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DC25 Solides déformables / RDM Partie 2 : Sollicitation de flexion F.Poulet JC Rolin 01/2021 1 TSI2 Lycée G.Eiffel, Dijon Flexion SOMMAIRE 1. Mise en situation de sollicitations de flexion ............................................................................................................... 1 2. Allures du torseur de cohésion.................................................................................................................................... 2 2.1 Flexion plane ...................................................................................................................................................... 2 2.2 Flexion simple .................................................................................................................................................... 2 2.3 Flexion pure........................................................................................................................................................ 3 3. Déformation d’une poutre ........................................................................................................................................... 3 3.1 Principe de la déformée ..................................................................................................................................... 3 3.2 Paramètres influents .......................................................................................................................................... 4 3.3 Expression du moment quadratique ................................................................................................................... 4 3.3.1. Mise en situation......................................................................................................................................... 4 3.3.2. Définition .................................................................................................................................................... 4 3.3.3. Moments quadratiques de sections courantes ........................................................................................... 5 3.3.4. Extrait de catalogue de poutres métalliques ............................................................................................... 6 3.4 Conditions aux limites de la déformée ................................................................................................................ 6 3.5 Équation de la déformée d’une poutre soumise à une sollicitation de flexion .................................................... 6 3.6 Formulaire de flèches pour des cas usuels ..................................................................................................... 7 4. Contraintes au sein d’une poutre en flexion ................................................................................................................ 8 4.1 Objectif général du calcul des contraintes .......................................................................................................... 8 4.2 Répartition des contraintes en flexion ................................................................................................................ 8 4.3 Contrainte normale maximale .............................................................................................................. 8 5. Dimensionnement d’une poutre en flexion .................................................................................................................. 9 5.1 Condition de résistance ...................................................................................................................................... 9 5.2 Concentration de contraintes.............................................................................................................................. 9 6. Application .................................................................................................................................................................. 9 1. MISE EN SITUATION DE SOLLICITATIONS DE FLEXION Les sollicitations en flexion sont très fréquentes dans les mécanismes ou dans la structure des bâtiments. Quel que soit le contexte, les contraintes dues aux actions mécaniques induisent un dimensionnement, des choix de matériaux et des procédés de fabrication rigoureux pour respecter les critères de performance et de sécurité. Porte à faux de 40m sur structure du musée CeReM, Marseille Flexion des pales de l’hélicoptère Mil Mi-26 russe, rotor arrêté

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DC25 Solides déformables / RDM Partie 2 : Sollicitation de flexion

F.Poulet JC Rolin 01/2021 1 TSI2 Lycée G.Eiffel, Dijon

Flexion SOMMAIRE 1. Mise en situation de sollicitations de flexion ............................................................................................................... 1 2. Allures du torseur de cohésion.................................................................................................................................... 2

2.1 Flexion plane ...................................................................................................................................................... 2 2.2 Flexion simple .................................................................................................................................................... 2 2.3 Flexion pure........................................................................................................................................................ 3

3. Déformation d’une poutre ........................................................................................................................................... 3 3.1 Principe de la déformée ..................................................................................................................................... 3 3.2 Paramètres influents .......................................................................................................................................... 4 3.3 Expression du moment quadratique ................................................................................................................... 4

3.3.1. Mise en situation......................................................................................................................................... 4

3.3.2. Définition .................................................................................................................................................... 4

3.3.3. Moments quadratiques de sections courantes ........................................................................................... 5

3.3.4. Extrait de catalogue de poutres métalliques ............................................................................................... 6

3.4 Conditions aux limites de la déformée ................................................................................................................ 6 3.5 Équation de la déformée d’une poutre soumise à une sollicitation de flexion .................................................... 6 3.6 Formulaire de flèches 𝒇 pour des cas usuels ..................................................................................................... 7

4. Contraintes au sein d’une poutre en flexion ................................................................................................................ 8 4.1 Objectif général du calcul des contraintes .......................................................................................................... 8 4.2 Répartition des contraintes en flexion ................................................................................................................ 8 4.3 Contrainte normale maximale 𝝈𝒙 𝒎𝒂𝒙𝒊.............................................................................................................. 8

5. Dimensionnement d’une poutre en flexion .................................................................................................................. 9 5.1 Condition de résistance ...................................................................................................................................... 9 5.2 Concentration de contraintes.............................................................................................................................. 9

6. Application .................................................................................................................................................................. 9

1. MISE EN SITUATION DE SOLLICITATIONS DE FLEXION

Les sollicitations en flexion sont très fréquentes dans les mécanismes ou dans la structure des bâtiments. Quel que soit le contexte, les contraintes dues aux actions mécaniques induisent un dimensionnement, des choix de matériaux et des procédés de fabrication rigoureux pour respecter les critères de performance et de sécurité.

Porte à faux de 40m sur structure du musée CeReM, Marseille

Flexion des pales de l’hélicoptère Mil Mi-26

russe, rotor arrêté

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2. ALLURES DU TORSEUR DE COHESION

2.1 Flexion plane

Une poutre est soumise à de la flexion plane si :

les actions mécaniques extérieures à la poutre sont composées de forces coplanaires et de couples perpendiculaires au plan que forment les forces extérieures ;

le plan que forment les forces extérieures est un plan de symétrie de la poutre.

Flexion plane :

Le torseur de cohésion est réduit en tout point G (centre de la coupure fictive) du tronçon à :

{𝑻𝒄𝒐𝒉} = {

𝑵 𝟎𝑻𝒚 𝟎

𝟎 𝑴𝒇𝒛

}

𝑮

𝑩𝑳

Exemples de modèles simples de poutres soumises à de la flexion plane :

2.2 Flexion simple

On distingue la flexion simple (ou flexion plane simple) de la flexion

plane par l’absence de la composante de l’effort normal 𝑁.

