UNITÉ 8 : L’addition et la soustraction jusqu’à 20 · 140 La Librairie des Écoles 2016...

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UNITÉ 8 : L’addition et la soustraction jusqu’à 20Acquérir de nouvelles stratégies additives et soustractives adaptées à des nombres plus grands et savoir résoudre et modéliser des problèmes à l’aide de l’une ou l’autre des opérations. Comprendre qu’il existe de nombreuses manières d’additionner et de soustraire.

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Contexte Dans les unités 4 et 5, les élèves ont appris à appréhen-der l’addition et la soustraction de diverses façons. Ils ont découvert le sens de ces deux opérations, ont ac-quis des stratégies pour additionner et soustraire deux nombres à un chiffre allant jusqu’à 10 et ont commen-cé à mémoriser des faits additifs simples grâce à une utilisation répétée des familles de nombres (unité 2). Ils ont également produit et utilisé de multiples re-présentations des processus additif et soustractif et ont résolu des problèmes inventés ou donnés impli-quant les deux opérations. Dans l’unité 7, les élèves ont ensuite appris que ces mêmes chiffres de 0 à 9 étaient utilisés pour former les nombres supérieurs à 10. Au cours de cette unité, l’accent a été mis sur la décomposition des nombres de 11 à 19 en « 10 + U », où U représente le nombre d’unités. Bien entendu, le nombre 20 peut s’écrire « 10 + 10 ».

ObjectifDans cette unité, les élèves vont être amenés à revoir les notions fondamentales de l’addition et de la soustraction qu’ils ont déjà acquises, en les appliquant cette fois-ci aux nombres allant jusqu’à 20. Ce faisant, ils vont approfondir leur compréhension des concepts-clés, améliorer leur façon de procéder et acquérir de nouvelles stratégies de calcul pour additionner de grands nombres.

Réviser certaines notionsAu début de l’unité 8, les élèves commencent par inventer des histoires d’additions et de soustractions à partir d’une image (séance 60). Aux séances 61 et 64, ils révisent les stratégies consistant à compter à partir d’un nombre et à compter à rebours, appliquées à l’addition et à la soustraction d’un petit nombre à un nombre plus grand. Les séances 68 et 69 offrent aux élèves des occasions variées de s’exercer à la résolution de problèmes. Les familles de nombres sont utilisées tout au long de l’unité 8. Elles présentent l’avantage supplémentaire de créer des égalités entre les deux parties et le tout. Par exemple, la famille de 17, 7 / 10 / 17, permet d’obtenir 4 égalités apparentées :7 + 10 = 17 17 – 10 = 710 + 7 = 17 17 – 7 = 10

Les deux égalités de la colonne de gauche reflètent

la propriété commutative de l’addition, tandis que les

paires figurant sur chaque ligne illustrent la relation

de réciprocité entre l’addition et la soustraction

(séance 67).

La décomposition : une base pour de nouvelles stratégiesDécomposer puis recomposer de façon différente (que

ce soit des nombres ou d’autres objets mathématiques)

constitue une habitude mentale qu’il faut cultiver dans

la pratique des mathématiques. La décomposition

associée aux familles de nombres constitue le point

de départ de nouvelles stratégies de calcul.

Former des groupes de 10

Lorsqu’on additionne deux nombres à un chiffre,

on décompose d’abord l’un des deux nombres pour

former un groupe de 10 avec l’autre nombre, puis on

ajoute les unités restantes (séance 62).

8 + 5 ou 8 + 5

2 3 3 5

Additionner les unités

Lorsqu’on additionne un nombre à un chiffre à un

nombre à deux chiffres, on additionne d’abord les

unités, puis on rajoute le 10 (séance 63).

13 + 6

10 3

Soustraire des unités

Lorsqu’on soustrait un nombre à un chiffre d’un

nombre à deux chiffres (où le premier est inférieur au

nombre d’unités du second), on le soustrait des unités,

puis on rajoute le 10 (séance 65).

17 – 5

10 7

Soustraire du 10

Lorsqu’on soustrait un nombre à un chiffre d’un

nombre à deux chiffres (où le premier est supérieur

au nombre d’unités du second), on le soustrait du 10,

puis on rajoute les unités restantes (séance 66).

17 – 9

10 7

Objectif sur le plan mathématique : approfondir la compréhension des notions et des processus de l’addition et de la soustraction.

Introductions aux unités

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Séance 60

Observons l’image

Introduction à l’unité 8 et exploration de l’illustration page 79 du fichier A.

1 Exploration de l’illustration en pleine page Projetez la page 79 du fichier A au tableau et demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier à la même page. Accordez-leur du temps pour identifier le lieu et les objets à vendre, puis pour compter le nombre de jouets présents sur les différentes étagères. Demandez à des élèves de lire les quatre phylactères à voix haute. Une fois qu’ils ont identifié différents nombres, par exemple 15 autocollants au plafond, 10 jouets au-dessus de l’étagère ou 10 ours sur le mur de droite, demandez-leur de trouver des idées de ce qu’ils peuvent faire avec ces nombres. Il est probable qu’ils suggèrent d’« additionner » ou de « soustraire les nombres ». Profitez-en pour revoir les différents sens de l’addition et de la soustraction abordés aux unités 4 et 5. Faites la liste de ces significations au tableau. Elles aideront les élèves à inventer des problèmes additifs et soustractifs, chose qu’ils n’ont faite qu’avec des nombres à un chiffre jusqu’à présent.

2 Inventer des problèmes d’addition et de soustractionL’illustration en pleine page fournit aux élèves un contexte familier qui va leur permettre d’inventer leurs propres histoires d’additions et de soustractions, reflétant ainsi leur compréhension des concepts d’addition et de soustraction. Vous ou un élève pouvez commencer par proposer un premier problème additif que la classe devra résoudre, par exemple : « S’il y a 4 ours sur le mur de gauche et 10 ours sur le mur de droite, combien voit-on d’ours en tout dans cette vitrine ? » Au-delà de la bonne réponse, soyez attentifs à la façon dont les élèves procèdent. Verbalisez les différentes stratégies mises en place. Certains élèves vont compter à partir de 10 (c’est l’objet de la séance 61), tandis que d’autres vont utiliser la décomposition en dizaines et en unités des nombres de 11 à 19, abordée à l’unité 7. Les problèmes soustractifs sont moins évidents pour les jeunes enfants. Là encore, vous ou un élève pouvez modéliser les premières histoires de soustraction : • Il y a 15 autocollants représentant des lunes et des étoiles au plafond. Si 9 sont des étoiles (et si on ne peut pas voir ni compter le nombre de lunes), comment peut-on trouver le nombre de lunes ? [Composition d’état]• Si quelqu’un achète tous les jouets de l’étagère du bas, combien de jouets restera-t-il sur le meuble ? [Changement d’état]• Combien de lunes y a-t-il de plus que d’étoiles au plafond ? [Comparaison]N’oubliez pas que tout problème soustractif peut être résolu en additionnant et en comptant dans l’ordre croissant. Il est essentiel de souligner le lien entre l’addition et la soustraction.

3 Représenter et résoudre des problèmesSélectionnez quelques problèmes et attribuez-les aux élèves. Demandez-leur d’utiliser du matériel pédagogique pour représenter et résoudre ces problèmes. Notez les stratégies qu’ils utilisent pour référence ultérieure. Concluez en disant que même si les nombres utilisés sont plus grands qu’aux unités 4 et 5, le sens des opérations reste le même.

Fichier A p. 79

Activité optionnelle L’affiche des jouets

Demandez aux élèves de faire un dessin représentant les jouets de leur problème ainsi que la solution de ce dernier.

Synthèse de la leçon • Je sais inventer des histoires d’ad-ditions et de soustractions à partir d’une image.• Je comprends que même avec des grands nombres, le sens des opéra-tions reste le même.

Objectifs

Unité 8 - L’addition et la soustraction jusqu’à 20

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Séance 61

Additionnons en comptant à partir d’un des nombres

Additionner 1, 2 ou 3 en comptant à partir d’un autre nombre inférieur à 18.

Additionner un petit nombre (1, 2 ou 3) et un nombre plus grand en comptant à partir de l’un des deux. Rappeler la stratégie la plus efficace apprise aux séances 28 et 29. Revoir le mouvement sur la bande numérique comme représentation concrète de la stratégie qui consiste à compter à partir d’un nombre.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres entiers, mentalement ou à la main, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies adaptées aux nombres en jeu.

