈ E et A une partie non vide de E , on dénitd(x ,A) = infy∈A ||x − y ||.Proposition Si F est un sev de dim nie de E et p(x) le projeté orthogonal dex sur F , alors :

1. d(x ,F ) = ||x − p(x)||2. ∀y ∈ F , y 6= p(x)⇒ ||x − y || > d(x ,F ).

:Démonstration Pythagore : ||x − y ||2 = ||x − p(x)||2 + ||p(x)− y ||2.Si y 6= p(x), alors ||x − y || > ||x − p(x)|| ;si y = p(x), alors ||x − y || = ||x − p(x)||. Le minimum de ||y − x || est doncatteint en p(x).



Exemple

Exemple Calculer mina,b

∫1

0

(x2 − ax − b)2 dx .

SOL Le projeté orth. de x2 sur R1[x ] est Q(x) = ax + b. On résout(X 2 − Q|1) = (X 2 − Q|X ) = 0 d'où Q = X − 1/6. Enn||X 2 − Q(X )||2 = 1/180.



Matrices de Gram

Exemple Lien avec les matrices de Gram. (u1, ..., up) base d'un sev F . Soit

x /∈ F . Notons d = d(x ,F ) et x ′ = pF (x) =n∑i=1

αiui .

1. x − x ′ ⊥ F donc (x |ui ) =n∑j=1

αj (uj |ui ).

2. d2 = ||x − x ′||2 = (x |x − x ′) = (x |x)−n∑j=1

αj (uj |x).

3. On pose le système :(u1|u1)α1 + · · ·+ (u1|up)αp − (u1|x).1 = 0...

(up|u1)α1 + · · ·+ (up|up)αp − (up|x).1 = 0

(x |u1)α1 + · · ·+ (x |up)αp − (x |x).1 = −d2

On applique les formules de Cramer sur la dernière inconnue, et il vient :

d =

√G(u1, ..., up, x)

G(u1, ..., up)

4. Autre méthode : (x |ui ) = (p(x)|ui ) pour tout i et(x |x) = ||p(x)||2 + ||x − p(x)||2 (Pythagore), doncG(u1, ..., up, x) = G(u1, ..., up, p(x)) + G(u1, ..., up).||x − p(x)||2, d'où lerésultat.



Représentation des formes linéaires

Dans toute la suite, E est un eve.Théorème (de représentation, Riesz) Φ : a 7→ (x → (x |a)) est unisomorphisme de E sur E∗

Démonstration Φ(a) = 0⇒ (a|a) = 0⇒ a = 0. donc injection. La linéarité estclaire et les dimensions sont égales.



Adjoint d'un endomorphisme

Dénition Soit f ∈ L (E). Il existe un unique f ∗ ∈ L (E) tq

∀x , y ∈ E , (f ∗(x)|y) = (x |f (y))

Démonstration On xe x ∈ E . y 7→ (x |f (y)) est une forme linéaire sur E , doncil existe un unique vecteur f ∗(x) tel que cette forme s'écrive y 7→ (f ∗(x)|y).On vérie facilement que f ∗ est linéaire.Remarque Par symétrie : (x |f ∗(y)) = (f (x)|y).



Matrice de l'adjoint en base orthonormale

Proposition Si B est une base orthonormale, alors MB(f ∗) = tMB(f ).Démonstration Notons A la matrice de f et A′ celle de f ∗. Pour tout X , pourtout Y :

tXA′Y = t(AX )Y = tXAY

on en déduit A′ = tA.



Propriétés de l'adjoint

Proposition

1. det(u) = det(u∗).

2. χu = χu∗

3. (u∗)∗ = u

4. (uv)∗ = v∗u∗

5. u 7→ u∗ est linéaire.

Démonstration On xe une BON et on considère les matrices A et tA de f etf ∗.



Noyau, image de l'adjoint

Proposition Soit u ∈ L(E).