Flexion simple :

Le torseur de cohésion est réduit en tout point G (centre de la coupure fictive) du tronçon à :

{𝑻𝒄𝒐𝒉} = {

𝟎 𝟎𝑻𝒚 𝟎

𝟎 𝑴𝒇𝒛

}

𝑮

𝑩𝑳

Exemples de modèles simples de poutres soumises à de la flexion simple :

Problème de rupture à la fatigue du ressort de tirette d’une montre Audemars Piguet, soumis à une sollicitation régulière de flexion.

Réalité, modèle d’étude et simulation perspectives : vers une modification de forme (géométrie), de matériau et/ou de procédé de fabrication ?

Crédits : B.Rey et A.Hildebrandt, Ansys conférence, Lausanne Sept 2015

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�⃗�0

�⃗�0 �⃗�

A �⃗�0

�⃗�0 𝑓

B C

�⃗�

�⃗�0

�⃗�0

𝑧0

�⃗�0

�⃗�0

𝑧0 �⃗�3

A �⃗�0

�⃗�0 𝑓

B C

�⃗�

�⃗�0

�⃗�0 �⃗�

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Remarque : être vigilant sur le repère global qui est fixé, et sur le repère local mis en place.

si le plan d’étude est (�⃗�0, �⃗�0), alors {𝑇𝑐𝑜ℎ} = {

0 0𝑇𝑦 0

0 𝑀𝑓𝑧

}

𝐺

𝐵𝐿

, avec un moment

de flexion autour de l’axe 𝑧 = 𝑧 0

si le plan d’étude est (�⃗�0, 𝑧0), alors {𝑇𝑐𝑜ℎ} = {

0 00 𝑀𝑓𝑦

𝑇𝑧 0}

𝐺

𝐵𝐿

, avec un moment

de flexion autour de l’axe �⃗� = �⃗�0

2.3 Flexion pure

Un tronçon de poutre est soumis à de la flexion pure si le torseur de cohésion se réduit à une composante sur un des moments de flexion.

Flexion pure :

Le torseur de cohésion est réduit en tout point G (centre de la coupure fictive) du tronçon à :

{𝑻𝒄𝒐𝒉} = {𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑴𝒇𝒛

}

𝑮

𝑩𝑳

Autre exemple d’un modèle simple de poutre soumise en partie à de la flexion pure :

Les tronçons AB et CD sont soumis à de la flexion simple ; le tronçon BC est soumis à de la flexion pure.

Remarque : être vigilant sur le repère global qui est fixé, et sur le repère local mis en place.

si le plan d’étude est (�⃗�0, �⃗�0), alors {𝑇𝑐𝑜ℎ} = {

0 00 00 𝑀𝑓𝑧

}

𝐺

𝐵𝐿

, avec un moment

de flexion autour de l’axe 𝑧 = 𝑧 0

si le plan d’étude est (�⃗�0, 𝑧0), alors {𝑇𝑐𝑜ℎ} = {

0 00 𝑀𝑓𝑦

0 0

}

𝐺

𝐵𝐿

, avec un moment

de flexion autour de l’axe �⃗� = �⃗�0

3. DEFORMATION D’UNE POUTRE

3.1 Principe de la déformée

Dès qu’une poutre est soumise à un chargement, sa ligne moyenne se déplace. Les points A, B, C et D ne sont plus alignés mais ils appartiennent à la déformée.

La déformée est la fonction 𝑦 = 𝑓(𝑥) de la ligne

moyenne d’une poutre sous charge, dans le repère global (𝐴, �⃗�0, �⃗�0).

La déformée maximale se nomme également

« flèche » 𝒚𝒎𝒂𝒙= déformée maximale = flèche.

En un point G quelconque de la déformée, et pour des petits angles 𝜃𝐺 exprimés en radians, la pente

de sa tangente s’écrit : tan 𝜃𝐺 ≈ 𝜃𝐺 =𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥).

Ceci correspond à une linéarisation…

Cet angle correspond au pivotement de la section droite de la poutre (voir hyp. Navier-Bernoulli).

�⃗�0

𝑧0 �⃗�

�⃗�0

�⃗�0 �⃗�

G . 𝑧0

�⃗�0 x

G

�⃗�0

�⃗�0 �⃗⃗⃗�𝑧 G . 𝑧0

�⃗�0

𝑧0 �⃗⃗⃗�𝑦 �⃗�0

x G

𝜃𝐺

𝐺

𝑥

𝑦

Poutre

Tangente en 𝐺

Déformée

A

�⃗�0

�⃗�0

B C

�⃗� �⃗�

D

�⃗�0

�⃗�0 �⃗⃗⃗�𝑧

𝑦𝐴 = 0 𝑦′𝐴 ≠ 0

𝑦′𝐼 = 0 𝑦𝐼 = 𝑓𝑚𝑎𝑥𝑖

𝐼

𝐽

𝑦𝐶 = 0 𝑦′𝐶 ≠ 0

𝑦′𝐷 ≠ 0 𝑦𝐷 = 𝑦2

𝑦′𝐽 = 0

𝑦𝐽 = 𝑦1

Déformée 𝑦 = 𝑓(𝑥)

A �⃗�0

�⃗�0

B

C

D

�⃗�2 �⃗�1

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3.2 Paramètres influents

De manière intuitive, on peut dire que la déformation dépend de la nature :

du matériau de la poutre, car pour une charge identique, une même poutre en bois ou en acier ne va résister et

se déformer de la même manière. Le paramètre qui caractérise ce comportement des matériaux est le module d’élasticité longitudinal « 𝑬 », ou module de Young, en MPa. (Voir Partie 3 : sollicitation de traction/compression) ;

des actions mécaniques présentes sur la poutre (locales, réparties), mais dans le cas de la flexion, on se

limitera à l’impact du Moment fléchissant « 𝑴𝒇 » sur l’allure de la déformée.