Étapes de la séance Durée Modalité

1 Revisiter la bande numérique 15 min Collectif

2 Étude de la page 80 du fichier A 15 min Collectif

3 Entraînement : page 80 (fichier A) Activité 1 (fiches photocopiables)

15 min

En binôme puis individuel

Fichier A : p. 80

Fiches photocop. : Act. 1 pp. 114-115

Matériel pédagogique : bande numérique humaine, 2 boîtes de nombres (inscrits sur des pinces à linge)

Vocabulaire : bande numérique, compter à partir d’un nombre, stratégie efficace

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUEFichier A p. 80

1 Revisiter la bande numérique Revisitez la bande numérique humaine abordée à la séance 28. Nommez

deux meneurs de jeu, A et B, et donnez-leur une boîte chacun : la

première contient des pinces à linge sur lesquelles sont inscrits les

nombres de 8 à 17 ; la seconde contient des pinces à linge portant les

nombres 0, 1, 2 et 3. On inclut zéro afin de rappeler régulièrement aux

élèves qu’ajouter zéro à un nombre, quel qu’il soit, ne modifie pas ce

dernier, une idée importante sur laquelle repose la notion algébrique

de l’élément neutre de l’addition (x + 0 = 0 + x = x). Demandez à un

élève de se porter volontaire. Les meneurs A et B piochent chacun une

pince à linge dans leur boîte. Imaginons qu’ils piochent 15 et 3. Le

volontaire doit représenter l’addition des deux nombres en se déplaçant

sur la bande numérique. Demandez-lui quelle stratégie il va utiliser, puis

laissez-le faire. Quelle que soit la stratégie choisie (la plus efficace ou la

plus lente), demandez si quelqu’un d’autre peut représenter la même

addition d’une autre manière. Il est important que les élèves observent

l’action de compter à partir de 3 et de 15 et se rendent compte (ou se

souviennent) que :

• il est possible de compter à partir de l’un des deux nombres, peu

importe lequel, parce que 3 + 15 = 15 + 3 (c’est la propriété commutative

de l’addition) ;

• il est plus efficace de compter à partir du plus grand nombre car cela

prend moins de temps.

Répétez l’activité avec d’autres volontaires et meneurs de jeu.

Objectifs

L’importance d’ajouter 1, 2 ou 3 Au fil du temps, le fait de compter à partir d’un nombre va faire place à d’autres stratégies plus sophisti-quées. Toutefois, il est important que les élèves soient capables d’ad-ditionner ou de soustraire de petits nombres et des nombres plus grands avec aisance. Il s’agit d’anticiper des problèmes additifs comme 37 + 48, qui semblent difficiles au premier abord. Cependant, avec des chan-gements mineurs comme + 2 et – 2, l’addition devient très vite plus abordable. Voilà une bonne illustra-tion de ce que doit être une solide conception des nombres ! 3 7 3 5 + 4 8 + 5 0 8 5Remarque : Pourquoi ce change-ment est-il possible ? Parce que + 2 − 2 = 0, et que 0 n’apporte aucune modification aux sommes.

– 2

+ 2


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2 Étude de la page 80 du fichier A Projetez au mur la page 80 du fichier A et demandez aux élèves de suivre dans leur fichier. Concentrez-vous sur la leçon située en haut de la page : il s’agit d’une révision de la stratégie additive consistant à compter à partir d’un nombre, abordée dans l’unité 4 aux séances 28 et 29. La différence ici est qu’on applique cette stratégie à de plus grands nombres, avec des résultats supérieurs à 10. Comme avant, les élèves appliquent l’acte de compter à l’addition, une méthode tout à fait naturelle. Demandez de l’aide aux élèves pour lire les conseils d’Alice et Adèle, et faites-leur effectuer les bonds avec leur index sur la bande numérique au fil de la lecture. Demandez à un volontaire de rappeler à la classe pourquoi il est important de « dire le nombre de départ dans sa tête » avant de compter.

3 Entraînement Lisez la question d’Idris à voix haute et donnez du temps aux élèves pour réfléchir, former des binômes, puis partager leurs réflexions. Faites-les continuer individuellement, avec l’aide de leur voisin si nécessaire. Ils doivent terminer le bas de la page 80 du fichier A et poursuivre avec l’activité 1 des fiches photocopiables. L’exercice 1 est simple. L’exercice 2 est plus complexe : il s’agit de trouver le nombre initial ou le nombre qui est ajouté. Modélisez le fait que si un déplacement vers l’avant permet de résoudre 10 + 3 = ?, un déplacement vers l’arrière permet quant à lui de résoudre ? + 3 = 13. Les élèves font l’expérience de l’addition et de la soustraction comme opérations réciproques.

Différenciation Soutien : Dites aux élèves qui font encore des erreurs en comptant à partir d’un nombre d’écrire le plus grand nombre suivi d’1, 2 ou 3 blancs, puis de compter pour combler ces blancs. Approfondissement : Pour leur permettre d’approfondir, demandez aux élèves avancés de résoudre des problèmes semblables à l’exercice 2 page 115 des fiches photocopiables, mais avec des bonds supérieurs à 3. Faites-leur verbaliser la différence entre les stratégies mises en place pour trouver le nombre initial et le nombre final.

Évaluation continue

Compter à partir d’un nombre est la plus élémentaire des stratégies additives. Le nombre initial, l’acte de compter en avançant (le changement) et le nombre final en sont les trois parties. Compte tenu de la place centrale qu’occupe le modèle « partie-partie-tout » dans la méthode de Singapour, veillez à ce que les élèves aient bien identifié ce que sont les deux parties et le tout dans ce contexte.

Activité optionnelle Synthèse de la séance

Mimer une histoire d’addition Répartissez les élèves en plusieurs groupes. Demandez à chaque groupe d’inventer une his-toire d’addition et d’en écrire le texte. Les élèves miment leurs histoires respectives. L’ensemble de la classe sélectionne quelques histoires et en résout les problèmes. Écrivez une phrase additive au tableau pour chaque histoire.

• Je sais additionner deux nombres en comptant sur la bande numérique.• Si je commence par le plus grand nombre, je trouve le résultat plus vite.

Calcul mental Exercice 25

Le nombre le plus grand (1)

Donnez des paires de nombres compris entre 1 et 10 et demandez aux élèves de trouver le nombre le plus grand. De temps en temps, demandez-leur de justifier leur réponse. Réponses attendues : « 7 vient après 5 dans la suite numérique », « 7, c’est 2 de plus que 5 », etc.


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Séance 62

Additionnons en décomposant un des nombres

Additionner deux nombres à un chiffre.

Développer la stratégie de composition de « groupes de 10 ». En s’appuyant sur le travail déjà effectué sur les familles de nombres, apprendre à décomposer l’un des nombres d’une somme pour former d’abord un groupe de 10, puis compter à partir de 10 les unités restantes pour trouver le résultat.

Compétence du programme 2016 : Les élèves établissent puis doivent progressivement mémoriser des faits numé-riques (décompositions/recompositions additives dès le début de cycle) et des procédures de calculs élémentaires.


1 Mise en contexte : « Combien de pastilles ? »

15 min Collectif

2 Additionner deux nombres à un chiffre

15 min

En binôme puis collectif



10 min Individuel

Fichier A : pp. 81-82


Annexe : « Différentes boîtes de 10 », « Boîte de 10 »

Matériel pédagogique : jetons, cubes

Vocabulaire : décomposer, groupe, regrouper, chiffre


1 Mise en contexte : « Combien de pastilles ? » Demandez à un élève de rappeler à la classe ce qu’est une boîte de 10. L’essentiel est qu’ils sachent qu’une boîte complète contient 10 pastilles. Projetez ensuite une par une les boîtes de 10 de l’annexe « Différentes boîtes de 10 ». Affichez chaque boîte pendant quelques secondes avant de passer à la suivante. Invitez les élèves à dire combien de points ils pensent avoir vus. Pour les boîtes les moins évidentes, afin d’éviter que les élèves ne crient des nombres différents tous en même temps, faites-leur écrire leur nombre sur leur ardoise. Insistez sur le fait qu’ils ne doivent pas donner une estimation mais trouver un moyen de calculer mentalement le nombre total de points : ils doivent visualiser des relations spatiales, reconnaître des motifs familiers ou utiliser leurs connaissances croissantes des familles de nombres plutôt que de compter l’ensemble des points. Lorsque les élèves trouvent des réponses contradictoires, demandez à chacun de justifier son résultat en partageant sa stratégie (par exemple : « J’ai vu 3 sur une rangée et 4 sur l’autre ; je sais que 3 et 4 font 7 »). Montrez de nouveau l’image si nécessaire. Après avoir vu les huit boîtes de 10, dites le nombre de points que contient une boîte de 10 virtuelle. Les élèves la visualisent mentalement et écrivent cette fois le nombre de cases vides que contient cette boîte imaginaire. Cet exercice permet d’évaluer les connaissances croissantes des élèves sur les familles de 10, ou les compléments de 10, sur lesquels porte la séance 62.