1. Le noyau de u∗ est l'orthogonal de l'image de u ;

2. L'image de u∗ est l'orthogonal du noyau de u.

Démonstration Soit y ∈ E . y ∈ ker u∗ ssi u∗(y) = 0 si et seulement si, pourtout x , (x |u∗(y)) = (u(x)|y) = 0. ssi y ∈ (Im u)⊥.On a l'autre résultat par (u∗)∗ = u.Exemple L'adjoint d'un projecteur p d'image F et de direction G est leprojecteur p∗ d'image G⊥ et de direction F⊥. [ne pas confondre avec leprojecteur associé q , d'image G et de direction F ].



Orthogonal d'un sev stable

Proposition Si F est stable par u, alors F⊥ est stable par u∗.Démonstration Si x ∈ F⊥, alors pour tout y ∈ F , (u∗(x)|y) = (x |u(y)) = 0,cqfd.)



Groupe orthogonal

(cf. polycopié sur les automorphismes orthogonaux.) Proposition Soitu ∈ L(E). u ∈ O(E) ssi u∗u = uu∗ = IdE .



Endomorphismes symétriques

Dénition u est dit auto-adjoint (ou symétrique) ssi u∗ = u, càd :(u(x)|y) = (x |u(y)) pour tout (x , y).Proposition Matrice : u est symétrique ssi sa matrice dans (toute) baseorthonormale est symétrique.



Exemples d'endomorphismes symétriques

Exemples

1. Tout endomorphisme qui admet une matrice diagonale dans une BON estauto-adjoint (la réciproque est le théorème spectral).

2. Un projecteur est orthogonal ssi il est symétrique. Démonstration Si porthogonal, (p(x)|y) = (p(x)|p(y)) = (x |p(y)).Réciproquement, p = p∗ ⇔ (x − p(x)|p(y)) = (p(x)− pp(x)|y) = 0. Onpeut également utiliser les éléments caractéristiques de p∗.

Remarque En général, les symétries ne sont pas des endomorphismessymétriques et les endomorphismes symétriques ne sont pas des symétries.Cas spécial : une symétrie est orthogonale ssi elle est auto-adjointe.



Orthogonal d'un sev stable

Proposition Si F est stable par u et u symétrique, alors F⊥ est stable par u etu induit sur F et sur F⊥ des endos symétriques. En particulier, si x est vep deu, alors u induit un endo symétrique sur l'hyperplan x⊥.



Sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique

Proposition Les SEP d'un endomorphisme symétrique sont 2 à 2 orthogonaux.Démonstration Si u(x) = λx et u(y) = µy , alors

λ(x |y) = (u(x)|y) = (x |u(y)) = µ(x |y)

et si µ 6= λ, il vient x ⊥ y , cqfd.



Théorème spectral

Théorème (Théorème spectral) Un endomorphisme symétrique estdiagonalisable dans une base orthonormaleDémonstration D'après le résultat précédent, il sut de montrer qu'il estdiagonalisable.Par récurrence sur la dimension n de E . Si n = 1, OK. Si n = 2, la matrice de fdans une BON s'écrit : (

a b

b c

)et son polynôme caractéristique : X 2 − (a + c)X + ac − b2 a pour discriminant∆ = (a− c)2 + 4b2.Si a = c et b = 0, alors f = a Id ; sinon, ∆ > 0 et f est diagonalisable (pol.carac. scindé, à racines simples).



Suite de la récurrence

Soit n ≥ 2, on suppose le résultat vrai de toute dimension ≤ n.Supposons dimE = n + 1 et f endomorphisme symétrique de E .Si f admet un vecteur propre, alors on xe e1 vecteur unitaire propre et(e2, ..., en+1) BON de l'hyperplan e1

⊥, qui diagonalise la restriction de f sur H(H.R.). Ainsi, dans (e1, · · · , en+1), la matrice de f est diagonale.Si f n'admet aucun vecteur propre, alors son poly carac se décompose enfacteurs irréductibles de degré 2 du type X 2 + bX + c.Or il annule f , donc pour au moins l'un d'entre eux, on a :Ker(f 2 + bf + c Id) 6= 0 car le produit est nul.Soit e dans ce noyau. Vect(e, f (e)) est un plan stable sur lequel f estsymétrique, donc diagonalisable, ce qui contredit Sp(f ) = ∅.



