Une redéfinition de la dérivée

8/7/2019 Une redéfinition de la dérivée

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Une redéfinition de la dérivée(Pourquoi le calcul différentiel fonctionne — et pourquoi il nefonctionne pas)

par Miles Mathis

1 Introduction

Dans cet article, je prouverai que l’invention du calcul différentiel utilisant desséries infinies et son interprétation subséquente utilisant des limites étaient toutesdeux des erreurs d’analyse du problème donné. En fait, comme je le montrerai,elles furent toutes deux basées sur la même erreur conceptuelle : appliquer desdifférences de plus en plus petites sur une courbe mathématique (une courbe des-

sinée dans un graphe). De cette manière, j’éviterai et finalement falsifierai les ana-lyses standards comme non-standards.

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UNE REDÉFINITION DE LA DÉRIVÉE

Le nid d’erreurs historiques que je vais soulever ici n’est pas seulement un nidsémantique, métaphysique ou de mauvaises définitions ou méthodes. C’est aussiune erreur dans la recherche de solutions. J’ai maintenant utilisé mes correctionsà la théorie pour démontrer que différentes preuves sont fausses. De plus, mameilleure compréhension du calcul différentiel m’a permis de montrer que celui-ciest mal utilisé dans des problèmes physiques simples, donnant la mauvaise ré-ponse.

En redéfinissant la dérivée, je vais également saper les supposition de basede toutes les topologies actuelles, y compris la topologie symplectique — qui dé-pend de la définition traditionnelle dans son utilisation de points dans l’espacedes phases. De même, l’algèbre linéaire, l’algèbre vectorielle et le calcul tensorielseront fondamentalement affectés par ma redéfinition, car je montrerai que lesmathématiques actuelles sont des représentations erronées des divers espaces oudomaines qu’ils espèrent exprimer. Toutes les représentations d’espaces vectoriels,abstraites ou physiques, réelles ou complexes, composées d’une quelconque com-binaison de scalaires, vecteurs, quaternions ou tenseurs, seront influencées, car

je montrerai que tous les espaces mathématiques basés sur Euclide, Newton ouCauchy, ainsi que les définitions courantes du point, de la ligne et de la dérivéesont au moins d’une dimension inférieure à l’espace physique. C’est-à-dire que les

variables ou fonctions dans toutes les mathématiques actuelles interagissent dansdes espaces qui sont des espaces mathématiques, et que ces espaces mathéma-tiques (tous ces espaces) ne représentent pas l’espace physique.

Ce n’est pas une controverse philosophique de ma part. Ma thèse n’est pasqu’il existe une certaine déconnexion métaphysique entre les mathématiques et laréalité. Ma thèse, prouvée mathématiquement ci-dessous, est que les définitionshistoriques ainsi que celles couramment acceptées de point, ligne et dérivée ma-thématique sont toutes fausses pour la même raison fondamentale, et que ceci fal-sifie tout espace mathématique. Je corrige cependant les définitions, ce qui permetune correction du calcul différentiel, de la topologie, des algèbres linéaire et vec-torielle et des tenseurs (parmi bien d’autres choses). De cette façon, le problèmeest résolu une fois pour toutes, et il n’y a pas besoin de parler de métaphysique,

de formalisme ou autre charabia ésotérique.En fait, je résous le problème par la méthode la plus simple qui soit, sans re-

cours à l’un quelconque des systèmes mathématiques que je critique. Je n’auraipas besoin de mathématiques autres qu’une analyse numérique élémentaire, de lagéométrie de base et de la simple logique. Je fais cela ostensiblement, puisque lanature fondamentale du problème et son statut de plus ancien problème mathé-matique encore en place l’ont rendu peu réceptif à toute autre analyse abstraite.Le problème n’a pas seulement défié toute solution, il a défié toute détection. Ilfaut donc qu’une analyse des fondements soit faite au niveau élémentaire : toute

utilisation de mathématique supérieure ne ferait que déplacer la question. Cela acomme avantage supplémentaire de rendre cet article compréhensible à tout lec-

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teur patient. Quiconque ayant des notions de calcul différentiel (et même ceux quin’en ont pas) sera à même de suivre mes arguments. Les mathématiciens profes-sionnels pourront trouver tout ceci ennuyeux pour diverses raisons, mais on leurdemande d’être bienveillants, car eux aussi pourront s’apercevoir qu’une analysedifférente, à un rythme différent et dans un « langage » différent peuvent amenerdes résultats nouveaux et utiles.

Le produit final de ma preuve sera une re-dérivation de l’équation au cœurdu calcul différentiel, par une méthode qui n’utilise aucune série infinie et aucunconcept de limite. Je ne re-dériverai pas l’intégrale dans cet article, mais le nouvelalgorithme que j’apporte ici rend aisée cette re-dérivation, et personne ne pourradouter que l’entièreté du calcul a été réétablie sur des bases plus solides.

Il peut également être intéressant pour beaucoup de monde de comprendre que

ma méthode me permet de montrer, de la manière la plus simple qui soit, pourquoile calcul ombral, ou calcul symbolique, a toujours fonctionné. Beaucoup de travailformel a été réalisé sur le calcul ombral depuis 1970 ; mais, bien que les diverseséquations et techniques du calcul ombral aient été connectées et étendues, ellesn’ont jamais été complètement fondées. Ma réinvention et ma ré-interprétation duCalcul des Différences Finies me permet de montrer — en soulevant un seul voile— pourquoi des indices agissent exactement comme des exposants dans beaucoupde situations.

Finalement, et peut-être est-ce le plus important, ma réinvention et ré-inter-prétation du Calcul des Différences Finies me permet de résoudre beaucoup deproblèmes liés aux points-particules de l’Électrodynamique Quantique, sans re-normalisation. Je montrerai que les équations de l’EDQ ne demandent de la renor-malisation que parce qu’elles avaient tout d’abord été dé-normalisées par les ma-thématiques actuelles, lesquelles sont toutes basées sur ce que j’appelle le CalculInfini. L’interprétation courante permet le calcul de vitesses et d’accélérations ins-tantanées, et ceci parce que l’on permet aux fonctions de s’appliquer à des points,et parce que l’on utilise des séries infinies pour approcher des points dans l’analysede la courbe. En retournant au Calcul Fini — et en débarrassant les mathématiquesappliquées au point — j’ai tracé la voie dans cet article pour nettoyer l’EDQ. Enfaisant de chaque variable ou fonction un intervalle fini, nous redéfinissons chaquedomaine et espace, et en faisant cela nous nous dispensons en grande partie ouen totalité du besoin de renormalisation. Nous nous dispensons également de lapremière raison d’être de la théorie des cordes.

Le calcul de Newton est venu de tableaux qu’il avait fait lui-même à partir deses séries de puissances, basées sur le développement binômial. Le développementbinômial était un développement en séries infinies d’une différentielle complexe,utilisant une méthode fixe. En essayant d’exprimer la courbe en séries infinies,

il suivait la ligne de raisonnement principale des algorithmes d’avant le calculdifférentiel, ce qui nous ramène aux anciens Grecs. Plus récemment, Descartes et

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Wallis avaient attaqué les deux principaux problèmes du calcul — la tangente àla courbe et la surface de la quadrature — de façon analogue, et la méthode deNewton était une conséquence directe de ses lectures des papiers de Descartes etWallis. Tous ces mathématiciens suivaient l’exemple d’Archimède, qui avait résolubeaucoup de problèmes du calcul 1900 ans plus tôt par une méthode similairebasée sur la sommation et l’annulation de séries infinies. Cependant, Archimèdene dériva jamais aucune équation du calcul proprement dit, la principale étant,dans ses papiers, y = n xn−1.

Cette équation fut dérivée par Leibniz et Newton presque simultanément, sinous en croyons leurs propres témoignages. Leurs méthodes, quoique différentesdans la forme, étaient pratiquement équivalentes en théorie, les deux étant baséessur les séries infinies et des différences approchant zéro. Leibniz nous dit lui-même

que la solution au calcul se fit jour en lui quand il étudia le triangle différentiel dePascal. Pour résoudre le problème de la tangente, ce triangle doit être rendu deplus en plus petit.

Newton et Leibniz connaissaient tous deux la réponse au problème de la tan-gente avant de commencer, puisque ce problème avait été résolu bien longtempsauparavant par Archimède, en utilisant le parallélogramme des vitesses. De ceparallélogramme vint l’idée de vitesse instantanée, et les mathématiciens du 17e

siècle, plus spécialement Torricelli et Roberval, empruntèrent certainement leurcroyance dans la vitesse instantanée aux Grecs. Les Grecs, en commençant par lesPéripatéticiens, assumaient qu’un point sur une courbe peut agir comme un pointdans l’espace. Ce point pouvait dès lors être imaginé comme possédant une vi-tesse. Lorsque le calcul fut utilisé presque deux millénaires plus tard par Newtonpour trouver une vitesse instantanée — en lui assignant la dérivée — celui-ci suivitsimplement l’exemple des Grecs.

Cependant, les Grecs semblaient avoir compris que leurs outils d’analyse étaientinférieurs à leur méthode synthétique, et beaucoup de mathématiciens plus tardifs(comme Wallis et Torricelli) pensaient même que les Grecs avaient dissimulé ces

outils. Que ce soit vrai ou non, il est certain que les Grecs n’ont jamais synthétiséaucune méthode basée sur des séries infinies, des infinitésimaux ou des limites.Comme le démontre cet article, ils eurent raison de ne pas le faire. La supposi-tion que le point sur la courbe peut être traité comme un point dans l’espace n’estpas correcte, et l’application de toute série infinie à une courbe est dès lors uneimpossibilité. Proprement développée et analysée, l’équation dérivée ne peut pasproduire de vitesse instantanée, car la courbe présuppose un sous-intervalle quine peut approcher zéro ; un sous-intervalle qui est, finalement, toujours un.

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2 La fondation

Afin de prouver ceci, je dois tout d’abord fournir la fondation de ma théorie

en analysant dans une certaine profondeur certains concepts n’ayant pas reçu suf-fisamment d’attention dans les cercles mathématiques ces dernières années. Cer-tains de ces concepts n’ont plus été discutés depuis des siècles, peut-être parcequ’ils ne sont plus considérés comme suffisamment abstraits ou ésotériques. Unde ces concepts est le nombre cardinal. Un autre est la ligne des nombres car-dinaux (ou naturels). Un troisième est l’assignation de variables à une courbe.Un quatrième est l’acte de dessiner une courbe et de lui assigner une équation.Si ces concepts étaient encore enseignés à l’école, ils le seraient très tôt, car ilssont de nature très élémentaire. En réalité, ils ont été traités comme s’ils étaientévidents par eux-mêmes — on pourrait dire qu’ils n’ont pas été jugés dignes de

considération sérieuse depuis la chute d’Athènes. Même peut-être à cette époquen’étaient-ils déjà plus pris au sérieux, puisque les Grecs échouèrent aussi dans leurcompréhension de la courbe — comme leur utilisation d’une vitesse instantanéele démontre clairement.

Le concept le plus élémentaire que je dois analyser ici est le concept de point.Dans l’édition Dover des Éléments d’Euclide, on nous dit : « Un point est ce qui necontient aucune partie ». L’édition Dover fournit des notes sur chaque variationpossible de cette définition, ancienne comme moderne, mais elle ne répond pas àla question centrale de l’article que vous êtes en train de lire, à savoir : « Est-ce

que la définition s’applique à un point mathématique ou à un point physique ? ».Ou, pour être encore plus brusque et clair : « Parlons-nous d’un point dans l’espaceou parlons-nous d’un point sur une feuille de papier? ». Cette question n’a jamaisété posée, et on n’y a évidemment jamais répondu (jusqu’ici).

Je sais que beaucoup de gens ne verront pas où je veux en venir avec cettequestion. Comment un point sur une feuille de papier serait-il différent d’un pointdans l’espace ? Un point sur une feuille est physique — le papier et l’encre sont deschoses physiques. Que veux donc dire l’auteur ?

Permettez-moi tout d’abord de faire la clarté sur ce que je ne veux pas dire.Certains lecteurs seront familiers avec les arguments historiques sur le point, et je

veux être clair ici sur le fait que ma question est tout-à-fait nouvelle. La questionhistorique, telle qu’elle a été discutée depuis plus de deux mille ans maintenant,concerne la différence entre une monade et un point. Selon les définitions an-ciennes, une monade était indivisible, tandis qu’un point était indivisible tout enayant une position. La question naturelle était : « Une position où ça ? ». La seuleréponse, pensait-on, était « Dans l’espace, ou dans le monde réel ». Une chosene peut avoir de position autre part. Un point est donc une position indivisibledans le monde réel. Une monade est un « quelconque-point » généralisé, ou en-

core l’idée d’un point. Un point est une monade spécifique, ou la position d’unemonade spécifique.

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Mais ma distinction entre un point mathématique et un point physique n’est pascette distinction historique entre une monade et un point. Je ne suis pas concernépar des classifications ou par l’existence. Ça n’a pas d’importance ici, lorsque jefais la distinction entre un point physique et un point mathématique, que l’un,l’autre ou les deux soient des idées ou des objets. Ce qui est important est qu’ils nesont pas équivalents. Un point sur un diagramme n’est ni un point physique ni unemonade. Un point sur un diagramme est un point spécifique ; il a (ou représente)une position définie. Il n’est donc pas une monade. Mais un point mathématiqueou sur un diagramme est une abstraction d’un point physique ; il n’est pas le pointphysique lui-même. Sa position est différente, pour commencer. Plus important,qu’il soit idée ou objet, il est à un niveau inférieur par rapport à un point physique,comme je le montrerai en détail plus bas.