On utilisera alors l’expression du torseur de cohésion le long d’une poutre, 𝑴𝒇𝒛ou 𝑴𝒇𝒚, établie dans la

partie 1 du cours de RDM ;

de la géométrie de la poutre, car pour un chargement identique, une masse et une section transversale égales, une poutre creuse se déformera moins qu’une poutre pleine, que sa section soit carrée, circulaire ou rectangulaire.

Ici intervient le moment quadratique, grandeur qui caractérise la géométrie d’une section, et indique la

répartition de la section S(m²) par rapport au carré de la distance (d² en m²) à la ligne moyenne ou à un point.

Ainsi, 𝑰𝑮,�⃗⃗� pour une poutre est le moment quadratique exprimé par rapport à l’axe (𝐺, 𝑧) en m4 ou mm

4.

3.3 Expression du moment quadratique

3.3.1. Mise en situation

Soient 4 poutres sollicitées par une même charge répartie, ayant une masse identique (et même matériau) mais répartie sur des sections rectangulaires de dimensions différentes. Leurs longueurs sont égales.

Cas n°1 : poutre mince posée à plat

Cas n°2 : poutre mince posée sur chant

Cas n°3 : poutre épaisse posée à plat

Cas n°4 : poutre épaisse posée sur chant

Constats intuitifs pour une action mécanique extérieure verticale (axe y):

les poutres posées à plat (cas n°1 et n°3) se déformeront plus et résisteront moins que les poutres posées sur chants (cas n°2 et n°4) ;

la poutre du cas n°2 se déformera moins rt résistera plus que la poutre du cas n°4.

La grandeur qui prend en compte cette caractéristique de rigidité est le moment quadratique de la section de la

poutre par rapport à l’axe de flexion de la poutre : 𝐼𝐺𝑧 dans les cas des 4 poutres précédentes.

Plus la matière est éloignée de l’axe longitudinal de la poutre, et plus le moment quadratique est important. Remarque : le moment quadratique est parfois appelé « moment d’inertie » ; attention cependant à ne pas abuser de cette appellation car la masse de la poutre n’apparaît pas dans l’écriture du moment quadratique.

3.3.2. Définition

Soit un petit élément de surface 𝑑𝑆 appartenant à une section d’aire totale 𝑆,

situé à une distance 𝑦 de l’axe 𝑧 et à une distance 𝑧 de l’axe �⃗�. Le moment quadratique élémentaire de cet élément 𝑑𝑆 par rapport à l’axe (𝐺, 𝑧)

s’écrit 𝐼𝐺,𝑧 , avec 𝒅𝑰𝑮,�⃗⃗� = 𝒚𝟐 · 𝒅𝑺.

Le moment quadratique de toute la section 𝑆 par rapport à (𝐺, 𝑧) s’établit à partir

de l’intégrale sur toute la surface 𝑆 de l’expression précédente, soit :

𝑰𝑮,�⃗⃗� = ∬ 𝒚𝟐 · 𝒅𝑺

𝑺= ∬ 𝒚𝟐 · 𝒅𝒚 𝒅𝒛

𝑺 ( sollicitation de flexion)

De la même manière, le moment quadratique de toute la section 𝑆 par rapport à (𝐺, �⃗�) s’écrit :

𝑰𝑮,�⃗⃗⃗� = ∬ 𝒛𝟐 · 𝒅𝑺

𝑺= ∬ 𝒛𝟐 · 𝒅𝒚 𝒅𝒛

𝑺 ( sollicitation de flexion)

ou ? ou ? ou

�⃗�

�⃗�

𝑧

�⃗�

�⃗�

𝑧

�⃗�

�⃗�

𝑧

�⃗�

�⃗�

𝑧

Petit élément de surface 𝑑𝑆 = 𝑑𝑦 · 𝑑𝑧

Section

d’aire 𝑆

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑧

�⃗�

𝑦

𝑧 𝐺

𝑟

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�⃗�

𝑧 𝐺

𝑐 = 20

Le moment quadratique polaire de 𝑆 par rapport au point 𝐺 s’écrit : 𝐼𝐺 = ∬ 𝑟2 · 𝑑𝑆

𝑆 ; et comme 𝑟2 = 𝑦2 + 𝑧2, alors :

𝑰𝑮 = 𝑰𝑮,�⃗⃗⃗� + 𝑰𝑮,�⃗⃗� ( sollicitation de torsion)

Remarque : la mise en application de ces relations n’est théoriquement pas au programme de TSI mais rien n’exclut une réflexion sur ces écritures dans l’épreuve de modélisation…

3.3.3. Moments quadratiques de sections courantes

Section de poutre rectangulaire pleine (si section carrée, 𝒉 = 𝒃)

Moment quadratique 𝐼𝐺,𝑧 : 𝐼𝐺,𝑧 = ∬ 𝑦2 · 𝑑𝑆

𝑆= ∬ 𝑦2 · 𝑑𝑦 𝑑𝑧

𝑆

D’où : 𝐼𝐺,𝑧 = ∫ 𝑑𝑧𝑏

2

−𝑏

2

∫ 𝑦2 · 𝑑𝑦ℎ

2

−ℎ

2

= [𝑧]−

𝑏

2

𝑏

2 · [𝑦3

3]

−ℎ

2

2= 𝑏 ·

1

3· (

ℎ3

8+

ℎ3

8)

Donc 𝑰𝑮,�⃗⃗� =𝒃·𝒉𝟑

𝟏𝟐

Moment quadratique 𝐼𝐺,�⃗⃗� : 𝐼𝐺,�⃗⃗� = ∬ 𝑧2 · 𝑑𝑆

𝑆= ∬ 𝑧2 · 𝑑𝑦 𝑑𝑧

𝑆

D’où : 𝐼𝐺,�⃗⃗� = ∫ 𝑧2 · 𝑑𝑧𝑏

2

−𝑏

2

∫ 𝑑𝑦ℎ

2

−ℎ

2

= [𝑧3

3]