Théorème spectal, version matricielle

Proposition (version matricielle) Tout matrice symétrique réelle estdiagonalisable, la matrice de passage étant orthogonale (il existe P orthogonaletq M = PDtP.)Démonstration On démontre la version matricielle par récurrence sur ladimension. Pour n = 1, clair. Soit n ∈ N∗, on suppose le résultat vrai dansSn(R). Soit A ∈ Sn+1(R).Soit λ ∈ C une valeur propre de A. Montrons que λ ∈ R. On a AX = λ.X avecX 6= 0 et en conjuguant : AX = AX = λX .Il vient :

tXAX =

λtXX

λtXX

D'où λ = λ. Le polynôme caractéristique de A étant scindé sur C, A admet aumoins une valeur propre, réelle d'après ce qui précède. Soit H un supplémentaireorthogonal. À l'aide d'une base orthonormale adaptée à Eλ(A) et H, A s'écrit :

A = P

(λIm 00 A1

)tP

On en déduit que A1 est symétrique, donc d'après l'hypothèse de récurrence,A1 = QDtQ avec Q orthogonale. Posons :

Ω = P

(Im 00 Q

)Il vient :

A = Ω

(λIm 00 D

)tΩ

cqfd.



Matrices symétriques

Dénition Une matrice symétrique est dite :

1. positive ssi Sp(A) ⊂ R+.

2. dénie positive ssi Sp(A) ⊂ R∗+.Notation S+

n (R) (resp. S++n (R)) est l'ensemble des matrices symétrique

positives (resp. dénies positives).



Matrices symétriques positives

Proposition Si A ∈Mn(R), alors tAA ∈ S+n (R).

Si A ∈ GLn(R), alors tAA ∈ S++n (R).

Démonstration t(tAA) = tAA et si λ ∈ Sp(tAA), et X 6= 0 tq tAAX = λX ,

alors λ =||AX ||2

||X ||2 ≥ 0, cqfd.

Si A ∈ GLn(R), alors det tAA 6= 0 donc 0 /∈ Sp(tAA, cqfd.Proposition Si A ∈ S+

n (R), il existe M ∈Mn(R) tel que A = tMM.Si A ∈ S++

n (R), on a M ∈ GLn(R).Démonstration Théorème spectral : A = P.D2.tP (car les coecientsdiagonaux de la matrice diagonale sont tous positifs), et donc A = tMM avecM = DP.La deuxième est claire (det(A) 6= 0).



Décomposition de Cholesky

Proposition Décomposition de Cholesky : si A ∈ S++n (R), il existe une matrice

triangulaire supérieure T à coecients diagonaux > 0 telle que A = tTT .Démonstration Écrire A = tMM, puis d'après Gram-Schmidt, M = UT (avecU ∈ On(R), T comme demandé). Ainsi A = tTT .



Racine carrée d'une matrice symétrique dénie positive

Proposition L'application M 7→ M2 est une bijection de S+n (R) sur lui-même.

Démonstration L'application est bien dénie (facile). Si A ∈ S+n (R), alors on

pose A = PDtP. CN : si M2 = A, alors A et M commutent donc M estdiagonalisable dans la même base que A, et M = P∆tP. D'où ∆2 = D, quiadmet une unique solution diagonale positive, cqfd.



Décomposition polaire

Proposition Décomposition polaire : Si A ∈ GLn(R), alors il existe une uniquecouple (U,S) avec U orthogonale et S symétrique dénie positive tel queA = US .Démonstration CN : tAA = S2, donc S est l'unique racine dénie positive detAA.Posons U = AS−1, on vérie tUU = S−1S2S−1 = In, cqfd.


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