Une des clés du Savoir … !. Le calcul mental à lécole élémentaire ne pas Document réalisé...

Une des clés du Savoir … !Une des clés du Savoir … !

Le calcul mental à l’école élémentaire

ne pas

Document réalisé par

Serge VALETTESerge VALETTE Responsable Site IUFM de Montpellier


« Les exercices de calcul mental figureront à l’emploi du temps et ne devront pas être sacrifiés à des occupations considérées comme plus importantes : aussi bien les avantages du calcul mental ne se bornent pas aux services qu’il rend chaque jour à celui qui s’est familiarisé avec sa pratique; il constitue une excellente gymnastique pour l’assouplissement et l’adresse de l’esprit aux prises avec les questions mathématiques. »

Instructions Officielles

...1909...1909


Documents de référenceDocuments de référence :– Les nouveaux programmes de l’école

primaire• Mathématiques

– Documents d’application • Mathématiques cycle 2 et

cycle 3 (2 volumes)– Documents d’accompagnement

• Le calcul mental au cycle 2 et u cycle 3

• Le calcul posé

SV - Décembre 2003


doit occuper une place principaleplace principale doit faire l’objet d’une pratique régulièrepratique régulière

dès le cycle 2

Une bonne maîtrise du calcul mental

est indispensableindispensable pour les besoins de la vie quotidienne

est nécessairenécessaire à une bonne compréhension de certaines notions mathématiques

Le calcul mentalLe calcul mental …

L’expression de calcul mental signifie qu’entre l’énoncé du problème l’énoncé du résultat

On renonce à poser toute opération en utilisant une technique opératoire usuelle.

Attention : cela ne signifie pas pour autant qu’on s’interdit d’utiliser quelques supports écrits lors de la consigne et/ou lors de la formulation du résultat et/ou lors des calculs.

Une pratique régulière permet aux élèves

de se familiariser avec les nombres numérationnumération

d’approcher (en situation) certaines propriétés des opérations

propriétés des opérationspropriétés des opérations





ExempleExemple:

le nombre 2525 peut s’écrire sous différentes formes :

SommeSomme : 20 + 520 + 5

DifférenceDifférence : 30 – 530 – 5

ProduitProduit : 5 x 55 x 5

QuotientQuotient : 100 / 4100 / 4





Exemple Exemple : pour calculer

38 + 1938 + 19

je peux utiliser implici-tement la procédure suivante :

38 + (20 – 1)38 + (20 – 1)

(38 + 20) – 1(38 + 20) – 1

58 – 158 – 1

5757(associativité de l’addition dans Z)(associativité de l’addition dans Z)

Le déficit de maîtrise du calcul mentalmental fragilise gravement l’apprentissage

des techniques écritesécrites

connaissance des tables gestion des retenues écart entre 2 nombres …

sont des connaissances de sont des connaissances de calcul mental nécessaires calcul mental nécessaires à des techniques de calcul à des techniques de calcul écrit efficaces.écrit efficaces.





ExempleExemple : Calculons

45 x 745 x 7

4 54 5

xx 77------------------------------------------------------------------

Je sais que « de 77 fois 55 » c’est 3535.






45 x 745 x 7

4 54 5

xx 77--------------------------------- --------------------------------- 33

55

77 fois 44, 2828 …

et 33 (28 + 2 + 1) -> 3131






215 – 67215 – 67

2 1 2 1 1155

6 76 7 11

------------------------------------------------------------------

88

Je sais que « de 77 pour aller à 1155 » il faut ajouter 88.






215 – 67215 – 67

2 1 2 1 1155

6 76 7 11

------------------------------------------------------------------

88

Je ne sais pas ce qu’il faut ajouter « à 77 pour aller à 1155 » => 77 + 3 + 5, 15

Il importe que les techniques écrites s’appuient sur une pratique du calcul mental déjà bien installée.

Les enfants ont trop Les enfants ont trop souvent tendance à souvent tendance à calculer mentalement calculer mentalement en appliquant des en appliquant des algorithmes écrits.algorithmes écrits.

26 + 12 = ?

6 + 2 = 8

2 + 1 = 3

38

Technique écrite Technique mentale

26 + 10 + 2

36

38

Calcul mental … ou calcul automatisé ?… ou calcul réfléchi ???

1. Calcul mental

2. Calcul automatisé

3. Calcul réfléchi

mais, au fait, y a-t-il une différence ?

Le calcul mental …

Le calcul mental englobe :

Calcul automatisé Calcul réfléchi

C’est un terme générique, global.

Le calcul automatiséLe calcul automatisé …

L’expression de calcul automatisé met en œuvre un algorithme uniforme sur des chiffreschiffres.

C’est pour cela qu’il est efficace.ex : ajouter ou retrancher 10 à un entier.