−𝑏

2

𝑏

2· [𝑦]

−ℎ

2

2 = ℎ ·1

3· (

𝑏3

8+

𝑏3

8)

Donc 𝑰𝑮,�⃗⃗⃗� =𝒉·𝒃𝟑

𝟏𝟐

Moment quadratique polaire ( sollicitation torsion) 𝑰𝑮 :

𝑰𝑮 = 𝑰𝑮,�⃗⃗⃗� + 𝑰𝑮,�⃗⃗� =𝒃𝒉 · (𝒃𝟐 + 𝒉𝟐)

𝟏𝟐

Valeurs maximales de 𝐼𝐺,𝑧 et 𝐼𝐺,�⃗⃗� pour 𝑦 =ℎ

2 et pour 𝑧 =

𝑏

2

𝑰𝑮,�⃗⃗� =𝒃 · 𝒉𝟑

𝟏𝟐

𝑰𝑮,�⃗⃗⃗� =𝒉 · 𝒃𝟑

𝟏𝟐

𝑰𝑮 =𝒃𝒉 · (𝒃𝟐 + 𝒉𝟐)

𝟏𝟐

Section de poutre rectangulaire creuse Section de poutre circulaire pleine

𝑰𝑮,�⃗⃗� =(𝒃 · 𝒉𝟑) − (𝒃′ · 𝒉′𝟑

)

𝟏𝟐

𝑰𝑮,�⃗⃗⃗� =(𝒉 · 𝒃𝟑) − (𝒉′ · 𝒃′𝟑)

𝟏𝟐

𝑰𝑮 = 𝑰𝑮,�⃗⃗� + 𝑰𝑮,�⃗⃗⃗�

𝑰𝑮,�⃗⃗� = 𝑰𝑮,�⃗⃗⃗� =𝝅 · 𝒅𝟒

𝟔𝟒

𝑰𝑮 =𝝅 · 𝒅𝟒

𝟑𝟐

Valeurs maximales de 𝐼𝐺, 𝐼𝐺,𝑧 et 𝐼𝐺,�⃗⃗� sur la périphérie de la

section

Application numérique sur une poutre carrée

Calculer les moments quadratiques 𝐼1𝐺,𝑧 et 𝐼1𝐺,�⃗⃗� pour une poutre carrée de côté 𝑐 = 20 𝑚𝑚

Puis, en conservant la valeur de la section, calculer les moments quadratiques 𝐼2𝐺,𝑧 et 𝐼2𝐺,�⃗⃗�

pour une poutre carrée creuse d’épaisseur 𝑒 = 5 𝑚𝑚. Déterminer auparavant ses dimensions.

Conclure sur la rigidité de ces poutres.

𝑰𝟏𝑮,�⃗⃗� = 𝑰𝟏𝑮,�⃗⃗⃗� =𝑐4

12=

204

12= 𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟒

𝑆 = 20 × 20 = 400 𝑚𝑚2 = 𝑥2−(𝑥 − 2𝑒)2 = 𝑥2 − 𝑥2 + 4𝑒𝑥 − 4𝑒2 ⇔ 𝒙= 𝟐𝟓 𝒎𝒎

𝑰𝟐𝑮,�⃗⃗� = 𝑰𝟐𝑮,�⃗⃗⃗� =𝑥4−(𝑥−2𝑒)4

12=

204

12= 𝟐𝟖𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟒 Donc

𝟐𝟖𝟑𝟑𝟑

𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑= 𝟐, 𝟏 ;

Pour une même section, la poutre carrée creuse est 2,1 fois plus rigide que la poutre carrée pleine.

𝐺 �⃗�

�⃗�

𝑧

�⃗�

𝑧 𝐺

𝑏

𝐺 �⃗�

�⃗�

𝑧

�⃗�

𝑧 𝐺

𝑏

ℎ ℎ′

𝑏′

𝐺 �⃗�

�⃗�

𝑧

�⃗�

𝑧 𝐺

𝑑

�⃗�

𝑧 𝐺 𝑒

𝑥

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3.3.4. Extrait de catalogue de poutres métalliques

3.4 Conditions aux limites de la déformée

Lors de l’étude de la déformée, une double intégration est nécessaire, 2 constantes inconnues en résulte.

Deuxconditions sont alors à rechercher au niveau des appuis :

le déplacement vertical 𝑦(𝑥) ;

la pente de la tangente à la déformée 𝑦′(𝑥).

La déformée d’une poutre passe par un extrémum, la dérivée de la déformée est nulle en ce point :

pour le point 𝑰 correspondant à 𝒚𝒎𝒂𝒙𝒊, alors 𝒚′𝑰 = 𝟎

encastrement

articulation appui simple

3.5 Équation de la déformée d’une poutre soumise à une sollicitation de flexion

Une étude géométrique permet de mettre en relation le pivotement d’une section droite de centre 𝐺(𝑥) et la contrainte

normale dans la poutre pour les petites déformations. On établit ainsi la relation suivante :

𝑬 · 𝑰𝑮,�⃗⃗� · 𝒚′′(𝒙) = 𝑴𝒇𝒛(𝒙)

𝑀𝑓𝑧(𝑥) : moment de flexion (ou moment fléchissant), en Nmm

𝐼𝐺,𝑧 : moment quadratique de la section de la poutre autour de l’axe (𝐺, 𝑧), en mm4

𝐸 : module de Youg (ou module d’élasticité longitudinale) du matériau, en MPa

𝑦′′(𝑥) : dérivée seconde de la déformée

Remarque 1 : on peut donc établir l’équation de la déformée à partir du moment fléchissant par 2 intégrations

successives, en recherchant les constantes d’intégration par les conditions aux limites. Remarque 2 : comme 𝑀𝑓𝑧(𝑥) dépend du tronçon de la poutre, la méthode par intégration doit être réalisée pour chacun de ses tronçons. Application : on suppose connus 𝐸 et 𝐼𝐺,𝑧 de la poutre AB.