Objectifs

Phrases mathématiques Attention au sens du signe =

En notant, par exemple, la straté-gie d’Adèle, les élèves seront ame-nés à écrire des égalités comme : « 8 + 2 = 10 + 3 = 13. » Il s’agit d’une erreur fréquente, même au col-lège. La réflexion est juste mais la notation ne l’est pas. Aidez-les à prendre conscience de cette inexac-titude. Écrivez la phrase au tableau et demandez-leur : « Quelles va-leurs trouve-t-on de chaque côté du signe égal ? » (10, 13 et 13) Notez ces valeurs en dessous. Demandez en-suite : « Que signifie = ? » (la même valeur des deux côtés). Comme les trois valeurs ne sont pas toutes égales, l’erreur apparaît de façon évidente. Montrez les notations correctes :

8 + 2 = 1010 + 3 = 13


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2 Additionner deux nombres à un chiffre Formez des binômes et distribuez à chaque partenaire une copie de l’annexe « Boîte de 10 » ainsi que 10 jetons de la même couleur. Demandez à un élève de placer 8 jetons sur sa boîte de 10. L’autre doit placer 5 jetons sur la sienne. Rappelez aux élèves que les nombres inférieurs à 10 se composent d’un seul chiffre.Donnez du temps à chaque binôme pour concevoir une méthode leur permettant de trouver le nombre total de jetons dont ils disposent. Il est intéressant d’écouter les idées que les élèves peuvent avoir avant d’apprendre des stratégies formelles. Des études ont montré que les enfants inventent de nombreuses stratégies pour additionner. Compte tenu du modèle de boîte de 10 utilisé, il est probable que certains aient l’idée de « former d’abord un groupe de 10 ». Demandez à quelques binômes de partager leur stratégie. Rappelez aux élèves d’écouter attentivement pour pouvoir apprendre les uns des autres. Notez les stratégies et donnez-leur le nom de leurs auteurs.

3 Étude de la page 81 du fichier A Étudiez attentivement la page 81 du fichier A. Si certains élèves ont mentionné la stratégie des groupes de 10, dites : « L’idée d’Adèle est la même que celle de Lucie », ou « Maël a fait exactement la même chose que Karim ». Dans chacun des cas, demandez aux élèves de former des groupes de 10 avec leurs jetons. Demandez-leur pourquoi les deux approches donnent 13 (le tout n’est pas affecté par la façon dont on le décompose).

Différenciation Soutien : Si les symboles posent problème à certains élèves, dites-leur de s’entraîner aux additions avec des boîtes de 10 et des jetons ou des cubes. N’oubliez pas que les élèves de CP sont au stade des opérations concrètes selon Piaget : l’assimilation des notations symboliques prend du temps. Approfondissement : Demandez aux élèves avancés de trouver comment utiliser des boîtes de 10 lorsque l’un des nombres est supérieur à 10.


Lorsqu’ils se rendent compte qu’une nouvelle notion repose sur des acquis antérieurs, les élèves se sentent plus sûrs d’eux. La formation de groupes de 10 repose sur la composition de familles de nombres (unité 2) et sur le fait de compter en faisant un groupe de 10 (séance 55). Assurez-vous que les élèves comprennent que la nouvelle stratégie additive abordée aujourd’hui repose sur ces connaissances préalables.


Familles de 10 Projetez au tableau une page sur laquelle figurent 19 nombres à un chiffre (deux de chaque et un seul 5) disposés comme des étoiles dans le ciel, ou montrez une affiche du même type. À tour de rôle, les élèves citent des paires de nombres qui font 10. Placez un aimant sur les nombres qui ont été cités ou barrez-les. Demandez : « Que reste-t-il ? » Recommencez avec une autre famille.

• Je sais additionner deux nombres à un chiffre.• Je fais d’abord un groupe de 10, puis je compte le reste à partir de 10.


Fichier A p. 82

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Séance 63

Additionnons en décomposant le plus grand nombre

Additionner un nombre à deux chiffres et un nombre à un chiffre dont la somme est inférieure ou égale à 20.

Prendre conscience que, lorsqu’on additionne un nombre à un chiffre et un nombre à deux chiffres, il faut commencer par décomposer le nombre à deux chiffres en une dizaine et des unités, pour ensuite combiner les unités et les ajouter à 10.

Compétence du programme 2016 : Développer des procédures de calcul adaptées aux nombres en jeu pour les addi-tions au CP.


1 Échauffement : décomposer les nombres de 11 à 19

20 min

Collectif puis individuel



15 min




Annexe : « Boîte de 10 »

Matériel pédagogique : cubes (20 d’une couleur et 10 d’une autre par binôme)

Vocabulaire : décomposer, le plus grand nombre, regrouper, recomposer


1 Échauffement : décomposer les nombres de 11 à 19 Débutez la séance par un échauffement pour revoir une idée importante abordée à l’unité 7 : la décomposition des nombres de 11 à 19 en une dizaine et des unités. Dans la première partie de l’échauffement, dites un nombre entre 11 et 19 (17 par exemple). L’élève interrogé doit répondre « dix et sept ». Au bout de 5 à 10 nombres, passez à la deuxième partie de l’échauffement. Les élèves dessinent un grand schéma de famille de nombres sur leur ardoise, en plaçant le tout en haut. Demandez-leur d’intituler les trois cercles « Tout », « Partie » et « Partie ». Ensuite, expliquez-leur que vous allez dire un nombre, mais qu’ils devront cette fois écrire le nombre cité dans le cercle du haut et les deux parties, 10 et un autre nombre, dans les cercles du bas. Il s’agit de la version écrite de ce qu’ils viennent de faire à l’oral. Travaillez sur quelques nombres. Une fois que tout le monde a terminé d’écrire, les élèves montrent leur ardoise. Après chaque nombre, ils l’effacent et recommencent. Cet exercice peut sembler sans intérêt, mais la structure du système décimal constitue le fondement de tous les algorithmes de calcul. La répétition est une excellente chose. Aidez les élèves à se rendre compte qu’ils sont en train d’appliquer le concept des familles de nombres à des cas où 10 est désormais l’une des parties et non plus le tout.

2 Étude de la page 83 du fichier A Étudiez collectivement la page 83 du fichier A en faisant lire les phylactères à des élèves. Demandez-leur d’identifier ce que font Alice

Objectifs

Créer un répertoire de stratégies À mesure que les élèves apprennent de nouvelles méthodes de calcul au cours de l’année, créez un « mur des stratégies » qui en fait la liste. Tirez directement ces stratégies du travail des élèves. Par exemple, pour addi-tionner 8 + 7 : • Je suis parti(e) de 8 et j’ai compté sept nombres de plus. • J’ai fait un groupe de 10 (8 + 2) puis j’ai ajouté 5. • J’ai fait un groupe de 10 (7 + 3) puis j’ai ajouté 5.• J’ai fait 8 + 8 = 16 puis j’ai retranché 1. • J’ai fait 7 + 7 = 14 puis j’ai ajouté 1.Faites une liste pour les nombres à deux chiffres. Plus tard dans l’année, faites une liste pour la soustraction. Plus les élèves trouvent de rela-tions, plus ils auront d’options à leur disposition.


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et Idris. Demandez : « Quelle est la différence avec la séance 62 ? » (L’un des nombres a deux chiffres.) L’échauffement aura aidé les élèves à comprendre la logique de la décomposition de 12 en 10 et 2. Insistez sur le fait qu’il faut d’abord décomposer le plus grand des deux nombres pour ensuite regrouper (ou recomposer) toutes les unités. Demandez : « Pourquoi ? » (Parce que c’est plus facile d’additionner 10 + 7 que 12 + 5). Montrez aux élèves qu’additionner 12 + 5 revient au même qu’additionner 10 + 7. Écrivez l’égalité « 12 + 5 = 10 + 7 » au tableau et répétez que le signe = signifie « a la même valeur que ». Demandez : « 17 est-il un résultat raisonnable ? » (Oui, c’est plus grand que 12.) « Y a-t-il un autre moyen de vérifier le résultat ? » (Oui, en partant de 12 et en comptant 5 de plus.) Refaites l’analyse avec 6 + 13 en observant que l’ordre des nombres à un chiffre et à deux chiffres n’a pas d’importance.

3 Entraînement Faites travailler les élèves en binômes sur les exercices 1 à 3 page 84 du fichier A. Distribuez à chaque binôme l’annexe « Boîte de 10 » ainsi que 30 cubes (20 d’une couleur et 10 d’une autre). Faites-leur modéliser les additions avec des cubes disposés sur les boîtes de 10. Les élèves qui ont fini en avance peuvent continuer à travailler individuellement sur les exercices similaires de l’activité 3 pages 118 et 119 des fiches photocopiables.

Différenciation Soutien : Certains élèves éprouvent des difficultés à établir un lien entre les notations concrètes et symboliques. Montrez-leur la relation de correspondance qui existe entre les trois nombres présents dans le schéma de la famille de nombres et les sous-groupes de cubes disposés sur la boîte de 10. Approfondissement : Demandez aux élèves qui savent compter au-delà de 20 d’additionner deux nombres à 2 chiffres (12 et 16 par exemple) en utilisant l’annexe « Boîte de 10 » et des cubes.