Le calcul réfléchi nécessite, lui, une intuition des nombresnombres et une part d’initiative et de choix.

ex : ajouter ou retrancher 12 à un entier de 2 chiffres

Le calcul réfléchi (ou raisonné)Le calcul réfléchi (ou raisonné) …

L’expression de calcul réfléchi insiste sur l’importance donnée à la méthodeméthode

choix d ’une stratégiestratégie élaboration d’une procédureprocédure

stratégiestratégie : : Tactique, méthode d’action. C’est l’art de combiner des actions pour atteindre un but (ex : stratégie électorale).

procédureprocédure : : Action méthodique. Plan structuré d’actions diverses en vue d’un résultat précis.

Ensemble de règles qu’il faut appliquer strictement, de formalités auxquelles il faut se soumettre, dans une situation déterminée (ex : procédure d’atterrissage)

Le calcul réfléchi (ou raisonné)Le calcul réfléchi (ou raisonné) …

L’expression de calcul réfléchi insiste sur l’importance donnée à la méthodeméthode

choix d ’une stratégiestratégie élaboration d’une procédureprocédure

Ici, il ne s’agit pas de récupérer en mémoire un résultat ou une procédure directement applicable.Il faudra élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé.

Revenons quelques instants sur le calcul automatisé …

Le calcul automatisé s’appuie sur la mémoiremémoire

Points d’appui pour la mémorisation

Passons maintenant au calcul réfléchi

Conditions de la mémorisation

Comment faire ?

Les points d’appuis pour la mémorisation...Les points d’appuis pour la mémorisation...

Importance de la représentation mentale des nombres (et leurs relations)

D’abord ,

représentation imagéereprésentation imagée (dés, dominos, …) ou figurative

(doigts)Puis,

représentation symbolique représentation symbolique (chiffrée ou verbale)Enfin,

RelationsRelations entre les nombres entiers :• Succession qui organise la suite verbale des noms des nombres : un,

deux, trois, … (un nombre « appelle » le suivant)

• Numération chiffrée en base dix : rythmée par dizaines et centaines (=> opérateurs +1, +10, -1, -10 sont les opérateurs simples)

Les conditions de la mémorisation …Les conditions de la mémorisation …Il est nécessaire, pour l’enseignant, de réunir 5 conditions :

1. Compréhension des opérations en jeuEx : « quatre plus trois »- L’élève évoque quatre objets réunis avec trois autres objets- L’élève sait que le résultat se trouve trois après quatre sur la bande numérique.

2. Prise de conscience que certains résultats sont mémorisés

et qu’un répertoire mental est en train de se constituer.

3. Capacité à utiliser ce qu’on sait pour obtenir d’autres résultats.

4. Prise de conscience de l’intérêt qu’il peut y avoir à disposer d’un répertoire de résultats.

5. Entraîner les résultats mémorisés (faire fonctionner).

Les conditions de la mémorisation (suite)…Les conditions de la mémorisation (suite)…

Les équipes de cycle ont donc à examiner soigneusement dans quelle mesure ces différentes conditions de la mémorisation sont prises en charge par l’école.

Car si le travail d’entraînement est souvent assuré par les familles, l’essentiel des activités qui contribuent à une bonne mémorisation relève bien du travail scolaire qui ne peut être limité au contrôle de ce qui doit être su.

Le calcul réfléchi …Le calcul réfléchi est d’une autre nature que le calcul automatisé.

Il ne s’agit plus de récupérer en mémoire un résultat ou une procédure directement applicable

Il est demandé d’élaborer une procédure adaptée au procédure adaptée au calcul particuliercalcul particulier qui est proposé.

Le calcul réfléchi …Exemple :Si j’ai à calculer

25 x 12 puis 25 x19

1) Bien que 25 soit un des facteurs des 2 produits, sa présence n’induit pas les mêmes stratégies de calcul.

2) Les procédures mises en œuvre par les élèves dépendent de leurs connaissances antérieures.

Le calcul réfléchi …Exemple :Si j’ai à calculer

25 x 12 puis 25 x19

2) Les procédures mises en œuvre par les élèves dépendent de leurs connaissances antérieures.

(25x10) + (25x2)

25x(4x3) = (25x4)x3

(100/4)x12=(100x12)/41) Bien que 25 soit un des facteurs des 2 produits, sa présence n’induit pas les mêmes stratégies de calcul.25x(20-1)=(25x20)-25

19x(20+5)=

(19x20)+(19x5)

Le calcul réfléchi …L’enseignant ne devra donc jamais perdre de vue que :L’élève conserve le choix de la procédure qui lui paraît la plus adaptée ou la plus sûre.Certaines procédures peuvent être pointées comme souvent plus efficaces mais liberté doit être laissée à l’élève de choisir la procédure qu’il est le mieux à même de mener à son terme.

Donc …

Calcul automatisé

+

Calcul réfléchi

------------------------

= Calcul mentalCalcul mental

Document réalisé par Serge VALETTESerge VALETTE


Photos Robert DOISNEAU (14 avril 1912 / 1er avril 1994)

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