La déformée étant symétrique par rapport à C, seule la déformée sur le tronçon AC est à étudier. Une étude préliminaire a permis d’établir le moment

fléchissant dans le tronçon AC (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿2⁄ ) : 𝑀𝑓𝑧 =

𝑥

2· 𝐹.

Question : rechercher l’équation de la déformée de la poutre sur le tronçon AC.

𝒚𝑨 = 𝟎 𝒚′𝑨 = 𝟎

𝒚𝑩 = 𝟎 𝒚′𝑩 ≠ 𝟎

𝒚𝑪 = 𝟎 𝒚′𝑪 ≠ 𝟎

A C B

B A Poutre P �⃗�0

�⃗�0 �⃗�

𝐿

𝐿

2

C

Un industriel fournit les éléments suivants sur ses poutrelles IPE

Avantage de cette forme de poutre :

Éloignement de la matière vers l’extérieur, IGx plus important donc plus de rigidité pour une quantité de matière limitée.

Justifier la terminologie employée « axe faible » et « axe fort » :

+ de rigidité autour de l’axe x-x qu’autour de l’axe y-y.

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Etablissement de l’équation générale de la déformée par double intégration : Donc deux constantes K1 et K2 à déterminer

𝐸 · 𝐼𝐺,𝑧 · 𝑦"(𝑥) = 𝑀𝑓𝑧(𝑥)

⟺ 𝐸 · 𝐼𝐺,𝑧 · 𝑦′′(𝑥) =𝑥

2· 𝐹

⟺ 𝐸 · 𝐼𝐺,𝑧 · 𝑦′(𝑥) =𝑥2

4· 𝐹 + 𝐾1

⟺ 𝑬 · 𝑰𝑮,�⃗⃗� · 𝒚(𝒙) =𝒙𝟑

𝟏𝟐· 𝑭 + 𝑲𝟏 · 𝒙 + 𝑲𝟐

Conditions aux limites (CL) et obtention des constantes d’intégration

2 constantes d’intégration donc 2 CL :

𝒚(𝒙 = 𝟎) = 𝟎 ⇔ 𝐸 · 𝐼𝐺,𝑧 · 𝑦(0) = 0 =03

12· 𝐹 + 𝐾1 · 0 + 𝐾2 ⇔ 𝑲𝟐 = 𝟎

et y’(𝒙 =𝑳

𝟐) = 0 ⟺ 𝐸 · 𝐼𝐺,𝑧 · 𝑦′ (

𝐿

2) = 0 =

𝐿2

16· 𝐹 + 𝐾1 ⇔ 𝑲𝟏 = −

𝑳𝟐

𝟏𝟔· 𝑭

Équation particulière de la déformée de la poutre étudiée

𝐸 · 𝐼𝐺,𝑧 · 𝑦(𝑥) =𝑥3

12· 𝐹 −

𝐿2

16· 𝐹 · 𝑥

⇔ 𝒚(𝒙) =𝟏

𝑬 · 𝑰𝑮,�⃗⃗⃗�·

𝑭𝟐

· (𝒙𝟑

𝟔−

𝒙𝑳𝟐

𝟖)

Localisation et expression de la déformée maximale ou flèche

Flèche = 𝒇 = 𝒚 (𝑳

𝟐) =

1

𝐸·𝐼𝐺,�⃗⃗�·

𝐹

2· (

𝐿3

48−

𝐿3

16)

⇔ 𝒇 = −𝑭·𝑳𝟑

𝟒𝟖·𝑬·𝑰𝑮,�⃗⃗�

Attention la localisation de la flèche doit de faire « visuellement » car elle n’est parfois pas obtenue par l’étude mathématique de l’extremum de y(x), la définition

de la déformée par tan () = étant linéarisée (paragraphe 3.1).

3.6 Formulaire de flèches 𝒇 pour des cas usuels

Poutre encastrée avec charge ponctuelle �⃗⃗⃗� en extrémité

Module de Young : 𝐸

Moment quadratique : 𝐼𝐺,𝑧 = 𝐼

Moment de flexion maxi : |𝑀𝑓𝑧| = 𝐹𝐿

Poutre encastrée avec charge répartie �⃗⃗⃗� Module de Young : 𝐸

Moment quadratique : 𝐼𝐺,𝑧 = 𝐼

Moment de flexion maxi : |𝑀𝑓𝑧| =𝑝𝐿2

2

Poutre sur 2 appuis avec charge concentrée �⃗⃗⃗� au milieu

Module de Young : 𝐸

Moment quadratique : 𝐼𝐺,𝑧 = 𝐼

Moment de flexion maxi : |𝑀𝑓𝑧| =𝐹𝐿

4

Poutre sur 2 appuis avec charge répartie �⃗⃗⃗�

Module de Young : 𝐸

Moment quadratique : 𝐼𝐺,𝑧 = 𝐼

Moment de flexion maxi : |𝑀𝑓𝑧| =𝑝𝐿2

8

�⃗�0

�⃗�0 �⃗�

𝐴

𝐵

𝐴𝐵 = 𝐿

𝑓𝑚𝑎𝑥

𝐴𝐵 = 𝐿 𝐴 �⃗�0

�⃗�0 𝑝

𝐵

𝑓𝑚𝑎𝑥

𝑓𝑚𝑎𝑥 =1

3

𝐹𝐿3

𝐸 · 𝐼 𝑓𝑚𝑎𝑥 =

1

8

𝑝𝐿4

𝐸 · 𝐼

𝑓𝑚𝑎𝑥

B A �⃗�0

�⃗�0 �⃗� 𝐿

2

C

𝐿

2

𝑓𝑚𝑎𝑥

B A

�⃗�0

�⃗�0

C

𝑝

𝑓𝑚𝑎𝑥 =1

48

𝐹𝐿3

𝐸 · 𝐼 𝑓𝑚𝑎𝑥 =

5

384

𝑝𝐿4

𝐸 · 𝐼

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DC25 Solides déformables / RDM Partie 2 : Sollicitation de flexion