Il est possible que certains élèves, occupés à décomposer le plus grand nombre puis à recomposer les unités, oublient d’ajouter la dizaine (ce qui donnerait par exemple 14 + 5 = 9 au lieu de 19). Vérifiez qu’ils comprennent bien que le tout est toujours plus grand que chacune de ses parties. Lorsque leur réponse est incorrecte, demandez-leur de réfléchir au caractère raisonnable du résultat.


Nombre-objectif Choisissez un nombre-objectif compris entre 10 et 15. Les élèves écrivent une addition dont le résultat est ce nombre-objectif. Comparez les réponses. Ajoutez ensuite des restrictions : (1) l’un des nombres doit être 10 ; (2) utilisez 2 nombres ; (3) utilisez 3 nombres ; (4) l’un des nombres doit être 5 ; et ainsi de suite. Demandez aux élèves d’inventer des restrictions.

• Je sais additionner un nombre à deux chiffres avec un nombre à un chiffre.• Je décompose d’abord le plus grand nombre en 10 et des unités, puis je regroupe les unités.• Ensuite, j’ajoute le 10.


Ajouter 5

Donnez aux élèves deux nombres : 5 et un autre compris entre 0 et 5. Demandez-leur de trouver la somme de ces deux nombres.Inverser ensuite l’exercice : donnez un nombre compris entre 5 et 10. Les élèves doivent trouver les deux parties qui composent ce nombre, l’une étant 5.


Fichier A p. 84

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Séance 64

Soustrayons en comptant à rebours

Soustraire 1, 2 ou 3 d’un nombre inférieur à 20 en comptant dans l’ordre décroissant.

Comprendre que, contrairement à l’addition où l’on peut compter à partir de l’un ou l’autre des deux nombres pour en trouver la somme, lorsqu’on soustrait, on compte à rebours à partir du plus grand nombre. Rappeler la stratégie acquise aux séances 40 et 41. Revoir le déplacement sur la bande numérique comme représentation concrète du fait de compter à rebours.

Compétence du programme 2016 : Appréhender différents systèmes de représentation (exemple : la bande numérique).


1 Revoir le compte à rebours 15 min Collectif

2 Étude de la page 85 du fichier A 15 min


3 Entraînement : Activité 4 (fiches photocopiables)

15 min Individuel

Fichier A : p. 85


Annexe : « Cartes-nombres »

Matériel pédagogique : bande numérique humaine, cubes

Vocabulaire : bande numérique, compte à rebours, stratégie


1 Revoir le compte à rebours Cette séance revient sur la méthode du compte à rebours appliquée à la soustraction, abordée aux séances 40 et 41 de l’unité 5. Revoyez-la d’abord avec des nombres à un chiffre. Écrivez « 8 – 2 » au tableau et demandez aux élèves : « Qui peut nous rappeler comment trouver le résultat de 8 – 2 en comptant à rebours ? » Rappelez qu’il faut commencer par le plus grand nombre, le dire dans sa tête, puis compter deux nombres à rebours : « sept, six ». Pour approfondir le déplacement à reculons sur la bande numérique en tant que représentation kinesthésique, revenez à la bande numérique humaine (séance 28). Demandez à un volontaire de se mettre sur le 8 et de faire une modélisation pour la classe : il commence par dire « huit », fait deux bonds en arrière puis dit le nombre d’arrivée (6). Ensuite, soit sur la bande numérique humaine, soit en utilisant le mouvement des doigts sur une bande numérique de 0 à 20 que vous aurez tracée au tableau, demandez à un autre élève de partir de 18, de dire « dix-huit », puis de reculer de deux cases en disant « dix-sept, seize » pour atterrir sur 16. Demandez aux élèves : « Que remarquez-vous ? » (On peut s’aider de 8 – 2 = 6 pour trouver 18 – 2 = 16.) Recommencez plusieurs fois avec d’autres volontaires. Par exemple, modélisez d’abord « 9 – 3 » sur la bande numérique, puis « 19 – 3 » sur la bande numérique au tableau. Concluez en disant que le compte à rebours est une stratégie mentale qui permet de soustraire facilement des petits nombres (inférieurs à 5).

2 Étude de la page 85 du fichier A Projetez la page 85 du fichier A et demandez aux élèves de suivre dans leur fichier. Cette séance est une révision de la stratégie du

Objectifs

Ne pas dire « On ne peut pas… » Ne dites pas : « On ne peut pas sous-traire... » Lors de leurs premières années de pratique des mathéma-tiques, beaucoup d’élèves entendent qu’« on ne peut pas soustraire 6 – 9 » ou que « 6 – 9 est impossible ». Puis, une fois au collège, ils apprennent que c’est en fait possible. Utilisez plu-tôt la formulation suivante : « Avec les nombres que l’on connaît actuel-lement (0, 1, 2, 3...), on ne peut pas calculer 6 – 9. Mais plus tard, lorsque vous apprendrez d’autres nombres, vous pourrez soustraire 9 de 6. » Du reste, il n’y a pas de mal à piquer leur curiosité en évoquant le compte à rebours à partir de 6 jusque dans la zone négative.


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compte à rebours appliquée à la soustraction, en utilisant cette fois des nombres plus grands. Compter à partir d’un nombre ou à rebours vient naturellement aux enfants dans la mesure où ces stratégies font le lien entre l’acte de compter et les opérations. Demandez à un élève de lire le phylactère d’Alice pendant que les autres suivent en effectuant des bonds avec leur index sur la bande numérique. Demandez à un volontaire de rappeler à la classe pourquoi il est important de commencer par dire « douze » dans sa tête. Étudiez le phylactère d’Idris de la même façon. Faites ensuite travailler les élèves sur les exercices 1 et 2 de la page 85 en les observant pour repérer leurs difficultés.

3 Entraînement Demandez aux élèves de travailler sur l’activité 4 des fiches photocopiables. Assurez-vous qu’ils font bien le lien entre le déplacement à reculons sur la bande numérique et le fait de soustraire en comptant à rebours. L’exercice 1 est simple. L’exercice 2 est plus délicat dans la mesure où il faut trouver soit le nombre de bonds à rebours à effectuer, soit le nombre de départ. Modélisez le lien entre 5 + 2 = ? (faire 2 bonds en avant) et 7 − ? = 5 (faire 2 bonds en arrière) (exercice 2.a). Les élèves font une nouvelle fois l’expérience de l’addition et de la soustraction comme opérations réciproques.

Différenciation Soutien : Modélisez une soustraction comme 15 – 3 à l’aide d’un train de cubes : les élèves comptent 15 cubes et les utilisent pour construire un train. Ils disent « quinze » puis, tout en comptant à rebours « quatorze », « treize », « douze », ils retirent un, deux, puis trois cubes. Enfin, ils comptent les cubes restants pour vérifier qu’il en reste 12. Approfondissement : Pour approfondir, demandez aux élèves avancés qui ont compris les représentations kinesthésique et concrète de compter à rebours de petits nombres (de 1 à 5) mentalement, sans soutien concret ou visuel.


Soustraire en comptant à rebours nécessite de compter chaque bond mentalement. Avec le temps et de l’entraînement, les élèves vont apprendre à soustraire des petits nombres mentalement sans dire chaque bond dans leur tête. Aidez-les à se rendre compte qu’ils le font déjà dans certains cas. Discutez de la différence entre 15 + 5 et 12 + 7, ou 12 – 2 et 12 – 7. Ce sont à la fois les nombres et l’opération qui déterminent la facilité ou la difficulté d’un calcul. Par ailleurs, la notion de « facilité » est toute personnelle : ce qui est facile pour certains sera difficile pour d’autres. Demandez aux élèves d’écrire une addition/soustraction qu’ils savent résoudre mentalement et d’expliquer comment à la classe. Les élèves apprennent les uns des autres pendant que vous les évaluez.


Comparaison simple Posez une pile de cartes-nombres de 10 à 20 (en annexe) face contre table entre 2 joueurs. Chaque joueur retourne une carte. À tour de rôle, ils disent quel nombre est le plus grand, et de com-bien. L’élève qui a le plus grand nombre prend les deux cartes et celui qui a le plus de cartes à la fin du jeu a gagné.

• Je sais soustraire deux nombres en comptant à rebours.• Je commence par le plus grand nombre, je le dis dans ma tête, puis je fais des bonds à rebours.


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Séance 65

Soustrayons en décomposant le plus grand nombre (1)

Soustraire un nombre à un chiffre d’un nombre à deux chiffres en « soustrayant des unités ».

Soustraire un nombre à un chiffre d’un nombre à deux chiffres (avec un chiffre des unités supérieur au nombre à un chiffre) en commençant par décomposer le plus grand nombre en une dizaine et des unités, puis en soustrayant le plus petit nombre de celui des unités avant de rajouter le 10.

Compétence du programme 2016 : Les élèves établissent puis doivent progressivement mémoriser […] des faits numé-riques (décompositions/recompositions additives dès le début de cycle) [… ] et des procédures de calculs élémentaires.


1 Échauffement : soustraire des nombres à un chiffre

10 min


2 a. Représenter « 17 – 5 » avec des cubesb. Représenter « 15 – 3 » avec des boîtes de 10

20 min


3 Entraînement : page 87 (fichier A)Activité 5 (fiches photocopiables)

10 min Individuel




Matériel pédagogique : cubes (20 par binôme), jetons (20 par élève), 3 dés

Vocabulaire : retrancher, décomposer, le plus grand nombre, chiffre


1 Échauffement : soustraire des nombres à un chiffre Revoyez la soustraction avec les nombres à un chiffre (unité 5). Donnez un exemple comme « 5 moins 3 ». Demandez aux élèves d’écrire la soustraction et la solution qu’ils obtiennent sur leur ardoise en utilisant la représentation qu’ils préfèrent. Dans la mise en commun des méthodes, veillez bien à réviser la soustraction des manières suivantes : • en dessinant 5 objets et en en barrant 3 ;• en montrant 5 objets et en en retirant (enlevant) 3 ;• en montrant 5 objets, 3 d’une couleur et 2 d’une autre ;• en comptant à rebours de 3 nombres à partir de 5 (à l’oral) ;• en faisant 3 pas en arrière sur la bande numérique à partir de 5 ;• en utilisant la famille de nombres 3 / 2 / 5.Rappelez le sens premier de la soustraction que les élèves ont appris, à savoir : retrancher, retirer, ou enlever. Il sera utilisé dans ce qui suit.

2 a. Représenter « 17 – 5 » avec des cubes Donnez 20 cubes à chaque binôme. Demandez-leur de représenter le nombre 17 comme ils l’ont fait à la première séance de l’unité 7 : en le décomposant en une tour de 10 cubes emboîtés et 7 cubes supplémentaires. Précisez-leur que, contrairement à la page 69 du fichier A, ils doivent laisser les 7 cubes des unités non emboîtés. Demandez-leur ensuite : « Qui peut montrer comment soustraire 5 de 17 en utilisant cette représentation de 17 avec des cubes ? » Des volontaires suggéreront peut-être de retirer 5 des 7 cubes non emboîtés. En ajoutant les 2 cubes ainsi obtenus à la tour de 10 cubes, on obtient 12 cubes. Soulignez le fait que comme 5, c’est plus

Objectifs

Faire le lien entre les séances 65 et 66 Au cours des séances 65 et 66, on utilise un même concept : sous-traire un nombre à un chiffre d’un nombre à deux chiffres. Il y a toute-fois une différence : à la séance 65, le nombre formé par les unités dans le nombre à deux chiffres est supérieur au nombre à un chiffre, tandis qu’à la séance 66, il lui est inférieur. Les élèves doivent percevoir le lien entre les deux séances. Ils doivent être ca-pables d’expliquer par eux-mêmes pourquoi on soustrait du chiffre des unités à la séance 65 et de la dizaine à la séance 66. Réfléchir à ce type de comparaisons (comprendre et ex-pliquer ce qui est similaire et ce qui diffère) permet de développer un raisonnement mathématique solide.


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petit que 7, on peut facilement le retrancher de 7, ce qui permet de conserver la tour de 10 intacte. Demandez aux élèves de réaliser l’exercice 2 de la page 123 des fiches photocopiables en binômes en utilisant la même méthode de modélisation avec des cubes. Faites-leur verbaliser ce qu’ils ont appris. Concluez cette section en introduisant le schéma qui constitue une transcription de la modélisation avec les cubes. Les lignes en pointillés signifient : « on peut soustraire 5 de 7 ».

b. Représenter « 15 – 3 » avec des boîtes de 10Distribuez à chaque élève l’annexe « Boîte de 10 » ainsi que 20 jetons. Étudiez la page 86 du fichier A. Demandez à certains élèves de lire les phylactères pendant que les autres modélisent avec leur matériel. Soulignez l’analogie entre ce problème et ceux qu’ils ont résolus avec des cubes. Demandez-leur de formuler les points communs et les différences entre les deux, par exemple : • on représente le 15 avec une boîte de 10 complète et 5 jetons supplémentaires ;• on soustrait le 3 du 5 parce que c’est facile, et on obtient 2 ;• on ajoute le 2 à la boîte de 10 intacte pour obtenir 12…Faites le lien entre l’acte de retirer 3 jetons d’une boîte de 10 et celui de barrer 3 disques sur le dessin du fichier. Abordez l’exemple suivant, « 16 – 4 », de la même manière pendant que les élèves représentent la soustraction avec des jetons ou des cubes sur leur boîte de 10.

3 Entraînement Pour leur permettre de s’entraîner davantage, donnez aux élèves les exercices 1 et 2 page 87 du fichier A. Ceux qui ont fini en avance peuvent poursuivre avec l’exercice 1 de l’activité 5 page 122 des fiches photocopiables.

Différenciation Soutien : Soulignez le lien entre la modélisation, les schémas et les notations symboliques. Montrez la relation de correspondance entre les nombres figurant dans le schéma et les objets sur la boîte de 10. Approfondissement : Demandez aux élèves avancés de retrancher le 3 du 10 au lieu du 5 dans le problème « 15 – 3 », et expliquez-leur que les deux méthodes fonctionnent mais que l’une d’elles est plus facile.


Certains élèves soustraient les unités mais oublient d’ajouter le 10 au résultat. Lorsqu’ils font des erreurs, faites-les réfléchir sur le caractère raisonnable de leur résultat. Vérifiez qu’ils comprennent bien la nécessité de recomposer le nombre à la fin.


Soustraire en lançant des dés Un joueur A lance deux dés tandis qu’un joueur B n’en lance qu’un. Le nombre ob-tenu par le joueur B doit être soustrait de celui du joueur A. Le premier joueur qui donne le résultat marque un point après vérification de son exactitude. Le joueur qui marque le plus de points a gagné.

• Je sais soustraire un nombre à un chiffre d’un nombre à deux chiffres.• Je décompose le nombre à deux chiffres en 10 et des unités. S’il y a assez d’unités, j’en soustrais le petit nombre.• Je rajoute ensuite le 10.

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Additionner ou soustraire ?

Présentez des situations variées et demandez aux élèves de dire à chaque fois s’il faut additionner ou soustraire pour obtenir ce que l’on cherche. Quelques exemples : dessinez plu-sieurs objets de deux sortes et de-mandez le nombre total d’objets ; montrez un train de cubes dont vous détachez deux cubes, et demandez le nombre de cubes restants ; choisissez un groupe de filles et de garçons et demandez le nombre total d’élèves dans le groupe…


Fichier A p. 87

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Séance 66

Soustrayons en décomposant le plus grand nombre (2)

Soustraire un nombre à un chiffre d’un nombre à deux chiffres en « soustrayant de 10 ».

Soustraire un nombre à un chiffre d’un nombre à deux chiffres (avec un chiffre des unités inférieur au nombre à un chiffre) en décomposant d’abord le plus grand nombre en une dizaine et des unités, puis en soustrayant le plus petit nombre du 10 avant de rajouter les unités.

Compétence du programme 2016 : Traiter des calculs relevant des quatre opérations, expliciter les procédures utilisées et comparer leur efficacité.


1 Réflexion de groupe 15 min Collectif

2 Soustraire de 10 15 min En binôme


15 min Individuel




Matériel pédagogique : jetons (20 par binôme), cubes (20 par élève)

Vocabulaire : retrancher, décomposer, chiffre, plus petit que


1 Réflexion de groupe Écrivez deux soustractions au tableau « 15 – 3 » et « 15 – 7 » et demandez aux élèves : « Est-ce que quelqu’un peut expliquer la différence entre les deux ? », « Laquelle des deux est plus facile à calculer et pourquoi ? », « Pouvez-vous calculer l’une ou l’autre de tête ? » Si les élèves ont bien compris la séance 65, ils sauront qu’il faut soustraire 3 de 5 dans la première soustraction, puis ajouter 2 à 10 pour obtenir 12. Lorsque vous discuterez de la seconde soustraction, les suggestions des élèves devraient être variées :• compter 7 nombres à rebours à partir de 15 (à l’oral) ;• reculer de 7 cases sur la bande numérique en partant de 15 ;• décomposer 15 en 10 et 5, puis soustraire 7 en deux étapes : soustraire 5 du chiffre des unités de 15 (il reste 10), puis soustraire 2 de 10 (il reste 8) ; • décomposer 15 en 10 et 5. Utiliser la famille de nombres 3 / 7 / 10 pour soustraire 7 de 10 (on obtient 3), puis combiner le 3 et le 5 pour obtenir 8. Toutes les méthodes fonctionnent. Expliquez que le dernier point est l’objet de la séance d’aujourd’hui.

2 Soustraire de 10 Distribuez à chaque binôme l’annexe « Boîte de 10 » et 20 jetons. Étudiez la page 88 du fichier A. Demandez aux élèves d’observer les deux soustractions de la page, « 13 – 4 » et « 14 – 6 », pendant que vous les écrivez au tableau. Demandez à un élève de décomposer 13 en 3 10 / 3 / 13 en utilisant le schéma de famille de nombres, et à un autre

Objectifs

La relation addition-soustraction Lorsque les adultes présentent des problèmes aux élèves, ils les qualifient souvent de « problèmes soustractifs » ou de « problèmes additifs », parce que c’est ainsi qu’ils les envisagent. Cependant, il vaut mieux éviter les étiquettes. Premièrement, la capacité à décider quelle opération utiliser est une compétence essentielle à déve-lopper. Deuxièmement, bon nombre de problèmes peuvent être résolus de plus d’une façon. Les élèves doivent choisir l’opération qui a le plus de sens à leurs yeux. Prenons un pro-blème comme : « Il y avait 15 oiseaux sur un fil et 9 se sont envolés ; com-bien en reste-t-il sur le fil ? » Ce pro-blème peut être résolu en soustrayant 9 de 15. Mais certains élèves ajoute-ront 1 à 9 (ou compteront à partir de 9) pour obtenir 10, puis 5 de plus pour obtenir 15. Ils concluront qu’il reste 1 + 5 (soit 6) oiseaux.


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de faire la même chose pour 14. Attirez l’attention des élèves sur le fait que dans chaque problème, le nombre à un chiffre qu’il faut soustraire est plus grand que la plus petite des deux parties : dans le premier cas, 4 > 3 et dans le second, 6 > 4. Dites : « On va soustraire de 10. » Demandez aux élèves de modéliser l’acte de « soustraire de 10 » en binômes en utilisant leurs boîtes de 10 et leurs jetons comme dans le fichier. Certains élèves vont commencer par barrer les unités du nombre à deux chiffres avant de continuer avec celles du « 10 ». Cette méthode fonctionne également. Expliquez que si l’on soustrait de 10, c’est pour utiliser les « familles de 10 » connues.

3 Entraînement Faites travailler les élèves sur les exercices 1 à 3 page 89 du fichier A, en binômes ou individuellement. Assurez-vous qu’ils disposent du matériel nécessaire pour modéliser les problèmes (une boîte de 10 et 20 cubes ou jetons). Les élèves qui ont fini en avance peuvent continuer avec les exercices de l’activité 6 pages 124 et 125 des fiches photocopiables.

Différenciation Soutien : Aidez les élèves à visualiser les trois étapes du processus : (1) décomposer le nombre à deux chiffres en une dizaine et des unités, qu’on appellera x ; (2) si x est trop petit, soustraire le nombre à un chiffre de 10 ; et (3) combiner ce résultat avec le x. Approfondissement : Demandez aux élèves avancés de faire une grande affiche qui récapitule les différentes stratégies permettant de soustraire « 12 – 9 » (avec des illustrations).


Comme à la séance précédente, certains élèves, trop occupés à décomposer le plus grand nombre puis à soustraire le plus petit nombre de 10, risquent d’oublier d’additionner les unités (donnant par exemple 14 – 5 = 5, au lieu de 9). Lorsqu’ils font une erreur, encouragez-les à s’interroger quant au caractère raisonnable de leur résultat. Vérifiez qu’ils comprennent bien la nécessité de recomposer à la fin, après avoir décomposé le nombre à deux chiffres.


Même changement Choisissez un petit nombre comme 2. Les élèves écrivent des soustractions qui sont égales à 2. Notez-en la liste au tableau en « ordre croissant ». Demandez aux élèves d’expliquer comment faire pour partir d’une égalité qu’ils connaissent (ex. : 4 – 2 = 2) pour en trouver d’autres. Réponse : appliquer un même changement aux deux nombres ; la différence de 2 reste inchangée.

• Je sais soustraire un nombre à 1 chiffre d’un nombre à 2 chiffres.• Je décompose le nombre à 2 chiffres en 10 et des unités. S’il n’y a pas assez d’unités, je soustrais le petit nombre du 10.• Je rajoute ensuite les unités du nombre à 2 chiffres.


Fichier A p. 89

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Séance 67

Égalités dans les familles de nombres

Apprendre des égalités dans des familles de nombres avec un tout compris entre 11 et 19.

Revoir des faits additifs et soustractifs simples et les phrases mathématiques correspondantes. Élargir le concept à des « touts » compris entre 11 et 19. Savoir que la soustraction est l’opération réciproque de l’addition. Savoir trouver et écrire les quatre (ou les deux) égalités dérivées de n’importe quelle famille de nombres.

Compétence du programme 2016 : Les stratégies de calcul s’appuient sur la connaissance de faits numériques mémorisés (répertoires additif et multiplicatif, etc.) et sur celle des propriétés des opérations et de la numération.


1 Revisiter les égalités dans les familles de nombres

15 min Collectif

2 Étude de la page 90 du fichier A 15 min



15 min Individuel



Vocabulaire : égalité, liens, apparenté, inverse


1 Revisiter les égalités dans les familles de nombres Les égalités apparentées dérivées des familles de nombres et leur disposition à l’intérieur d’une maison ont été abordées aux séances 44 et 45. Les élèves vont revisiter ce concept en utilisant cette fois un tout à deux chiffres compris entre 11 et 19. Pour revoir les égalités apparentées composées de nombres à un chiffre, projetez ou dessinez au tableau le domino et écrivez « Partie » sous chaque moitié. Demandez aux élèves : « Quels sont les trois nombres qui vont avec ce domino ? » (3, 6 et 9) Écrivez les nombres au tableau. Continuez ainsi : « Quelles sont les deux phrases mathématiques qui permettent de trouver le nombre total de points lorsqu’on connaît les parties, 3 et 6 ? » (3 + 6 = 9 et 6 + 3 = 9) Écrivez ces deux égalités et demandez aux élèves de les commenter. Ils doivent dire que les deux égalités :• sont une addition des deux mêmes nombres, mais que ces derniers y apparaissent dans deux sens différents ;• donnent le même tout (total). Écrivez « tout » au-dessus du domino. Pour introduire les égalités soustractives apparentées, cachez la partie gauche du domino et demandez à la classe : « Quelle est la phrase mathématique qui permet de trouver le nombre de points que contient la partie que je cache? » (9 – 6 = 3) Faites la même chose pour l’autre partie (9 – 3 = 6) et écrivez les deux égalités à côté des autres de la manière suivante : 3 + 6 = 9 9 – 6 = 3 6 + 3 = 9 9 – 3 = 6Dessinez une maison autour de ces quatre égalités en expliquant que, comme les membres d’une famille, elles sont apparentées et vivent donc dans une maison.

Objectifs

Associativité et commutativité En algèbre, on représente la commutativité de l’addition par a + b = b + a, et son associativité par (a + b) + c = a + (b + c). Au CP, les élèves utilisent sans cesse ces propriétés. Mais cela ne signifie pas pour autant qu’ils en ont une connaissance formelle. Les enfants ont besoin de composer et de décomposer des nombres à de multiples reprises avant de comprendre véritablement que ces derniers peuvent être regroupés de différentes façons, voire même inversés, sans modifier le total. Ils vont également découvrir, poussés par vos questions, que la soustraction ne possède pas ces propriétés.


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Faites remarquer aux élèves que les deux soustractions commencent par le plus grand nombre, et que l’ordre a donc de l’importance dans ce cas (9 – 6 n’a pas la même valeur que 6 – 9). Proposez à la classe d’utiliser la notation simple 3 / 6 / 9 pour exprimer les familles de nombres.

2 Étude de la page 90 du fichier A Demandez aux élèves d’observer le fichier A en haut de la page 90. Lisez les phylactères à voix haute. Demandez-leur d’expliquer la différence avec ce qu’ils viennent juste de faire (le tout a deux chiffres). Aidez-les à visualiser la relation de réciprocité qui unit les deux égalités figurant sur une même ligne : vous pouvez expliquer que la soustraction défait ce que l’addition fait. Autrement dit, si j’ajoute 6 à 5, j’obtiens 11 ; puis, si je retranche 6 à 11, je reviens à 5, mon point de départ. Faites travailler les élèves sur l’exercice 1. Demandez à l’un d’entre eux d’expliquer la réponse à la question d’Idris page 91.

3 Entraînement Pour cette séance, de nombreuses possibilités d’entraînement sont disponibles dans l’activité 7 pages 126 et 127 des fiches photocopiables. Attribuez-les aux élèves en fonction du niveau de chacun.

Différenciation Soutien : Encouragez les élèves qui ont du mal à percevoir la relation de réciprocité entre les égalités 5 + 6 = 11 et 11 – 6 = 5 à se déplacer sur la bande numérique avec leur doigt. Ils n’ont pas besoin de mémoriser les faits soustractifs : s’ils connaissent les additions, ceux-ci en découlent naturellement. Approfondissement : Donnez l’exercice 2 page 91 du fichier A et les problèmes 3 et 4 des pages 128-129 des fiches photocopiables aux élèves qui ont besoin d’aller plus loin.


Utilisez la notion de machines à transformer les nombres (pages 58, 59 et 76 des fiches photocopiables) pour voir si les élèves se rendent compte que la machine « Ajoute 6 » transforme l’ENTRÉE 5 en SORTIE 11, puis que la machine « Soustrais 6 » transforme de nouveau l’ENTRÉE 11 en SORTIE 5.


Ma table d’addition À la fin du CP, les élèves doivent connaître les faits additifs jusqu’à 20. Ils connaissent déjà les faits + 0 et + 1, ainsi que certains doubles. Sur une table d’addition carrée, faites-leur colorier les faits qu’ils connaissent. Visualiser ce qui est connu les encourage à apprendre ce qui est encore inconnu. Au fil de l’année, ils colorieront de plus en plus de faits.

• Je sais écrire 4 égalités pour une famille de nombres.• Pour les doubles, il n’y a que 2 égalités, comme 5 + 5 = 10 et 10 – 5 = 5.


Encore sur les doigts

Montrez deux nombres compris entre 0 et 5 à l’aide de vos deux mains et de-mandez aux élèves de calculer leur somme ou leur différence. Alternez de façon libre et annoncez juste avant de montrer les nombres si vous voulez leur somme ou leur différence.

Variante : Montrez deux nombres à l’aide de vos deux mains puis deman-dez aux élèves de montrer avec leurs mains une autre façon de faire la même différence ou la même somme.


Fichier A p. 91

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Séance 68

Résolvons des problèmes (1)

Résoudre des problèmes à partir d’images.

Résoudre des problèmes basés sur les modèles additif et soustractif « parties-tout » (composition d’état) et « avant-après » (changement d’état).

Compétence du programme 2016 : La résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer.


1 Les problèmes de maisons 20 min Collectif

2 Résoudre des problèmes en collaboration

20 min

En binôme puis collectif

Fichier A : pp. 92-94 Matériel pédagogique : cubes ou jetons de couleur, 2 dés


Fichier A p. 93

1 Les problèmes de maisons Les problèmes sont des tâches mathématiques qui ont le potentiel de poser des défis intellectuels visant à améliorer la compréhension et le développement mathématiques des élèves. La résolution de problèmes n’est pas seulement un objectif de l’apprentissage des mathématiques : c’est aussi un moyen essentiel de faire des mathématiques. Ce ne doit pas être une activité sporadique mais une partie intégrante de la pratique quotidienne des mathématiques. Par le biais de la résolution de problèmes, les élèves acquièrent de nouvelles connaissances, élargissent leur répertoire de stratégies et développent des compétences métacognitives vis-à-vis de leurs propres processus de réflexion. Commencez par projeter le problème 1 page 92 du fichier A au tableau ou par montrer un modèle ou une grande image de la maison de Maël. Faites la liste des quatre étapes de la résolution de problèmes (abordées à la séance 33) et modélisez chacune d’entre elles.• Lire et comprendre le problème : « Quelles sont les deux parties ? » (Les réponses vont varier : jaune et rouge, ou la base et le toit.) Décomposez ces parties en « sous-parties » plus petites pour aider les élèves à compter (ex. : pour compter les blocs rouges, on pourrait faire 3 + 5 = 8, puis compter 4 de plus).• Faire un plan : « Doit-on additionner ou soustraire ? », « Comment décide-t-on ? »• Mettre le plan à exécution : « Comment trouve-t-on chaque partie ? », « Comment additionne-t-on les deux parties ? » (Les réponses vont varier : compter à partir de l’un des nombres, utiliser des faits connus…)• Vérifier : « 20 est-il un résultat raisonnable ? » (Oui, c’est plus grand que les deux parties 8 et 12.) « Aurait-on pu résoudre le problème d’une autre façon ? »• Acceptez les deux phrases mathématiques suivantes: 12 + 8 = 20 et 8 + 12 = 20Ensuite, répétez le même processus avec la maison d’Idris (problème 2) en posant des questions aux élèves pour les orienter.

Objectifs


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Comparez les deux maisons : « Comment sait-on qu’il y a 20 blocs en tout sans compter ? » (Les maisons ont une structure identique). Pour finir, faites remarquer qu’il y avait deux façons de compléter la première égalité mais une seule façon de compléter la seconde. Concluez : « Pour la soustraction, 20 – 4 n’a pas la même valeur que 4 – 20. »

2 Résoudre des problèmes en collaboration Les problèmes 3, 4 et 5 du fichier A sont de type « parties-tout ». Attribuez d’abord l’un de ces problèmes à chaque binôme, en réservant le problème 5 aux élèves avancés. Donnez-leur du matériel pédagogique de couleur pour qu’ils puissent modéliser les blocs dans chaque problème. Rappelez-leur de suivre les quatre étapes de l’analyse de problèmes et d’en faire le compte rendu lorsqu’ils partageront ensuite leurs stratégies. Soulignez la distinction entre les problèmes 3 et 4 : dans le problème 3, il faut compter tous les blocs tandis que dans le 4, il faut se concentrer uniquement sur les blocs verts, d’où l’importance de lire attentivement et de bien comprendre un problème avant de se lancer.

Différenciation Soutien : Dites aux élèves en difficulté de modéliser la décomposition de chaque structure en ses parties et sous-parties à l’aide de blocs concrets, et de compter d’abord les parties puis le tout. Même s’ils ne connaissent pas encore les combinaisons de nombres comme 3 + 7 = 10, ils savent appliquer la stratégie additive la plus élémentaire : compter l’ensemble. Le fait de trouver le résultat les encouragera à persévérer. Approfondissement : Pour approfondir, si les élèves avancés ont trouvé 9 + 6 = 15 au problème 5, demandez-leur de trouver une autre addition ; par exemple : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Idem pour la soustraction : s’ils en ont trouvé une, demandez-en une autre. Dites-leur qu’en mathématiques, la « structure en escalier » est connue sous le nom de « nombre triangulaire ». Faites-leur construire les quatre premiers nombres triangulaires (1, 1 + 2, 1 + 2 + 3 et 1 + 2 + 3 + 4) et dites-leur de les utiliser pour inventer d’autres histoires d’addition et de soustraction.


L’une des difficultés majeures que pose la résolution de problèmes aux jeunes élèves est le choix de l’opération à utiliser. Au cours de cette séance, les symboles des opérations sont donnés. Mais ce ne sera pas le cas à la séance suivante. Pour aider les élèves sur ce point, posez-leur sans cesse des questions concernant la signification des opérations et l’effet qu’elles ont sur la combinaison de nombres.


Lancer de dés Chaque élève dispose d’un tableau comportant 12 cases pour les nombres de 2 à 12 (ils peuvent aussi en dessiner un sur leur ardoise). En binômes, ils lancent deux dés, additionnent les nombres obte-nus, vérifient ensemble la somme avant de placer une croix dans la case appropriée. Cette activité consolide leur connaissance des faits additifs et introduit les rudiments de la notion de probabilité.

• Je sais résoudre des problèmes à partir d’images. • Je sais écrire une addition ou une soustraction pour chaque problème.

Cultiver une conception solide des opérations Vous jouez un rôle crucial dans l’apprentissage que font les élèves de la résolution de problèmes en cultivant chez eux une conception solide des opérations. Concentrez-vous sur leur réflexion et leurs stratégies, pas seulement sur l’exactitude de leurs réponses. Les questions que vous posez et les discussions que vous animez font réfléchir les élèves. Pour promouvoir cette conception solide des opérations, affichez au mur des questions comme : • Ta réponse est-elle raisonnable ? Comment le sais-tu ?• T’attendais-tu à un nombre plus petit/plus grand ? Pourquoi ?• Quelle stratégie as-tu utilisée ? Peux-tu l’expliquer à la classe ?• Aurais-tu pu résoudre le problème d’une autre façon ?• Ce problème t’a-t-il appris quelque chose de nouveau ?


Fichier A p. 94

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Séance 69

Résolvons des problèmes (2)

Résoudre des problèmes à partir d’images.

Résoudre des problèmes basés sur les modèles additifs et soustractifs « parties-tout » (composition d’état) et « avant-après » (changement d’état).

Compétence du programme 2016 : Étudier les liens entre l’addition et la soustraction.


1 Le problème de train de Maël 15 min Collectif

2 Inventer des histoires 15 min En binôme


15 min Individuel

Fichier A : p. 95


Matériel pédagogique : cubes ou jetons


1 Le problème de train de Maël Le problème 1 de la page 95 du fichier A est difficile : il vaut mieux le faire collectivement à un moment où les élèves ont l’esprit frais. Il s’agit d’un problème de type « changement d’état », ou « avant-après » : Maël avait un certain nombre de wagons, il en a donné à Adèle mais il lui en reste quelques-uns. Les problèmes de type changement d’état sont les plus faciles à conceptualiser pour les élèves lorsqu’il s’agit de trouver le nombre final. (Exemple : « J’avais 7 sucettes et j’en ai donné 4. Combien m’en reste-t-il ? ») Cependant, le problème de Maël est déconcertant dans la mesure où c’est le nombre initial qu’il faut trouver. C’est ce qui en fait « un problème », c’est-à-dire une tâche pour laquelle on ignore quelle méthode appliquer et qui nécessite par conséquent une réflexion de la part de la personne qui cherche à la résoudre. Discutez de la situation et identifiez la question. Évaluez la compréhension qu’ont les élèves du problème (distinguez la locomotive des wagons) : • Que représente le 5 ? ;• Que représente le 8 ? ;• Avait-il plus ou moins que 8 wagons au début ?Émettez des hypothèses afin d’évaluer la conception qu’ont les élèves des nombres et des opérations : « Et si Maël avait eu 10 wagons au début, combien en aurait-il maintenant ? » (5). En utilisant ce même exemple hypothétique, donnez des indices concernant la stratégie à suivre : « Comment utiliseriez-vous les 5 wagons qu’il a donnés et les 5 qu’il lui reste pour trouver le nombre initial ? » (5 + 5) Les élèves devraient conclure qu’ils cherchent un résultat supérieur à 10 parce que Maël a encore 8 wagons. Faites un schéma pour les aider à conceptualiser le problème.Demandez à des volontaires d’expliquer comment ils pensent pouvoir trouver le résultat.

Objectifs

Flexibilité La flexibilité est une composante essentielle de toute conception solide des nombres et des opérations. Les élèves développent leur flexibilité lorsqu’ils sont libres d’utiliser la stratégie qu’ils comprennent le mieux et qui est la plus adaptée au contexte. En faisant preuve de flexibilité nous-mêmes, nous l’encourageons chez nos élèves. Par exemple, l’égalité attendue en réponse au problème de train de Maël est « 8 + 5 = 13 ». Mais il est possible que certains élèves écrivent « 13 – 5 = 8 », car cette formule suit l’ordre logique de l’histoire de don :1. Maël avait 13 wagons au début.2. Il en a donné 5.3. Il lui en reste 8.Du moment que les élèves répondent « Maël avait 13 wagons au début », c’est exact !

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2 Inventer des histoires Dans les unités précédentes, les élèves ont déjà été amenés à inventer des histoires. Formez des binômes et demandez à chacun d’eux d’inventer un problème additif et un problème soustractif. Donnez aux élèves qui en ont besoin ou envie des cubes ou des jetons jaunes et violets pour représenter les wagons et les aider à inventer de nouvelles histoires. Parmi les histoires d’additions possibles, on peut penser aux trois suivantes :• Maël a 8 wagons en tout, 3 violets et 5 jaunes : 8 = 3 + 5• Maël et Adèle ont 13 wagons en tout : 8 + 5 = 13• Il y a 10 wagons jaunes en tout, chaque enfant en a 5 : 10 = 5 + 5 Parmi les histoires de soustractions possibles, on peut penser aux trois suivantes : • Maël a 3 wagons de plus qu’Adèle : 8 – 5 = 3• Il y a 13 wagons en tout, 3 sont violets et 10 sont jaunes : ➜ Le nombre de wagons violets est : 13 – 10 = 3 ➜ Le nombre de wagons jaunes est : 13 – 3 = 10Demandez à quelques binômes de partager leurs histoires. Écrivez au tableau les phrases mathématiques qui correspondent à chacune.

3 Entraînement Les élèves peuvent s’entraîner avec les problèmes assez simples de l’activité 8 page 130 des fiches photocopiables. Le problème 1 est le plus simple. Le problème 2 est plus délicat : l’image pourrait induire les élèves en erreur. Le problème 3 page 131 repose sur une situation « parties-tout » qui peut être envisagée comme une addition ou comme une soustraction, selon qu’on se concentre sur le tout ou sur les parties.

Différenciation Soutien : Mimez les problèmes avec les élèves en difficulté en utilisant des objets de couleur pour les wagons et en leur faisant verbaliser les histoires. Leurs gestes et leurs mots vous permettront d’évaluer leur compréhension. Approfondissement : Donnez aux élèves avancés le problème 3 page 131 des fiches photocopiables. En b), les additions donnent le même tout (6 + 12 = 18 et 12 + 6 = 18) ; en c), les soustractions donnent les deux parties distinctes (18 – 12 = 6 et 18 – 6 = 12).


Faites un tableau listant les quatre étapes de la résolution de problèmes (séance 33) et demandez aux élèves de l’utiliser pour résoudre les problèmes. Aidez-les à décomposer chaque étape et à verbaliser leur réflexion.


Double comparaison Les élèves jouent en binômes. Ils posent une pile de cartes-nombres entre eux, face contre table. Ils retournent deux cartes et en comparent les to-taux. Le joueur qui a le plus grand total récupère les cartes, et celui qui a le plus de cartes à la fin du jeu a gagné.

• Je sais quand je dois utiliser l’addition et quand je dois utiliser la soustraction quand je résous un problème.


Les presque-doubles (1)

Revoyez les doubles jusqu’à 5 + 5. Explorez ensuite les presque- doubles : « Si 4 + 4 = 8, alors combien font 4 + 5 ? », « Si 3 + 3 = 6, alors com-bien font 3 + 4 ? » De temps en temps, demandez aux élèves d’expliquer comment ils trouvent leur résultat. Réponses attendues : « Je double le plus petit nombre et j’ajoute 1 », « Je double le plus grand nombre et j’enlève 1. »


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Séance 70

Ce que j’ai appris

1 Ce que j’ai appris Évaluez ce que les élèves ont compris des grandes notions abordées au cours de cette unité.• Il y a des significations associées à l’addition et à la soustraction.• L’addition et la soustraction sont des opérations réciproques.• Les nombres peuvent être combinés par l’addition et par la soustraction.• Il existe différentes manières d’additionner et de soustraire des nombres.• Les deux opérations peuvent permettre de résoudre certains problèmes.Au terme de cette unité, les élèves doivent savoir qu’il est possible de résoudre deux situations-problèmes en apparence différentes par une même phrase mathématique. Par ailleurs, il est possible de résoudre un problème qui semble être un « problème soustractif » à l’aide d’une addition. Stratégies : Demandez aux élèves : « Qui peut expliquer les différentes manières d’additionner deux nombres ? » Révisez les stratégies additives déjà apprises. Faites de même pour la soustraction. La capacité à décomposer des nombres de différentes manières est essentielle au développement de bonnes stratégies de calcul. Représentations multiples : Demandez aux élèves de décrire les différentes façons dont on peut représenter l’addition et la soustraction : avec des images, des dessins, des objets, des mots, des bonds sur une bande numérique et des phrases mathématiques. Revoyez ensemble la page 96 du fichier A. Familles de nombres et égalités : Évaluez la compréhension qu’ont les élèves des égalités dérivées d’une famille de nombres. Révisez la famille proposée page 96 du fichier A, puis donnez-en une autre à étudier. Vérifiez que les élèves perçoivent bien le lien qui unit les deux égalités figurant sur une même ligne et dans une même colonne (de la « maison »). Demandez-leur : « Donnez-moi un exemple de "maison” qui ne contient que deux égalités. »

2 ExploronsCe problème fera la joie des élèves amateurs de puzzles. Utilisez des cure-dents ou des bâtonnets. N’oubliez pas que tous les enfants doivent se sentir stimulés. Invitez ceux qui apprécient les puzzles à en créer de nouveaux pour la classe. [Réponse a) : 3 + 3 = 6. Réponse b) : 8 – 3 = 5]

3 Mon journalTraditionnellement, on demande aux élèves de trouver les réponses aux questions de quelqu’un d’autre. Cet exercice fonctionne dans le sens inverse : à partir d’une réponse donnée, on encourage les élèves à faire preuve de créativité en inventant autant de questions que possible.

Fichier A p. 96

Jouons avec les maths

Jeux des additions, jeux des soustractions

Téléchargez les instructions sur : www.methodedesingapour.com.Un jeu à deux joueurs pour s’entraîner à l’addition et à la soustraction avec des résultats allant jusqu’à 20. Pour tirer le meilleur parti de ce jeu sur le plan pé-dagogique et s’assurer que les élèves améliorent leurs stratégies de calcul, demandez aux binômes de justifier leurs résultats par écrit sur une feuille de papier. En expliquant à tour de rôle comment ils ont trouvé leurs résultats, les élèves inspirent à leur partenaire des manières de penser (potentiel-lement) différentes. Dites aux élèves qu’ils peuvent expliquer avec des mots, dessiner des constellations, utiliser des boîtes de 10, des cubes, une bande nu-mérique, des familles de nombres, etc.

Le point sur ce que les élèves ont appris et compris en fin d’unité 8. Trois activités au choix : « Mon journal », une exploration stimulante et « Jouons avec les maths ».

Bilan de l’unité 8


UNITÉ 8 : L’addition et la soustraction jusqu’à 20 · 140 La Librairie des Écoles 2016...

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