Validation numérique de l’homogénéisation pour un...

Validation numérique de l’homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources

aléatoires

2

• Introduction– Modélisation de la migration de radionucléide– Vers un modèle probabiliste

• Calcul des moments– Comportement aléatoire des sources : un exemple– Définition et calcul des premiers moments– Simulations numériques

• Homogénéisation du modèle aléatoire– Présentation générale– Résultats théoriques– Validation numérique

3




4

Introduction – modélisation

• Objectif : Valider (illustrer) les résultats de l’homogénéisation– Géométrie et équation simplifiées

⇒Approche valable (sauf mention contraire) dans des cas plus complexes et plus réalistes

– Modélisation simplifiée de la migration de radionucléide en milieu poreux (1 phase saturée):

⇒

( )( ).p pCR div D grad C VC R C Qt

ω ω λ∂− − + =

∂

( )pCR L C Qt

ω ∂+ =

∂

5


Une géométrie 2D simplifiée :

1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

0

5

10

15x 10-4

temps (ans)

mol

es/a

ns

relâchement de l' I129 par module

- Période radioactive de l’I129 : 15.106 ans

Caractéristiques de l’I129 :

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• Un exemple de simulation : – rupture simultanée de tous les containeurs– calculs effectués avec Castem (EFMH)

concentration(mol/m3)

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Introduction – aspect aléatoire

• Plusieurs sources d’incertitudes :– Caractéristiques physiques du milieu

• Description exhaustive impossible

– Comportement de relâchement• Contenu des colis variable• Phénomène d’usure/rupture bien modélisé par un contexte

aléatoire

• Prise en compte de l’aléa sur la fuite dans la modélisation

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Introduction – aspect aléatoire

• Modèle probabiliste : Aléa sur le terme source : Q(ω)⇒ la solution du problème devient aléatoire : C(ω)

• On peut caractériser la solution à travers ses moments

( ) ( )( ) ( ) ( )p

CR L C Q P

tω

ω ω ω∂

− =∂

9




10

Calcul des moments - un exemple

• Un cas particulier d’aléa sur les sourcesUne courbe de relâchement typique, avec :– Aléa sur le temps de déclenchement– Aléa sur la quantité de matière relâchée– Indépendance entre tous les aléas

⇒Terme source associéà l’alvéole i :

( ) ( ) ( )( ), fii iQ t tω ω ωα τ= − ( )f t

( )tQ ,ω

( )τ ω

( )α ω

11

• Conséquence de la linéarité :la solution C(ω,x,t) de (P) devient une superposition des ci(x,t) solutions de

⇒ ( ) ( )( )1

( , , ) ,N

i ii

iC x t c t xτ ωαω ω=

= −∑

( ) f . ( )i

ip i B i

cR L c Pt

ω ∂+ =

∂1

Calcul des moments - un exemple

12

Calcul des moments

La linéarité et l’indépendance donnent l’espérance et la variance sous la forme:

et si on connaît fτ la densité de probabilité des décalages τi, par définition: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

, ,

, ,

i

i

i i

i i

E c t x c s x t s ds

E c t x

f

fc s x t s ds

τ

τ

τ

τ

⎡ ⎤− = −⎣ ⎦

⎡ ⎤− = −⎣ ⎦

∫∫

( ) [ ] ( )1

, , ,iN

ii

iE C x t E E c t xα τ=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑

( ) ( ) [ ] ( ) 22 22

1, , , ,

i i

N

ii iii

Var C x t E E c t x E E c t xα ατ τ=

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑

*

*

13

Calcul des moments

De même, la corrélation entre différents temps et points de l’espace se calcule ainsi:

Avec par définition:

( ) [ ]YXEYXCor ., =

( ) ( )( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

21 1 2 2 1 1 2 2

1

1 1 2 2,

, , , , , , ,

, ,

N

i ii

i

i

i j ji ji j

i i

i j

Cor C x t C x t E E c t x c t x

E E E c t x E c t x

τ τ

τ τ

α

α α

=

≠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ = − −⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2, , , ,i ii i i iE c t x c t x c t s x c t s x s dsfττ τ⎡ ⎤− − = − −⎣ ⎦ ∫

14

Calcul des moments

Par définition, la covariance et le coefficient de corrélation se déduisent de l’espérance et de la corrélation par :

* ( ) ( ) [ ] [ ], ,Cov X Y Cor X Y E X E Y= −

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )

1 21 2

1 2

1,2

, , , , ,, , , , ,

, , , ,

,

Cov C x t C x sC x t C x s

Var C x t Var C x s

t s

ρ

ρ

⋅ ⋅⋅ ⋅ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=*

15

Calcul des moments

• Tous ces moments sont bien déterminés si on fixe E[α] et Var[α] finis et fτ

• Leur calcul requiert la résolution de N (=nb de sources) problèmes similaires⇒ gains possibles dans la résolution numérique :

- Construction d’une discrétisation commune- Préconditionnement des matrices- Résolution des systèmes linéaires

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Calcul des moments - simulation numérique

• Calcul des moments en tout temps (t,s) et en deux points (x1,x2) :

[ ][ ]

21 1

0 1i

i

N E

Var .

α

α

⎧ = =⎪⎨

=⎪⎩

fτx150

~400

x2

17

Calcul des moments – moyenne et variance

102

104

106

108

1010

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

-7

temps (ans)

mol

/m3

moyenne de la concentration au point 1

102

104

106

108

1010

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6x 10

-4

temps (ans)

mol

/m3

moyenne de la concentration au point 2

102

104

106

108

1010

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

-15

temps (ans)

(mol

/m3 )2

variance de la concentration au point 1

102

104

106

108

1010

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-9

temps (ans)

(mol

/m3 )2

variance de la concentration au point 2

18

Calcul des moments – covariance

temps (ans) lié au point1

tem

ps (a

ns) l

ié a

u po

int1

covariance de la concentrationentre le point 1 et le point 1

105

1010

104

106

108

1010

4

6

8

10

12

14

x 10-16


tem

ps (a

ns) l

ié a

u po

int2


105

1010

104

106

108

1010

2

3

4

5

6

7

8

x 10-13


tem

ps (a

ns) l

ié a

u po

int2


105

1010

104

106

108

1010

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x 10-9

19

Calcul des moments – coefficient de corrélation

• : valeurs non corrélées ou variant dans le même sens

• temps longs décorrélés des temps courts• temps longs corrélés entre eux

0ρ ≥


tem

ps (a

ns) l

ié a

u po

int1

coefficient de corrélation de la concentrationentre le point 1 et le point 1

105

1010

104

106

108

1010

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

( )1,1 ,t sρ

s

t


tem

ps (a

ns) l

ié a

u po

int2


105

1010

104

106

108

1010

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

( )2,1 ,t sρ

s

ttemps (ans) lié au point2

tem

ps (a

ns) l

ié a

u po

int2


105

1010

104

106

108

1010

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

( )2,2 ,t sρ

s

t

20




21

Homogénéisation – présentation

• Difficultés de la simulation numérique :– grand domaine (~km) / petits détails (sources ~m)⇒ maillage très lourd et calcul coûteux

• Une solution possible : l’homogénéisation– construction d’un modèle global macroscopique sur

un domaine homogénéisé plus simple– approche adaptée à l’obtention d’un modèle champ

lointain à partir des renseignements champs proche

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• Eléments de base :– Mise en évidence de deux échelles spatiales de taille

(micro/macro)– Détermination d’un petit paramètre ε caractérisant le

rapport entre les deux échelles– Périodicité sur l’échelle ‘‘microscopique’’

(peut être relaxé)

• Le problème limite (ε→0) donne le modèle global (macroscopique)

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• Cas du stockage :– macro : site de stockage

micro : alvéole– petit paramètre : ε=1/N– périodicité horizontale– apparition d’une source

‘‘homogène’’ de support singulier dans le modèle global

( ) ( )'/1, ,

ii xBQ t q T tε

εεγω ω

ε= 1

'/xT εω processus stationnaire et ergodique

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Homogénéisation – résultats théoriques

• On considère :– uε solution aléatoire du problème détaillé

– u0 solution du problème homogénéisé

( )0

0 0. dans puR L u Q Gt

ω δΣ∂

+ =∂

( ) ( )( ) ( )1

dans N

p ii

uR L u Q G

t

εε εω

ω ω ω=

∂+ =

∂ ∑

( ) ( )01 2avec ,Q t s s E q t⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦

25


• On peut montrer que

• On a donc convergence vers un problème:– déterministe– avec une géométrie homogène plus simple– avec une source homogène spatialement

⇒ u0 est une approximation simple à calculer

• On complète ce résultat avec une estimation du taux de convergence

( )( ) p.s. 0lim 12;,0

0

0=−

∞→ GHLuuε

ε

26


• Sous certaines hypothèses de mélange (+ que ergodicité), on peut montrer l’estimation d’erreur suivante :

• Ceci permet d’estimer la qualité de l’approximation de uε faite par u0

( )( ) ( )2 1

20 2 2

0, ;L T H GE u u Cε γε ε− ≤ +

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Homogénéisation – validation numérique

• On a :

• Dans le cas où ,on calcule que :

( ) ( )( )1

( , , ) ,ii

N

ii

u x t c t xε ω ω ωα τ=

= −∑

( )( ) ( ) ( )2 2

20

0,

2 00

0;

2

0

1

2

0

3

2 .T

L T L GG

TT

G G

I I I

u dxdt E u u dxd E uu u d dt x tE ε εε ⎡ ⎤⎣⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤− = − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )0

20 0

3( , ) et T T T

s t t s dt d If s s s dg shI Fτ τ

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )20 2

1 1avec ( , ) , , et ,

N

i

N

i iii iG G

s t E c x s u x t dx s E c x s dxhg α α= =

⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫

28


• Mise en œuvre du calcul

maillage

h(.) g(.,.)

(ci(.,s))i

u0(.,.)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

202L

uuE ε

Constructiondu maillage

communCalcul deI1, I2 et I3Calcul de

h(s) et g(s,.)

Résolution du pas sn-1 à sn

des (Piε)

Résolutionde (P0)

Etapes 1 Etapes 4Etapes 3 (boucle)Etapes 2

29

0 10 20 30 40 500.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10-6

Nombre de sources (N)

E(||

uε-u

0 ||2 )

10-2 10-1

10-6

epsilon (ε=1/N)

E(||

uε-u

0 ||2 )


• Résultats numériques

30

Homogénéisation – simulation numériqueRéalisation 1 Réalisation 2 Homogène

concentration(mol/m3)

31

Conclusion

• Application des techniques d’homogénéisation au problème aléatoire

• Calcul des moments dans un cas particulier• Validation numérique de la convergence

• Perspectives :– Résultats numériques du cas 3D– Modélisation plus réaliste de l’aléa– Application au cas non linéaire– Convergence en loi

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