F.Poulet JC Rolin 01/2021 8 TSI2 Lycée G.Eiffel, Dijon

4. CONTRAINTES AU SEIN D’UNE POUTRE EN FLEXION

4.1 Objectif général du calcul des contraintes

Calculer les contraintes au sein de la poutre a différents objectifs :

vérifier sa résistance pour dimensionner sa section lors d’une conception (contrainte normale) ;

o non dépassement de la limite à la rupture Rr du matériau ; o exploitation dans le domaine élastique Re ;

vérifier sa déformation afin qu’elle reste dans les limites acceptables pour son contexte d’emploi (déformée) ;

satisfaire des critères économiques en utilisant le minimum de matière, mais au bon endroit (moment

quadratique).

4.2 Répartition des contraintes en flexion

Dans le cas de la flexion, les contraintes se réduisent essentiellement à des contraintes normales 𝜎𝑥. Les contraintes

tangentielles, ou de cisaillement, sont négligées. On écrit que : 𝐶(𝑀, �⃗⃗�) = 𝜎𝑥 · �⃗⃗� + 𝜏 · 𝑡 ≈ 𝜎𝑥 · �⃗⃗�.

Poutre sur 2 appuis soumise à de la flexion simple

Soit la poutre sollicitée en flexion simple. Considérons une section droite (S) d’abscisse x, et un point M de coordonnées (x, y, z) appartenant à cette surface (S). La répartition de la contrainte normale 𝜎𝑥 dépend de x et de y (chargement dans le plan de symétrie) et s’écrit :

𝝈𝒙(𝒙, 𝒚) =|𝑴𝒇𝒛(𝒙)|

𝑰𝑮,�⃗⃗�

𝒚

=|𝑴𝒇𝒛(𝒙)|

𝑰𝑮,�⃗⃗�· 𝒚

Avec : 𝜎𝑥 : contrainte normale dans une section (S) de la poutre, en MPa ;

𝑀𝑓𝑧 : moment de flexion autour de 𝑧, en Nmm ;

𝐼𝐺,�⃗� : moment quadratique de la section, en mm4 ;

𝒚 : distance de la fibre neutre à la fibre considérée, en mm.

Constats :

pour la poutre étudiée,

𝝈𝒙 = 𝟎 pour 𝒚 = 𝟎 ; la contrainte normale est nulle le long de la ligne moyenne

𝝈𝒙 < 0 pour 𝒚 > 0 ; sollicitation de compression, son signe s’inverse à la traversée de la fibre neutre

𝝈𝒙 > 0 pour 𝒚 < 0 ; sollicitation de traction

la répartition de 𝜎𝑥 est linéaire et proportionnelle à 𝑦

les fibres les plus sollicitées sont celles qui sont les plus éloignées de la fibre neutre

4.3 Contrainte normale maximale 𝝈𝒙 𝒎𝒂𝒙𝒊

Le dimensionnement de la poutre nécessite la recherche de la contrainte normale maximale notée 𝝈𝒙 𝒎𝒂𝒙𝒊.

La relation vue précédemment, 𝝈𝒙(𝒙, 𝒚) =|𝑴𝒇𝒛(𝒙)|

𝑰𝑮,�⃗⃗�· 𝒚, nous impose de rechercher les valeurs maximales de 𝑴𝒇𝒛 et

de 𝒚 ; en même temps que la valeur minimale de 𝑰𝑮,�⃗⃗� :

on suppose que la poutre possède une section constante (hypothèse simplificatrice prise en compte), donc 𝐼𝐺,�⃗� reste constant tout au long de la poutre (→ 𝐼𝐺,�⃗⃗� 𝑚𝑖𝑛 = 𝐼𝐺,�⃗⃗�) ;

on repère la section (S) d’abscisse 𝑥 la plus sollicitée sur le diagramme du moment fléchissant (→ 𝑀𝑓𝑧 𝑚𝑎𝑥𝑖) ; les fibres les plus sollicitées étant celles qui sont les plus éloignées de la fibre neutre, on prendra donc 𝑦𝑚𝑎𝑥

comme étant la valeur de 𝑦 la plus éloignée de la fibre neutre.

Ainsi, la contrainte normale maximale s’établit avec la relation : 𝝈𝒙 𝒎𝒂𝒙𝒊 =|𝑴𝒇𝒛 𝒎𝒂𝒙𝒊|

𝑰𝑮,�⃗⃗�𝒚𝒎𝒂𝒙𝒊

=|𝑴𝒇𝒛(𝒙)|

𝑰𝑮,�⃗⃗�· 𝒚𝒎𝒂𝒙𝒊

Les fabricants de profilés notent régulièrement 𝑦𝑚𝑎𝑥𝑖 = 𝜈, avec le rapport 𝐼𝐺,�⃗⃗�

𝜈 appelé « module de flexion ».

�⃗�

Fibre la plus

comprimée

Fibre la plus

étirée

Ligne

moyenne

𝑥

(𝑆)

𝒚

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DC25 Solides déformables / RDM Partie 2 : Sollicitation de flexion

F.Poulet JC Rolin 01/2021 9 TSI2 Lycée G.Eiffel, Dijon

5. DIMENSIONNEMENT D’UNE POUTRE EN FLEXION

5.1 Condition de résistance

Le calcul de résistance d’une poutre sollicitée en flexion se fait selon le critère de la contrainte normale 𝜎𝑥 ; la contrainte

tangentielle n’entraîne généralement pas de risque de rupture (sauf configurations particulières).