La question historique concernait une sorte d’abstraction — du spécifique augénéral. Ma question concerne une sorte d’abstraction complètement différente —la représentation d’une chose spécifique par une autre chose spécifique. L’éditionDover appelle sa question une question ontologique. La mienne est opérationnelle.Un point mathématique représente un point physique, mais n’est pas équivalentà un point physique, car l’opération consistant à le représenter sous forme dediagramme crée des domaines qui ne sont pas directement transmuables dans desdomaines physiques.

Les mathématiques appliquées doivent être appliquées à quelque chose. Lesmathématiques sont de l’abstraction, mais les mathématiques appliquées ne peu-

vent être entièrement abstraites, sinon elles ne pourraient s’appliquer à quoi quece soit. Les mathématiques appliquées s’appliquent à des diagrammes, ou à leuréquivalent. Elles ne peuvent s’appliquer directement au monde réel. Et c’est pour-quoi j’appelle un point de diagramme un point mathématique. La géométrie et l’al-gèbre appliquées sont appliquées à des points mathématiques, qui sont des pointssur des diagrammes.

Un point sur une feuille de papier est un diagramme, ou le début d’un dia-gramme. C’est une représentation d’un point physique, pas le point lui-même.Lorsque nous appliquons des mathématiques, nous le faisons en assignant desnombres à des points ou des longueurs (ou des vitesses, etc.). La physique, c’estdes mathématiques appliquées. Elle est sensée s’appliquer au monde réel. Mais lesnombres mathématiques ne peuvent pas être appliqués directement à des pointsphysiques. Les mathématiques sont une abstraction, comme chacun sait, et unepartie de ce qui les rend abstraites, même quand elles sont appliquées à la phy-sique, est que les nombres sont assignés à des diagrammes. Ces diagrammes sontdes abstractions. Un graphe cartésien est l’une de ces abstractions. Le graphe re-présente l’espace mais n’est pas l’espace lui-même. Le tracé d’un cercle, d’un carré,d’un vecteur ou toute autre représentation physique est aussi une abstraction. Le

vecteur représente une vitesse, ce n’est pas la vitesse elle-même. Un cercle peutreprésenter une orbite, mais ce n’est pas l’orbite elle-même, et ainsi de suite. Mais

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ce n’est pas seulement que le tracé est simplifié ou mis à l’échelle qui le rend abs-trait. L’abstraction de base est due au fait que les maths appliquées au problème,quel qu’il soit, s’applique au diagramme, pas à l’espace. Les nombres sont assignésà des points sur la feuille de papier ou sur le graphe cartésien, pas aux points dansl’espace.

Tout cela est vrai même quand il n’y a pas de papier ou d’écran utilisé pourrésoudre le problème. Chaque fois que des maths sont appliquées à de la phy-sique, il existe une certaine représentation spatiale quelque part, même si celaconsiste uniquement en des lignes flottant dans la tête de quelqu’un. Les nombressont appliqués à ces diagrammes mentaux d’une façon ou d’une autre, puisque lesnombres ne peuvent pas logiquement être appliqués à des espaces physiques.

La méthode la plus simple pour prouver l’inéquivalence entre le point phy-

sique et le point mathématique est de montrer que vous ne pouvez pas assignerun nombre à un point physique. Nous assignons tout le temps des nombres àdes points mathématiques. Cette assignation est le fait opérationnel primaire desmaths appliquées. Il s’ensuit que si vous ne pouvez pas assigner un nombre à unpoint physique, alors un point physique ne peut pas être équivalent à un pointmathématique.

Prenez un point physique. Je vais supposer que vous pouvez faire cela, même siles métaphysiciens vont dire que c’est impossible. Ils vont vous donner une varia-tion quelconque de l’argument de Kant, selon lequel quelque soit le point que vouschoisissiez, ce point est déjà une construction mentale dans votre tête, pas le pointlui-même. Vous aurez choisi un phenomenon, alors qu’un point physique est unnoumenon. Mais je ne m’intéresse pas ici à de la métaphysique; je suis intéressépar une définition précise, une définition qui possède le contenu mathématiquerequis pour faire l’affaire. Une définition de « point » qui ne nous dit pas si nousavons affaire à un point physique ou à un point mathématique ne peut conveniret nous amènera à des problèmes purement mathématiques.

Donc, vous avez choisi un point. Je ne vais même pas chercher à être rigoureuxet vous embêter pour savoir si ce point est vraiment sans dimension ou indivisible,puisque, une fois de plus, ce serait juste de la chicanerie dans le cadre de cetarticle. Disons que vous avez choisi le coin d’une table pour être votre point. Laseule chose que je vais vous interdire est que vous imaginiez ce point en relationavec une origine. Vous ne pouvez pas mettre ce coin de table sur un graphe, mêmepas dans votre tête. Le point que vous avez choisi est simplement cela, un pointphysique dans l’espace. Il n’existe pas d’axes ou d’origines dans votre pièce oudans votre monde. Bien, maintenant, essayez d’assigner un nombre à ce point. Si

vous êtes têtu, vous pouvez le faire. Vous pouvez assigner le nombre 5 à ce point,disons, juste pour me contredire. Mais maintenant, essayez de donner à ce nombre

une signification mathématique quelconque. Qu’est-ce qu’on peut conclure du faitque le coin de la table est « 5 » ? Clairement, rien. Si vous affirmez qu’il se trouve

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à 5 décimètres du centre de la table, ou de votre pied, alors vous lui avez assignéune origine. Le centre de la table, ou bien votre pied, devient l’origine. J’ai interdittoute origine, puisque les origines sont des abstractions mathématiques, pas deschoses physiques.

La seule façon d’assigner un nombre à votre point est d’assigner l’origine à unautre point, puis de mettre en place des axes, de manière à ce que votre piècedevienne un diagramme, soit dans votre tête, soit sur une feuille de papier. Maisalors le nombre 5 s’applique au diagramme, pas au coin de la table.

Qu’est-ce que ceci prouve ? La géométrie d’Euclide est une forme de mathé-matiques. Je ne pense pas que quiconque niera que la géométrie est de la ma-thématique. La géométrie devient utile uniquement lorsque nous pouvons com-mencer à assigner des nombres à des points, et ainsi trouver des longueurs, des

vitesses et des accélérations. Si nous assignons des nombres à des points, alorsces points doivent être des points mathématiques. Ce ne sont pas des points phy-siques. Les définitions d’Euclide concernent des points sur une feuille de papier,des diagrammes. Elles ne concernent pas directement des points physiques.

Je ne vais pas prétendre que vous ne pouvez pas traduire vos recherches ma-thématiques dans le monde physique. Ce serait nihiliste et idiot, pour ne pas direcontre-intuitif. Mais je prétends ici que vous devez être très prudent quand vous lefaites. Vous devez faire la différence entre des points mathématiques et des pointsphysiques, parce que si vous ne le faites pas, vous comprendrez de travers toutes

les mathématiques supérieures. Vous allez mal interpréter le calcul différentiel,pour commencer, et cela va influencer toutes les autres mathématiques, y comprisla topologie, l’algèbre linéaire et vectorielle, ainsi que le calcul tensoriel.

Afin de montrer comment tout ceci s’applique au calcul différentiel, je com-mencerai avec une analyse serrée de la courbe. Disons que l’on nous donne unecourbe mais que l’on ne nous donne pas son équation. Pour trouver cette équation,nous devons importer la courbe dans un graphe. C’est la façon traditionnelle de la« mesurer », en utilisant des axes, une origine et tous les outils avec lesquels noussommes familiers. Chaque axe agit comme une sorte de règle, et le graphe dansson entier peut simplement être vu comme un mètre à deux dimensions. Cetteanalyse peut sembler auto-évidente, mais j’ai déjà énuméré plusieurs concepts quiméritent une attention spéciale. Premièrement, la courbe est définie par le graphe.Lorsque nous découvrons l’équation d’une courbe par nos mesures de cette courbe,l’équation dépendra entièrement du graphe. Ce qui veut dire que le graphe génèrel’équation. Deuxièmement, si nous utilisons un graphe cartésien, avec deux axesperpendiculaires, alors nous avons deux et seulement deux variables. Ce qui si-gnifie que nous avons deux et seulement deux dimensions. Troisièmement, tout

point sur le graphe possédera, de même, deux dimensions. Je répète : chaquePOINT sur le graphe possédera DEUX DIMENSIONS (laissez cette phrase pénétrer

un moment). En utilisant les variables les plus communes, le point aura une di-mension x et une dimension y. Cela signifie que toute équation à deux variables

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implique deux dimensions, ce qui implique deux dimensions en chaque point surle graphe et en chaque point sur la courbe.

Si vous êtes un mathématicien irrité par tout ce « charabia philosophique » —

ou qui que ce soit un peu perdu dans cette argumentation, pour une raison ou uneautre — laissez-moi vous expliquer très directement pourquoi j’ai mis en évidenceles mots ci-dessus. Car cette phrase peut être appelée l’assertion mathématiquecentrale de tout cet article : la thèse principale de mon analyse. Un point sur ungraphe possède deux dimensions. Mais bien sûr un point physique ne possède

pas deux dimensions. Un mathématicien qui définirait un point comme une quan-tité possédant deux dimensions serait un être bizarre, pour le moins. Personnedans toute l’Histoire n’a jamais proposé qu’un point possède deux dimensions. Unpoint est généralement compris comme n’ayant aucune dimension. Pourtant, nousn’avons aucun scrupule pour appeler un point sur un graphe un point. Cette im-

précision dans la terminologie a causé de terribles problèmes, historiquement, etc’est l’un de ces problèmes que je dévoile ici. La preuve historique et actuelle dela dérivation traite à la fois un point sur un graphe et un point sur une courbecomme une variable à zéro dimension. Ce n’est pas une variable à zéro dimen-sion : c’est une variable à deux dimensions. Un point dans l’espace ne peut avoirde dimension, mais un point sur une feuille de papier peut avoir autant de dimen-sions que nous désirons lui en donner. Cependant, nous devons garder la trace deces dimensions à tout moment. Nous ne pouvons pas être paresseux dans notrelangage ou dans nos assignations. La preuve du calcul différentiel a été imprécisedans son langage et dans ses assignations.

Laissez-moi clarifier tout ceci par un exemple. Disons qu’un insecte rampe surun mur. Vous marquez ses traces. Maintenant vous essayez d’appliquer une équa-tion à ces traces, sans axe. Disons que la courbe ressemble à une courbe familière,par exemple la courbe y = x2. Bien, essayez d’assigner des variables au mouve-ment de l’insecte. Vous ne pouvez pas le faire. La raison pour laquelle vous nepouvez pas le faire est qu’une courbe dessinée sur un mur, par un insecte ou parMichel-Ange, demande trois axes pour la définir. Vous avez besoin de x, y et t. Lacourbe a l’air d’être la même, mais elle n’est pas la même. Une courbe sur un muret une courbe sur un graphe sont deux choses différentes.

Deuxième exemple. Disons que votre petit frère saute dans sa nouvelle voitureet se met à foncer dans la rue. Vous courez après lui et regardez les traces de pneusque la voiture laisse derrière elle. Votre frère est encore en train d’accélérer, vousdevez donc pouvoir voir ces traces, d’accord ? Une courbe décrit une accélération,d’accord ? Pas nécessairement. La voiture se déplace dans une direction unique,

vous pouvez donc dessiner x par rapport à t. Il n’y a pas de troisième variable y.Mais cela ne fait toujours pas une courbe. La voiture va en ligne droite. Intrigant.

Pour qu’une équation décrive une courbe, elle peut uniquement le faire sur un

graphe. Sa courbe est dépendante du graphe. Ce qui veux dire que son taux de va-riation est défini par le graphe. Toutes ces illustrations et ces diagrammes que vous

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avez vus dans les livres, avec des courbes dessinées sans graphe, sont incomplets.Depuis un certain nombre d’années — personne ne sait exactement combien —les illustrations dans les livres ne contiennent plus les tracés des axes, car ceux-ciprenaient de la place. Même Descartes, qui inventa ces lignes, les laissa proba-blement s’évaporer comme une nuisance artistique. Nous nous retrouvons donc ànotre époque, ayant oublié que toute courbe mathématique implique son propregraphe.

Une courbe physique et une courbe mathématique ne sont pas équiva-

lentes. Elles ne sont pas mathématiquement équivalentes.

Ceci est de la plus haute importance, pour plusieurs raisons. La raison la pluscritique est que, une fois que vous dessinez un graphe, vous devez assigner des

variables aux axes. Disons que vous assignez les variables x et y aux axes, comme

il est commun de le faire. Maintenant, vous devez définir vos variables. Quesignifient-elles ? En physique, une telle variable peut signifier soit une distance,soit un point. Que signifient vos variables? Il n’y a aucun doute que vous allezrépondre : « mes variables sont des points ». Vous direz que x représente, pourun point, sa x-distance à partir de l’origine. Vous continuerez en disant que desdistances sont spécifiées en mathématique par ∆x (ou toute autre notation sem-blable) et que si x était un ∆x, vous l’auriez appelé ainsi.

Je sais que cela a été l’interprétation tout au long de l’histoire. Mais il se fait quec’est faux. Vous construisez un graphe de façon à pouvoir assigner des nombres à

vos variables en chaque point du graphe. Mais l’acte même d’assigner un nombre àune variable en fait une distance. Vous ne pouvez pas assigner un numéro à un

point. Je sais que cela va sembler métaphysique au premier abord, pour beaucoupde gens. Cela aura l’air d’une bouillie philosophique. Mais si vous considérez lasituation pour un moment, je crois que vous pourrez voir que ce n’est rien d’autreque du bon sens. Il n’y a rien d’ésotérique là-dedans.

Supposons qu’en un certain point sur le graphe, y = 5. Qu’est-ce que celasignifie? Vous allez dire que cela signifie que cet y est au point 5 sur le graphe.Mais je répète, qu’est-ce que cela signifie ? Si y est un point, alors 5 ne peux pas lui

appartenir. Qu’en est-il de y qui possède la caractéristique « 5 » ? Rien. Un pointne peut pas posséder de magnitude. Le nombre appartient au graphe. Le « 5 »,c’est compter les petites boîtes. Ces boîtes ne sont pas des attributs de y, elles sontdes attributs du graphe.

Vous allez répondre : « Tout ça n’est que chicanerie. Je maintiens que ce que je voulais dire est clair : y se trouve à la cinquième boîte, c’est tout. Cela ne méritepas d’explication ».

Mais le nombre « 5 » n’est pas un ordinal. En disant « y est à la cinquième

boîte », vous insinuez que 5 est un ordinal. Nous avons toujours supposé que lesnombres dans ces équations sont des nombres cardinaux (j’utilise « cardinal » ici

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dans le sens traditionnel de cardinal par rapport à ordinal. Il ne faut pas confondreavec l’utilisation de Cantor du terme cardinal). Les équations peuvent difficilementfonctionner si nous définissons les variables comme des ordinaux. Les nombres

viennent de la ligne des nombres, et la ligne des nombres est faite de cardinaux.L’équation y = x2 @ x = 4 ne se lit pas « la seizième chose égale la quatrièmechose au carré ». Elle se lit « seize choses égalent quatre choses au carré ». Quatrepoints n’égalent rien. Vous ne pouvez pas additionner des points, exactementcomme vous ne pouvez pas additionner des ordinaux. La cinquième chose plusla quatrième chose n’est pas la neuvième chose. Ce sont juste deux choses sansmagnitude.

La vérité est que les variables dans des équations mathématiques graphéessur des axes sont des nombres cardinaux. De plus, elles sont des variables delta,de toutes les façons possibles. Ce qui veut dire que x devrait être étiqueté ∆x.L’équation devrait se lire ∆y = ∆x2. Toutes les variables sont des distances. Ellessont des distances à partir de l’origine. x = 5 signifie que le point sur la courbe setrouve cinq petites boîtes à partir de l’origine. C’est une distance. C’est aussi unedifférence : x = (5 − 0).

Voyez cela de la façon suivante : chaque axe est une règle. Les nombres surune règle sont des distances. Ils sont des distances à partir du début de la règle.

Allez au nombre « 1 » sur la règle. Maintenant, qu’est-ce que ça nous dit ? Quelcontenu informationnel possède ce nombre ? Nous dit-il que la ligne sur la règlese trouve en première place ? Non, bien sûr que non. Il nous dit que la ligne aunombre « 1 » se trouve à un centimètre du début de la règle. On nous donne unedistance.

Vous pouvez dire : « Bien, mais même si c’est une distance, votre nombre ’5’s’applique toujours aux boîtes, pas à la variable. Votre argument échoue donc ».

Non, il n’échoue pas. Examinons les deux assignations possibles de la variable :

x = cinq petites boîtes ou

∆x = cinq petites boîtes

La première assignation de variable est absurde. Comment un point peut-ilégaler cinq petites boîtes ? Un point ne possède pas de magnitude. Mais la secondeassignation de variable a un sens. C’est une assignation logique. Changement en x

égale cinq petites boîtes. Une distance est cinq petites boîtes en longueur. Si noussommes des physiciens, nous pouvons faire de ces boîtes des mètres, des secondesou ce que nous voulons. Si nous sommes des mathématiciens, ces boîtes sont justedes entiers.

Vous pouvez voir que cela change tout, concernant un problème de taux dechangement. Si chaque variable est une variable delta, alors chaque point sur la

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courbe est défini par deux variables delta. Le point sur la courbe ne représente pasun point physique. Aucune des variables n’est un point dans l’espace, et le pointsur le graphe n’est pas non plus un point dans l’espace. C’est lié au problème del’affectation du calcul à des problèmes physiques. Mais cela affecte également ladérivation mathématique. Notez que vous ne pouvez pas trouver la pente ou la

vitesse en un point (x, y) en analysant l’équation de la courbe ou la courbe sur legraphe, car aucune d’elle ne possède de point x sur elle ou en elle. J’ai montré quecette idée est étrangère à la préparation d’un graphe. Aucun point sur le graphe nereprésente un point dans l’espace ou un instant dans le temps. Aucun point sur unquelconque graphe ne peut représenter un point dans l’espace ou un instant dansle temps. Un point graphé sur deux axes représente deux distances à l’origine.Pour grapher une ligne dans l’espace, vous aurez besoin d’un axe. Pour grapher unpoint dans l’espace, vous aurez besoin de zéro axe. Vous ne pouvez pas grapher

un point dans l’espace. De même, vous ne pouvez pas grapher un instant dans letemps.

Il s’ensuit que toutes les machinations du calcul différentiel, tous les dx, les dy

et les limites, ne sont pas applicables. Vous ne pouvez laisser tendre x vers zérosur un graphe, parce que cela voudrait dire que vous feriez tendre réellement ∆x

vers zéro, ce qui serait sans effet ou n’aurait aucune signification. Cela signifie soitque vous faites tendre ∆x à l’origine, ce qui est sans effet ; ou bien que vous faitestendre ∆x au point x, ce qui n’a aucune signification (le point x n’existe pas sur legraphe — vous êtes en train de postuler que vous faites disparaître le graphe, cequi ferait disparaître la courbe également).

D’une certaine façon qui lui est propre, le développement historique de la dé-rivée comprends parfois cela et l’admet. Les lecteurs de mes articles aiment m’en-

voyer la définition epsilon/delta comme explication du concept de limite. Voici ladéfinition epsilon/delta : pour tout > 0, il existe un δ > 0 tel que, quelque soit|x − x0| < δ, |f (x) − y0| < . Ce que je voudrais souligner est que |x − x0| n’estpas un point, c’est une différence (un différentiel). La définition epsilon/delta estparfois simplifiée en : « Quelque soit le nombre que vous pouvez choisir, je peuxen choisir un plus petit », qui peut être modifié en : « Vous pouvez choisir un pointaussi proche de zéro que vous voulez ; mais je peux choisir un point encore plusproche ». Mais ce n’est pas ce que la preuve epsilon/delta formelle déclare, comme

vous pouvez le voir. La preuve epsilon/delta formelle dirait : « Quelque soit la longueur que vous choisissiez, je peux en choisir une plus courte ». Epsilon/deltas’occupe de longueurs, pas de points. Si vous définissez vos nombres, variables oufonctions comme des longueurs, comme ici, alors vous ne pouvez pas prétendreplus tard trouver des solutions en des points. Si vous faites tendre des différencesou des longueurs vers des limites, alors toutes vos équations et solutions doiventêtre basées sur des longueurs. Vous ne pouvez pas faire tendre une longueur versune limite et puis trouver un nombre qui s’applique à un point. Couramment, les

calcul utilise une preuve de la dérivée qui prend des longueurs à la limite, commeavec epsilon/delta. Mais si vous prenez des longueurs à la limite, votre solution

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doit être une longueur aussi. Si vous prenez une différence à la limite, votre so-lution doit être une différence aussi. Ce qui veux dire que le calcul ne contientpas de point. Il contient uniquement des différences. C’est pourquoi il est appelécalcul différentiel. Toutes les variables et fonctions dans les équations sont des dif-férences et toutes les solutions sont des différences. Le seul point possible dans lecalcul est à zéro, et si cette limite est atteinte, alors votre solution est zéro. Vousne pouvez pas trouver des solutions numériques a zéro, puisque le seul nombre àzéro est zéro.

Si tout cela est vrai, comment est-il possible de résoudre un problème de cal-cul? Le calcul s’occupe d’instants, de choses instantanées, d’infinitésimales, delimites et de quantités proches de zéro, n’est-ce pas ? Non, le calcul s’occupe ini-tialement d’aires sous des courbes et de tangentes à des courbes, comme je l’aidéjà dit. J’ai montré qu’une courbe sur un graphe n’a pas d’instant ou de point

en lui, donc si nous voulons résoudre sans laisser tomber le graphe, nous devronsrésoudre sans instant, infinitésimale ou limite.

Cela vaut la peine également de noter que trouver une vitesse instantanéeapparaît être impossible. Une courbe sur un graphe ne possède pas de vitesseinstantanée sur elle, où que ce soit — il serait donc stupide de la poursuivre ma-thématiquement en analysant une courbe sur un graphe.

Pour résumer : vous ne pouvez pas analyser une courbe sur un graphe pourtrouver une valeur instantanée, car il n’existe pas de valeur instantanée sur un

graphe. Vous ne pouvez analyser une courbe hors d’un graphe pour trouver une valeur instantanée, car une courbe hors d’un graphe a une forme différente de lamême courbe sur un graphe. C’est une courbe différente. L’équation de la courbedonnée ne s’applique pas à elle.

Certains vont dire ici : « Il existe une troisième alternative simple dans ce ré-sumé. Sortez une courbe d’un graphe, une courbe physique — comme cet insecterampant ou votre frère dans sa voiture — et assignez-lui l’équation de la courbedirectement. N’importez pas une quelconque équation de la courbe à partir dugraphe. Obtenez juste la bonne équation de la courbe pour commencer ».

D’abord, j’espère qu’il est clair que nous ne pouvons pas utiliser la voiture entant qu’équation d’une courbe réelle, puisqu’elle ne courbe pas. Qu’en est-il del’insecte ? Ici aussi, trois variables là où il n’en faut que deux. Ça ne marchera pas.

À mes contradicteurs, je dirai : « Trouvez-moi une courbe physique qui a deux variables et j’utiliserai le calcul afin de l’analyser avec vous sans graphe ». Ils nepeuvent le faire. C’est logiquement impossible.

L’un des contradicteurs pourrait apercevoir une solution : « Prenez la courbe del’insecte et appliquez-lui une équation, avec trois variables, x, y, et t. La variable

t n’est pas une constante, mais son taux de changement est constant. Le tempss’écoule toujours continûment ! Nous pouvons donc l’annuler et nous retournons

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au calcul. Ce qui se passe, c’est que la courbe calculée est juste une simplificationde cette courbe sur trois axes ».

À cela je réponds : « Oui, nous pouvons utiliser trois axes, mais je ne vois pas

comment vous allez pouvoir appliquer des variables à la courbe sans la mettredans un graphe. Le calcul fonctionne sur l’équation de la courbe. Vous devez avoirune équation de courbe pour pouvoir trouver une dérivée. Pour découvrir uneéquation de courbe qui s’applique à ne courbe donnée, vous devez la mettre dansun graphe et la tracer ».

Le contradicteur dit : « Non, non. Disons que nous avons d’abord l’équation.On nous donne une équation de courbe avec trois variables, et nous le traçons

juste sur le mur, comme l’a fait l’insecte. Il n’y a rien de mystérieux là-dedans ».

Je réponds : « Où est l’axes t, dans ce cas ? Comment allez-vous, ou commentl’insecte va-t-il, tracer la composante t sur le mur? Vous ne la tracez pas, vousl’ignorez. Dans ce cas, l’équation de la courbe donnée ne s’applique pas à la courbetracée sur le mur, elle s’applique à une certaine courbe à trois variables sur troisaxes ».

Le dissident dit : « Peut-être, mais la courbure est la même de toute façon,puisque t ne change pas ».

Je lui dis : « La courbe est-elle la même ? Vous pouvez avoir à tracer certains“points” sur un graphe tridimensionnel pour le voir, mais la courbe n’est pas lamême. Tracez n’importe quelle courbe, ou même une ligne droite dans un graphe(x, y). Maintenant, poussez ce graphe le long d’un axe t. La pente de la ligne droitedécroît, comme le fera la courbure de toute courbe. Même un cercle sera étiré.Cela devra affecter le calcul. Si vous changez la courbe, vous changez la surfaceen dessous de la courbe et la pente de la tangente en tout point ».

Le dissident répond : « Ça ne fait rien car nous nous débarrassons de l’axe t.Nous allons juste l’ignorer. Ce qui nous intéresse, c’est uniquement la relation de

x par rapport à y, ou y par rapport à x. Cela s’appelle une fonction, mon ami. Sic’est une simplification ou une abstraction, et alors ? C’est ça les mathématiques ».

À cela je ne peux que répondre : « Très bien, mais vous n’avez toujours pasexpliqué deux choses :

1. Si vous parlez de fonction, vous retournez à un graphe à deux variables,et votre courbe à l’air de ce qu’elle est uniquement dans ce graphe. Pourconstruire ce graphe, vous devez assigner une origine au mouvement de

votre insecte, et dans ce cas vos deux variables deviennent des variables

delta. Et alors vous n’avez pas de point ou d’instant sur lequel travailler. Lecalcul ne sert à rien.

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2. Même si vous trouvez, d’une façon ou d’une autre, des valeurs pour votrecourbe, ces valeurs ne s’appliqueront pas à l’insecte, car sa courbe n’est pasla vôtre. Son accélération est déterminée par son mouvement dans le conti-nuum x,y,t. Vous avez analysé son mouvement dans le continuum x, y, cequi n’est pas équivalent ».

Le dissident dira : « Peu importe. Appliquez ma courbe sur la voiture de votrefrère, si vous voulez. Il importe peu à quoi ressemble la trace des pneus. Ce quicompte est la courbe donnée par l’équation de courbe. Un graphe x, t sera alorsune abstraction de son mouvement, et les valeurs générées par le calcul sur cegraphe seront parfaitement applicable à votre frère ».

Je réponds que nous sommes alors revenus au tout début. Soit vous appliquezle calcul à la courbe réelle, où il y a des points dans l’espace, soit vous appliquezle calcul à la courbe dans le graphe, où il n’y en a pas. Dans la vie réelle, où il y ades points, il n’y a pas de courbure. Dans le graphe, où il y a une courbure, il n’y a pas de point. Si mon contradicteur ne voit pas ceci comme un problème, il estsérieusement dans l’illusion.

" " "

3 Interlude historique et critique de la dérivation

actuelle

Quittons un instant les fondations et revenons à l’histoire du calcul différen-tiel. Deux mathématiciens dans l’Histoire furent très près de reconnaître la dif-férence entre le point mathématique et le point physique. Vous allez penser queDescartes est l’un d’eux, puisqu’il a inventé le graphe. Mais non. Quoiqu’il ait réa-lisé d’importants travaux dans ce domaine, son graphe s’est trouvé être le plusgrand obstacle de l’Histoire à la compréhension réelle du problème dont nous par-lons ici. S’il s’était aperçu de la signification opérationnelle de tout diagramme,

il aurait découvert quelque chose de tout-à-fait basique. Mais il n’analysa jamaisles domaines créés par les diagrammes, les siens ou les autres. Non, le premier àfleurter avec la solution fut Simon Stevin, le grand mathématicien flamand de lafin du 16e siècle. Il est la personne la plus responsable de la définition moderne dunombre, ayant hardiment redéfini les définitions grecques qui étaient parvenues àl’âge « moderne » via Diophante et Viète 1. Il montra l’erreur consistant à assignerle point à l’« unité » ou nombre un; le point doit être assigné à sa magnitude ana-logue, qui est zéro. Il prouva que le point est indivisible précisément parce qu’ilest zéro. Cette correction de la géométrie et de l’arithmétique orienta Stevin dansla direction de ma solution, mais il ne réalisa jamais l’importation opérationnelle

1. Voir par exemple : Jacob Klein, Pensée Mathématique Grecque et l’Origine de l’Algèbre .

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du diagramme dans la géométrie. En raffinant les concepts de point et de nombre,il ne s’aperçut pas qu’à la fois les Grecs et les modernes étaient en possession dedeux concepts séparés du point : le point dans l’espace et le point diagrammatique.

John Wallis s’approcha encore plus près de cette reconnaissance. Suivant Ste- vin, il écrivit beaucoup sur l’importance du point comme analogue à la nullité.Il fit aussi d’importants travaux sur le calcul différentiel, et il fut peut-être celuiqui influença le plus Newton. Il était donc dans la meilleure position historiquepour être le découvreur de la séparation des deux concepts de point. Malheureu-sement, il continua dans la voie du fort courant du 17e siècle, qui était dominépar les séries infinies et l’infinitésimal. Après que son étudiant Newton ait créé laforme actuelle du calcul, les mathématiciens ne furent plus intéressés par les défi-nitions des Grecs. L’abstraction croissante des mathématiques fit que les subtilitésontologiques des anciens parurent soudain pittoresques, voire dépassées. Le cou-rant mathématique, depuis le 18e siècle, a été fortement progressif. Beaucoup dedomaines nouveaux sont apparus, et l’étude des fondations ne fut plus en vogue. Ildevint dès lors de moins en moins probable que quiconque puisse noter les erreursconceptuelles existant à la racine même du calcul. Des outsiders comme l’évêqueBerkeley au début du 18e siècle ne parvinrent pas non plus à trouver les erreursde base (Berkeley trouva les effets mais pas les causes), et les succès des nouvellesmathématiques rendirent impopulaire tout argument supplémentaire.

Jusqu’ici, j’ai critiqué la capacité du calcul à trouver des valeurs instantanées.Mais nous devons nous souvenir que Newton l’inventa dans ce but même. Dans De

Methodis , il propose deux problèmes à résoudre :

1. Étant donnée une longueur de l’espace continûment, trouver la vitesse dumouvement à tout instant.

2. Étant donnée la vitesse du mouvement continûment, trouver la longueurd’espace décrite à tout instant.

Il est évident que le premier est résolu par ce que nous appelons aujourd’hui ladifférenciation, et le second par l’intégration. Sur les dernières 350 années, lafondation du calcul a quelque peu évolué, mais les questions qu’il propose de

résoudre, ainsi que les solutions, n’ont pas, elles, évolué. Je veux dire que nouspensons toujours que ces deux questions font sens, et qu’il est évident que nousavons trouvé une réponse à chacune.

Le question 1 concerne la découverte d’une vitesse instantanée, qui est une vitesse sur un intervalle de temps nul. On le fait tout le temps, jusqu’à aujourd’hui.La question 2 est l’inverse mathématique de la question 1. Étant donnée la vitesse,trouver la distance parcourue sur un intervalle de temps nul. On ne le fait plus,car l’absurdité de la chose est claire. Sur le graphe, ou même dans la vie réelle,un intervalle de temps nul est égal à une distance nulle. Il ne peut y avoir de

distance parcourue pendant un intervalle nul, encore moins sur une distance nulle,et la plupart des gens semblent comprendre cela. Plutôt que d’y voir un problème,

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cependant, les mathématiciens et les physiciens l’ont enterré. Ce problème n’estmême pas brandi en tant que glorieux paradoxe, comme les paradoxes d’Einstein.Non, il est mis au placard, et jamais on ne se souvient de son existence.

Comme il devrait déjà être clair du fait de mon exposé de l’équation de lacourbe, les deux problèmes de Newton ne sont pas présentés sous une forme ma-thématique ou logique adéquate, ils sont de ce fait insolubles. Cela implique quetoute méthode qui fournit une solution est également présentée sous une formeinadéquate. Si vous trouvez une méthode pour dériver un nombre qui n’existe pas,alors votre méthode est fautive. Une méthode qui mène à une vitesse instantanéedoit être une méthode suspecte. On ne peux pas faire confiance à une équationdérivée de cette méthode jusqu’à ce que lui ait donné un fondement logique. Iln’existe pas de distance sur une distance nulle et, de même, il n’existe pas de

vitesse sur un intervalle nul.

L’évêque Berkeley fit ses commentaires sur l’illogisme de la preuve de Newtonpeu après que celle-ci soit publiée (The Analyst , 1734). Ironiquement, les critiquesde Berkeley sur Newton ressemblent aux propres critiques de Newton sur la mé-thode de Leibniz. Newton dit de Leibniz : « Nous n’avons aucune idée de quantitésinfiniment petites et c’est pourquoi j’ai introduit les fluxions dans ma méthode defaçon à ce qu’elles puissent procéder par quantités finies autant que possible ». Et :« La sommation d’indivisibles pour composer une surface ou un solide n’a encore

jamais été admise dans la géométrie2 ».

Ce « par quantités finies autant que possible » est très proche de l’admissiond’une erreur. Berkeley appelait les fluxions de Newton « fantômes de quantitésdisparues », fluxions qui étaient parfois de minuscules incréments, parfois zéro. Ilse plaignait que la méthode de Newton procédait par une compensation d’erreurs,et il était loin d’être le seul à partager cette analyse. Beaucoup de mathématiciensde l’époque prirent les critiques de Berkeley au sérieux. Les mathématiciens plustardifs, qui étaient beaucoup moins véhéments dans leurs critiques, comme Euler,Lagrange et Carnot, utilisèrent l’idée de compensation d’erreurs dans leur tenta-tive de correction des fondements du calcul. Il serait donc malhonnête d’écarterBerkeley simplement parce qu’il a échoué du mauvais côté de l’Histoire. Cepen-

dant, Berkeley ne put pas expliquer pourquoi l’équation dérivée fonctionnait, etl’utilité de l’équation finit par avoir le dessus sur les scrupules que les philosophespouvaient entretenir. Si Berkeley avait été capable de dériver l’équation par desmoyens plus logiques et clairs, ses commentaires auraient sans aucun doute ététraités avec plus de respect par l’Histoire. Aujourd’hui, nous avons atteint uneépoque où citer des philosophes, et spécialement des philosophes qui étaient éga-lement des évêques, est loin d’être une méthode très convaincante, et je ne vaispas continuer à le faire. Les physiciens et les mathématiciens sevrés des bons motsde Richard Feynman ne trouveront certainement pas les bons mots de Berkeley très au goût du jour.

2. Newton, Isaac, Articles Mathématiques , 8:597.

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Je profiterai de cette occasion pour souligner, cependant, que ma critique deNewton est d’une nature catégoriquement différente de celle de Berkeley, et detous les philosophes qui se sont plaint des infinis dans les dérivées. Je n’ai pas cri-tiqué jusqu’ici le calcul différentiel sur des bases philosophiques, et je ne ferai pas.Les séries infinies ont leur place dans les mathématiques, tout comme les limites.Mon argument ne consiste pas à dire que l’on ne peut pas concevoir l’infini, lesinfinitésimaux et ces sortes de choses. Mon argument a été et continuera d’êtreque la courbe, qu’elle soit un concept physique ou une abstraction mathématique,ne peut pas logiquement admettre l’application de séries infinies, à la façon ducalcul. En parlant des réactions modernes aux vues de Berkeley, Carl Boyer dé-clare : « Puisque les mathématiques s’occupent de relations plutôt que d’existencephysique, ses critères de vérité sont la consistance interne plutôt que la plausibilitéà la lumière des perceptions sensorielles ou de l’intuition 3 ». Je suis d’accord, et

j’insiste sur le fait que mon argument principal, déjà avancé, est qu’il n’y a pas deconsistance interne dans le fait de laisser une différence f (x + i)− f (x) approcherune limite quand ce point est déjà exprimé par deux différences, (x− 0) et (y − 0).

Boyer partage l’opinion de la majorité des mathématiciens lorsqu’il défend la vitesse instantanée de cette façon : « L’argument [de Berkeley] est bien entenduentièrement valide pour montrer que la vitesse instantanée n’a aucune réalité phy-sique, mais ce n’est pas une raison pour qu’elle ne soit pas admise, si elle est définiesoigneusement ou prise comme notion indéfinie, comme abstraction mathéma-tique 4 ». Ma réponse à cela est que la physique a traité la vitesse instantanée entant que réalité physique depuis que Newton le fit. En plus, elle a été acceptéepar les mathématiciens en tant que notion indéfinie et non en tant que notionclairement définie, comme semble l’admettre Boyer. Il n’aurait pas eu besoin d’in-clure la clause « ou prise comme notion indéfinie » si l’on devait correctementdéfinir toutes les notions avant qu’elles soient acceptées en tant que « abstractionsmathématiques ». La notion de vitesse instantanée ne peut être correctement dé-finie mathématiquement car elle est dérivée d’une équation qui ne peut être dé-finie mathématiquement. À moins que Boyer veuille arguer que toutes les heuris-tiques devraient être acceptées en tant que bonnes mathématiques (position quela physique contemporaine a acceptée, et que les mathématiques contemporaines

suivent de près), son argument n’en est pas un.Beaucoup de mathématiciens et de physiciens maintiendront que la fondation

du calcul différentiel est une question close depuis Cauchy dans les années 1820 etque ma thèse tout entière ne peut être que chimérique. Cependant, dans les années1960, Abraham Robinson était toujours en train d’essayer de résoudre quelquesproblèmes perçus dans la fondation du calcul. Son analyse non-standard fut in-

ventée exactement dans ce but, et elle attira pas mal d’attention dans le mondedes mathématiques. La majorité mathématique ne l’a pas acceptée, mais son exis-tence est une preuve d’un malaise très répandu. Même aux plus hauts niveaux

3. Boyer, Carl. B., L’Histoire du Calcul Différentiel et son Développement Conceptuel , p. 227.4. ibid .

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(certains vont dire spécialement aux plus hauts niveaux), des questions sans ré-ponses sur le calcul existent. Ma thèse répond à ces questions en montrant lesfailles des analyses à la fois standards et non-standards.

Les problèmes originaux de Newton auraient du être établis comme suit :1. Étant donnée une distance variant sur un certain nombre d’intervalles, trou-

ver la vitesse sur tout intervalle proposé.

2. Étant donnée une vitesse variable sur un intervalle, trouver la distance par-courue sur tout sous-intervalle proposé.

Ce sont les questions que le calcul résout vraiment, comme je le prouverai plusbas. Les nombres générés par le calcul s’appliquent à des sous-intervalles, pasà des instants ou des points. L’utilisation par Newton de séries infinies, commeles séries de puissances, l’égarèrent en lui faisant croire que des courbes tracées

sur des diagrammes pourraient être exprimées en séries infinies de différences(s’évanouissant). Tous les autres fondateurs du calcul firent la même erreur. Mais,du fait de la façon dont la courbe est générée, les courbes ne peuvent pas êtreexprimées de cette manière. Chaque point sur un graphe représente déjà une pairede différences ; il est donc sans objet et insensé de laisser une différence proposéeapprocher un point sur le graphe.

Afin de montrer précisément ce que je veux dire, examinons maintenant ledéveloppement courant de l’équation de la dérivée. Prenez une équation fonction-nelle, par exemple

y = x2

Augmentez-la par δy et δx pour obtenir

y + δy = (x + δx)²

soustrayez la première équation de la seconde :

δy = (x + δx)² − x² = 2xδx + (δx)²

divisez par δx

δy

δx= 2x + δx

Laissez δx aller vers zéro (uniquement du côté droit, bien sûr)

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δy

δx= 2x

y = 2x

La majorité des lecteurs va s’attendre à ce que ma seule critique soit que δx

ne devrait pas aller vers zéro du côté gauche, car cela impliquerait une propor-tion allant vers l’infini. Mais ce n’est pas cela du tout ma principale critique. Maprincipale critique est celle-ci :

Dans la première équation, les variables représentent soit « tous les points pos-sibles sur la courbe », soit « chaque point possible sur la courbe ». L’équation est

vraie pour tous les points et pour chaque point. Prenons la dernière définition,car la première ne nous laisse pas de jeu. Donc, dans la première équation, noussommes à « chaque point sur la courbe ». Dans la seconde équation, sommes-noustoujours en chaque point de la même courbe ? Certains vont penser que (y + δy) et(x + δx) sont les coordonnées d’un autre chaque-point sur la courbe — ce chaque-point étant à une certaine distance plus loin le long de la courbe que le premierchaque-point. Mais un examen plus précis montrera que la seconde équation de lacourbe n’est pas la même que la première. Le chaque-point exprimé par la seconde

équation ne se trouve pas sur la courbe y = x2

. En fait, il doit être exactement δy endehors de cette première courbe. Puisque c’est vrai, nous devons nous demanderpourquoi nous voudrions soustraire la première équation de la seconde. Pourquoi

voulons-nous soustraire un chaque-point sur une courbe d’un chaque-point en de-hors de cette courbe ?

De plus, en allant de l’équation 1 à l’équation 2, nous avons ajouté des mon-tants différents à chaque côté. Cela n’est pas permis. Notez que nous avons ajoutéδy au côté gauche et 2xδx + δx2 au côté droit. Cela aurait été justifiable par certainargument si cela nous avait donné deux chaque-point sur la même courbe, mais

ce n’est pas le cas. Nous avons fait une opération illégale sans raison apparente.Maintenant, nous soustrayons le premier chaque-point du second chaque-point.

Qu’obtenons-nous ? Eh bien, nous devrions obtenir un troisième chaque-point.Quelles sont les coordonnées de ce troisième chaque-point ? C’est impossible àdire, car nous nous sommes débarrassés de la variable y. Une coordonnée est dela forme (x, y), mais nous venons de soustraire y. Vous devez voir que δy n’est pasla même chose que y, et donc qui sait si nous sommes en dehors de la courbe oubien sur elle ? Puisque nous avons soustrait un point sur la première courbe d’unpoint hors de celle-ci, nous serions très chanceux d’avoir atterri de nouveau sur la

première courbe, je pense. Mais cela n’a pas d’importance, car nous soustrayonsdes points d’autres points. Soustraire des points d’autres points est illégal. Si vous

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désirez obtenir une longueur ou une différence, vous devez soustraire une lon-gueur d’une longueur ou une différence d’une différence. Soustraire un point d’unpoint ne vous donnera qu’une sorte de zéro — un autre point. Mais nous désironsque δy représente une longueur ou une différence dans la troisième équation, defaçon à ce que nous puissions le diviser par δx. Dans le développement tel qu’il seprésente, δy doit être un point dans la troisième équation.

Oui, δy est maintenant un point. Ce n’est pas un changement-en-y dans le sensoù le calcul le voudrait. Ce n’est plus la différence dans deux points sur la courbe.Ce n’est pas une différence ! Ce n’est pas non plus un incrément ou un intervalled’aucune sorte. Ce n’est pas une longueur, c’est un point. Qu’est-ce que cela peutbien signifier pour un chaque-point d’approcher zéro ? La vérité est que ça nesignifie rien. Un point ne peut pas approcher une longueur nulle puisqu’un pointest déjà une longueur nulle.

Examinez de nouveau la seconde équation. La variable y représente un point,mais la variable δy représente une longueur ou un intervalle. Mais si y est un pointdans la seconde équation, alors δy doit être un point dans la troisième équation.Ce qui rend la division par δx dans l’étape suivante une impossibilité logique etmathématique. Vous ne pouvez pas diviser un point par une quelconque quantité,car un point est indivisible par définition. L’étape finale — laisser δx aller verszéro — ne peut être justifiée, que vous fassiez aller seulement le dénominateurdu côté gauche vers zéro ou bien que vous laissiez aller la fraction entière verszéro (ce qui a été l’affirmation de la plupart des gens). La fraction δy/δx était déjàcompromise à l’étape précédente. Le problème n’est pas que le dénominateur estzéro ; le problème est que le numérateur est un point. Le numérateur est zéro.

À ma connaissance, le développement du calcul n’a jamais été critiqué de cettefaçon. De Berkeley à la critique principale concernée expliquant pourquoi le rap-port δy/δx n’est pas précisément zéro, et pourquoi laisser δx aller vers zéro neconduit pas à ce que le rapport tende vers l’infini. Newton tenta d’expliquer celaen utilisant des rapports primaires et ultimes, et Cauchy est supposé avoir résolu leproblème en laissant le rapport approcher une limite. Mais selon mon analyse, lerapport avait déjà un numérateur à zéro dans l’étape précédente, et donc l’amenerà la limite est stérile.

L’analyse non-standard n’a pas de réponse a cela non plus. La définition « rigou-reuse » de l’infinitésimale d’Abraham Robinson n’a rien fait pour résoudre ma pré-sente critique. Ajouter de la terminologie nouvelle ne clarifie pas le problème,car il est hors sujet d’appeler une partie de ces équations « standard » ou « non-standard ». Si δy est un point sur la courbe dans la troisième équation, alors cen’est plus une infinitésimale. Il importe peu alors comment nous l’appelons, com-ment nous le définissons, ou comment nous axiomatisons notre logique. Ce n’est

pas une distance et donc ça ne peut nous amener ce que nous désirons, pas avecdes infinitésimales, des limites, des séries qui diminuent ou tout autre chose.

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[J’ai reçu plusieurs e-mails ces dernières années de mathématiciens en colère, disant ou lais-sant entendre que mon argumentaire sur ce développement n’est qu’une espèce de faux argument.Ils me disent qu’ils ne prouvent pas le développement de cette façon, et ils se lancent alors dansune torture verbeuse des maths et du langage afin de montrer comment le faire. Malheureuse-

ment, mon développement ci-dessus est bien plus qu’un argument spécieux. C’est la manière dont j’ai appris le calcul à l’école dans les années 80, et elle est postée partout sur l’internet jusqu’àaujourd’hui. Si c’est un argument spécieux, c’est l’argument spécieux de l’orthodoxie elle-même,et elle ferait mieux d’arrêter de le proposer. Ces mathématiciens sont en colère uniquement parceque j’utilise leurs propres équations contre eux. Ils font référence à Newton et à Leibniz quand çaleur chante, mais quand quelqu’un d’autre le fait, c’est un argument spécieux. Ces mathématicienssont plus glissants que des anguilles. Si vous mentionnez un développement, ils vous dirigent versun autre, proclamant que le vôtre a été supplanté. Si vous parvenez alors à détruire le nouveau,ils en trouvent un troisième derrière lequel se cacher. Et vous ne les trouverez jamais à adresserles points centraux de vos papiers. Par exemple, je n’ai jamais obtenu d’aucun mathématicien uneréponse aux points essentiels de cet article. Ils les ignorent et choisissent des arguments tangentielsavec lesquels ils peuvent me faire perdre mon temps indéfiniment. Ceci est, en soi, un signe des

temps].

" " "

4 Le reste de la fondation

Retournons maintenant à la fondation. La pierre suivante que je poserai concer-nera le taux de changement et la façon dont le taux de changement s’applique àla ligne des nombres cardinaux. Le taux de changement est un concept qui est trèsdifficile à séparer du monde physique. C’est parce que le concept de changementest étroitement attaché au concept de temps. Ce n’est pas l’endroit pour entrerdans une discussion sur le temps ; il suffit de dire que le taux de changement est àson niveau le plus abstrait et le plus mathématique lorsque nous l’appliquons à laligne des nombres, plutôt qu’à une ligne physique ou à un espace physique. Maisle concept de taux de changement ne peut pas être laissé indéfini ni être pris pourallant de soi. Ce concept est au cœur du problème du calcul et nous devons passerun peu de temps à l’analyser.

J’ai déjà montré que les variables dans une équation de courbe sont des nom-bres cardinaux, et en tant que tels ils doivent être compris comme des variablesdelta. En termes mathématiques, ils sont des différences ; en termes physiques, ilssont des longueurs ou des distances. C’est parce qu’une courbe est définie par ungraphe et un graphe est défini par des axes. Les nombres sur ces axes signifient desdistances à partir de zéro ou des différences : (x−0) ou (y−0). De la même façon,la ligne des nombres cardinaux est aussi un ensemble de distances ou différences.En fait, chaque axe sur un graphe peut être vu comme une ligne de nombres car-

dinaux séparée. Le graphe cartésien est alors simplement deux lignes de nombresplacées zéro à zéro et à un angle de 90°.

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Ceci étant vrai, une soustraction d’un nombre à partir d’un autre — lorsque cesnombres sont pris de graphes cartésiens ou de la ligne des nombres cardinaux —est la soustraction d’une distance à partir d’une autre distance, ou d’une différenceà partir d’une autre différence. Écrit mathématiquement, cela ressemblerait à ceci :

∆∆x = ∆xf − ∆xi

où ∆xf est le nombre cardinal final et ∆xi est le nombre cardinal initial. Ceciest bien sûr rigoureux à l’extrême, et peut sembler sans objet. Mais soyez patient,car nous allons redécouvrir des choses qui n’auraient pas du être oubliées. Cetteéquation montre qu’un nombre cardinal représente un changement à partir dezéro, et que la différence de deux nombres cardinaux est le changement d’unchangement. Tout ce que nous avons fait est de soustraire un nombre d’un autre

et nous obtenons déjà un changement du second degré.

En suivant cette méthode stricte, nous trouvons que tout entier soustrait dusuivant est égal à 1, ce qui doit être écrit ∆∆x = 1. Sur un graphe, chaque petiteboîte est large de 1 boîte, ce qui fait que la différence d’une boîte à la suivante estégale à 1. Pour aller de la fin d’une boîte à l’autre, vous avez parcouru 1. Cettedistance peut être une distance physique ou une distance abstraite, mais dans tousles cas c’est le changement d’un changement et doit être compris comme ∆∆x = 1.

Quelqu’un pourrait m’interrompre ici et dire : « Vous avez juste un delta de

plus en chaque point par rapport à l’usage commun. Pourquoi ne pas simplifieret retourner à l’usage courant en effaçant un delta à tous les endroits ? ». Nousne pouvons faire cela, car nous n’aurions pas de représentation standard pour unpoint. Si nous laissons une variable nue représenter un nombre cardinal, qui n’estpas un point comme je l’ai déjà démontré, alors nous n’avons plus rien pour re-présenter un point. Pour éclaircir le problème, comme je le crois nécessaire, nousdevons laisser x, y et t représenter des points, des instants ou des ordinaux, et uni-quement des points, des instants ou des ordinaux. Nous ne devons pas regrouperles ordinaux et les cardinaux, et nous ne devons pas regrouper les points et lesdistances. Nous devons rester scrupuleux dans nos assignations.

Ensuite, on peut arguer que nous pouvons placer n’importe quel nombre dansdes équations de courbes et les faire fonctionner, pas seulement des entiers. Vrai,mais les lignes du graphes sont en général des entiers. Chaque boîte a une largeurd’une boîte, pas d’un moitié de boîte, e boîte ou π boîte. C’est important, car leslignes définissent le graphe et le graphe définit la courbe. Cela signifie que l’axedes x lui-même a un taux de changement de 1, ainsi que l’axe des y et l’axe dest. La ligne des nombres elle-même a un taux de changement de 1, par définition.Ma théorie des nombres, ici, ne fonctionnerait pas sans cela.

Par exemple, la séquence 1, 1, 1, 1, 1, 1,... décrit un point. Si vous restezen 1, vous ne bougez pas. Un point n’a pas de TdC (Taux de Changement). Son

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changement est de zéro, son TdC est donc zéro. La séquence des entiers cardinaux1, 2, 3, 4, 5,... décrit un mouvement, dans le sens que vous êtes à différentsnombres en parcourant la séquence. D’abord, vous êtes à 1, puis à 2. vous avezbougé, dans un sens abstrait. Puisque vous changez de 1 nombre à chaque étape,

votre TdC est constant. Vous avez un TdC de 1. Une longueur est un changementdu premier degré de x. Chaque valeur de ∆x que nous avons sur le graphe oudans une équation est un changement de cette sorte. Si x est un point de l’espaceou un nombre ordinal, et ∆x est un nombre cardinal, alors ∆∆x est un TdC.

Je dois encore souligner que la ligne de nombres cardinaux a un TdC de 1, peuimporte quelle sorte de nombres vous considérez. Des rationnels, des irrationnels,n’importe. Certains peuvent arguer que la ligne des nombres a un TdC de 1 uni-quement si l’on parle d’entiers. Dans ce cas, elle possède une sorte de « cadence »,comme on me l’a suggéré. D’autres disent que la ligne des nombres doit avoir unTdC de zéro, même de par ma façon de penser, puisqu’elle possède un nombreinfini de points, ou nombres. Il y a un même nombre infini de points de zéro àun. Il s’ensuit que si vous « sautez » de l’un à l’autre, d’une manière physique ouabstraite, alors il vous faudra un temps infini pour aller de zéro à un. Mais celan’est tout simplement pas vrai. Dans ce problème, opérationnellement, il se faitque les valeurs possibles pour ∆x ont un TdC de 1, quelles que soient celles que

vous choisissiez. Si vous choisissez des nombres de la ligne des nombres pour com-mencer (et comment feriez-vous autrement), alors vous ne pouvez jamais séparerces nombres de la ligne des nombres. Ils lui sont toujours connectés, par définition

et opération. La ligne des nombres se « déplace » à un TdC de 1, donc l’écart entretout nombre que vous prenez de x et y, de toute équation, se déplacera aussi avecun TdC de 1.

Si ce n’est pas clair, prenons le cas où je vous laisse choisir des valeurs pourx1 et x2 arbitrairement, disons x1 = 0, 0000000001 et x2 = 0, 0000000002. Si vousn’êtes pas d’accord avec ma théorie, vous pouvez dire : « Mon écart est de seule-ment 0, 0000000001. Donc, mon TdC doit être beaucoup plus lent que 1. Une sé-quence d’écarts de 0, 0000000001 serait vraiment très très lente ». Mais elle ne se-rait pas lente. Elle aurait un TdC de 1. Vous devez supposer que vos 0, 0000000001

et 0, 0000000002 sont sur la ligne des nombres. Si c’est le cas, alors votre écart estdix milliards de fois plus petit que l’écart entre zéro et un. Donc, si vous reliez votre écart à la ligne des nombres — de façon à le mesurer — alors la ligne desnombres, galopant, traverserait votre écart dix milliards de fois plus vite que l’écartentre zéro et un. La vérité est que votre minuscule écart aurait un minuscule TdCuniquement s’il était son propre mètre-étalon. Mais dans ce cas, l’unité de base dumètre-étalon ne serait plus de 1. Il serait de 0, 0000000001. Un mètre, ou ligne desnombres, dont l’unité de base est définie à 1, doit avoir un TdC de 1, en tout point,par définition.

De tout ceci, vous pouvez voir que j’ai défini le taux de changement de tellefaçon qu’il ne soit pas strictement équivalent à une vitesse. Une vitesse est un

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rapport, mais c’est un rapport qui a déjà été établi. Un taux de changement, depar mon usage ici, est un rapport attendant d’être calculé. C’est un numérateurattendant un dénominateur. J’ai appelé un delta un changement et deux deltas untaux de changement. Trois deltas seraient un taux de changement du second degré(ou TdC2), etc.

" " "

5 L’algorithme

Avec tout cela établi, je suis enfin prêt pour révéler mon algorithme. Nous

avons une définition étroite d’un taux de changement, nous avons nos assigna-tions de variables établies clairement et de façon non ambiguës et nous avons lacompréhension nécessaire de la ligne des nombres et du graphe. En utilisant cetteinformation, nous pouvons résoudre un problème de calcul sans séries infinies oulimites. Tout ce dont nous avons besoin est une jolie table que j’ai établie exacte-ment dans ce but. J’ai parcouru les livres de mathématiques de l’histoire afin de

voir si cette table apparaissait quelque part. Je n’ai pas pu la trouver. Elle peutse trouver dans une bibliothèque quelque part, enterrée, mais si c’est le cas, jel’ignore. J’aurais bien aimé l’avoir sous les yeux lorsque j’apprenais le calcul diffé-rentiel à l’école. Elle aurait clarifié bien des choses.

∆x 1 2 3 4 5 6 7 8∆2x 2 4 6 8 10 12 14 16

∆x² 1 4 9 16 25 36 49 64

∆x³ 1 8 27 64 125 216 343 512

∆x4 1 16 81 256 625 1296 2401 4096

∆x5 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768

∆∆x 1 1 1 1 1 1 1

∆∆2x 2 2 2 2 2 2 2

∆∆x² 1 3 5 7 9 11 13

∆∆x³ 1 7 19 37 61 91 127∆∆x4 1 15 65 175 369 671 1105

∆∆x5 1 31 211 781 2101 4651 9031

∆∆∆x² 2 2 2 2 2 2

∆∆∆x³ 6 12 18 24 30 36

∆∆∆x4 14 50 110 194 302 434

∆∆∆x5 30 180 570 1320 2550 4380

∆∆∆∆x³ 6 6 6 6 6

∆∆∆∆x4

36 60 84 108 132∆∆∆∆x5 150 390 750 1230 1830

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∆∆∆∆∆x4 24 24 24 24

∆∆∆∆∆x5 240 360 480 600

∆∆∆∆∆∆x5 120 120 120

de ceci, on peut prédire que ∆∆∆∆∆∆∆x6 = 720, 720, 720, 720, 720 et ainside suite.

C’est ce qu’on peut appeler une simple analyse de nombres. C’est une tablede différences. La première ligne est une liste des longueurs entières potentiellesd’un objet. C’est également une liste des entiers cardinaux, comme vous pouvez le

voir. C’est aussi une liste des valeurs possibles pour le nombre de boîtes que

nous pouvons compter dans notre graphe . Elle est donc à la fois physique etabstraite, de façon à pouvoir être appliquée dans tout sens que l’on désire. La ligne

2 liste les longueurs potentielles ou valeurs de boîte de la variable ∆2x. La ligne3 liste les valeurs de boîte possibles pour ∆x2. La ligne 7 débute les différencesdu second degré. Elle liste les différences de la ligne 1, comme vous voyez. Pourtrouver les différences, j’ai simplement soustrait chaque nombre du suivant. Laligne 8 liste les différences de la ligne 2, et ainsi de suite. La ligne 14 liste lesdifférences de la ligne 9. Je crois que vous pouvez suivre la logique du reste.

Maintenant, retirons-en les lignes importantes et listons-les dans l’ordre :

∆∆x 1 1 1 1 1 1 1∆∆∆x² 2 2 2 2 2 2 2∆∆∆∆x³ 6 6 6 6 6 6 6∆∆∆∆∆x4 24 24 24 24 24 24 24∆∆∆∆∆∆x5 120 120 120 120 120 120 120∆∆∆∆∆∆∆x6 720 720 720 720 720 720 720

Apercevez-vous quelque chose ?

2 × ∆∆x = ∆∆∆x²3 × ∆∆∆x² = ∆∆∆∆x³4 × ∆∆∆∆x³ = ∆∆∆∆∆x4

5 × ∆∆∆∆∆x4 = ∆∆∆∆∆∆x5

6 × ∆∆∆∆∆∆x5 = ∆∆∆∆∆∆∆x6

etc.

Voilà. Nous obtenons l’équation courante de la dérivée, juste à partir d’unetable. Tout ce que j’ai à faire maintenant est expliquer ce qu’elle signifie. Plutôt

que de regarder où les différences approchent de zéro, comme le faisait le cal-cul différentiel, j’ai regardé pour les endroits où les différences sont constantes —

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comme dans la seconde table. J’ai du regarder de plus en plus loin dans la tabledes taux de changement pour les trouver à chaque fois, mais ils sont toujours là. Lecalcul différentiel résout à partir d’une différence proche de zéro. Je résous à par-tir d’une différence constante. Leur différence n’est jamais pleinement définie ouexpliquée (en dépit de leurs affirmations) ; la mienne le sera dans les paragraphesqui suivent.

J’expliquerai en grand détail, plus bas, ce qui est exprimé lorsque je re-déve-loppe l’équation de la dérivée ; mais tout d’abord laissez-moi commenter les as-pects importants de cette table. La table est générée par une théorie basique desnombres, comme je l’ai déjà dit. Cela signifie que c’est vrai pour toute variable.C’est une analyse de la ligne des nombres, et les relations entre des entiers et tousles exposants d’entiers. Nous pouvons donc utiliser l’information dans la table afind’obtenir plus d’information sur toute équation de courbe. L’information dans latable est définie par la ligne des nombres elle-même. Cela veut dire qu’elle est

vraie par définition. De cette façon elle peut être vue comme un cache d’informa-tion préexistantes ou d’égalités tautologiques. Comme vous pouvez le voir, la tablen’a pas besoin de preuve, puisqu’elle est tout simplement une liste de données.C’est une résultat direct de la notation exponentielle, et je n’ai rien fait d’autre quede lister des valeurs.

Lagrange proclamait que les séries de Taylor étaient le moteur secret derrièrele calcul différentiel, mais cette table est le moteur secret derrière les séries deTaylor comme derrière le calcul. Je ne crois pas personnellement que les Grecscachaient un quelconque algorithme ou tout autre mécanisme, mais s’ils l’ont fait,c’était cet algorithme-ci qu’ils cachaient sûrement. Je ne crois pas qu’Archimèdeétait au courant de cette table, car s’il l’avait été il n’aurait pas continué à chercherdes solutions avec des séries infinies.

Le calcul différentiel fonctionne uniquement parce que les équations du calculfonctionnent. L’équation y = n xn−1 et les autres équations du calcul sont les faitsopérationnels primaires des mathématiques, pas les preuves de Newton, Leibnizou Cauchy. La plus importante reconnaissance par Newton et Leibniz fut que ceséquations généralisées étaient les choses dont on avait le plus besoin, et qu’ellesdevaient être atteintes par n’importe quel moyen. Le moyen dont ils disposaient àla fin du 17e siècle était une preuve utilisant des infinitésimales. Une preuve légè-rement manipulée donnait des résultats qui écrasait tout ergotage philosophique,et cette preuve a tenu jusqu’à aujourd’hui. Mais ce que fait réellement le calcul,lorsqu’il proclame examiner des différences de plus en plus petites et des limites,c’est de prendre de l’information de cette table. Cette table et les relations entre lesnombres qu’elle révèle sont les fondations des équations du calcul, pas des sériesinfinies ou des limites.

Pour le dire en termes encore plus directs, les égalités ci-dessus peuvent êtreutilisées pour résoudre des équations de courbe. Par « résoudre », je veux dire

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que les égalités listées dans cette table sont substituées dans les équations de lacourbe de manière à nous donner des informations que nous ne pourrions pasobtenir autrement. Les problèmes de taux de changement sont donc résolus parle biais d’une simple substitution, plutôt que par une preuve complexe impliquantdes infinis et des limites. Une équation de courbe nous dit qu’une variable changeà un taux égal au taux auquel une autre variable change. La table ci-dessus nousdit la même chose, mais dans celle-ci la même variable se trouve des deux côtés del’équation. Donc, il est évident que tout ce que nous avons à faire est de substituerde la bonne manière et nous avons résolu notre équation. Nous avons pris del’information de la table et l’avons mise dans l’équation de la courbe, amenant dela nouvelle information. C’est réellement aussi simple que ça. La seule questionà se poser est : « Quelle information cette table contient-elle vraiment? ». Et :« Quelle information nous donne-t-elle après substitution dans une équation decourbe ? ».

J’ai défini ∆x comme une distance linéaire à partir de zéro sur le graphe, dansla direction des x (si le mot « distance » a un sens trop physique pour vous, vouspouvez substituer « changement à partir de zéro »). ∆∆x est alors le changementde ∆x, et ainsi de suite. Puisque ∆∆x/∆∆t est une vitesse, ∆∆∆x est une sorted’accélération constante attendant d’être calculée (étant donné un ∆∆t). Dans cesens, ∆∆∆∆x est une accélération variable attendant d’être calculée. ∆∆∆∆∆x

est le changement d’une accélération variable, et ∆∆∆∆∆∆x est le changementdu changement d’une accélération variable. Certains vont demander : « Est-ce

que ces sortes d’accélération existent réellement ? On a du mal a les imaginer.Comment des choses peuvent-elles changer aussi vite ? ». Des variables à grandexposant nous disent que nous avons affaire à ces sortes d’accélération, qu’ellesexistent dans des situations physiques ou non. Le fait est que des accélérationscomplexes existent dans la vie réelle, mais ce n’est pas ici l’endroit d’en discuter. Laplupart des gens peuvent imaginer une accélération variable, mais ils sont perdusau-delà. Il est évident que, dans des situations strictement mathématiques, deschangements peuvent changer jusqu’à l’infini.

J’ai dit, dans le paragraphe précédent, que la vitesse est ∆∆x/∆∆t. Cela doit

être ainsi, selon mes notations. La notation courante assume que les variablesd’une équation de courbe sont des variables nues : x, t. J’assume qu’elles sont des variables delta, ∆x, ∆t. Mais je suis d’accord avec la théorie actuelle que la vitesseest un changement de ces variables. La vitesse doit donc être ∆∆x/∆∆t.

Vous allez dire : « Alors vous impliquez que la vitesse n’est pas une distanceparcourue dans un temps. Vous dites, par votre notation, que la vitesse est unchangement de distance par rapport à un changement dans le temps ». Précisé-ment. Voyez la chose de cette façon : supposons que je me trouve au nombre 3 surune grande règle. J’ai montré que le nombre trois dit au monde que je me trouve

à trois centimètres de l’extrémité. Il nous donne une distance. Maintenant, puis-jeutiliser cette distance pour calculer une vitesse ? Comment ? Je viens de dire que

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je me trouvais là. Je ne bouge pas. Il n’y a pas de vitesse impliquée, il serait doncridicule d’en calculer une. Pour calculer une vitesse, nous devons avoir une vitesse,auquel cas je dois me mouvoir d’une marque numérique sur la règle jusqu’à uneautre. Auquel cas nous avons un changement de distance, vous voyez.

Vous pouvez répondre : « Et si vous vous trouviez à l’origine, pour commen-cer? Alors la distance et le changement de distance seraient la même chose ».Ils seraient le même nombre, oui. Mais mathématiquement, le calcul impliqueraittoujours une soustraction, si vous mettiez par écrit tout cela. Il y aurait toujoursl’implication que ∆∆x = ∆x(final) − ∆x(initial) = ∆x(final) − 0 . Votre nombrefinal serait le même nombre et la magnitude serait la même, mais conceptuel-lement, ce n’est pas la même chose. ∆x et ∆∆x sont tous les deux mesurés enmètres, mais ils ne sont pas la même chose conceptuellement.

Une façon de se débarrasser d’une partie de cette confusion est de différencierentre longueur et distance. En physique, ces deux notions sont souvent utilisées defaçon interchangeable. Dans notre problème de taux de changement, nous pou-

vons créer plus de clarté en assignant un mot exclusivement à une situation etl’autre mot à l’autre situation. Assignons longueur à ∆x et distance à ∆∆x. Unnombre cardinal représente une longueur à partir de zéro. C’est l’extension entredeux points statiques, mais aucun mouvement n’est impliqué. On devrait certaine-ment se déplacer pour aller de l’un à l’autre, mais une longueur n’implique aucune

variable de temps, aucun changement dans le temps. Une longueur peut existeren l’absence de temps. Une distance, par contre, ne le peut pas. Une distanceimplique la présence d’une autre variable, même si cette variable n’est pas une va-riable physique comme le temps. Par exemple, pour réellement voyager d’un pointà un autre implique du temps. La distance implique du mouvement, ou il impliqueun changement de second degré. Une longueur est un changement statique en x.Une distance est un mouvement d’un x à l’autre.

" " "

6 La dérivation

Maintenant, voyons ce que nous dit la valeur courante pour la dérivée, selonma table. Si nous avons une équation de courbe, disons

∆ t = ∆x3

alors la dérivée est

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∆ t = 3∆x2

À partir de ma table, nous pouvons voir que

3∆∆∆x2 = ∆∆∆∆x3

Donc,

3∆x2 = ∆∆x3

[Les deltas peuvent être éliminés entre ces égalités particulières] 5

Et,

∆ t = 3∆x2 = ∆∆x3

∆ t = ∆x3

Il s’ensuit que

5. Pourquoi pouvons-nous éliminer les deltas ici ? C’est une question très importante. Un deltaest-il une variable ? Est-ce que chaque delta est égal à tout autre delta ? La réponse est qu’un deltan’est pas une variable; et que chaque delta n’est pas égal à tout autre delta. Il s’ensuit que lesrègles d’annulation sont un peu délicates. Un delta n’est pas un symbole mathématique par lui-même. Vous ne le verrez jamais écrit tout seul. Il est connecté à la variable qui le suit. Une variableet tous ses deltas doivent donc être pris comme une seule variable. Ceci semblerait impliquer quel’annulation des deltas est interdite. Cependant, une analyse plus précise montre que dans certainscas, cette opération est permise. Une variable et tous ses deltas représentent un intervalle, ou une

différence. En un point particulier du graphe, elle serait un intervalle particulier. Mais dans uneéquation générale, elle représente tous les intervalles possibles de la variable. Comme vous pouvezle constater à partir de ma table, certaines variables deltas ont la même valeur d’intervalle en toutpoint. La plupart ne l’ont pas. Les variables à haut exposant possédant peu de deltas ont un forttaux de changement. Cependant, toutes les lignes dans la table dépendent de la première ligne.Notez que chaque ligne peut se lire « Si ∆x = 1, 2, 3 etc, alors cette ligne est vraie ». Vous pouvezconstater que vous donnez ces valeurs à ∆x dans chacune des autres lignes afin d’obtenir cetteligne. Chaque ligne de la table ne fait rien d’autre que retravailler la première ligne. La ligne troisest ce qui arrive lorsque vous prenez le carré de la ligne un, par exemple. Donc, la variable sous-

jacente ∆x est la même pour chaque ligne de la table. Il s’ensuit que si vous mettez des égalitésentre une ligne et une autre, les taux de changement sont relatifs l’un à l’autre. Ils sont tous destaux de changement de ∆x. C’est pourquoi vous pouvez éliminer des deltas ici. Tout ceci revient

à dire que si x se trouve des deux côtés de l’équation, vous pouvez annuler des deltas. Autrement vous ne pouvez pas.

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∆ t = ∆∆t

La dérivée est juste le taux de changement de notre variable dépendante ∆ t.Mais je le répète, c’est le taux de changement d’une longueur, ou période. Ce n’estpas le taux de changement d’un point ou d’un instant. Un point sur le graphereprésente une valeur pour ∆ t, pas un point dans l’espace. La dérivée est un tauxde changement d’une longueur (ou d’une période de temps).

Maintenant refaisons cela sans utiliser ce que nous savons déjà du calcul. Prou- vons la justesse logique de l’équation dérivée à partir de la table sans faire aucune

supposition sur la véracité de l’équation historique. On nous donne donc l’équationde la courbe et une courbe sur un graphe. ∆ t = ∆x3.

Nous regardons alors ma seconde petite table pour trouver ∆x3. Nous consta-tons que la différence est constante (6) quand la variable change à ce taux :∆∆∆∆x3. Vous allez dire : « Attendez, expliquez-moi cela. Pourquoi allez-vouslà-bas dans la table ? Pourquoi nous soucier de savoir où la différence est cons-tante? ». Nous nous en soucions parce que lorsque la différence est constante, lacourbe n’est plus courbée sur cet intervalle. Si la courbe n’est plus courbée, nous avonsune ligne droite. Cette ligne droite est notre tangente. C’est exactement ce que nous

recherchons.

Montrons maintenant ce que signifie 2∆∆x = ∆∆∆x2. L’équation nous dit :« Deux fois le taux de changement de x est égal au taux de changement du se-cond degré de x2 ». C’est un peu comme dire « Deux fois la vitesse de x est égal àl’accélération de x2 ». Ces égalités sont juste des égalités numériques. Elles n’im-pliquent pas des relations spatiales. Par exemple, si je dis : « Ma vitesse est égaleà votre accélération », je ne dis rien sur nos vitesses. Je ne dis pas que nous nousmouvons de la même manière ou couvrons le même sol. Je note simplement uneégalité numérique. Le nombre que je calcule pour ma vitesse se trouve simplement

être le même nombre que vous calculez pour votre accélération. C’est une relationnumérique. Cette relation numérique est la base du calcul. La table ci-dessus est juste une liste de certaines relations légèrement plus complexes. Mais elles ne sontpas très complexes, bien sûr, car tout ce que nous avons à faire est de soustraireun nombre du suivant.

Maintenant, examinons de nouveau notre équation donnée, ∆ t = ∆x3.

Que nous dit exactement cette équation? Puisque le graphe nous donne lacourbe — la définit, visualise, tout — nous devrions y aller pour trouver la réponse.

Si nous désirons dessiner la courbe, quelle est la première chose que nous faisons ?Nous assignons des nombres à ∆x et regardons ce que nous obtenons pour ∆ t,

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oui ? Quels nombres assignons-nous à ∆x ? Les entiers, bien sûr. Vous pouvez voirque si nous assignons des entiers, alors ∆x change au taux de un. Comme je l’aiprouvé ci-dessus, nous n’avons pas besoin de mettre des entiers. Même si nousmettons des fractions ou des décimales, ∆x changera au taux de un. Ce ne serapas si facile de dessiner la courbe. Si ∆x change au taux de un, alors ∆ t changeraau taux de ∆x3. C’est tout ce que l’équation nous dit.

Maintenant que nous voyons clairement ce que tout représente, nous sommesprêts à résoudre.

On nous donne

∆ t = ∆x3

Nous trouvons, d’après la table,

3∆∆∆x2 = ∆∆∆∆x3

Nous simplifions

3∆x2

= ∆∆x3

Nous cherchons ∆∆ t. Nous notons que ∆∆ t = ∆∆x3 puisque nous pouvonstoujours ajouter un delta des deux côtés 6.

Nous substituons

∆∆ t = 3∆x2

∆∆ t = ∆ t

Donc

∆ t = 3∆x2

6. Nous sommes autorisés à ajouter des deltas des deux côtés de l’équation dans ce cas parceque nous ajoutons les mêmes deltas. Les deltas ne sont pas toujours équivalents, mais nous pouvonsmultiplier les deux côtés par des deltas qui sont équivalents. Ce qui se passe, c’est que nous avons

une égalité, pour commencer. Nous donnons alors le même taux de changement aux deux côtés :de cette façon l’égalité est maintenue.

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Je vais maintenant expliquer les étapes une à une. L’équation finale se lit :« Quand le taux de changement de la longueur ∆x est un, le taux de changementde la longueur (ou période, dans ce cas-ci) ∆ t est 3∆x2 ». La première partie decette phrase est impliquée par mon explication précédente, mais il est bon de la

voir à nouveau écrite ici, à sa place. Car elle nous dit que quand nous trouvons ladérivée, nous trouvons le taux de changement de la première variable (la variableprimée) quand l’autre variable change au taux de un. Donc, nous ne laissons au-cune variable approcher une limite ou aller vers zéro. Je répète, ∆∆x ne va pas

vers zéro. C’est le nombre un.

C’est pourquoi vous pouvez le laisser disparaître au dénominateur de la preuvecourante du calcul. Dans la preuve courante, la fraction ∆y/∆x (ce serait écrit∆∆y/∆∆x dans ma notation) est amenée à une limite, à savoir ∆x est amené

vers zéro, nous dit-on. Mais d’une façon ou d’une autre, la fraction ne va pas vers

l’infini, elle va vers ∆y. L’explication historique n’a jamais été satisfaisante. J’aimontré que c’est simplement parce que le dénominateur est un. Un dénominateurde un peut toujours être ignoré.

Vous pouvez maintenant demander : « OK, mais comment saviez-vous cher-cher ∆∆ t ? Vous avez montré ci-dessus que la preuve courante le recherche, mais

vous étiez supposé résoudre sans emprunter aucune supposition de la preuve cou-rante ou utiliser le calcul. Pourquoi le recherchiez-vous ? Que représente-t-il dans

votre interprétation ? Qu’arrive-t-il sur le graphe ou dans la vie réelle qui explique∆∆ t ? »

Bonne question. En expliquant cela, je peux en finir avec cette preuve. J’ai mon-tré que par la façon même dont le graphe et l’équation sont construits, nous pou-

vons montrer qu’il doit être vrai que ∆∆x = 1. Étant donné cela, que recherchons-nous ? La tangente à la courbe sur le graphe. La tangente à la courbe sur le grapheest une ligne droite intersectant la courbe en (∆x, ∆ t). Chaque tangente toucherala courbe en un seul (∆x, ∆ t), sinon ce ne serait pas la tangente et la courbene serait pas différentiable. Puisque la tangente est une ligne droite, sa pente sera∆∆ t/∆∆x. Nous avons donc besoin d’une équation qui nous donne un ∆∆ t/∆∆x

pour chaque valeur de ∆ t et ∆x sur notre courbe. Rien ne pourrait être plus

simple. Nous savons que ∆∆x = 1, nous recherchons donc juste ∆∆ t.

∆∆ t

∆∆x=

∆∆ t

1= ∆∆ t

∆∆ t est la pente de la tangente en chaque point de la courbe sur le graphe.

Si ∆ t = ∆x3,

alors ∆∆ t = 3∆x2.

" " "

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7 Application à la physique

Nous avons résolu la première partie de notre problème. Nous avons trouvé

la dérivée sans le calcul et avons assigné ses valeurs à l’équation générale en cequi concerne la pente de la tangente à la courbe. Maintenant, nous devons nousdemander si nous pouvons assigner cette équation à la vitesse en tout « point de lacourbe ». Ce n’est plus une question mathématique. C’est une question physique.La réponse paraît être « oui ». ∆∆ t/∆∆x = ∆∆ t = (∆ t).

J’avais initialement pris t comme variable dépendante, mais c’était un choixarbitraire de ma part. Si j’avais pris x comme variable dépendante, alors nousaurions obtenu (∆x) = ∆∆x/∆∆ t.

La dérivée ressemble donc à une vitesse.

Mais la vitesse en un point sur le graphe n’est pas la vitesse en un point dansl’espace, et donc la pente de la tangente ne s’applique pas à la vitesse instanta-née. C’est la vitesse pendant une période de temps d’accélération, pas la vitesseen un instant. Vous allez dire : « Oui, mais par votre propre méthode, nous pou-

vons continuer à éliminer des deltas, auquel cas nous obtiendrons ∆∆ t/∆∆x =

∆ t/∆x = t/x. Si les ∆ t sont égaux, alors les t sont égaux, et ainsi de suite ».

Non, ils ne le sont pas. Notez que l’équation x/t ne décrit même pas une vitesse.

C’est un point sur un instant. Ce n’est pas une vitesse. Ce n’est même pas unefraction ayant un sens. Comme je l’ai montré, t dans ce cas est réellement unnombre ordinal. Vous ne pouvez pas avoir un ordinal en tant que dénominateurd’une fraction. C’est absurde. En réduisant cette dernière fraction, vous êtes entrain de dire que 5 mètres/5 secondes serait égal à la cinquième marque sur lecinquième tic de l’horloge. Mais la cinquième marque en mètres est équivalente àla première marque en mètres et à la centième marque en mètres. Et le cinquièmetic est le même que tout autre tic. Je pourrais alors dire que 5 mètres/5 secondes= 5e marque/5e tic = 100e marque/7e tic. Charabia.

De plus, votre méthode d’annulation n’est pas permise. J’ai annulé des deltasentre des égalités dans des circonstances strictement analysées (x se trouvait desdeux côtés de l’équation); vous annulez dans une fraction. Vous simplifiez unefraction en annulant un delta dans le numérateur et dans le dénominateur. Cen’est pas la même chose qu’annuler un terme des deux côtés d’une équation. Il estévident que ∆∆ t/∆∆x ne peut pas être égal à ∆ t/∆x, car la dérivée n’est pas lamême chose que les valeurs en un point sur le graphe. La pente d’une courbe n’estpas juste ∆y/∆x. Un delta ne représente pas un nombre ou une variable, il nes’annule donc pas de la même manière. Il peut parfois s’annuler dans une égalité,

comme je l’ai montré. Mais le delta ne s’annule pas dans la fraction ∆∆ t/∆∆x,parce que ∆ t et ∆x ne changent pas au même taux. S’ils changeaient au même

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simplement ∆∆x = 1. Si nous assignons la longueur de boîte au mètre, alors∆∆x = 1 m. Si nous trouvons la vitesse « en un point », alors nous devons assignercette vitesse à l’intervalle précédent ce point. Pas un intervalle infinitésimal, maisl’intervalle 1 mètre. Si nous assignons alors cette vitesse à un objet réel en un pointde l’espace, un objet que nous avons tracé avec notre graphe et notre courbe, alorsla vitesse de l’objet doit aussi être assignée à l’intervalle de un mètre qui précède.

Vous allez dire : « Mais un objet réel n’accélère pas d’un seul coup, ni la courbesur le graphe. Nous devrions être à même de trouver la vitesse en tout point frac-tionnel, dans l’espace ou sur le graphe ».

Oui, vous pouvez, mais la valeur que vous obtiendrez s’appliquera à l’intervalle,pas à l’instant. Vous pouvez trouver la vitesse à la valeur ∆x = 5 m ou ∆x =

9, 000512 m ou à toute autre valeur, mais toute vitesse s’appliquera à l’intervallemétrique précédant la valeur.

Vous direz : « Bon Dieu, nous devons être plus précis que ça. Est-ce que je nepeux pas rendre cet intervalle plus petit d’une façon ou d’une autre ? ».

Bien sûr : assignez juste votre longueur de boîte à une magnitude plus petite.Si vous avez des boîtes d’un ångström, alors l’intervalle précédant votre vitesseest aussi d’un ångström. Cependant, notez que vous ne pouvez pas assigner arbi-

trairement une magnitude. C’est-à-dire que si vous mesurez vraiment votre objetà la précision d’un ångström, très bien. Vous pouvez retrouver cette précision sur votre graphe. Mais si vous n’êtes pas aussi précis dans votre opération de mesure,alors vous ne pouvez pas assigner une très petite magnitude à votre longueur deboîte juste parce que vous voulez être plus près d’un instant ou d’un point. Votregraphe est une représentation de votre opération de mesure. Vous ne pouvez pasmanipuler cette opération sans tricher. Ce serait comme utiliser plus de chiffressignificatifs qu’il ne vous est permis.

Ceci signifie que, en physique, la précision de la mesure de vos variables dé-

termine complètement la précision de votre vitesse. C’est logiquement exactementcomme ça que ça doit être . Nous ne devrions pas être capable de trouver la vi-tesse en un instant ou en un point quand nous ne pouvons mesurer un instantou un point. Une vitesse instantanée aurait une précision infinie. Nous avons unemarge d’erreur dans toute mesure de longueur et de temps, puisque nous ne pou-

vons obtenir une précision absolue. Mais jusqu’ici nous nous attendions à trouverdes vitesses et des accélérations instantanées, ce qui impliquerait une précisionabsolue.

" " "

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8 La dérivée seconde — accélération

Comme étape finale, permettez-moi de montrer que la dérivée seconde n’est

pas trouvée, elle non plus, en un instant. Il n’existe rien de tel qu’une accélérationinstantanée, pas plus qu’il n’existe de vitesse instantanée. Ce que nous recherchonspour l’accélération en un point sur le graphe est cette équation :

∆ t =∆∆∆ t

∆∆x

L’accélération est traditionnellement ∆v/∆ t. En notation courante, cela nousdonne (∆∆x/∆ t)/∆ t. Selon ma notation en deltas supplémentaires, cela serait

écrit [∆(∆∆x)/∆∆ t]/∆∆ t. Mes variables ont été mises à l’envers dans cet article,ce qui signifie que j’ai trouvé la pente et la vitesse comme t/x plutôt que x/t.Inversons donc la dernière équation [∆(∆∆ t)]/∆∆x]/∆∆x. Comme nous l’avonsdéjà montré, ∆∆x = 1, et donc cette équation se réduit à ∆∆∆ t. Pour l’accé-lération, nous cherchons ∆∆∆ t. Le dénominateur est un, comme vous pouvezclairement le constater, ce qui signifie que nous cherchons toujours ∆∆∆ t sur unsous-intervalle de un, pas un intervalle diminuant vers zéro ou vers une limite.

On nous donne

∆ t = ∆x3

Nous trouvons à partir de la table

3∆∆∆x2 = ∆∆∆∆x3

Nous simplifions

3∆∆x2 = ∆∆∆x3

Nous cherchons ∆ t ou ∆∆∆ t.

Nous notons

∆∆∆ t = ∆∆∆x3

puisque nous pouvons ajouter les mêmes deltas aux deux côtés. Nous substi-tuons

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3∆∆x2 = ∆∆∆ t

Retour à la table

2∆∆x = ∆∆∆x2

Simplifions

2∆x = ∆∆x2

Substituons une fois de plus

6∆x = ∆∆∆ t

En ∆x = 5, ∆∆∆ t = 30.

Le sous-intervalle pour l’accélération est le même que le sous-intervalle pour la vitesse. Ce sous-intervalle est 1.

" " "

9 Récapitulatif

La preuve est complète. L’analyse de Newton était fausse, ainsi que celle deLeibniz. Pas de fluxion impliquée, pas de valeur qui disparaît, pas d’infinitésimale,pas d’indivisible (autre que zéro lui-même). Rien n’est amené vers zéro. Aucun dé-nominateur n’allant vers zéro, aucun rapport n’allant vers zéro. Aucune progres-sion infinie impliquée. Même Archimède était dans l’erreur. Archimède inventa leproblème avec son analyse, qui tendait vers zéro il y a 2200 ans. Tous étaientcoupables d’incompréhension du problème et d’une incompréhension du taux dechangement. Euler et Cauchy étaient dans l’erreur aussi, car ça n’a aucun sens de

vouloir donner un fondement à une fausseté. Le concept de limite est historique-

ment une invention ad hoc en ce qui concerne le calcul différentiel : une erreur quipeut maintenant être jetée par dessus bord. Ma redéfinition de la dérivée, comme

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un simple taux de changement de la variable dépendante, demande une ré-analysede presque toutes les mathématiques supérieures 7.

Tout ce gâchis fut bâti sur une erreur monumentale : tous ces mathématiciens

pensaient que le point sur un graphe ou sur une courbe mathématique représentaitun point dans l’espace ou un point physique. Il n’y a donc aucun moyen, pensaient-ils, de trouver un sous-intervalle ou une différence sans tendre vers zéro. Mais lesous-intervalle est juste le nombre un, comme je l’ai montré. C’était la premièrechose donnée du graphe et de la ligne des nombres. La différence ∆∆x = 1 dé-finit le graphe en entier et toute courbe à l’intérieur de celui-ci. Cette différenceconstante est le dénominateur de toute dérivée possible — première, seconde oudernière. La dérivée n’est pas la limite, quand ∆x tend vers zéro, de ∆f (x)/∆x.C’est la valeur ∆f (x)/1.

Et c’est précisément pourquoi le calcul ombral fonctionne. L’interprétation cou-rante et le formalisme du Calcul des Différences Finies est tellement complexe etinutilement abstrait qu’il est difficile de dire ce qui se passe dedans. Mais monexplication simple de ce calcul montre clairement la fondation, même à ceux quine sont pas experts dans ce sous-domaine. Une fois que vous limitez le Calcul desDifférences Finies aux entiers, que vous bâtissez une table simple et que vous refu-

7. Par exemple, ma correction apportée au calcul change la définition du gradient, qui changela définition du Lagrangien, qui change la définition du Hamiltonien. Chaque domaine mathéma-tique est réellement affecté par ma redéfinition de la dérivée. J’ai montré que tous les domainesmathématiques sont des représentations d’intervalles, pas de points physiques. Il est impossiblede mettre en graphe ou de représenter un point physique sur tout domaine mathématique, car-tésien ou autre. Le gradient est dès lors le taux de changement sur un intervalle défini, pas letaux de changement en un point. La topologie symplectique dépend aussi des suppositions que j’aidémolies dans cet article. Si les points d’un graphe cartésien ne sont pas des points dans l’espaceréel, alors les états de la mécanique quantique ne sont pas des points dans un espace de phasessymplectique. L’espace de Hilbert s’effondre aussi, car le formalisme mathématique ne peut s’appli-quer aux domaines en question. Spécifiquement, la séquence des éléments, quels qu’ils soient, neconverge pas en l’espace vectoriel. Dès lors, l’espace mathématique n’est pas équivalent à l’espaceréel, et l’un ne peut complètement prédire l’autre. Cela signifie que l’« incertitude » de la méca-nique quantique est due (au moins en partie) aux maths et pas au fondement conceptuel. Ce quirevient à dire que les diverses difficultés de la physique quantique sont avant tout des problèmes

d’espace mal défini d’Hilbert et de mathématiques mal utilisées (algèbre vectorielle), et non pasdes problèmes de probabilité ou de philosophie. En fait, toutes les topologies sont affectées parcet article. La topologie élémentaire fait la même erreur que le calcul en assumant qu’une lignedans R2 représente un sous-espace à une dimension. Mais j’ai montré qu’une ligne dans R2 repré-sente une vitesse, ce qui n’est pas un sous-espace à une dimension. J’ai prouvé dans la section 2ci-dessus qu’un point dans R2 est déjà une entité à deux dimensions, et donc une ligne doit êtreun sous-espace à trois dimensions. Dans R3, une ligne représente une accélération. Dans R4, uneligne représente un cition (∆a). Puisque la vitesse est une quantité tri-dimensionnelle — requérantles dimensions y et t, par exemple, plus un changement (un changement implique toujours unedimension supplémentaire) — il suit qu’une ligne dans Rn représente un sous-espace à (n + 1)

dimensions. Cela signifie que toutes les algèbres linéaires et vectorielles doivent être réexaminées.Les tenseurs sont mis sur un pied différent également, et c’est une appréciation généreuse. Aucune

supposition mathématique dépendant des suppositions traditionnelles du calcul différentiel, de latopologie, de l’algèbre linéaire ou de la théorie de la mesure n’est intacte a la suite de cet article.

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sez de considérer des choses comme les différences vers l’avant et les différences vers l’arrière (qui ne sont rien d’autre que du barda), le nuage commence à sedissiper. Vous donnez la différence constante 1 à la table, pas arbitrairement maisparce que la ligne des nombres elle-même contient une différence constante de 1.Nous avons défini le nombre 1 comme la différence constante du monde et de toutespace possible. Les mathématiciens semblent aptes à l’oublier, mais c’est ainsi. À chaque fois que nous appliquons des nombres à un problème, nous définissonsautomatiquement notre différence de base comme 1. Ce que cela signifie, opéra-tionnellement, est que dans beaucoup de problèmes, les exposants commencentà agir comme des indices, ou l’inverse. Pour voir ce que je veux dire, retournez àla table ci-dessus. Parce que l’entier 1 définit la table et la différence constante enelle, les exposants peuvent être écrits comme des indices sans aucun changementdans les maths.

Une fois que nous avons défini notre différence de base à 1, nous ne pouvonspas faire autrement que refléter la plupart des maths d’indices, car les indices sontbien sûr basés sur la différence 1. À moins que vous ne soyez très iconoclaste,

vos indices changent de 1 à chaque fois, ce qui veux dire que vos indices ont unedifférence constante de 1. C’est ainsi que procède le Calcul des Différences Finies,lorsqu’il est utilisé pour remplacer le Calcul Infini et pour dériver une équationcomme je l’ai fait ici. Il n’est donc pas étonnant que d’autres équations indicées —si elles ont basées implicitement ou explicitement sur une différence de 1 — sontdifférentiables.

Au-delà de ça, en redéfinissant le problème complètement, j’ai été capable deprouver que les valeurs instantanées sont des mythes. Elle n’existent pas sur unecourbe ou sur un graphe. De plus, elle impliquent une précision absolue pourpouvoir trouver des vitesses et des accélérations, quand les variables dont sontfaits ces mouvements — distance et temps — ne sont pas, et ne peuvent être,absolument précises. Des valeurs instantanées n’existent pas même en tant queconcept mathématique indéfini dans le calcul, car on y est arrivé en assignant desdifférences en diminution à des points qui n’étaient pas des points. Vous ne pouvezpas postuler l’existence d’une limite en un « point » qui est déjà défini par deux

différences, (x − 0) et (y − 0).Je suis parvenu à tout ceci grâce à un algorithme simple et facile à comprendre.

Le calcul peut maintenant être enseigné sans mystification. Aucune preuve difficilen’est requise ; rien ne doit être cru sur parole. Chaque étape de ma dérivation està même d’être expliquée en termes de théorie basique du nombre, et tout étudiantdes hautes écoles apercevra la logique en substituant les valeurs de la table dansl’équation de la courbe.

[Comme preuve que le calcul ne tend pas vers une limite ou une infinitésimale

et n’approche pas zéro, vous pouvez consulter mon second article sur l’équationorbitale de Newton a = v 2 /r. Dans cet article, j’utilise l’équation sur la Lune, et

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je montre que l’accélération de la Lune due à la Terre n’est pas une accélérationconstante. En d’autres termes, elle n’apparaît pas en un instant ou sur un tempsinfinitésimal. Je calcule en fait le temps réel passant durant l’accélération donnée,montrant dans un problème spécifique que le calcul va vers un sous-intervalle, pasune limite ou une infinitésimale. Ce sous-intervalle est à la fois fini et calculabledans tout problème physique. Autrement dit, je trouve le sous-intervalle qui agit entant que 1 dans un problème réel. Je trouve la valeur de la différence de référence].

[Dans un nouvel article, je prouve mon affirmation présente selon laquelle lecalcul est fondamentalement incompris jusqu’à ce jour en analysant la solutionprésentée dans un manuel concernant l’accélération variable. Je montre que lapremière intégrale est utilisée là où la seconde dérivée devrait l’être, prouvant queles scientifiques ne comprennent pas les manipulations de base du calcul. De plus,

je montre que le calcul est enseigné sens dessus-dessous, en définissant la dérivée

à l’envers].

" " "

10 Addendum

Dans des articles subséquents, je montre comment mes tables peuvent êtreconverties afin de trouver des intégrales, des fonctions trigonométriques, des lo-

garithmes et ainsi de suite. Je pense qu’il est clair que les intégrales peuvent êtretrouvées simplement en lisant les tables de bas en haut plutôt que de haut en bas.Mais il y a plusieurs implications à ceci devant être complètement énumérées. Etla conversion en fonctions trigonométriques et autres est quelquefois plus difficile,mais nullement, j’espère, ésotérique en quoi que ce soit. Tout ce que nous avonsà faire pour convertir ces tables en n’importe quelle fonction est de considérer lafaçon dont les nombres sont générés par les diverses méthodes, gardant à l’espritles clauses dont j’ai parlé dans cet article.

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Une redéfinition de la dérivée

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