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Université Ibn Tofail Faculté des Sciences Département de ... · La mécanique des milieux...
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Université Ibn Tofail
Faculté des Sciences
Département de Physique
Kénitra
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
(Version modifiée)
(S6)
Auteur
Pr. A.MASLOUHI Mars 2015
-
2
Sommaire
Chapitre I : Introduction à la mécanique des milieux continus
1- Objet de la mécanique des milieux continus
2- Hypothèses de continuité
3- Cinématique du milieu continu
Chapitre II : Etude générale du vecteur contrainte et du tenseur de
contrainte
1- Introduction
2- Tenseur de contrainte
3- Equations générale de l’équilibre
4- Application à un fluide au repos
5- Propriétés locales du tenseur des contraintes
6- Directions principales contraintes normales principales
7- Représentation de Mohr
Chapitre III : Etude des petites déformations et du tenseur du taux de
déformation
1- Le tenseur du gradient du vecteur déplacement
2- Le tenseur du taux de déformation
3- Définitions élémentaires du taux de déformation
Chapitre IV : Les relations fondamentales de la dynamique
(Les équations de conservation)
1- Rappels mathématiques
2- La dérivée particulaire
3- Les équations de conservation
Chapitre V : Application aux écoulements des fluides visqueux
1- Equation de conservation de quantité de mouvement
2- Equation de conservation de l’énergie
3- Formulation mathématique des problèmes de mécanique des fluides
4- Quelques solutions analytiques des équations de Navier-Stokes
-
3
REFERENCES
PRINCIPAUX OUVRAGES EN RAPPORT AVEC LE COURS
COURS
- Introduction à la mécanique des milieux continus
P.Germain P.Muller
Edition : Masson
- Mécanique expérimentale des fluides expérimentales
Auteurs : R. COMOLET et J.BONNIN
Tome I
Edition : Masson
- Mécanique des fluides
Eléments d’un premier parcours
Auteur : P. chassaing
Edition : Polytech
EXERCICES
- Exercices et problèmes de mécanique des milieux continus
J.Obala
Edition : Masson
- Mécanique expérimentale des fluides expérimentales
Auteurs : R. COMOLET et J.BONNIN
Tome III
Edition : Masson
- Mécanique des Fluides
Hubert Lumbroso
Edition : Dunod
-
4
CHAPITRE I : INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES MILIEUX
CONTINUS
1- Objet de la mécanique des milieux continus
La mécanique des milieux continus est le domaine de la mécanique consacré aux
mouvements des corps déformables : gaz, liquide ou solide, en utilisant les
données et les méthodes de la mécanique rationnelle. La mécanique des milieux
continus étudie les corps matériels qui remplissent l’espace de façon
ininterrompue, continue, et dont les points changent de distance lors du
mouvement. Les problèmes essentiels de la mécanique des milieux continus qui
font l’objet d’études sont présentés de la manière suivante :
- action d’un fluide sur un corps en mouvement : avion, obus, navires, sous-
marins, voitures, etc.…
- écoulement d’un fluide dans des tubes ou plus généralement dans divers
mécanismes (pompes, turbines, turbomachines)
- écoulement d’un fluide dans un milieu poreux
- hydrostatique où équilibre des liquides et des corps flottant où immergés
- les mouvements des gaz lors d’une explosion où d’une combustion
- les mouvements turbulents des fluides
- l’étude des mouvements et de l’équilibre des corps solides déformables : la
théorie de l’élasticité, fatigue des corps
-
5
2- Hypothèses de continuité
a- continuité du milieu
Un milieu continu est un milieu dans lequel toutes les propriétés physiques
varient d’une façon continue d’un point à un autre. Par exemple la masse m est
une fonction continue des variables x, y, z, t, par tout sauf sur un nombre fini
de surfaces ou de lignes (surfaces ou ligues singulière)
b- Continuité des transformations
Il faut admettre que les fonctions qui composent les équations de mouvement
d’un milieu continu, sont continues et dérivables par rapport à toutes les
variables, en effet :
Deux points infiniment voisins à t =0 restent infiniment voisins à t =T
Deux points infiniment voisins à t =T proviennent de deux points infiniment
voisins à t =0
Conséquence
- un volume Vt = 0 se transforme en un volume VT
- une surface fermée St = 0 se transforme en une surface fermée SŦ
- une courbe fermée Ct = 0 se transforme en une courbe fermée CŦ - La masse contenue à l’intérieur d’une surface matérielle fermée reste
c- Phénomènes ne respectant pas la continuité
Formations des trous
Cavitation dans les liquides
M’
-
6
Fissure dans les solides
Glissement relatif de deux parties du milieu
Sillage dans les liquides
Glissement ou failles dans les solides
M
M’
M
M
4’
-
7
Pour tous ces exemples, il y a une non continuité dans le milieu. M et M’ ne
sont pas voisins.
3- Cinématique du milieu continu
La cinématique du milieu continu à pour objet d’étudier le milieu en terme de
déplacement vitesse et accélération et ceci sans faire intervenir les forces
qui entrent en jeu.
Pour effectuer cette étude, il est nécessaire de définir la portion du milieu
continu dont on étudie le mouvement et le repère de position choisi
3.1- Description du mouvement
Pour décrire le mouvement d’une particule du milieu continu, on s’intéressera
aux différentes fonctions suivantes :
Fonctions vectorielles
x
Trajectoire de la particule
dt
xdu
Où
dt
dxu ii Vitesse
dt
ud
Où
2
i2
idt
xd Accélération
Fonctions scalaires
P Pression
ρ Masse volumique
T Température
Etc..
Il existe deux méthodes de description du mouvement :
- méthode de Lagrange
- méthode d’Euler
ASUSTexte surligné
ASUSTexte surligné
ASUSTexte surligné
ASUSTexte surligné
ASUSTexte surligné
ASUSTexte surligné
ASUSTexte surligné
-
8
a- Méthode de Lagrange
Soit une particule occupant la position M0 (x10, x2
0, x30) à l’instant t0 et la
position M(x1, x2, x3) à l’instant t
Le mouvement de la particule au point M sera connu si :
x1= x1 (x10, x2
0, x30, t )
x2= x2 (x10, x2
0, x30, t )
x3= x3 (x10, x2
0, x30, t )
(x10, x2
0, x30, t ) sont appelées variables de Lagrange
La méthode de Lagrange consiste à individualiser une particule du milieu continu
et de la suivre dans son mouvement. Les coordonnées de la particule en un point
sont exprimées en fonction de la position initiale et du temps. (On s’intéresse à
l’histoire d’une particule matérielle déterminée)
b- Méthode d’Euler
Soit un point M fixe de l’espace de coordonnées (x1, x2, x3)
À l’instant t0 , il y a en M une particule de vitesse 0U
À l’instant t , il y a en M une autre particule de vitesse U
( u1(x1, x2, x3, t) ,
u2(x1, x2, x3, t) , u3(x1, x2, x3, t) )
t0 t1
M0 M
x10 x1
x20 x2
x30 x3
-
9
ui= ui (xi, t)
Dans la description eulérienne, la description cinématique du mouvement se fait
à partir de l’analyse des vitesses des particules en un point fixe. (x1,x2,x3,t) sont
appelés variables d’Euler. En effet, la méthode d’Euler consiste à considérer un
point fixe de l’espace et à étudier en fonction du temps, les caractéristiques des
autres particules en ce point. (On s’intéresse en un point de l’espace à l’évolution
des caractéristiques du milieu)
c- Trajectoire et ligne de courant
Trajectoire
On appelle trajectoire d’une particule, la ligne géométrique de positions qu’elle occupe au cours du temps.
La trajectoire est calculée à partir du champ de vitesse :
dt
xdu
;
dt
dxu ii
Avec dt
dxu 11 ;
dt
dxu 22 ;
dt
dxu 33
D’où l’équation de la trajectoire
dt)t,x,x,x(u
dx
)t,x,x,x(u
dx
)t,x,x,x(u
dx
3213
3
3212
2
3211
1
M(x1, x2, x3)
u
(M,t)
t
-
10
Ligne de courant (visualisation du champ de vitesse)
On appelle ligne de courant à l’instant t0, toute courbe tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse des particules.
t0 = cte
L’équation de la ligne de courant est obtenue à partir de la définition
0xdu
i
j
k
u1 u2 u3
dx1 dx2 dx3
u2 dx3 – u3 dx2 = 0
u1 dx3 – u3 dx1 = 0
u1 dx2 – u2 dx1 = 0
D’où le système différentiel
xd
U
-
11
)t,x,x,x(u
dx
)t,x,x,x(u
dx
)t,x,x,x(u
dx
03213
3
03212
2
03211
1
Remarque
Dans le cas d’un mouvement permanent ou stationnaire (c’est à dire que la vitesse
de la particule en un point de l’espace est constante en fonction du temps). Il y a
coïncidence entre la trajectoire et la ligne de courant.
Ligne d’émission
C’est la ligne géométrique correspondant à l’ensemble des particules qui sont passées à l’instant t par le même point fixe A
A
Ligne d’émission
Trajectoire
-
12
CHAPITRE II- ETUDE GENERALE DU VECTEUR CONTRAINTE ET DU
TENSEUR DE CONTRAINTE
1 INTRODUCTION
Soit un corps naturel continu, parvenu à un état d’équilibre, après des
déformations, sous l’action des forces qui lui sont appliqués. Le corps est supposé
limité par une surface extérieure connue S.
Les forces agissant en chaque point M du corps sont de deux sortes :
- les forces intérieures
- les forces extérieures
Les forces intérieures d’origines moléculaires s’opposent deux à deux et par
conséquent s’annulent.
Les forces extérieures agissant sur le corps peuvent être de deux sortes :
Les forces de volume ou force à distance
Elles proviennent de l’action sur D de tout ce qui est extérieure au corps pris
dans son ensemble. Ces forces qui se réduisent en général aux forces de
pesanteur sont proportionnelles au volume de l’élément sur lequel elle agissent;;
s’écrivent :
dv)kfjfif(dvf321
xxx
Dans (o, x1 , x2 ,x3 )
fx1 , fx2 , fx3 sont les composantes des forces volumiques suivant les trois
directions
Les forces de surface ou force de contact
Ce sont des forces appliquées aux éléments de surface du corps. Ainsi autour
d’un point M de la surface du corps, la force appliquée à l’élément de surface dS
sera proportionnelle à dS et pourra être représentée par :
M
D
S
dS
n
T
x2
x3
x1
-
13
dSkTjTiTdST xxx )( 321
T dépend de la position du point M de la surface et de l’orientation de dS
autour de M
T peut être décomposé en tTnTTTT tntn
nT
: Composante normale à dS, appelée contrainte normale, tension, ou
compression
tT : Composante parallèle à dS, appelée contrainte tangentielle, contrainte de
glissement, ou contrainte de cisaillement
2. TENSEUR DE CONTRAINTE
Nous allons montrer que le vecteur T pourra s’exprimer en fonction des
contraintes s’exerçant respectivement sur trois éléments de surfaces
triangulaires passant par un point M (x1 , x2 ,x3 )
Considérons pour cela un tétraèdre infiniment petit MABC, les points A, B, C
étant choisis respectivement sur les axes Mx1 , Mx2 , Mx3
Désignons par T la contrainte exercée par le milieu extérieur sur la face ABC du
tétraèdre, dS est l’aire de cette face
)knjnin(n 321
x1
A
M B
C
x2
x3
dSx2
dSx3
dSx1
i
k
j
3x
2x
1x
n
T
-
14
n
est le vecteur unitaire de la normale à cette face dirigée de l’intérieur vers
l’extérieur.
Désignons aussi par
1x
la contrainte exercée par le corps continu sur MBC du côté > 0
2x
la contrainte exercée par le corps continu sur MAC du côté > 0
3x
la contrainte exercée par le corps continu sur MAB du côté > 0
Convention de signe
Si on prend la résultante des contraintes exercée par le milieu extérieur sur le
tétraèdre, on obtient :
0dSdSdSdST332211
xxxxxx
Avec dSx1 = nx1 dS
dSx2 = nx2 dS
dSx3 = nx3 dS
( nx1 , nx2 , nx3 ) sont les cosinus directeurs des angles formés par n
et les axes (
x1 , x2 , x3 )
Soit 0nnnT332211
xxxxxx
Ceci peut s’écrire dans la notation indicielle 0nT iii
Rappel
La notation indicielle est une convention, elle permet d’universaliser l’écriture
des équations, de simplifier et faciliter les calculs.
- dans le cas où x
s’exerce du côté des x > 0
(+
: appelée compression)
- dans le cas où x
s’exerce du côté des x < 0
(-
: appelée traction)
x
-
15
-- L’indice muet : c’est lorsque l’indice est répété deux fois dans un monôme, ce
monôme en fait est remplacé par la somme de tous les termes en donnant à
l’indice les valeurs 1, 2, 3
kkjj
3
1iii332211ii BABABABABABABA
-- L’indice franc : c’est lorsque l’indice ne peut apparaître qu’une seule fois dans
le monôme
jiji CBA 3132121111 CACACAA
3232221212 CACACAA
3332321313 CACACAA
On peut vérifier que cette relation est vraie quelque soit la position du
tétraèdre par rapport aux coordonnée ( x1 , x2 , x3 ).
Alors 332211
xxxxxx nnnT
22322211131211
xxxxxxxxxxxxxx n)kji(n)kji(
3333231
xxxxxxx n)kji(
D’où les composantes de T suivant )k,j,i,M(
313212111xxxxxxxxxx nnnnnnT3312211111
323222121xxxxxxxxxx nnnnnnT3322221122
333232131xxxxxxxxxx nnnnnnT3332231133
Ou sous la forme
jiji nT ( i ,j )= 1, 2, 3
La composante ij du tenseur de contrainte est représentée par :
i : le numéro de l’axe ou la direction du vecteur
j : le numéro de l’élément de surface considéré
Les composantes T sont des fonctions linéaires des composantes ij .
-
16
Propriétés du tenseur ij
- Les composantes T sont des fonctions linéaires des composantes ij .
- ij = ji
ce qui conduit à un tenseur de contrainte symétrique
333231
232221
3113211211
ij
- Les composantes de même indices : 332211 ,, sont les contraintes
normales
- Les composantes d indices différents : 321312 ,, sont les
contraintes tangentielles.
Ces différentes composantes peuvent être représentées de la manière suivante
x3
x1
x2
21
31
11
13
23
12
32
22
33
1
2 3
-
17
3. EQUATIONS GENERALE DE l’EQUILIBRE
i- Conditions d’équilibre
Un corps est dit en équilibre lorsque l’ensemble des forces appliquées à la
surface équilibre l’ensemble des forces massiques appliquées à ses éléments de
volume.
ii- Equations d’équilibre
Considérons un parallélépipède infiniment petit de la figure ci- contre
Les forces s’exerçant sur cet élément de volume sont :
- les forces massiques agissant sur l’élément de volume (dx1dx2dx3) et dont les
composantes sont : (fx1 (dx1dx2dx3), fx2 (dx1dx2dx3), fx3 (dx1dx2dx3))
- les forces surfaciques ou contraintes (tractions) peuvent déterminés de la
façon suivante :
x3
x1
x2
A
B C
D
F
G
E
M dx2
dx1
dx3
3x
22xx d
33xx d
11xx d
1x
2x
-
18
Sur la face MGEF normale à1
xM
, agit la contrainte 32x dxdx1
et à pour
composantes respectives
32xx
32xx
32xx
32x
dxdx
dxdx
dxdx
dxdx
13
12
11
1
Sur la face parallèle ABCD agit la contrainte
3211
xxxx
3211
xxxx
3211
xxxx
321
xx
dxdx)dxx
(
dxdx)dxx
(
dxdx)dxx
(
dxdx)x
(
13
13
12
12
11
11
1
1
En faisant le bilan des forces surfaciques sur les deux faces parallèles, on
obtient :
3211
xx
3211
xx
3211
xx
dxdxdxx
dxdxdxx
dxdxdxx
13
12
11
Pour les autres forces traversés par 32 xx MetM , on a :
321
2
23
321
2
22
321
2
21
dxdxdxx
xx
dxdxdxx
xx
dxdxdxx
xx
321
3
33
321
3
32
321
3
31
dxdxdxx
xx
dxdxdxx
xx
dxdxdxx
xx
En faisant le bilan de toutes les forces à l’équilibre
-
19
0
ffvolumessurfaces
en remplaçant x1 , x2 , x3 par 1,2,3
On obtient ainsi les équations de l’équilibre d’un milieu continu
1xM 01
3
13
2
12
1
11
f
xxx
2xM 02
3
23
2
22
1
21
f
xxx
3xM 03
3
33
2
32
1
31
f
xxx
iii)-Application à un fluide au repos
a)-les équations de la statique des fluides
Pour un fluide au repos. Seules les forces de pression qui interviennent.
Avec ijij P
P 332211 0231312
et vF
= force de pesanteur par rapport à l’unité de masse
gf
f
f
FF vvi 0
0
3
2
1
D’où 1xo
: 03
13
2
12
1
11
xxx
2xo
: 03
23
2
22
1
21
xxx
3xo
: 03
33
2
32
1
31
g
xxx
-
20
Suivant les 3 axes 1xo
: 01
x
P
2xo
: 02
x
P Equation de la statique des fluides
3xo
: 03
g
x
P g
x
P
3
b- Cas de l’equilibre d’un fluide incompressible dans un champ de pesanteur ( )cte
hoxo
3
gh
P
cteghhP )(
si h =0 Cte = PAtm
AtmPghP Équation de l’hydrostatique
En posant g poids volumique
b)- Fluide compressible en équilibre dans un champ de pesanteur, ),,( zyxf
Nous avons toujours : gz
P
x
P
3
est déterminée à partir de l’équation d’état du fluide considéré
Cas d’un gaz parfait à T = cte
Un gaz parfait PV = nRT nRTm
P
hPPP Atm
-
21
RT
PM
nRT
Pm
gRT
PM
z
P
z
z
P
P
zRT
Mg
P
P
00
)(log 00
zzRT
Mg
P
P
)(
0
0zzRT
Mg
eP
P
)(
0
0
)(zz
RT
Mg
ePzP
, Loi d’évolution de la pression
On peut aussi déterminer la loi d’évolution de la masse volumique
)(
0 0zz
RT
Mg
eRT
MP
4. PROPRIETES LOCALES DU TENSEUR DES CONTRAINTES
Principe de réciprocité ou principe de Cauchy
Soit le vecteur contrainte T de composantes Ti s’exerçant au point M d’un
élément de surface dont la normale a pour cosinus directeurs i . La projection de
T
M S’ S
'T
'
X2
X3
X1
-
22
la contrainte T sur une direction quelconque '
de cosinus directeurs i' aura
pour expression :
33221 ''''' 1 nTnTnTnTT ii
et comme 3132121111 nnnT
3232221212 nnnT
3332321313 nnnT
232322222121131312121111 ''''''' nnnnnnnnnnnnnT ii
333332323131 ''' nnnnnn
)''()''('''' 311313211212333322221111 nnnnnnnnnnnnnnnT ii
)''( 322323 nnnn
On retrouve la même expression pour la quantité T’ini . C’est le principe de
réciprocité ou principe de Cauchy qui s’énonce de la manière suivante :
Si l’on considère deux plans, la projection du vecteur contrainte relatif à l’un deux sur la normale du second ne change pas quand on permute les deux plans, c’est à dire :
nTnT
'' ou iii nTnT ''
Contrainte normale
La contrainte normale est donné par la projection de T sur la normale n
:
nTT n
Tn T
Tt
-
23
et si on veut déterminer Tn par rapport aux composantes du tenseur de
contraintes, il suffit de faire 'nn
dans la relation précédentes (1)
3223311321122333
2222
2111 222 nnnnnnnnnnTnTT iin
Contrainte tangentielle
Elle appartient au plan normal à n qui contient l’aire sur le quelle s’exerce la
contrainte T
nTTTTT nnt
En module
22 2
nt TTT comme 232
2
2
1
2TTTT
22
32
22
12
nt TTTTT
5. DIRECTIONS PRINCIPALES CONTRAINTES NORMALES PRINCIPALES
On appelle directions principales du tenseur des contraintes les directions 'X ,
telles que T et 'X soient colinéaires.
Autrement dit, une direction est principale si, et seulement si pour cette
direction, la contrainte tangentielle est nulle.
Ceci a pour conséquence, qu’il existe au moins un repère orthonormé, dit principal
du tenseur des contraintes dans lequel la matrice représentant ce tenseur est
diagonale.
a) si le repère R est principal, la matrice ji' est de la forme :
3
2
1
000000
'
ji
-
24
Les 3 scalaires 321 ,, sont appelés contraintes normales principales ou
valeurs propres du tenseur des contraintes
- si 321 les directions principales sont les axes du repère principal R
- si 321 les directions principales sont l’axe ox3 et toute direction
issue de O normale à ox3, le tenseur est dit de révolution
- si 321 toute direction issue de O est principale, le tenseur est dit
ophique.
b) si le repère R n’est pas principal
* les contraintes principales 321 ,, (ou valeurs propres) sont calculées à
partir du système.
0det Eji I
Ou en notation indicielle 0det jiji
332313
232212
132111
ji et
100010001
EI
0100010001
det332313
232212
132111
0det332313
232212
132111
On obtient un polynôme en 3
2312232121133332222112
3322113
031222322122312312332
1222311332211
qui peut s’écrire sous la forme :
3 - I 2 + II + III = 0
-
25
Avec 0332211 IIII
ijjijjiiII 212
31223
212113333222211
333231
232221
132111
detdet
jiIII
I , II , III sont appelés : invariants élémentaires attaché au tenseur ji
* Les axes principaux des contraintes principales sont donnés par les
vecteurs propres.
En effet, soit T le vecteur contrainte colinéaire à 'X .
'X Vecteur propre, si (valeur propre) R, tel que
ijji xx ''
Ce système admet pour chaque valeur i une direction principale x’i
Par la suite, les composantes de la contrainteT , dont la normale n’i à pour cosinus
directeurs n’1, n’2, n’3 seront donnée par la relation (dans le repère principal) :
111 'nT 222 'nT 333 'nT
avec 1''' 2322
21 nnn
2121
2
1'n
T
222
2
2
2'n
T
232
3
2
3'n
T
12
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
TTT Ellipsoïde des contraintes
-
26
6. REPRESENTATION DE MOHR
i- Principe de la représentation de Mohr
Le principe de représentation de Mohr est basé fondamentalement sur le
vecteur contrainteT . Il consiste à représenter T dans un plan (Tn , Tt ) (appelé
plan de Mohr ). lié à la facette que nous étudierons.
On oriente le plan tn , , tel que :
tn , = + 2
Connaissant le tenseur de contrainte ij , on se propose de déterminer le domaine
engendré par l’extrémité du vecteur contrainte dans la plan de Mohr lorsque n
subit une rotation.
Cherchons dans le repère principale, les composantes ni du vecteur normal n tel
que (1 , 2 , 3 ) et 321 ',',' xxx soient les contraintes et directions principales.
Si iii xnT '
333222111 ''' xnxnxnT
2323
22
22
21
21
222 nnnTTT tn
Aussi on a 233222
211 nnnnTTn
Avec 12322
21 nnn 1n
T
t
M Tt
Tn
n
Tt
O
Tt
Tn
T
Tn
Plan de Mohr
-
27
On obtient le système d’équation suivant
232
322
22
21
21
22 nnnTT tn
233222
211 nnnTn
2322
211 nnn
Ceci peut se mettre aussi sous la forme :
1111
22
23
22
21
111
23
22
21
n
tn
TTT
n
n
n
La résolution de ce système linéaire non homogène est donné par :
111det
111det
32
23
22
21
32
23
22
22
21
n
n
tn
T
TTT
n
12n , 13n
212331223221
22
332232
2221
nntn TTTTn
312132
2
nnt TTT
Les expressions analogues pour 22n et 23n s’obtiennent en effectuant des
permutations circulaires sur 1, 2, 3
123213
222
nnt TTTn
231321
223
nnt TTTn
Les 3 équations permettent de délimiter le domaine parcouru par le vecteur
contrainte.
Pour faciliter le raisonnement supposons que : 21n , 22n ,
23n sont 0 et 1 2 3
La positivité de 2322
21 ,, nnn fournit les inégalités suivantes
-
28
01 322 nnt TTT
02 132 nnt TTT
03 212 nnt TTT
Ces relations peuvent se mettrent aussi sous la forme :
022
232
2322
nt TT
2
322
322
22
nt TT
* Cette inégalité montre que T est dans le plan de Mohr, extérieur au cercle
centré au point d’abscisse
2
32 et de rayon
2
32
* L’équation (2) montre que T est intérieur au cercle centré au point
2
32
et de rayon
2
32
* L’équation (3) conduit à un résultat analogue à (1) mais cette fois-ci avec 21 ,
Tt
Tn 3
2
1
A B C
(n3 =
0) (n1 =
0)
(n2 =
0)
2
32
2
21
2
31
-
29
Ces résultats montrent que pour l’orientation de la facette considéré,
l’extrémité du vecteur contrainte se trouve à l’extérieur des 2 plus petits
cercles (diamètre 3221 et ) et à l’intérieur du cercle de grand diamètre
(diamètre 31 ), les frontière de ces cercle sont respectivement atteintes pour
n1 = 0 , n2 = 0 , n3 = 0 , les 3 cercle sont appelées cercles principaux ou cercle de
Mohr.
ii. Etat de contrainte plane
Le tenseur ij est dit plan lorsqu’il existe un repère orthonormé ),,,( 321 xxxo ,
dans lequel la matrice ij s’écrit :
00000
1111
1111
ji càd que 0333231
i) Effectuons la représentation de Mohr lorsque n est repéré par un repère
principal )',',',( 321 xxxo
Soit la contrainte plane
2
1
0
0'
ji s’exerçant sur un plan
traversé perpendiculairement par 3ox
Les composants du vecteur contrainte
x’1
t
x’2
T
n
n(1) 1
2
n(2)
x’1
x’2
(2) (1)
-
30
222
111
nT
nTT
2
1
sin
cos
n
nn
2
1
sin
sin
t
tt
On sait aussi que :
222211
22
21 sincos nnnTTn
2cos22
2cos222
2cos1
2
2cos1 221121
nT
2cos21
21
2121 nT
et 2sin2
2sin2
cossinsincos21
21 tTT t
2sin21
12 tT
T
peut s’écrire dans le plan tn
, :
tnT 2sin212cos
21
21
212121
Ces équations montrent que Tdécrit un cercle centré sur l’axe des Tn en I
d’abscisse 2
21 et de rayon
2
21 21
De plus une rotation d’angle nde
correspond à une rotation d’angle 2
sur le cercle.
21 et Sont les extrémités du cercle, on peut vérifier aisément que si :
002 1 tTetnT
02 2 tTetnT
Sur le repère 2
',',', 321
xxxo
-
31
ii) Effectuons la représentation de Mohr lorsque n est repéré par un repère
orthonormé quelconque de base 321 ,,, xxxo
.
Soit l contrainte plane
2221
1211
ji s’exerçant sur un plan traversé
perpendiculairement par 3xo
.
Remarque : par convention, on posera que la contrainte tangentielle exercée sur
la facette 1212 (elle est orientée au sens opposé de 1xo
)
Les composantes du vecteur contrainte Texprimés par rapport 321 ,,, xxxo
x’1
x’2
T
n
M
o
Tt
Tn
2 1 I
T
2
x1
t
x2
n
n(1) 11
1
22
n(2)
x1
x2
(2) (1)
12
21
t(1)
t(2)
-
32
0222121
212111
nnnn
T
Avec 0sincos
2
1
nn
n
0
cossin
t
D’ou sinsinsincoscossincoscos 22211211 nTTn
sinsincossin2coscos 221211 nT
En posant sincos22cos 2
2cos1cos 2
cossin22sin 2
2cos1sin 2
2212112
2cos12sin
2
2cos1
nT
2sin2cos21
21
1222112211 nT
De plus,
cossincossinsinsincos 222211211 tTTt
2sin22
2cos1
2
2cos12sin
222
211211
tT
2cos22
2cos22
2sin21 21211212
1122
2cos2sin21
121122 tT
* calcul des contraintes principales 21 et à partir du tenseur de contrainte
ji
0det0det2221
1211
Eji I
02122211
02122
22112211
0)( 221121222112
-
33
21222211221121222211 444
D’ou 212222112211
1 421
2
212222112211
2 421
2
Donc le cercle considéré est de centre 22
221121
I et de rayon
2122221121
421
2
R
Construction directe
On peut alors construire le cercle de Mohr en connaissant les 2 points
diamétralement opposé 12222111 ,, QetP
-21
2 1 22 I 11
Tt
Tn
2
P
Q
21
-
34
CHAPITRE III ; ETUDE DES PETITES DEFORMATIONS ET DU TENSEUR
DU TAUX DE DEFORMATION
1 –Le tenseur du gradient du vecteur déplacement
Une propriété essentielle du milieu continu, c’est qu’une fois soumis à des
contraintes, les «éléments de volumes subissent des changements de position,
d’orientation et de forme que nous allons préciser.
Considérons dans un référentiel cartésien, la position du point P d’un corps
continu avant et après la déformation (déformation infinitésimal)
Avant la déformation P (x1, x2, x3 )
Après la déformation P’ (x’1, x’2, x’3 )
Le déplacement du point du corps après la déformation est représenté par le
vecteur opopppu ''
qui aura pour composante suivant les 3 axes.
111 ' xxu
222 ' xxu noté aussi iii xxu '
x1
x3
O
p
Q
dx
P’
Q’
dx’
u
u + du
-
35
333 ' xxu
Le vecteur ui est appelé vecteur déplacement (ou déformation). La donnée de u
en fonction des xi détermine complètement la déformation du corps.
De même qu’au cours de la déformation du corps. Les distances entre les points
du corps varient.
Soient deux points infiniment voisins (avant la déformation) P(x1, x2, x3 ) et
Q(x1+dx1, x2+dx2, x3+dx3). Si dxi est le rayon vecteur entre ces deux points
avant la déformation, il devient après la déformation dx’i = dxi+ dui et les
composantes du vecteur PQ sont :
111' dudxdx
222' dudxdx
333' dudxdx
et comme ui dépend des xi càd que ),,( 32111 xxxuu
),,( 32122 xxxuu
),,( 32133 xxxuu
Par conséquent
33
12
2
11
1
11 dx
x
udx
x
udx
x
udu
33
22
2
21
1
22 dx
x
udx
x
udx
x
udu
33
32
2
31
1
31 dx
x
udx
x
udx
x
udu
33
12
2
11
1
11
'1 dxx
udx
x
udx
x
uxddx
33
22
2
21
1
22
'2 dxx
udx
x
udx
x
uxddx
33
32
2
31
1
33
'3 dxx
udx
x
udx
x
uxddx
Ou encore )3,2,1('
jdx
x
uxddx j
j
iii
udPQQP ''
-
36
Aussi on peut écrire : '''' QPPPQQPQ
PQQPPPQQ ''''
PQduPQuQQ '
duPQQP ''
3
3
32
2
31
1
33
3
3
22
2
21
1
22
3
3
12
2
11
1
11
xdx
uxd
x
uxd
x
udu
xdx
uxd
x
uxd
x
udu
xdx
uxd
x
uxd
x
udu
du
3
2
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
dx
dx
dx
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
du
PQGdxGdu
321 ',',' dxdxdx sont les composantes du vecteur ''QP qui peut s’écrire sous la
forme :
duPQQP ''
PQGPQQP '' avec duuQQ '
duPP '
PQGPP '
G désigne le tenseur gradient du vecteur déplacement équivalent à
-
37
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
G PQGdu
3
2
1
3
3
2
2
1
1
dx
dx
dx
x
u
x
u
x
u
du
Remarque
Dans le cas des petites déformations, les termes de la matrice G sont très
petits devant 1.
1i
i
u
u
c à d que la variation de la déformation relative au corps est très petite devant
la variation d’un point du corps au cours de la déformation.
2- Le tenseur du taux de déformation
Le tenseur G peut être décomposé en une somme d’un tenseur symétrique
et d’un tenseur antisymétrique
G
Les deux tenseurs et ont pour coordonnées
i
j
j
iji
i
j
j
iji
x
u
x
uet
x
u
x
u
21
21
c à d que
-
38
333231
232221
131211
3
3
3
2
2
3
3
1
1
3
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
21
21
21
21
21
21
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
ji
0
0
0
021
21
210
21
21
210
12
13
23
3
2
2
3
3
1
1
3
2
3
3
2
2
1
1
2
1
3
3
1
1
2
2
1
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
Par conséquent la formule (1) PQGPPQQ '' se transforme en
PQPQPPQQ ''
Si on considère le vecteur 321 ,, associé à la matrice
On à PQPQ
Avec urot
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
21
21
2
1
1
2
1
3
3
1
3
2
2
3
3
2
1
u est appelé vecteur
d’ou PQPQPPQQ ''
Il en résulte que la transformation Q à Q’ fait intervenir trois caractéristiques :
1- une translation infiniment petite définie par 'PP
2- une rotation infiniment petite (R) définie par le vecteur 321 ,,
-
39
3- une transformation linéaire (D) appelé déformation pure définie par le
tenseur symétrique ji (appelé tenseur du taux de déformation)
333231
232221
131211
ji
si i = j ji est appelé taux de déformation unitaire
si i j ji est appelé taux de déformation angulaire
3- Définitions élémentaires du taux de déformation
Nous allons considérer une déformation autour d’un point O.
Pour cela considérons avant la déformation un trièdre tri rectangulaire, issue du
point 321 ,,, xxxoO tel que OA = dx1 , OB = dx2 , OC = dx3 Après la déformation, il devient 321 ',',',' xxxo
x3
x1
x2
x’3
x’1
x’2
A’
B’
O’
C’
A
B
/2
O
dx1
dx2
dx
3
C
u + du
u
-
40
* On définit la déformation longitudinale unitaire suivant 1ox (l’allongement
unitaire)
1
1
1
111
''
x
u
xd
ud
AO
AOAO
De même pour les composantes
3
333
2
222
x
uet
x
u
* On définit la déformation angulaire des axes 21 oxetox c’est l’angle qui a
notée 221
Ceci par un volume situé dans le plan (x1 , x2 )
Avec 1
21
x
u
2
12
x
u
1
2
2
1
2121 21
x
u
x
u
avec
3
2
2
3
32
1
3
3
1
31 21
21
x
u
x
uet
x
u
x
u
x2
x1 x1
u1
x1
x2
u2
u1
x1
x2 2
1
-
41
Remarque
* La déformation longitudinale sera considérée comme positive, s’il y a
allongement dans la direction considérée.
* La déformation angulaire est considérée comme positive, s’il y a
diminution de l’angle droit.
-
42
CHAPITRE IV- LES RELATIONS FONDAMENTALES DE LA DYNAMIQUE
(LES EQUATIONS DE CONSERVATION)
1- Rappels mathématiques
Théorème de la divergence
Ce théorème permet de transformer une intégrale de volume en une intégrale de
surface.
Soient S la surface fermée entourant le domaine V. )( MA un vecteur défini
dans V et sur S et n le vecteur normal à dS
Le théorème s’écrit :
dSAdSnAdVAdivS
nSV
Flux du vecteur A sortant par la surface S
3
2
1
3
2
1
n
n
n
n
A
A
A
Asi
Cette formule peut s’écrire sous la forme :
SdnAnAnAVdx
A
x
A
x
A
SV
332211
3
3
2
2
1
1
Qui peut s’écrire
skyOstrogradodformuleSdnAVdx
AS iiV
i
i '1
* si f est une fonction scalaire
GaussdeformuleSdnfVdfgradSV
V
S
M
dS
A
n
A n
-
43
* Formule du rotationnel
SdAnVdArotSV
* Formule de Stokes
Elle permet de transformer une intégrale de surface en une intégrale
curviligne.
En effet, si on considère une surface S limitée par une courbe fermée C, sur
laquelle, on fixe un sens de circulation
ldASdArotnCS le travail (circulaire) de A le long de la courbe
fermée
= au flux de son rotationnel qui s’appuie sur
cette
courbe.
2. la dérivée particulaire
Soit une fonction ),( tMf définie dans le repère 321 ,, oxoxox lorsqu’on suit le point M dans son mouvement la fonction ),( tMf est une fonction )( tg de la
seule variable t .
Par définition, on nomme dérivée particulaire (ou dérivée matérielle), la quantité
td
fd
En effet, si ),,,(),( 321 txxxftMf
S
C
A
n
-
44
td
xd
x
f
td
xd
x
f
td
xd
x
f
t
f
td
fd 3
3
2
2
1
1
En posant td
xdu ii
3
3
2
2
1
1x
fu
x
fu
x
fu
t
f
td
fd
Qui peut s’écrire aussi sous la forme
i
ix
fu
t
ffgradu
t
f
td
fd
* la dérivée particulaire d’une fonction vectorielle ),( tMA , lorsqu’on suit M dans
son déplacement
j
i
j
i
x
Au
t
AAgradu
t
A
td
Ad
)(
terme local terme convectif
3
3
2
2
1
1x
ux
ux
ugradu
Si le vecteur A
est égal au vecteur vitesse U
uutrou
dgrat
uudgrau
t
u
dt
ud
)(
2).(
2
Accélération Accélération locale Accélération convective
* Dérivée particulaire d’une intégrale de volume (théorème de transport)
-
45
Soit une intégrale de volume définie par :
V
dVtMfI ),(
La dérivée particulaire de I donne :
V
dVUdivfdt
df
dt
dI).(
V
dVfdgraUUdivfdt
df
dt
dI)..(
V
dVUdivft
f
dt
dI).(
Et d’après le théorème de la divergence
V S
dSnUfdVt
f
dt
dI...
Si I est une quantité vectorielle
V
dVAI .
V S
nii
V S
dSUAdVt
AdSnUAdV
t
A
dt
Id.....
V S
n dSUAdVt
A
dt
Id..
Remarque :
Si : f = 1 VdVIV
volume dans le domaine D
S
n dSUdt
dI.0 Débit volumique sortant de S
-
46
Le lemme fondamental
Soit f (M) une fonction continue dans un domaine D.
Si on a : D
dVMf 0)(
Alors pour D la fonction f (M) = 0
Ce lemme peut être aussi utilisé sous la forme :
Si dVMgdVMfD D
)()( alors f (M) = g (M)
3- Les Equations de conservation
i- Equation de conservation de la masse ou équation de continuité
Soit un volume V d’un milieu continu que l’on suit dans son mouvement et dont la
masse V
dVM .
Étant donné qu’il n’y a ni source ni puit, M reste constante lors de son
déplacement.
La dérivée particulaire 0. V
dVdt
d
dt
dM
D’après le théorème de la dérivée particulaire d’une intégrale de volume
0... VVV
dVUdivdVdt
ddV
dt
d
0).( V
dVUdivdt
d
Etant donné que V est arbitraire (lemme fondamental)
-
47
0. Udivdt
d
Equation de Continuité
Si le milieu est incompressible cte alors :
03
3
2
2
1
1
x
u
x
u
x
uudiv
Application à un écoulement d’un fluide permanent
Il à rappeler que le débit massique à travers une surface S :
- le débit : c’est la quantité de fluide par unité de temps
- le débit volumique : surface x vitesse
- le débit massique : masse volumique x débit volumique VS
Lorsque la vitesse n’est pas constante à travers la section.
vmS
nv QQsdvQ
Si on applique la conservation de la masse de l’écoulement permanent d’un fluide
à travers une conduite
La conservation de la masse s’écrit pour le cas d’un écoulement permanent
222111 uSuS
Pour le cas d’un fluide incompressible
2211 uSuS
S
1
S2
U1 U2
-
48
ii- Théorème de Quantité de Mouvement
Soit un domaine D de volume V et d surface S en mouvement
L’équation de conservation de quantité de mouvement est donnée par le
théorème de quantité de mouvement
][][
][ extFdt
KdA
Par définition, les éléments de réduction au point M pour chaque torseur
D
D
dVuMOK
dVuK
K
.)(
..
][0
D
D
dVMO
dV
A..)(
..
][0
D D
vext
D S
vext
extdSTMOdVFMOF
dSTdVFF
F)()..()(
...
][0
T
V
dS
D
M
dV
dVFv..
-
49
Cette égalité entre es torseurs se traduit par 2 égalités vectorielles
SV
v
V
dSTdVFdVudt
d.....
vF Force de volume unité de masse
Ceci peut s’écrire sous la forme :
S
i
V
v
V
i dSTdVFdVudt
di
.....
Le vecteur contrainte : jiji nT .
S
jij
V
v
V
i dSndVFdVudt
di
......
D’après le théorème de la divergence
S
jij
V j
ijdSndV
x..
V j
ij
V
v
V
i dVx
dVFdVudt
di
.....
De même
S
ni
V
i
V
i dSuudVt
udVu
dt
d....
).(..
V i
ii
V
i dVx
uudV
dt
ud....
).(
dVx
uudV
dt
dudV
dt
du
V V i
ii
i
V
i .......
V i
ii
V
i
V
i dVx
u
dt
dudV
dt
dudVu
dt
d).(....
= 0
-
50
V j
ij
V
v
V
i dVx
dVFdVdt
dui
.....
V est un volume arbitraire
D’où l’équation du mouvement du corps continu
A l’équilibre
0dt
dui
On retrouve 0
i
j
ijf
x
avec :
iviFf .
iii- Equation de conservation de l’énergie
Rappelons le théorème de l’énergie cinétique
j
ijv
i
xF
dt
dui
..
int exC
dt
dE
Puissance des forces extérieures
Puissance des forces intérieures
-
51
Si on reprend l’équation du mouvement
j
ijv
i
xF
dt
dui
..
Si on multiplie les 2 membres par iu
j
ijivi
ii
xuFu
dt
duu
i
.....
j
iij
j
ijivi
x
u
x
uFu
u
dt
di
.
).(..)
2(.
2
Considérons un domaine D de volume V et de surface S
dVx
udV
x
udVFudV
u
dt
d
j
iij
j
ijivi i
.
).(...).
2(.
2
Intégrons cette équation dans le domaine D de volume V
V j
iij
V j
iji
V
vi
V
dVx
udV
x
udVFudV
u
dt
di
.).(
...).2
(.2
V j
iij
S
jiji
V
vi
V
dVx
udSnudVFudV
u
dt
di
.......2
2
CE Forces de volumes Forces de surfaces
Puissance des forces extérieures Puissance des forces intérieures
-
52
Cette équation peut s’écrire sous la forme
int exC
dt
dE
Avec
S
jiji
V
viext dSnudVFu i......
V j
iij dV
x
u.int
* Maintenant énonçons le premier principe de la thermodynamique dans le cas
général :
Avec : CEUE
U : Énergie interne du système
CE : Énergie cinétique
dt
dQ Chaleur reçue par contact (à travers S) + chaleur reçue à distance (à
travers V)
dt
dQ
dt
dEex
E : énergie totale Puissance des forces extérieures Puissance thermique
(Taux de chaleur reçue par le système)
e : Énergie interne massique
V
dVeU ..
-
53
VS
dVrdSq ... r : taux de chaleur massique
q : taux de chaleur à travers dS
VS
dVrdSnq ....
nTdgraKnqq
... (Loi de Fourier)
VS
extC dVrdSnq
dt
dE
dt
dU....
Comme int exC
dt
dE
VS
dVrdSnqdt
dU....int
int...... VSV
dVrdSnqdVedt
d
V j
iij
VV i
i
V
dVx
udVrdV
x
qdV
dt
de.....
Le volume est arbitraire
Équation de conservation de l’énergie
j
iij
i
i
x
ur
x
q
dt
de
...
-
54
CHAPITRE V : APPLICATION AUX ECOULEMENTS DES FLUIDES
PARFAITS
1- Dynamique des fluides parfaits
1.2. Introduction
La dynamique des fluides parfaits concerne, le mouvement des fluides non
visqueux
1.3 – les équations d’Euler
En mouvement, les forces agissant sur la particule d’un fluide parfait sont :
- les forces de volume : exemple, la gravité
- les forces de surfaces : exemple, la pression
- les forces d’inertie : proportionnelles à l’accélération et au volume.
Cet ensemble de forces satisfait la loi de Newton :
mF
En statique 0 donc 0 F . En raisonnant sur un élément de volume
parallélépipédique on avait trouvé comme équations régissant l’équilibre :
jijiij
jipavecvF
x
0
Donnant : 011
vF
x
p
022
vF
x
p
033
vF
x
p
En dynamique des fluides 0 . Donc à partir des équations précédentes, au
second membre, on ajoute le terme m .
Ce qui donne :
-
55
321 dxdxdxmavecmF
11
1
VF
x
p
22
2
VF
x
p
33
3
VF
x
p
Ceci peut s’écrire sous la forme vectorielle :
EulerdéquationpgradFtd
udV '
1
Ces équations sont valables pour un fluide non visqueux, compressible ou incompressible.
1.2.Autre forme des équations d’Euler
Soit le champ de vitesse U , tel que :
td
ud
td
ud
td
ud
td
Udavec
u
u
u
U
3
2
1
3
2
1
On obtient ainsi la formule classique des équations d’Euler, valable pour un fluide
parfait :
13
1
3
2
1
2
1
1
1
1 11 x
pF
x
uu
x
uu
x
uu
td
udV
23
2
3
2
2
2
1
2
1
2 12 x
pF
x
uu
x
uu
x
uu
td
udV
33
3
3
2
3
2
1
3
1
3 13 x
pF
x
uu
x
uu
x
uu
td
udV
-
56
1.3- La relation de Bernouilli
Soit l’équation du mouvement permanent d’un fluide parfait.
pgradFtd
udV
Cette équation peut se mettre sous la forme suivante :
pgradFuurotu
gradt
u
td
udV
2
2
Hypothèses
- Pour un écoulement permanent 0
t
u
- Pour un écoulement irrotationnel 0urot
- Si VF dérive de la force de pesanteur ghgradFV
- Si cte
pgradhggradu
grad 2
2
0)2
(2
phg
ugrad
ctep
hgu
2
2
Equation de Bernouilli
1.4- Interprétation Energétique
L’équation de Bernouilli est une forme particulière du théorème de la
conservation de l’énergie appliqué à l’unité de poids de l’écoulement d’un fluide
non visqueux.
ctehg
p
g
u
2
2
1
énergie cinétique énergie de pression énergie potentiel
par unité de poids par unité de poids par unité de poids
-
57
l’énergie par unité de poids est l’équivalent dimensionnel d’une hauteur définit
par hg
p
g
u
2
2
qui est appelée la charge totale.
1.5- Interprétation graphique
Sur un plan représentant le tube de courant considéré, on porte verticalement
les quantités hg
p
g
u,,
2
2
h : côte du point considéré
h P : côte due à la pression
h t : charge totale
:hg
p
Hauteur piezomètrique
1.6.Application du théorème de Bernouilli
Pour appliquer le théorème de Bernouilli, il faut :
- Définir la nature de l’écoulement (permanent, non permanent, rotationnel ou
irrotationnel, visqueux, non visqueux)
- Fixer judicieusement les points amont et aval du tube de courant pour
lesquels on applique le théorème
- Fixer un plan horizontal de référence
a- Formule de Torricelli
ht
h
g
ph p
g
uhV
2
2
tube de courant
ligne piezomètrique
ligne de charge
Plan de référence
-
58
Un grand réservoir contient un fluide qu’il laisse échapper par un orifice étroit
de section S. On se propose de calculer le débit du fluide qui s’écoule.
S section de l’orifice
ω section contracté
1CS
C : coefficient de contraction
L’expérience montre que les lignes de courant sont parallèles et rectilignes à la
sortie de la section contractée
- Donc on considère l’écoulement irrotationnel
- On choisit un plan de référence passant par l’orifice B
- le point A sur la surface libre, le point B après l’orifice
Donc Bernouilli, va s’appliquer entre un point A quelconque de la surface libre et
un point quelconque B de la surface contractée.
BBB
AAA h
g
p
g
Vh
g
p
g
V
22
22
Au point A 0AV grand réservoir
AtmA pp
hhA
Au point B 0Bh référence
AtmB pp dans l’orifice 03
x
p
D’ou 02
02
g
p
g
Vh
g
p AtmBAtm
ω
ω
B
S
h
A
-
59
et hgVhgV BB 222
D’ou le débit Qv (m3/s) hgscVB 2
b- le tube de Pitot
C’est un appareil qui obéit au principe de Bernouilli et qui permet de mesurer les
vitesses d’écoulement en un point.
Si le tube de Pitot est placé dans un écoulement parallèle et uniforme, Bernouilli
donne entre A et B :
BBB
AAA h
g
p
g
Vh
g
p
g
V
22
22
Au point A 0AV (Point d’arrêt)
0Ah (Référence)
Au point B VVA (écoulement uniforme)
0Bh 0 BB hh
02
2
g
p
g
V
g
p BA
D’ou fluide
Hg
fluide
BABAhgpp
Vg
pp
g
V
2)(2
2
2
B
h
Bp
Ap
A U
-
60
c- Tube de venturi
C’est une tuyaurie convergente - divergente qu’on intercale dans une conduite de
section S1 dont on veut déterminer le débit
Avec la section S1 et S2, Bernouilli s’écrit :
22
2
21
1
2
1
22h
g
p
g
uh
g
p
g
u
21 hh Référence
g
p
g
u
g
p
g
u
2
2
21
2
1
22
Avec la continuité 2211 uSuS (fluide incompressible)
)1(22 2
2
2
1
2
2
2
1
2
221
u
u
g
u
g
uu
g
p
g
p
)1(2 2
1
2
2
2
221
S
S
g
u
g
pp
D’ou g
pp
S
S
gu
21
2
1
2
2
2
1
2
La différence g
pp
21 se détermine à l’aide de deux tubes piézometriques où à
l’aide d’un manomètre différentiel relié à deux prises de pression statique.
S1 U1 S2 U2
①
②
P1
P2
h
-
61
D’ou le débit dans la conduite
22
3 )/( SusmQV
1.7- Généralisation de l’équation de Bernouilli
i) Cas des fluides réels (fluides visqueux)
Pour un fluide réel, l’écoulement s’effectue avec frottement, et par conséquent
l’effet de viscosité provoque une perte d’énergie le long de l’écoulement et le
bilan énergique par unité de poids n’est plus constant.
On dit qu’il se produit une perte de charge. Ainsi entre deux points A et B de
l’écoulement, on aura :
Hhg
P
g
uh
g
P
g
uB
BB
AAA
22
22
H : Perte de charge entre les ponts A et B
-
62
Chapitre VI : Application aux écoulements des fluides visqueux
1- Dynamique des fluides visqueux
Nous avons déjà vu qu’un milieu continu en mouvement est caractérisé par
l’équation de conservation de quantité de mouvement :
j
ijv
i
xF
dt
dui
..
Si on considère la loi de comportement du fluide visqueux est celle d’un fluide
Newtonien :
ijijij P avec ijkkijij ...2
ijkkijijij P ..2
Ou sous forme matricielle
EijijEij ItrIP ..2.
On aura donc les composantes suivantes :
* Pour i = j 1ij
1111 P )(..23
3
2
2
1
1
1
1
x
u
x
u
x
u
x
uP
2222 P )(..23
3
2
2
1
1
2
2
x
u
x
u
x
u
x
uP
3333 P )(..23
3
2
2
1
1
3
3
x
u
x
u
x
u
x
uP
* Pour ji 0ij
122112 )..(1
2
2
1
x
u
x
u
-
63
133113 )..(3
1
1
3
x
u
x
u
322332 )..(2
3
3
2
x
u
x
u
Si on revient à l’expression ij celle-ci peut s’écrire sous la forme :
ijij P . ijk
k
i
j
j
i
x
u
x
u
x
u ..)(
Avec )(2
1
i
j
j
iij
x
u
x
u
et uudiv
x
ukk
k
k .
Si on reprend l’équation du mouvement
j
ijv
j
ij
ii
xF
x
uu
t
u
dt
dui
.).(.
).())((.).( ijk
k
ji
j
j
i
jiv
j
ij
i
x
u
xx
u
x
u
xx
PF
x
uu
t
ui
Supposons que et sont constantes
)(.)(.)(..).(k
k
ii
j
jj
i
jiv
j
ij
i
x
u
xx
u
xx
u
xx
PF
x
uu
t
ui
En posant )().()( udivx
uxx
u
x iij
j
i
)(.)(...).(k
k
ij
j
iiv
j
ij
i
x
u
xx
u
xu
x
PF
x
uu
t
ui
).()(..).( ux
ux
PF
x
uu
t
u
iiv
j
ij
ii
Sous forme vectorielle :
-
64
).()(..)..( udivdgrauPdgraFuut
uv
Pour le cas d’u fluide incompressible cte 0udiv
On obtient les équations de Navier – Stokes
uPdgraFuut
uv
..)..(
Projetée suivant les 3 axes 321 ,, xoxoxo
)(.23
12
22
12
21
12
1
11
x
u
x
u
x
u
x
PF
dt
duv
)(.23
22
22
22
21
22
2
22
x
u
x
u
x
u
x
PF
dt
duv
)(.23
32
22
32
21
32
3
33
x
u
x
u
x
u
x
PF
dt
duv
2– Equation de conservation de l’énergie
La relation donnée par la mécanique des milieux continus
j
iij
i
i
x
ur
x
q
dt
de
..
Avec e : énergie interne par unité de masse
q : taux de chaleur passant à travers dS
r : terme source
D’après la loi de Fourier i
ix
Tkq
.
iq : flux de chaleur
-
65
k : la conductivité thermique
et d’après la loi de comportement
ijijij P
j
iij
ii x
uPr
x
Tk
xdt
de
)(.)(. ij
j
i
i
i
ii x
u
x
uPr
x
Tk
xdt
de
.)(. ij
Posons .r le terme source
i
iij
x
u
Dissipation visqueuse par frottement
Equation de l’énergie écrite autrement
* en fonction de l’enthalpie
On sait que :
Peh h : enthalpie par unité de masse
L’équation de continuité
0.
i
i
x
u
dt
dudiv
dt
d
)1
(1
dt
d
dt
d
x
u
i
i
)1
(
dt
dP
x
uP
i
i
i
i
ii x
uP
x
Tk
xdt
de)(.
-
66
)
1(..)(.
dt
dP
x
Tk
xdt
de
ii
Sachant que
Peh
)1
(1
)( dt
dP
dt
dP
dt
dep
dt
d
dt
de
dt
dh
)(.
ii x
Tk
xdt
dP
dt
dh
* en fonction de l’entropie
Comme m
PdVTdSde avec S : entropie par unité de masse
dVm
PTdSde
VdPPdVPVd )(
dPPd
dPm
VPVd
mm
dVP
)(
)(1
D’où
dPPdTdsde )(
)(
Pddedh
)()(
Pd
dPPdTdsdh
dPTdsdh
-
67
dt
dP
dt
dsT
dt
dh ..
)(
ii x
TK
xdt
dST
* en fonction de la capacité calorifique à pression constante
h est fonction d’état en particulier, on peut l’exprimer en fonction des variables
(P,T)
dTT
hdP
P
hdh PT )()(
Avec pP CT
h
)( et ).1(
1)( T
P
hT
: Coefficient de dilatation cubique
pT
)(1
Pour le cas des gaz parfaits T
1
Par conséquent dPTdTCdh p ).1(1
D’où dt
dPT
dt
dTC
dt
dhp ).1(
1
)(
ii x
TK
xdt
dP
dt
dh
)(....
iip
x
TK
xdt
dP
dt
dPT
dt
dP
dt
dTC
-
68
)(....
iip
x
TK
xdt
dPT
dt
dTC
Si : cte 0
3.- Résumé : Formulation mathématique des problèmes de Mécanique des
fluides (Ecoulement Laminaire)
Les grandeurs locales et instantanées que l’on cherche à calculer sont en général
au nombre de six P, , T, iu . Elles sont liées par 6 équations couplées, qui
expriment pour un fluide visqueux Newtonien :
- l’équilibre local du fluide (équation d’état)
- la conservation de la masse
- la loi fondamentale de la dynamique
- la loi de conservation de l’énergie
Dans le cas d’un fluide de viscosité et de conductivité thermique constante, nous
avons :
En général vF
et sont données par la nature du problème et est la
dissipation visqueuse.
Equation d’état 0),,( TPf
Continuité 0. udiv
dt
d
Mouvement ).()(.. udivdgrauPdgraF
dt
udv
Energie TK
dt
dPT
dt
dTCp
2.....
-
69
Pour le cas d’un fluide incompressible, le système se découple en 3 équations :
Si le fluide est supposé parfait (non conducteur de chaleur et non visqueux) et
non chauffé ( 0 ) et si le fluide se comporte comme un gaz parfait,les
équations s’écrivent :
Equation d’état : M
RTP
Continuité : 0. udivdt
d
Mouvement : PdgraFdt
udv
.
Energie : 0.... dt
dPT
dt
dTCp
4- Quelques solutions analytiques des équations de Navier – stokes
4.1-Ecoulement Laminaire entre 2 plaques parallèles
Continuité 0udiv
cte
Navier - Stokes uPdgraF
dt
udv
..
Energie TK
dt
dTCp
2...
1x
2x
3x
h fluide
-
70
Hypothèses
1- cte , fluide incompressible
2- Les plaques parallèles s’étendent à l’infini suivant la direction 0,3
3
xx
3- Ecoulement laminaire unidimensionnel, 032 uu
4- Ecoulement permanent, 0
t
5- Fluide non pesant, 0vF
6- On néglige 0
Continuité : 03
3
2
2
1
1
x
u
x
u
x
u
01
1
x
u ),( 321 xxfu )( 21 xfu
L’équation de Navier – Stokes
Suivant la direction 1xo
:
)()(3
12
2
12
21
12
13
13
2
12
1
11
1
x
u
x
u
x
u
x
P
x
uu
x
uu
x
uu
t
u
02
12
1
x
u
x
P (1)
Suivant la direction 2xo
02
x
P
Suivant la direction 3xo
03
x
P
-
71
Donc d’après les équations de conservation
)(
)(
211
1
xuu
xPP
(1) 12
12 1
x
P
x
u
Axx
P
x
u
2
12
1 1
BxAx
x
Pxu
2
22
121 .
2
1)(
4.2- Ecoulement Plan de Couette
Hypothèses :
- Plaque supérieure en mouvement de translation (U)
- Plaque inférieure fixe
Rappel de l’équation du mouvement entre 2 plaque parallèles
BxAx
dx
dPxu 2
22
121 .
2
1)(
Les conditions aux limites
1x
2x
h
U
-
72
Si : 02 x 01 u 0B
hx 2 Uu 1 hAh
dx
dPU .
2
1 2
1
Pour le cas de l’écoulement de Couette, on considère 01
dx
dP (l’écoulement est
provoqué par le mouvement de la plaque supérieure), h
UA
D’où le profil de vitesse 221 )( xh
Uxu
4.3- Ecoulement Plan de Poiseuille
Hypothèses :
- 2 plaques sont au repos
1x
2x
1x
2x
h
-
73
- Ecoulement engendré par 1dx
dP
L’équation de base
BxAxdx
dPu 2
22
11 .
.2
1
Les conditions aux limites
Si : 02 x 01 u 0B
hx 2 01 u 0..2
10 2
1
hAhdx
dP
hdx
dPA
1.2
1
D’où le profil de vitesse
).(.2
12
22
11 xhx
dx
dPu
La vitesse est maximale pour 02
1 dx
du 0).2(
.2
12
12
1 hxdx
dP
dx
du
max1 Uu Pour : 2
2h
x
)24
(.2
1 22
1max
hh
dx
dPU
1x
2x
h maxU
-
74
1
2max
.8
1
dx
dPhU
Avec : 0
1
dx
dP la pression décroît dans le sens de
l’écoulement.
D’où :