La contrainte normale maximale 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥𝑖 doit rester inférieure à la résistance pratique élastique 𝑅𝑃𝑒 du matériau.

𝝈𝒙 𝒎𝒂𝒙𝒊 ≤ 𝑹𝑷𝒆 avec 𝑹𝑷𝒆 =𝑹𝒆

𝒔

Avec : 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥𝑖 : contrainte normale maximale dans la poutre (voir calcul Chap. 4.3), en MPa

𝑅𝑃𝑒 : résistance (ou limite) pratique élastique, en MPa

𝑅𝑒 : résistance (ou limite) élastique du matériau. Caractéristique propre du matériau utilisé ou à utiliser, en MPa

s : coefficient de sécurité fixé par le contexte d’utilisation de la poutre

Quelques exemples de valeurs du coefficient de sécurité s selon le contexte :

Levage par câbles métalliques s = 5 ; Ascenseurs (transport public) s = 10 ; Aviation s = 1,5 (poids ennemi n°1 de l’aviation donc comportements simulés avec précision, matériaux connus et de qualité, procédés de fabrication maîtrisés).

5.2 Concentration de contraintes

Sous l’effet de changements brusques de section de la poutre, la contrainte réelle augmente considérablement au voisinage de ces zones (voir Partie 1 RDM, Chap. 6.4). Déterminé à partir d’abaques, on applique un coefficient de

concentration de contraintes K : 𝐊 =𝛔𝐦𝐚𝐱𝐢 𝐫é𝐞𝐥𝐥𝐞

𝛔𝐦𝐚𝐱𝐢 𝐧𝐨𝐦𝐢𝐧𝐚𝐥𝐞> 1. La condition de résistance d’une poutre peut donc s’écrire sous la

forme :

𝝈𝒙 𝒎𝒂𝒙𝒊 𝒓é𝒆𝒍𝒍𝒆 = 𝑲 · 𝝈𝒙 𝒎𝒂𝒙𝒊 𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍𝒆 ≤ 𝑹𝑷𝒆 =𝑹𝒆

𝒔

6. APPLICATION L’étude porte sur le dimensionnement d’une des poutrelles composant la structure métallique de l’ossature d’un bâtiment industriel. Le modèle de poutre retenu est le suivant : Avec : base globale 𝐵𝑔 ∶ (�⃗�0, �⃗�0), problème plan

charge linéique �⃗�, ‖�⃗�‖ = 𝑞 = 1000 𝑁/𝑚

poutre « P » de longueur 𝐿 = 10 𝑚

Q1. Déterminer les réactions aux appuis en A et B.

Poutre P isolée

BAME appliquées sur P : {𝑇𝑏â𝑡𝑖→𝑃𝐴 } = {

𝑋𝐴 −𝑌𝐴 −− 0

}

𝐴

𝐵𝑔

, {𝑇𝑏â𝑡𝑖→𝑃𝐵 } = {

0 −𝑌𝐵 −− 0

}

𝐵

𝐵𝑔

et {𝑇�⃗⃗�→𝑃𝐶 } = {

0 0

− ∫ 𝑞 · 𝑑𝑥𝐿

00

0 0

}

𝐶

𝐵𝑔

Avec C, point d’application de la charge équivalente �⃗⃗� = − ∫ 𝑞 · 𝑑𝑥𝐿

0· �⃗� tel que [AC] = [CB] = 𝐿/2

C +

�⃗�0

�⃗�0

�⃗�

A B

L

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DC25 Solides déformables / RDM Partie 2 : Sollicitation de flexion

F.Poulet JC Rolin 01/2021 10 TSI2 Lycée G.Eiffel, Dijon

PFS en A. Symétrie de la poutre avec action de la charge linéique �⃗� uniformément répartie. Donc 𝒀𝑨 = 𝒀𝑩 =𝑳

𝟐· 𝒒

et 𝑿𝑨 = 𝟎

Q2. Déterminer le torseur de cohésion dans le tronçon AB. En déduire le type de sollicitation, et tracer les diagrammes des sollicitations correspondantes.

Avec : coupure fictive en G d’abscisse 𝑥, base locale : 𝐵𝐿 (�⃗�, �⃗�)

Segment P – isolé

BAME appliquées sur P – :

{𝑇𝑏â𝑡𝑖→𝑃𝐴 } = {

0 −𝐿

2𝑞 −

− 0

}

𝐴

𝐵𝑔

= {

0 −𝐿

2𝑞 −

− 0

}

𝐴

𝐵𝐿

{𝑇�⃗⃗�→𝑃𝐷 } = {

0 0

− ∫ 𝑞 · 𝑑𝑥𝑥

00

0 0

}

𝐷

𝐵𝑔

= {

0 0

− ∫ 𝑞 · 𝑑𝑥𝑥

00

0 0

}

𝐷

𝐵𝐿

et {𝑇𝑃+→𝑃−𝐺 } = {𝑇𝑐𝑜ℎé𝑠𝑖𝑜𝑛

𝐺 } = {

𝑁 𝑀𝑡

𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦

𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧

}

𝐺

𝐵𝐿

Avec D, point d’application de la charge équivalente − ∫ 𝑞 · 𝑑𝑥𝑥

0· �⃗� tel que [AD] = [DG] = 𝑥/2

PFS au point G

TRS sur �⃗� : 𝑇𝑦 +𝐿

2𝑞 − ∫ 𝑞 · 𝑑𝑥

𝑥

0= 0 𝑻𝒚 = 𝒒 · (𝒙 −

𝑳

𝟐)

TMS sur 𝑧 : 𝑀𝑓𝑧 −𝐿

2𝑞 · 𝑥 +

𝑥

2· ∫ 𝑞 · 𝑑𝑥

𝑥

0= 0 𝑀𝑓𝑧 + 𝑞 ·

(𝑥2

2−

𝐿·𝑥

2) = 0 𝑴𝒇𝒛 = 𝒒 · (

𝑳·𝒙

𝟐−

𝒙𝟐

𝟐)

La poutre est bien soumise à de la flexion simple.

Rq : vérification 𝑑(𝑀𝑓𝑧(𝑥))

𝑑𝑥= −𝑇𝑦 𝑞 · (

𝐿

2− 𝑥) = −𝑇𝑦

Diagrammes des sollicitations

𝑇𝑦 = 𝑞 · (𝑥 −𝐿

2) donc 𝑇𝑦(0) = −

𝐿

2· 𝑞 et

𝑇𝑦(𝐿) =𝐿

2· 𝑞

𝑀𝑓𝑧 = 𝑞 · (𝐿·𝑥

2−

𝑥2

2) donc 𝑀𝑓𝑧(0) = 0, 𝑀𝑓𝑧(𝐿) = 0

et 𝑴𝒇𝒛 (𝑳

𝟐) = 𝑴𝒇𝒛 𝒎𝒂𝒙𝒊 = 𝒒 ·

𝑳𝟐

𝟖

Q3. Établir l’équation de la déformée 𝑦(𝑥), ainsi que l’expression de la flèche 𝑓.

𝑬 · 𝑰𝑮�⃗⃗� · 𝒚" = 𝑴𝒇𝒛 =𝑞

2· (𝐿 · 𝑥 − 𝑥2)

𝑬 · 𝑰𝑮�⃗⃗� · 𝒚′ =𝑞

2· (

𝐿·𝑥2

2−

𝑥3

3) + 𝐾1

𝑬 · 𝑰𝑮�⃗⃗� · 𝒚 =𝑞

2· (

𝐿·𝑥3

6−

𝑥4

12) + 𝐾1 · 𝑥 + 𝐾2

Conditions aux limites : 𝑦(0) = 0 et 𝑦′ (𝐿

2) = 0 ou 𝑦(𝐿) = 0

D’où 0 =𝑞

2· (

𝐿3

8−

𝐿3

24) + 𝐾1 𝑲𝟏 = −

𝒒·𝑳𝟑

𝟐𝟒 et 𝑲𝟐 = 𝟎

On en déduit l’équation de la déformée : 𝒚(𝒙) =𝟏

𝑬·𝑰𝑮�⃗⃗�·

𝒒

𝟐· (

𝑳·𝒙𝟑

𝟔−

𝒙𝟒

𝟏𝟐−

𝒙·𝑳𝟑

𝟏𝟐)

Détermination de la flèche (déformation maximale) : 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑦(𝐿

2)

𝑦(𝐿

2) =

1

𝐸·𝐼𝐺�⃗⃗�·

𝑞

2· (

𝐿4

48−

𝐿4

192−

𝐿4

24) d’où 𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝒇 = −

𝟓·𝒒·𝑳𝟒

𝟑𝟖𝟒·𝑬·𝑰𝑮�⃗⃗�

�⃗�0

�⃗�0

�⃗�

A G

𝑥

�⃗�

�⃗�

D +

P -

P +

𝐿

2· 𝑞

−𝐿

2· 𝑞

𝑞 ·𝐿2

8

A

A

B

B

+

+

𝑇𝑦 (𝑁)

𝑀𝑓𝑧 (𝑁𝑚)

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DC25 Solides déformables / RDM Partie 2 : Sollicitation de flexion

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Q4. Déterminer le profilé de poutre IPN issu de l’extrait de catalogue constructeur donné ci-dessous et qui respecte la

condition d’une flèche 𝑓 ≤ 5 𝑚𝑚.

|𝑓| =5·𝑞·𝐿4

384·𝐸·𝐼𝐺�⃗⃗�≤ 5 𝑚𝑚 ⇔ 𝐼𝐺𝑧 ≥

5·𝑞·𝐿4

384·𝐸·|𝑓| A.N. 𝐼𝐺𝑧 =

5×1×100004

384×210000×5= 124 · 106 𝑚𝑚4

𝑰𝑮�⃗⃗� = 𝟏𝟐𝟒 · 𝟏𝟎𝟔 𝒎𝒎𝟒 = 𝟏𝟐𝟒 · 𝟏𝟎𝟐 𝒄𝒎𝟒 = 𝟏𝟐𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟒 = 𝑰𝒙−𝒙

Choix du profile : poutre IPN 320 (𝑰𝒙−𝒙 = 𝟏𝟐𝟓𝟏𝟎 𝒄𝒎𝟒) Si le profilé est installé suivant l’axe faible (𝑰𝒚−𝒚 = 555 𝑐𝑚4), alors 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 113 𝑚𝑚…

Q5. Déterminer la contrainte maximale 𝜎𝑚𝑎𝑥 dans la poutre. En déduire la valeur du coefficient de sécurité 𝑠.

𝝈𝒎𝒂𝒙 =𝑴𝒇𝒛 𝒎𝒂𝒙𝒊

𝑰𝑮�⃗⃗�𝝊

𝝈𝒎𝒂𝒙 =𝑞·

𝐿2

8

124·106

3202

=1·

100002

8

124·106

3202

= 𝟏𝟔, 𝟏 𝑴𝑷𝒂

Le constructeur donne une « contrainte maximale du matériau » = 12 kN/cm², soit 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 120 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑚𝑎𝑥 < 𝜎𝑎𝑑𝑚 donc la poutre résistera. Coefficient de sécurité : 𝒔 =𝝈𝒂𝒅𝒎

𝝈𝒎𝒂𝒙≈ 𝟕, 𝟒.

𝐸𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟 = 210000 𝑀𝑃𝑎

𝑓 ≤ 5 𝑚𝑚

Données de l’exercice avec les unités compatibles : q = 1000 N/m = 1 N/mm L = 10 m = 10000 mm 𝐸𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟 = 210000 MPa