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Une collection conseillée par des milliers d'enseignants et choisie par des millions d'élèves !

www.magnard.fr

ISBN 2-210-21016-X

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IMPO MATHS ELÈVES 29/04/08 13:46

ExtraitExtrait

Un quadrilatère qui ases côtés opposésparallèles est unparallélogramme.

1 Si un quadrilatère noncroisé a ses côtés opposésde même longueur,alors c’est unparallélogramme.

2 Si un quadrilatère noncroisé a deux côtésopposés parallèles et demême longueur,alors c’est unparallélogramme.

3 Si les diagonales d’unquadrilatère ont le mêmemilieu,alors c’est unparallélogramme.

4

Parallélogramme

Un quadrilatère qui atrois angles droits est unrectangle.

5 Si un parallélogrammea ses diagonales de mêmelongueur,alors c’est un rectangle.

6 Si les diagonales d’unquadrilatère ont le mêmemilieu et sont de mêmelongueur, alors c’est un rectangle.

7 Si un parallélogrammea un angle droit,alors c’est un rectangle.

8

Rectangle

Un quadrilatère qui ases côtés de mêmemesure est un losange.

9 Si un parallélogrammea ses diagonalesperpendiculaires,alors c’est un losange.

10 Si les diagonales d’unquadrilatère ont le mêmemilieu et sontperpendiculaires,alors c’est un losange.

11 Si un parallélogrammea deux côtés consécutifsde même longueur,alors c’est un losange.

12

Losange

Un quadrilatère qui aquatre angles droits et sescôtés de même longueurest un carré.

13 Si les diagonales d’unquadrilatère ont le mêmemilieu, ont même longueuret sont perpendiculaires,alors c’est un carré.

14 Si un parallélogrammea ses diagonalesperpendiculaires et demême longueur,alors c’est un carré.

15 Si un quadrilatère estun carré,alors c’est un losange etun rectangle.

16

Carré

Un triangle qui a deuxcôtés de même longueurest un triangle isocèle.

17 Un triangle qui a sestrois côtés de mêmelongueur est un triangleéquilatéral.

18 Si un triangle a deuxangles de même mesure, alors c’est un triangleisocèle.

19 Si un triangle a ses troisangles de même mesure, alors c’est un triangleéquilatéral.

20

Triangle

Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième estperpendiculaire à la première, alors la troisième est perpendiculaire à la deuxième.

26 Si un quadrilatère estun rectangle, alors sescôtés consécutifs sontperpendiculaires.

27 Si un quadrilatère estun losange, alors ses diagonales sontperpendiculaires.

28

Droites perpendiculaires

Si un quadrilatère estun parallélogramme,alors ses côtés opposéssont parallèles.

21 Si une droite est lesymétrique d’une autredroite par une symétriecentrale, alors ces droites sontparallèles.

22 Si deux droites coupéespar une sécante formentdes angles alternes-internes ou correspondantségaux,alors elles sont parallèles.

23

Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors ces droites sont parallèles.25

Si deux droites sontperpendiculaires à unemême troisième, alors ces droites sontparallèles.

24

Droites parallèles

Définitions et propriétés utiles en 5e

Les définitions figurent en tête de chaque paragraphe.Les propriétés sont énoncées en terme de si … alors …, elles sont classées selon leur conclusion, apparaissant en vertdans les sous-titres.

Un point qui est sur un segment et àégale distance des extrémités dusegment est le milieu du segment.

29 Si A est le symétrique dupoint B par rapport à unpoint I,alors I est le milieu de [AB].

30 Si un quadrilatère est unparallélogramme,alors ses diagonales ont le même milieu.

31

Milieu d’un segment

Deux figures sontsymétriques par rapport àun point lorsqu’elles sesuperposent par un demi-tour autour de ce point.

47 Si deux figures sontsymétriques,alors elles ont la mêmeaire.

48 Si un quadrilatère estun parallélogramme,alors il a un centre desymétrie.

49 Si des points sontalignés,alors les symétriques deces points sont alignés.

50

Transformations

Si un segment est lesymétrique d’un autresegment, alors ces segments sontde même longueur.

32

Si un cercle est le symétrique d’un autre cercle,alors ces cercles ont même rayon.36 Si un point est situé sur la médiatrice d’un segment,

alors il est équidistant des extrémités du segment.37

Si un quadrilatère estun parallélogramme,alors ses côtés opposésont la même longueur.

33 Si un quadrilatère estun losange,alors ses côtés ont lamême longueur.

34 Si un quadrilatère estun rectangle,alors ses diagonales ont lamême longueur.

35

Longueurs égales

Dans un triangle, unedroite qui passe par unsommet et qui estperpendiculaire au côtéopposé est une hauteurdu triangle.

51

Si un point est équidistant des extrémités d’unsegment,alors il est situé sur la médiatrice de ce segment.

55 Une droite qui partage un angle en deux angles égaux,est la bissectrice de l’angle.56

Dans un triangle, unedroite qui passe par unsommet et par le milieu ducôté opposé est unemédiane du triangle.

52 La droite qui passe parle milieu d’un segment etqui est perpendiculaire àce segment est lamédiatrice du segment.

53 Si une droite passe pardeux points équidistantsdes extrémités d’unsegment, alors cette droite est lamédiatrice du segment.

54

Droites remarquables

Si un quadrilatère estun parallélogramme, alors ses angles opposésont la même mesure.

38

Si deux droites coupéespar une sécante sontparallèles, alors les angles alternes-internes ou les anglescorrespondants qu’ellesforment sont de mêmemesure.

42 Si un triangle estrectangle,alors il a deux anglescomplémentaires.

43

Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°.46

Si un triangle estisocèle,alors deux de ses anglesont la même mesure.

44 Si un triangle estéquilatéral,alors ses trois angles ontla même mesure égale à60°.

45

Si un quadrilatère estun parallélogramme,alors ses anglesconsécutifs sontsupplémentaires.

39 Si un angle est lesymétrique d’un autreangle,alors ces angles sont demême mesure.

40 Si deux angles sontopposés par le sommet,alors ils ont la mêmemesure.

41

Angles

Les Éditions MAGNARD tiennent à remercier vivement les enseignants qui ont accepté de consacrer du temps àl'élaboration de ce manuel, et tout particulièrement ceux rencontrés dans les établissements suivants :

Henri Martin, Saint-Quentin (02) – Les 3 Vallées, La Voulte-sur-Rhône (07) – La Fontaine, Léo Lagrange ; Roger Salengro,Charleville-Mézières ; Val de Meuse, Nouvion-sur-Meuse (08) – Georges Clemenceau, Victor Hugo, Tulle (19) – Jules Lequier,Plérin (22) – Émile Zola, Rennes (35) – Beaulieu, Les Capucins, Saint-Jean, Châteauroux (36) – Joachim du Bellay, Château-la-Vallière (37) – Le Monteuil, Monistrol-sur-Loire (43) – Dunois, Orléans (45) – Jacques Prévert, Chalons-en-Champagne ; Pierre Souverville, Pontfaverger (51) – Clos Mortier, Saint-Dizier (52) – André Theuriet, Bar-le-Duc (55) – Aristide Briand, Chaulnes ; Franklin, Lille (59) – Fontaine des Prés, Senlis (60) – Gérard Philippe, Jeanne d’Arc, Clermont-Ferrand (63) – Commandant Charcot, Lyon (69) – Évires, Les Barattes, Annecy (74) – Claude Monet, Victor Duruy,Paris (75) – Arthur Chaussy, Brie-Comte-Robert (77) – Saint-Exupéry, Andrésy (78) – Gérard Philippe, Niort (79) – Amiral Lejeune, Amiens (80) – Albert Calmette, Pierre Donzelot, Limoges (87) – des Guinettes, Étampes (91) – Louis Pasteur,Genevilliers ; Edouard Manet, Villeneuve-la-Garenne (92) – Albert Cron, Le Kremlin-Bicêtre (94) – Jacques Monod, Beaumont ;Beth Israël, Épinay-sur-Seine (95)

© Éditions Magnard, 2006 www.magnard.fr

Sous la direction de Jacqueline Borréani

Fabienne LanataCollège Pablo Picasso, Harfleur

Guillemette Le Hir-JomierCollège Jean de La Fontaine, Bourgtheroulde – IUFM, Rouen

Bernadette LemetaisCollège Louis Anquetin, Étrépagny – IUFM, Rouen

David VincentCollège Arthur Rimbaud, Saint-Aubin-les-Elbeuf – IUFM, Rouen

Hocine BenhedaneCollège Georges Braque, Rouen – IUFM, Rouen

mathsPROGRAMME 2006

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NOMBRES ET CALCULS

Chapitre 1 Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7 à 26

Chapitre 2 Nombres fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27 à 44

Chapitre 3 Opérations avec des nombres fractionnaires . . . . p. 45 à 62

Chapitre 4 Nombres relatifs, opérations et repérage . . . . . . . p. 63 à 82

Partie I

GÉOMÉTRIEPartie II

GESTION DE DONNÉES ET FONCTIONSPartie III

GRANDEURS ET MESURESPartie IV

Chapitre 5 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 83 à 100

Chapitre 6 Symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 101 à 120

Chapitre 7 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 121 à 138

Chapitre 8 Parallélogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 139 à 156

Chapitre 9 Parallélogrammes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . p. 157 à 174

Chapitre 10 Solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 175 à 194

Chapitre 11 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 195 à 214

Chapitre 12 Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 215 à 232

Chapitre 13 Aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 233 à 252

Chapitre 14 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 253 à 266

Corrigés des évaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 267

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 271

Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 272

2

Annexes

218372_MATHS_5e_002_003 17/07/06 10:23 Page 1

Sommaire des méthodes Vers la démonstration

Chapitre 1 Écrire et tester des égalités p. 14 Regrouper plusieurs calculs en une seule expression p. 15 Reconnaître une somme, une différence, un produit p. 16

Chapitre 2 Diviser, comparer des écritures fractionnaires p. 34 Simplifier une écriture fractionnaire p. 36

Chapitre 3 Calculer avec des nombres en écriture fractionnaire p. 52 Chapitre 4 Calculer avec des nombres relatifs p. 70

Chapitre 5 Tracer un triangle p. 90Chapitre 6 Construire un symétrique p. 108Chapitre 7 Utiliser les propriétés des angles p. 128

Reconnaître des angles alternes-internes p. 130Chapitre 8 Construire le 4e sommet d’un parallélogramme p. 146 Chapitre 9 Tracer des parallélogrammes particuliers p. 164 Chapitre 10 Représenter un prisme, compléter un patron p. 182

Chapitre 11 Calculer une échelle, compléter un tableau p. 202Chapitre 12 Utiliser un repère, calculer avec un tableur p. 222

Chapitre 13 Calculer des aires p. 240 Chapitre 14 Calculer un volume p. 258

Comprendre et utiliser des codages p. 91

Comprendre et utiliser unedémonstration

p. 109

Décomposer une figure p. 129

Savoir quelle propriété utiliser pourdémontrer p. 147

Distinguer propriété directe et propriété réciproque p. 165

Partie I

Partie II

Partie III

Partie IV

Des exercices en lien avec d’autres thèmesÉnergie

66 p. 21

Environnement et Développement Durable

65 p. 21 2 p. 22362 p. 40 7 p. 22453 p. 208 14 p. 2251 p. 223

Météorologie et climatologie

10 p. 72 31 p. 229

Santé39 p. 18 63 p. 4048 p. 19 64 p. 58

Sécurité

42 p. 38 58 p. 20943 p. 38 70 p. 21157 p. 39 5 p. 22361 p. 40 22 p. 22626 p. 54 30 p. 22837 p. 115 4 p. 23152 p. 208

Géographie

44 p. 38 30 p. 20670 p. 41 51 p. 2082 p. 71 69 p. 210

41 p. 134 26 p. 22727 p. 206

Histoire

17 p. 94 4 p. 22329 p. 73 15 p. 22580 p. 78

Physique-chimie

60 p. 58 10 p. 20412 p. 72 50 p. 20871 p. 77 29 p. 22843 p. 189 36 p. 262

SVT

35 p. 55 8 p. 22411 p. 72 10 p. 22423 p. 132 6 p. 259

3

218372_MATHS_5e_002_003 17/07/06 10:23 Page 2

4

CCoommmmeenntt uuttiilliisseerr llee mm

Les pages Activités :Des activités pour rendre l’élève acteur de sonapprentissage.• La rubrique « Pour s’échauffer » : réactiver,consolider les connaissances des classesprécédentes.• La rubrique « Pour découvrir » : aborder lesnouvelles notions du chapitre et mobiliser lessavoirs.

L’essentiel du cours :Une présentation simple et concise de ce qui està apprendre et retenir.Temps de synthèse qui rythment les acquisitionscommunes.

Les pages Méthodes :Des méthodes consultables à tous moments pourmaîtriser et appliquer des savoir-faire et destechniques de base.

Les pages Vers la démonstration :Pour initier progressivement l’élève auraisonnement déductif.

218372_MATHS_5E_004_005 30/03/06 12:39 Page 4

5

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Exercices : méthodes et exercices résolus• De nombreux exercices, classés parthèmes, permettent de s’entraîner et derésoudre des problèmes.• Des points méthodes : des aidestechniques pour conforter l’acquisition.• Des exercices résolus : des exemplesde solution et de rédaction.• Des devoirs à la maison : travailautonome en classe ou à la maison.• « D’hier à aujourd’hui » : des questionsou des recherches accompagnées d’unparallèle sur l’histoire des sciences.

L’évaluation :Les savoirs et savoir-faire du programme sontassociés à un test permettant de vérifier sesconnaissances : QCM et exercices simples,corrigés en fin de manuel.

L’atelier maths :Pour voir les mathématiquesautrement.

Des logos balisent les activités et les exercices :

indique que la calculatrice est à utiliser

indique que la calculatrice est interdite

signale des exercices utilisant un logiciel deconstruction géométrique ou un tableur.

Maths et SVT signale un exercice en lien avecd’autres thèmes.

66

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6

Programmes (extraits)

1. Organisation et gestion de données, fonctionsEn classe de 5e, la proportionnalité occupe toujours une place centrale. Les méthodes de résolution desproblèmes de proportionnalité évoluent avec les connaissances des élèves, notamment avec une meilleuremaîtrise de la notion de quotient. La partie relative au traitement et à la représentation de données a pour objectifd’initier à la lecture, à l’interprétation, à la réalisation et à l’utilisation de diagrammes, tableaux et graphiques etde mettre en évidence la relativité de l’information représentée. Les travaux correspondants sont conduits à partird’exemples et en liaison, chaque fois qu’il est possible, avec l’enseignement des autres disciplines : sciences dela vie et de la terre, technologie, géographie, ..., et l’étude des thèmes de convergence.

2. Nombres et calculsComme en classe de 6e, cette partie du programme s’appuie fondamentalement sur la résolution deproblèmes. Ces problèmes, en associant à une situation donnée une activité numérique, renforcent le sensdes opérations et des diverses écritures numériques et littérales. Dans la continuité de ce qui est fait en classede 6e, les problèmes proposés sont issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques. Ilconvient de ne pas multiplier les activités de technique pure. Toutes les activités numériques fournissent desoccasions de pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes, utilisées en interaction : calculmental, automatisé ou réfléchi, calcul posé, emploi d’une calculatrice. À travers ces activités, plusieursobjectifs sont visés, en particulier ceux qui contribuent au développement des capacités à :• prévoir des ordres de grandeur,• opérer en conservant l’écriture fractionnaire,• utiliser le vocabulaire approprié (terme, facteur, numérateur, dénominateur),• contrôler ou anticiper des résultats par des calculs mentaux approchés.L’entretien et le développement des compétences en calcul mental sont indispensables, ces compétencesétant nécessaires dans de nombreux domaines. Pour ce qui concerne le calcul posé, les nombres utilisés sontde taille raisonnable. Les nombres relatifs, entiers et décimaux, sont introduits ainsi que l’addition et lasoustraction de tels nombres. L’initiation aux écritures littérales se poursuit. Le calcul littéral, au sens detransformation d’écriture, fait l’objet d’un premier travail en classe de 5e et se développe en classe de 4e.

3. GéométrieEn classe de 5e, l’étude des figures planes se poursuit. Une deuxième transformation géométrique, la symétriecentrale, permet de réorganiser et de compléter les connaissances sur les figures, dont certaines propriétéspeuvent être démontrées. Le programme s’organise autour du parallélogramme et du triangle. Dans l’espace,les études expérimentales s’amplifient, elles fournissent un terrain pour poursuivre la mise en place desnotions de parallélisme et d’orthogonalité dans l’espace. Les travaux de géométrie plane prennent toujoursappui sur des figures dessinées, suivant les cas, à main levée, à l’aide des instruments de dessin et demesure, ou dans un environnement informatique. Ils sont conduits en liaison étroite avec l’étude des autresrubriques. Les diverses activités de géométrie habituent les élèves à expérimenter et à conjecturer, etpermettent progressivement de s’entraîner à des justifications au moyen de courtes séquences déductivesmettant en oeuvre les outils du programme et ceux déjà acquis en classe de 6e. Les élèves sont ainsi initiésà ce qu’est l’activité mathématique en géométrie, tout en veillant à ne pas leur demander de prouver despropriétés perçues comme évidentes. Certaines propriétés admises permettent d’en générer d’autres qui,elles, peuvent être démontrées par les élèves avec l’aide de l’enseignant ou, en quelques occasions, parl’enseignant devant la classe. Chaque propriété caractéristique fait l’objet de deux énoncés (propriété directeet propriété réciproque).

4. Grandeurs et mesuresCette rubrique s’appuie sur la résolution de problèmes souvent empruntés à la vie courante. Les compétencesacquises en 6e dans ce domaine sont entretenues et réinvesties dans des problèmes de synthèse en liaisonavec les paragraphes précédents (notamment : nombres et calculs, géométrie) et les autres disciplines:technologie, arts plastiques, sciences de la vie et de la terre, sciences physiques et chimiques. Certains deces problèmes qui conduisent à exprimer une grandeur en fonction d’une autre sont l’occasion de fairefonctionner les propriétés opératoires en utilisant une lettre. Le travail sur les aires et les volumes s’étend àde nouveaux objets géométriques. Comme en classe de 6e, l’utilisation d’unités dans les calculs sur lesgrandeurs est légitime. Elle est de nature à en faciliter le contrôle et à en soutenir le sens. Les questions dechangement d’unités sont reliées à l’utilisation de la proportionnalité de préférence au recours systématiqueà un tableau de conversion.

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7

Sur route, certains véhicules, comme ceux duSamu, sont prioritaires sur les autres.Dans une expression, par exemple

26 – (2,1 + 5) × 0,5 les calculs ne s’effectuent pas dans n’importequel ordre : certains sont prioritaires.

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8

Des calculs

1. Effectue les calculs sans les poser.a. 17 + 36 + 13 + 4 b. 13,72 + 6 c. 58 – 3,2d. 25 × 76 × 4 e. 351,8 + 100 f. 43,9 × 100

2. Effectue les calculs en les posant.a. 32,45 + 319,7 b. 402,7 – 71,8 c. 3,8 × 2,04

3. Effectue les calculs en utilisant la calculatrice.a. 4,5 × 6 × 8,2 b. 1 539,32 + 6 880,61 c. 451,4 : 3,05

1

Vocabulaire

Associe chaque phrase au calcul et au résultat qui lui correspondent.

2

Pour s’échauffer

Pour découvrir

Activités

La somme de 108 et 7,2 Le produit de 108 par 7,2

La différence de 108 et 7,2

Le quotient de 108 par 7,2

108 : 7,2

108 – 7,2 108 × 7,2

108 + 7,2

15777,6

115,2

100,8

Tout un symbole !

Voici dix écritures mathématiques :13 + 2 = 15 100 cm = 1 m21 = 3 × 7 P = (L + �) × 2

�32

� = 1,5 6,8 + 4 × y = 15

�12

� = �510

� 3 × 10 + 7 = 97– (5 × 12)

(AB) = (CD) AB = CD

1. Que peux-tu dire de ces dix écritures ?Qu’ont-elles en commun ? Qu’est-ce qui les différencie ?

2. Traduis par une phrase chacune de ces dix écritures sans utiliser le mot « égal »,et sans utiliser de symbole.

Source : IREM de Rennes

105

94

83

72

61

3

AC

DB

AC

DB

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CHAPITRE 1 • Règles de calcul 9

Juste, la calculatrice ? 4Plusieurs calculs ont été effectués avec deux types de calculatrice (types � et �).On a noté, par ordre d’apparition sur l’écran de la calculatrice, les nombres quis’affichent, soit comme nombre que l’on entre, soit comme résultat intermédiaire. Un professeur a corrigé et a noté Juste ou Faux chaque résultat final.

1. Dans la colonne Nombres affichés, trouve les cases pour lesquelles la calculatricea effectué un calcul. Quels sont ces calculs ?

Calcul Nombres affichés Réponse Type de calculatrice

2. Trois personnes A, B et C ont trouvé des résultats différents en utilisant leurcalculatrice pour effectuer 3 + 6 × 4.

a. Dans quel ordre la calculatrice � effectue-t-elle les opérations ? et la calculatrice � ?b. Indique l’astuce utilisée par la personne C pour obtenir la bonne réponse.

3. Écris les règles de priorité des calculs que tu viens de découvrir.

Calcul Personne Nombres affichés Réponse Type de calculatrice

3 + 6 × 4

A 3 6 9 4 36 36 Faux �

B 3 6 6 4 27 27 Juste �

C 6 4 24 3 27 27 Juste �

Cinéma et lecture

Ophélie a 80 € d’argent de poche par mois.Chaque semaine, elle va une fois aucinéma, la place coûte 7 €, et elle achèteune revue à 2 €.

1. Que calcule-t-on en effectuant lesopérations ci-dessous ? • 7 + 2 = 9 • 4 × 9 = 36 • 80 – 36 = 44

2. En utilisant des parenthèses, regroupe ces trois opérations en une expressionmathématique.

5

Économie !

Au téléphone, Yamina dicte à Alexandra les calculs suivants :

• 2 × 3 + 4 • 2 × 7 + 4 • 2 × 5,5 + 4 • 2 × 10 + 4 • 2 × 1,4 + 4 • 2 × 50 + 4 • 2 × 9 + 4 • 2 × 23 + 4

Imagine une consigne qui évite à Yamina de faire des répétitions.

6

6 + 8 – 4 + 5 – 1 6 8 14 4 10 5 15 1 14 14 Juste � et �

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10

De nouvelles égalités7

Programmes de calculVoici deux programmes de calcul :

8

1. Pendant leurs vacances dans le Queyras, six amis organisent une randonnée. Pourle repas, chacun s’achète un sandwich à 2,30 € et une bouteille d’eau à 0,70 €.Voici deux expressions mathématiques :

• 6 × (2,30 + 0,70) • 6 × 2,30 + 6 × 0,70Que représente chacun des calculs contenus dans ce produit et dans cette somme ?Quelle égalité peux-tu écrire ?

2. Mehdi prétend qu’il peut calculer mentalement 68 × 99.Voici le début de son raisonnement :

68 × 99 = 68 + 68 + 68 + 68 + 68 + 68 + 68 + …. + 68

99 fois

68 × 100 = 68 + 68 + 68 + 68 + 68 + 68 + 68 + …. + 68 + 68

100 fois

a. Comment va-t-il poursuivre ? Quelle égalité a-t-il utilisée ?b. De la même façon, calcule mentalement 37 × 101 et 26 × 19.3. En observant les égalités obtenues aux questions 1 et 2, transforme lesexpressions suivantes :a. 8 × 17 + 8 × 3 b. 6,2 × 14 – 6,2 × 4 c. 15 × ( 2 + 10) d. 46 × (100 – 1)

1. Applique les deux programmes de calcul en choisissant le nombre 1, puis lenombre 2, le nombre 3 et le nombre 4.2. Que remarques-tu ? 3. La remarque que tu as faite est-elle vraie pour n’importe quel nombre choisi ?

Programme 2� Choisis un nombre.� Ajoute 3.� Multiplie le résultat par 2.� Retranche le nombre de départ.� Retranche 6.

Programme 1� Choisis un nombre.� Multiplie ce nombre par lui-même.� Ajoute 35.� Retranche le décuple (lexique) du

nombre de départ.� Multiplie le résultat par le nombre

de départ.� Multiplie le résultat par le nombre

de départ.� Ajoute 24.� Retranche le produit de 50 par le

nombre de départ.

Source : IREM de Lyon, Initiation au raisonnement déductif en 6e-5e

Activités

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Une jolie famille

Chaque figure de cette famille est constituée de deux triangles équilatéraux. La différence des mesures des côtés des deux triangles est égale à 1.

9

Ombre et lumièreUn store vénitien est installé sur unefenêtre de dimensions 80 cm et 110 cm.Ce store peut être baissé afin de laisserentrer plus ou moins de lumière.

Des élèves ont calculé l’aire du store etobtenu les expressions suivantes :

10

1. Construis une autre figure appartenant à cette famille. Calcule son périmètre.

2. Trouve un procédé permettant de calculer le périmètre de n’importe quelle figurede cette famille, connaissant la longueur du petit côté.

� (110 – x) × 80 � (110 × 80) – (x × 80)

� 110 × 80 – x � 80 × 110 – (x × 80)

� 110 – x � 110 – 80 × x

� 8 800 – 80 x

1. On cherche quelles expressions sont fausses. Pour cela, choisis une valeur pour x,calcule l’aire du store, puis teste chacune des sept expressions.

2. Quelles expressions semblent égales ?Source : IREM de Lyon

2

1

2,5

1,5

3,8

2,8

80 cm

x cm

110 cm

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1 Égalités

2 Priorités des calculs

Définition

Une écriture avec le symbole « = » s’appelle une égalité.

Règle de calcul 1

En présence de parenthèses, il fauteffectuer en premier les calculs entreparenthèses. On commence par lesparenthèses les plus intérieures.

12

Exemples :

6 + 4 = 10 3 × 10 + 7 = 97 – 5 × 12 � = 3,1415…1 000 m = 1 km 7 × x = x × 7 6 + 4 × y = 3 × y + 8

Remarque : Le symbole « = » n’est donc pas seulement employé pour annoncer un résultat.

Exemples : A = 4,5 × (1,2 + 0,8)A = 4,5 × 2A = 9

B = [7 – (2 + 1,5)] × (2,4 + 7,6)B = [7 – 3,5] × (2,4 + 7,6)B = 3,5 × 10B = 35

Règle de calcul 2

En l’absence de parenthèses, il fauteffectuer en premier les multiplicationset les divisions, puis les additions etles soustractions.

Exemples : C = 41 – 11 × 2C = 41 – 22C = 19

D = 9 + 28 : 7 + 3D = 9 + 4 + 3D = 16

Règle de calcul 3

En l’absence de parenthèses et enprésence uniquement d’additions etde soustractions, on effectue lescalculs de proche en proche, de lagauche vers la droite.

Exemples : E = 11,4 + 5,1 – 2 + 1,3E = 16,5 – 2 +1,3E = 14,5 + 1,3E = 15,8

Remarque : Dans un calcul, les crochets ont le même sens que les parenthèses.

une égalité

2e membre

.......................... = ..........................

1er membre

L'essentiel en 2 pages

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3 Écritures avec des lettres

4 Conventions d’écriture

5 Distributivité

Propriétés

On peut supprimer le signe demultiplication :

entre deux lettres,devant une parenthèse,entre un nombre et une lettre.

On utilise parfois des lettres pour remplacer les nombres.


1. FormulesLes lettres a et b remplacent la largeur et lalongueur du rectangle.On calcule l’aire du rectangle avec la formule : � = a × b.

b

a

2. « En fonction de »La longueur ST s’exprime en fonction de x :ST = x + x + x + 1,7ou ST = 3 × x + 1,7 .

Exemples : a × b = a b8 × (1 + y) = 8 (1 + y)3 × x = 3 x

Remarques : 4 × 5 reste 4 × 5 et ne s’écrit pas « 4 5 ». x × 3 s’écrit de préférence 3 x plutôt que x 3.1 × x peut s’écrire x.

k, a et b sont des nombres quelconques. Les égalités suivantes sont toujours vraies :

On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.

3. Nombre inconnu« Le triple d’un nombre est égal à la somme de ce nombre et de cinq ». Quel est ce nombre ?Cette question peut se traduire par la recherche du nombre x rendant vraie l’égalité 3 × x = x + 5.

1,7

xx

xS

T

k × (a + b) = k × a + k × b

Produit transformé en somme

k × a + k × b = k × (a + b)

Somme transformée en produit

k × (a --- b) = k × a --- k × b

Produit transformé en différence

k × a --- k × b = k × (a --- b)

Différence transformée en produit

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Méthode Pour effectuer un calcul :On se pose les questions suivantes :

Le calcul comporte-t-il des parenthèses ?Si oui, on commence par le calcul entre

parenthèses.Si non, quels types d’opérations

comporte-t-il ?- un mélange des quatre opérations : on commence par les multiplications et les divisions ;- uniquement des additions et des soustractions : on effectue les calculs degauche à droite.

À chaque étape du calcul, on se pose lesquestions de l’étape .

On utilise correctement le symbole « = ».3

1

2

1

Méthode Pour tester si une égalité comportant une lettre est vraie pour une valeur donnée :

On remplace la lettre par le nombre choisi et on calcule séparément les deux membres.On compare les résultats des deux membres.On conclut.3

2

1

Exemple : L’égalité 7 × y – 1 = 5 + 6 × y est-elle vraie pour : a. y = 2 ? b. y = 6 ?

Exemple : Calculer A = 10 : (8 – 6) + 4 × 25 – 7A = 10 : (8 – 6) + 4 × 25 – 7 Il y a des parenthèses, on utilise la règle du cours.A = 10 : 2 + 4 × 25 – 7 Il y a les quatre opérations, on utilise la règle du cours.A = 5 + 100 – 7 Il n’y a que des additions et des soustractions, A = 105 – 7 on utilise la règle � du cours.

A = 98�� Exercices 2 à 5, 10 à 12, 19, 47 à 50, 52 à 54, 56, 65, 66

a. Test avec y = 2

D’une part : 7 × y – 1 = 7 × 2 – 1= 13

D’autre part : 5 + 6 × y = 5 + 6 × 2= 17

13 ≠ 17Les deux membres ne sont pas égaux.

L’égalité est fausse pour y = 2.3

2

1

b. Test avec y = 6

D’une part : 7 × y – 1 = 7 × 6 – 1= 41

D’autre part : 5 + 6 × y = 5 + 6 × 6= 41

Les deux membres sont égaux à 41.

L’égalité est vraie pour y = 6.3

2

1

1 Effectuer un calcul

2 Tester une égalité

14

L’algorithme s’arrête dèsque le résultat est obtenu.

( ) ?

Commencerpar ( )

Mélange de+ – × : ?

OUI NON

OUI NON

Commencerpar × et :

De gaucheà droite

Départ

�� Exercices 27 à 29

MéthodesÉCRIRE ET TESTER DES ÉGALITÉS

218372_MATHS_5E _C01 22/03/06 9:35 Page 14

x et y sont deux nombres.On appelle A l’expression suivante :

A = 4x + (y + 2) × 31. Calcule A lorsque x vaut 8 et y vaut 5.2. Calcule A pour x = 2,5 et y = 6.

Reproduis puis complète le tableau.12

11


Recopie les calculs ci-dessous ensupprimant les parenthèses inutiles.a. 4 + (3 × 8) b. 28 : (7 – 3)c. 43 – (8 + 5) d. (5 × 1,2) – (0,8 + 1,9)

Effectue les calculs en détaillant les étapes.A = 36 – (12 + 14) B = (8 + 3) × 5C = 6,2 × (4,8 + 5,2) D = [14 – (3 + 6)] × 2

Effectue les calculs en détaillant les étapes.A = 4,5 + 2 × 6 B = 45 : (3 + 6)C = 14 – 5 + 3 D = 45 : 3 + 6E = 2 × 3,9 + 4 × 6,1F = 10 × (3 + 5 × 7)G = [54 – (13 + 7)] + 4 × 8

Calcul mentala. 5 – 3 + 2 b. 26 – 2 × 5c. 5 + 3 – 2 d. 2,5 × (10 : 5)e. 5 + 3 × 2 f. 2,5 × 15 × 4

Calcul mentala. 7 + 6 × 2 b. (3 + 5) × 4c. 12 + 8 – 4 d. 10 – 4 × 2,5e. 26 : 2 – 3 f. 15 – 3 – 6

Donne un ordre de grandeur desrésultats de chaque calcul, puis utilise lacalculatrice pour donner la valeur exacte.a. 2,05 × (71,4 + 28,7) b. 71 +12,8 × 6,2c. 6,6 × (4,2 – 3,15 × 1,02)

6

5

4

3

2

1

PRIORITÉ DES CALCULS Remplace les suites de calculs par uneseule expression.a. 16 – 7 = 9 9 × 5 = 45b. 3 + 12 = 15 55 – 51 = 4 15 × 4 = 60c. 4 × 7 = 28 28 – 13 = 15 15 × 10 = 150 150 – 37 = 113d. 17 + 6 = 23 23 + 27 = 5050 × 2 = 100 100 : 25 = 4

Voici trois calculs :24 – 18 = 6 3 × 6 = 18 18 – 3 = 15Quelle suite de touches de la calculatricepermet d’obtenir le résultat 15 avec ces troiscalculs, mais en n’utilisant qu’une seule fois latouche ?

Recopie les expressions en supprimantles signes « × » inutiles.a. 6 × (4 – 1,2) b. 8 × 11 + 5 × xc. 2 × � × r d. 5 × a + (6 – 4) × (5 – 1)e. 3 × x + 8 × y – 2 × 4 f. (3 – 2 × y ) × 9

9

8

7

Exercices 7, 8, 46 à 50, 65, 66

POINT MÉTHODERegrouper plusieurs calculs en uneseule expression

Exemple : Regrouper 7 ¥ 12 = 84 ;84 + 6 = 90 ; 90 : 9 = 10.

On part du dernier calcul 90 : 9 = 10.

On remplace le nombre 90 provenantd’un calcul par le calcul lui-même. Desparenthèses peuvent être nécessairesselon les priorités.

(84 + 6) : 9 = 10

On fait de même avec tout nombrerésultant d’un calcul.

(84 + 6) : 9 = 10(7 × 12 + 6) : 9 = 10

Exercices 11, 12 et 56

EXERCICE RÉSOLU

ÉNONCÉCalcule 7 × t + s : 2 – 3 pour t = 2 et s = 14.

UN EXEMPLE DE SOLUTIONOn remplace la lettre t par le nombre 2 etla lettre s par le nombre 14.7 × t + s : 2 – 3 = 7 × 2 + 14 : 2 – 3

= 14 + 7 – 3 = 21 – 3= 18

10

a 6 2,5 4,7b 2 0 3,8c 3 4 100a + b × ca × b + c(a + b) × c

=

Exercices d'application

On respecteles règles de

priorité.

218372_MATHS_5E_C01 22/03/06 13:25 Page 15

16

1. Traduis chaque phrase par uneexpression mathématique.a. La somme de 17 et du produit de 4 par 13.b. Le produit de 5 par la différence de 12 et 8.c. La somme du produit de 4 par 11 et de 25.2. Traduis chaque expression mathématiquepar une phrase en employant les motssomme, différence ou produit :a. 23 – 2 × 6 b. (9 + 5) × 3c. 3 × 7 + 8 × 9

Traduis chaque phrase par une écrituremathématique.a. La différence de a et de 3.b. Le double de x.c. La somme de a et du produit de 7 par b.d. La différence du triple de x par la moitié de y.e. Le produit de deux nombres entiersconsécutifs.

Traduis chaque écriture ci-dessous parune phrase sans utiliser le mot égal.a. 14 + 52 = 66 b. 45 = 5 × 9 c. 1 min = 60 s d. 4 × x = 0,8

Parmi les égalités ci-dessous, lesquellessont vraies ?

� 5 + 2 × 8 = 60 – 4 � 31 × (21 : 7) = 10 × [15 – (3 + 2,7)] � 2,7 + 51 + 6,3 = (2,7 + 6,3) + 51 � (14,62 + 6 × 2,09) × 0 = 27,16

Recopie les égalités et ajoute lesparenthèses indispensables pour qu’ellessoient vraies.a. 4 × 8 + 3 = 44 b. 3 + 6 × 4 – 7 = 29c. 2 × 14 + 6 : 4 × 2,5 = 4d. 10 × 2 × 6 – 1,2 + 5,1 = 147

Voici ce qu’Emma a écrit sur sa copie :

Le résultat d’Emma est-il correct ? Et quepenses-tu de sa façon de mener le calcul ?

Recopie et complète pour que chaqueégalité soit vraie.a. 26 + ... = 69 b. ... × 4 = 0,4c. ... + 38 = 83 d. 54 – ... = 23e. 7 × ... = 77 f. ... – 26 = 58

22

21

20

19

18

ÉGALITÉ

17

16

Exercices 15 à 17, 55

POINT MÉTHODEReconnaître une somme, une diffé-rence, un produit

Dans une expression mathématique, ladernière opération à effectuer donne lenom à toute l’expression.

Exemple : A = 8 – 7 : 2 .

A = 8 – 3,5

L’opération à effectuer en dernier est lasoustraction. Donc l’expression A est une différence.

Le mot sommet est utilisé enmathématiques (« le sommet d’un angle »)mais aussi dans le langage de tous les jours(« le sommet de la montagne est enneigé »).Cherche ainsi deux sens aux mots somme,produit, terme et facteur (utilise-les dans desphrases).

Voici trois opérations :• 15,3 + 2,41 = 17,71 • 15,3 – 2,41 = 12,89• 28 × 7 = 196

Recopie et complète les phrases en utilisantles mots : somme, différence, produit, terme, facteur.a. 17,71 est ……………… de 15,3 et 2,41.b. 196 est ……………… de 28 par 7.c. 12,89 est ……………… de 15,3 et 2,41.d. Les ……………… de la somme sont 15,3 et 2,41.e. 28 et 7 sont les ……………… du produit.

14

13

SOMME,DIFFÉRENCE, PRODUIT

Parmi les expressions suivantes,lesquelles sont des sommes, des produits ?a. 18 + 35b. 25 × 6 c. 7 × (3 + 9)d. 67 + 2 × 5Recopie-les et entoure en vert les termeslorsqu’il s’agit d’une somme, en rouge lesfacteurs lorsqu’il s’agit d’un produit.

15


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Dans chaque cas, écris le calcul qui tepermet de trouver le nombre x manquant.a. 15 + x = 34 b. x × 5 = 2,5c. x + 2,3 = 7 d. 45 – x = 27e. 13 × x = 39 f. x – 21 = 43

Les masses sur les schémas ci-dessoussont exprimées en grammes. Les deux plateaux de chaque balance deRoberval sont en équilibre, ce qui signifie qu’ily a la même masse sur chaque plateau.

Trouve les masses des objets et .

Recopie et complète pour que leségalités soient vraies.a. 34 × (2,1 – 1,6) = 34 × … – 34 × …b. 7,5 × 8 + 7,5 × 2 = 7, 5 × (… + …)c. 23 × 4,7 + 23 × 5,3 = … × (… + 5,3)d. 9 + 9 × 3 = 9 × (… + …)

Philippe affirme que, pour tous lesnombres x, l’égalité 3 + 5 × x = 8 × x estvraie. Qu’en penses-tu ?Et l’égalité 4 × x × 3 = 12 × x est-elle vraiepour tous les nombres x ?

L’égalité 3 + a × 8 = 7 est-elle vraielorsque a vaut 1 ? et pour a = 0,5 ? Justifie.

Voici des égalités vraies pour l’une destrois valeurs de la lettre x indiquées.Indique les valeurs qui conviennent eneffectuant les calculs nécessaires.a. 3 × (x + 2) + 4 × x = 5 × x + 7

x = 2 ; x = 1 ; x = 0,5b. 2 × x + 9 + 3 × x = 5 + 6 × x

x = 3 ; x = 0 ; x = 4c. 9 × x + 10 = 5 × (4 + x) + 2 × x + 1

x = 5 ; x = 5,5 ; x = 6

28

27

26

25

100350

A B5

7010010050 A

BA

24

23 Hawa utilise un tableur pour trouver lenombre a qui rend vraie l’égalité 3 + a × 8 = 20.

1. Parmi les formules ci-dessous, laquelle aété saisie dans la cellule B2 ?

� � �

2. Dans la cellule A3, tape une autre valeur dea que celle choisie par Hawa. Fais autantd’essais que nécessaire pour trouver la valeurde a qui rend vraie l’égalité 3 + a × 8 = 20.

Chaque expression de la colonne degauche est égale à une expression de lacolonne de droite. Écris les quatre égalitéssans effectuer de calcul.• 7 × 11 + 7 × 24 • 24 × (6 – 5,5)• 11 × (24 – 7) • 24 × 7 + 24 × 11• 24 × 6 – 24 × 5,5 • 7 × (11 + 24)• 24 × (7 + 11) • 11 × 24 – 11 × 7

Transforme chaque produit en somme oudifférence puis calcule.A = 3,5 × (10 + 2)B = (20 + 1) × 14C = 4,8 × (100 – 10)D = 25 × (0,1 + 4)

Transforme chaque somme ou différenceen produit puis calcule.A = 14 × 3 + 14 × 7 B = 23,2 × 4,6 – 13,2 × 4,6C = 8,9 × 4,1 – 6,9 × 4,1D = 5,09 × 0,8 + 5,09 × 0,2

Calcul mentala. 37 × 11 b. 1,8 × 6,2 + 0,2 × 6,2c. 12 × 19 d. 4,3 × 2 + 4,3 × 8e. 53 × 101f. 23,4 × 6 – 3,4 × 6

33

32

31

30

DISTRIBUTIVITÉ

= 3 + a * 8= 3 + a / 83 + a * 8

29

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Calcul mentala. 3 × 2 + 3 × 8b. 3 × 2 × 3 × 8c. 3 × (2 + 3) × 8 d. 25 × 7,3 – 25 × 3,3e. 15 × (2 + 0,1)f. 29 × 19

DIRB et ISTR sont deux rectangles. Les points D, I et S sont alignés.

Calcule de deux manières différentes l’aire �du rectangle DSTB.

Transforme les sommes ou différencesen produits.a. 6 × z + 6 × 3 b. c × x – c × t

c. 8 a + 24 d. 8� + 2� r

Simplifie, si possible, l’écriture desexpressions ci-dessous.a. 12 a + 5 a b. 7 t + tc. 8 x + 3 x – 4 xd. 1 × x + 3 × y + 0 × ze. 26 a + 4f. n + 2 + n + n + 5

Au téléphone, Camille dicte à Mélissa lescalculs suivants :

5 + 3 × 6 5 + 3 × 95 + 3 × 0,2 5 + 3 × 4,55 + 3 × 11 5 + 3 × 7,45 + 3 × 41 5 + 3 × 26

Imagine la consigne que Camille peut donnerpour éviter de se répéter.

Maths et santéUn personne qui fume un paquet de cigarettespar jour inhale 250 mL de goudrons par an, cequi est équivalent à deux pots de yaourt !Combien ce fumeur inhale-t-il de millilitres degoudrons en 2 années ? en 5 années ? en nannées ?

39

38

ÉCRITURES AVEC DES LETTRES

37

36

4 cm

3 cm

7 cm SID

TRB

35

34 Un rectangle a pour longueur 7 cm. Salargeur est variable. On note x cette largeur qui n’est pas fixée.1. Écris une formule exprimant le périmètre dece rectangle.2. Utilise cette formule pour calculer lepérimètre pour toutes les valeurs entières dela largeur comprises entre 1 et 5 cm.

1. Bilal applique une formule àdifférentes valeurs de x. Il utilise sacalculatrice et note ses résultats :

Quelle formule Bilal a-t-il utilisée ?2. Bilal recommence avec une 2e formule :

Quelle est la formule utilisée ici ?

1. Applique le programme de calculsuivant au nombre 5.

2. Applique le même programme au nombre1,5 puis au nombre 12.3. Écris une expression mathématiquetraduisant le même programme appliqué à unnombre x.

Parmi les expressions ci-dessous, quellessont celles qui correspondent au périmètre dechaque rectangle et à l’aire de chaquerectangle ?� x + 4 + x + 4 � x + 1 � 2 × (2 + x)� 2 x + 8 � 2 x + 4 � 4 x

Simplifie, si possible, l’écriture desexpressions suivantes.a. 4 × 5x b. 3a × 7 c. 8 + 2xd. 9,1 t × 0 e. 6b × 3b f. 8x + 4x

44

x + 1x

14

43

� Multiplie le nombre par 3.� Ajoute 10.� Multiplie le résultat par 2.

42

41

40

Valeurs de x 0 2 6 15 21 52

Résultats affichés 0 5 15 37,5 52,5 130

18


Valeurs de x 0 3 5 12 25 41

Résultats affichés 3 6 8 15 28 44

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Voici quatre textes de problèmes :� Thomas a 15 chansons sur son lecteurMP3. Benoît en avait deux fois plus, mais il adécidé d’en supprimer 4. Combien Benoît a-t-il de chansonsenregistrées sur son lecteur ?� La documentaliste d’un CDI a acheté15 romans policiers et 4 romans fantastiques.Chaque roman coûte 2 €.Combien la documentaliste a-t-elle payé ?� Une pièce de tissu mesure 15 m sur 4 m.On a enlevé 2 m sur la longueur.Quelle est l’aire du tissu restant ?� Le médecin prescrit 4 comprimés le matinet 2 le soir pendant 15 jours. Combien lemalade aura-t-il pris de comprimés ?

Associe chacun des textes à une expressionnumérique choisie parmi les suivantes :a. 15 × (4 + 2) b. 2 × 15 – 4 c. (15 – 2) × 4 d. 2 × (15 + 4)

Un établissement scolaire s’équipe d’unesalle informatique. Quinze ordinateurs à 599 €chacun et deux imprimantes à 79 € chacunesont achetés. Un crédit de 1 000 € est allouéà cet équipement.Écris une expression mathématique permettantde calculer la somme restant à payer.

Le compteur kilométrique d’une voitureindique 34 561 km en fin d’année. Il indiquait18 903 km en début d’année. Cette voiture consomme 5,4 litres de gasoilpour 100 km parcourus. Un litre de gasoilcoûte en moyenne 1,02 €.1. Écris une expression donnant le coût encarburant pour cette année écoulée.2. Effectue le calcul.

Maths et santéUn bonbon pèse en moyenne 5 g et apporte20 kcal. Les besoins journaliers d’un ado-lescent de 13 à 15 ans sont de 2 900 kcal.1. Écris une expression permettant dedéterminer le nombre de kilocalories restant àabsorber dans la journée après avoir mangé250 g de bonbons. Effectue le calcul.2. Est-il vrai que le nombre de kilocaloriescontenues dans le paquet de bonbonsreprésente environ un tiers des caloriesnécessaires en une journée ?

48

47

46

45

PROBLÈMES Monnaie de Paris Les pièces et billets en euros sont encirculation depuis le 1er janvier 2002. ÀPessac, en Gironde, un établissementmonétaire produit en grande série les piècesde monnaie courante. Une pièce de 20 centimes pèse 5,74 g, unepièce de 50 centimes 7,80 g et une pièce de1 euro 7,50 g.Quelle masse totale représentent 1 000 piècesde 20 centimes, 1 000 pièces de 50 centimeset 1 000 pièces de 1 euro ? Écris une expression mathématique permettantde répondre à cette question puis effectue lecalcul.

Voyage scolaireUne visite du musée de la tapisserie deBayeux est organisée pour les 25 élèves de5eA du collège Pablo Picasso.Le transport en car s’élève à 593 €. L’entréedu musée coûte 3 €. Chaque élève reçoitune subvention de 2 € du foyer socio-éducatifet 10 € du collège.Écris une expression mathématique permettantde calculer la somme que devra débourserchaque élève puis calcule cette somme.

La tapisserie représente la conquête de l’Angleterrepar Guillaume le Conquérant au XIe siècle.

Dans un catalogue par correspondance,on peut lire les tarifs suivants :

Avec ces données, écris trois énoncés deproblèmes conduisant aux calculs suivants :

� 19,90 + 3 × 20 + 2 × 34� (19,90 + 20) × 4 + 32,80 + 40� 150 – (2 × 40 – 3 × 19,90)

51

50

49

Tee-shirt 19,90 €

Sweat 40 €

Short 20 €

Pantalon 32,80 €

Pantacourt 34 €

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Exercices d'approfondissement

20

1. Effectue les calculs suivants endétaillant toutes les étapes.A = (4 + 6) × 5,2 + 3 × (7,6 – 5)B = 2 × (3,1 + 2,6) + 63 : (49 – 42)C = 6 + 10 : 5 + 9 + 2 × 7 – 3D = [(8 + 4 × 5) : 7] × 3 + (9 – 7) × 8

2. Invente un calcul comportant cinq nombresqui donne 61 comme résultat.

Nombres croisésRecopie puis complète.

HorizontalementA. 5 × 6,75 × 200 + 1B. • 43 – 28 + 17 • 6 × 13 – 5 × 7C. • Produit de trois entiers consécutifs

• 7 × (5 + 2 × 1,5)

D. 8 × (0,2 × 10 + 4) – (12 + 5)

Verticalement1. (42,4 + 21,2) × (7,5 + 2,5)2. 24 : 3 × (39 + 51)3. • 17 – (21 – 9) • (4 + 11) : 54. Année de naissance du grand navigateurayant découvert le Nouveau Monde.5. 72 : (51 – 49)

1. Calcule 5 + 5 : 5 – 5.2. Invente cinq autres calculs avec quatre «5»et les quatre opérations (+, – , × , : ) puiseffectue ces calculs.

Parmi les expressions suivantes,lesquelles sont des sommes, des différences,des produits ?

� 7 : 2 + 3 × 8 � 47 × (0,3 + 1,7) � [13 – (4 + 1,5)] × 0,1� x + 3 x� 18 – 6 × a� (y – 1) × 5

55

54

1

A

B

C

D

2 3 4 5

53

52

POUR ALLER PLUS LOIN Recopie puis complète le tableau suivant.

Recopie et complète avec les signesd’opérations +, –, × ou : et des parenthèses sinécessaire pour que les égalités soient vraies.a. 3 … 4 … 8 … 2 = 16b. 3 … 4 … 8 … 2 = 0,5c. 3 … 4 … 8 … 2 = 18d. 3 … 4 … 8 … 2 = 70

Avec les nombres 3, 5 et 6, complète leségalités suivantes.a. ... + … × … = 33b. … : … + … = 5,5c. … – … + … = 4

Recopie et complète pour que chaqueégalité soit vraie.a. 2 × (7 + … ) = 24b. (53 – …) : 2 = 22c. 8 + … × 3 = 23 d. … × (5,2 + 1,8) = 21

Recopie et complète pour que chaqueégalité soit vraie. Propose deux réponsesdifférentes pour chaque égalité.a. 4 × (8 + 5) – 2 = … × … b. 3 × 6 + 2 × 11 = … + …

Trouve la masse des objets et sachant que chaque balance est en équilibre.

1. Invente une égalité où un nombre x estinconnu ; l’égalité doit être vraie pour x = 2.2. Invente une égalité avec un nombre a ;l’égalité doit être vraie pour n’importe quellevaleur de a.

62

BA 700 g

150 gA B

BA61

60

59

58

57

56

x 3,2 1,8 10y 4 6 2z 2 3 0,5x : y + zx : (y + z)x + y – x × z

218372_MATHS_5E _C01 22/03/06 9:28 Page 20

Sans effectuer de calcul, repère puisrecopie les égalités vraies.� 3 × (11 + 5) = 3 × 11 + 5 � 6 × (2 + 8) = 6 × 2 + 6 × 8 � 9 × 5 + 9 × 13 = 9 × (5 + 13) � 7 × 4 – 7 × 1 = 7 × (7 + 1) � 5 × 7 + 40 = 5 × (7 + 8) � 10 × 5 × 10 × 3 = 10 × (5 × 3)

Calcul mentalÀ partir du résultat 47 × 30 = 1 410, trouveune méthode pour calculer de tête :a. 47 × 60 b. 470 × 30 c. 470 × 60d. 47 × 31 e. 48 × 30

Maths et environnementUn bain consomme environ 150 L d’eau,c’est-à-dire trois fois plus qu’une douche.Une chasse d’eau classique consomme 9 Ld’eau. En plongeant une bouteille lestée dansle bac, on peut réduire ce volume de 2 L.Chaque membre d’une famille de quatrepersonnes prend en moyenne un bain par jouret utilise cinq fois la chasse d’eau.On cherche, en une année, quelle quantitéd’eau économise cette famille en choisissantla douche et en réduisant le volume du bac dela chasse.Écris une expression permettant de répondre àla question, puis effectue le calcul.

Maths et énergieDans le monde, 84 millions de barils depétrole sont consommés par jour. Un barilcontient 158 L. Fabrice imagine que le pétrole consommé enune journée est versé dans des briques d’unlitre de lait de 9 cm de long. Quelle distanceserait parcourue si on collait ces briques lesunes aux autres ?1. Écris une expression permettant derépondre à la question puis effectue le calcul.2. Combien de fois la distance Terre-Lune(384 402 km) serait approximativementparcourue ?

66

65

64

63 Une des expressions suivantes n’est paségale aux autres. Retrouve laquelle.� 3 × a + 3 × b � 2 × a + a + b + b + b� 3 × (a + b) � 3 × a + b

Sachant que 14 × a = 9,calcule 14 × (a + 2).

On considère les deux expressions A etB suivantes :

A = 3 × (x + 5) + 2 × (x + 1) – 7B = 3 × x – 2 × x + 4 × (x +1) + 6

Prouve que l’égalité A = B est vraie.

ABCD est un rectangle. On sait que

AD = 7 cm et AE = x cm.

1. Écris une formule qui exprime le périmètredu rectangle ABCD en fonction de x.2. Calcule ce périmètre dans le cas oùx = 3 cm, puis dans le cas où x = 6 cm. 3. Pour quelle valeur de x ce périmètre vaut-il32 cm ?4. Exprime l’aire du rectangle ABCD enfonction de x.5. Calcule cette aire quand x = 3 cm, puisquand x = 6 cm.6. Pour quelle valeur de x cette aire vaut-elle159,6 cm2 ?

1. Calcule le périmètre du polygone ci-dessous pour x = 3 cm.

2. Exprime le périmètre du polygone enfonction de x.3. Transforme l’expression obtenue à laquestion précédente pour n’avoir plus qu’uneseule opération.4. Utilise cette formule pour calculer lepérimètre du polygone pour x = 5 cm etx = 8 cm.

2 × x3 × x

2 × x

5 × x2 × x

2 × x

x

x

71

A E B

D C

70

69

68

67


218372_MATHS_5E_C01 17/07/06 10:29 Page 21

Voici deux programmes de calcul :

1. Applique ces deux programmes de calcul auxnombres 1, 2 et 3.2. Que remarques-tu ? Cette remarque est-ellevraie pour n’importe quel nombre choisi audépart ?

Voici deux programmes de calcul :

1. Applique ces deux programmes de calculaux nombres 1, 2 et 3.2. Que remarques-tu ? Cette remarque est-ellevraie pour n’importe quel nombre choisi audépart ?

Les énoncés mathématiques suivantssont-ils vrais ?� Pour tous les nombres x,

0 × x = 0.� Pour tous les nombres x,

5 × x + 2 = 5 × (x + 2).� Pour tous les nombres x,

7 × x × 5 = 35 × x .� Il existe un nombre x tel que :

4 × x + 1 = 21.

74

73

72

POUR DÉBATTRE ET ARGUMENTER Est-il vrai que la somme de deuxmultiples de 7 est un multiple de 7 ? Justifie ta réponse.

Est-il vrai de dire que le produit de deuxnombres est toujours supérieur à la somme deces deux nombres ?Utilise un tableur pour traiter de nombreuxexemples.

ABCD est un cerf-volant. EFI est untriangle isocèle en E et FGHI est un rectangle.

1. Exprime le périmètre du cerf-volant enfonction de x.2. Exprime le périmètre du pentagone EFGHIen fonction de x.3. Prouve que ces deux figures ont le mêmepérimètre pour n’importe quelle valeur de x.

Voici une liste de six nombres :3 7 10 17 27 44

Les deux premiers nombres sont pris auhasard, le troisième est la somme des deuxpremiers, le quatrième est la somme dudeuxième et du troisième, et ainsi de suite.1. Calcule la somme des six nombres de laliste.Calcule le produit du cinquième nombre par 4.Quelle égalité peux-tu écrire ?2. Choisis deux autres nombres de départ etconstitue une nouvelle liste de six nombres.L’égalité précédente est-elle vérifiée ?3. Recommence avec deux autres nombres.4. On veut prouver que l’égalité est toujoursvraie. Prends comme nombres de départ n et t.Constitue la liste des six nombres et calcule lasomme de ces nombres.

78

45

7

x + 4x

A

E

H

G

I

FC

B

D

77

76

75

Exercices d'approfondissement

22

=produit(A2 ; B2) =somme(A2 ; B2)

Programme 1� Choisis un nombre.� Multiplie ce nombre par lui-même.� Ajoute 16.� Retranche le produit de 6 par le nombrede départ.� Multiplie le résultat par le nombre de départ.� Retranche 6.

Programme 2� Choisis un nombre.� Calcule le double de ce nombre.� Ajoute 4.� Multiplie le résultat par 2,5.� Retranche 10.

Programme 1� Choisis un nombre.� Multiplie-le par 3.� Ajoute 10.� Multiplie le résultat par 6.

Programme 2� Choisis un nombre.� Multiplie-le par 9.� Ajoute 30.� Multiplie le résultat par 2.

218372_MATHS_5E _C01 22/03/06 9:28 Page 22


D’HIER À AUJOURD’HUI

� Dans chaque cas, écris le calcul tepermettant de trouver le nombre manquantqui rend vraie l’égalité.a. ? + 7 = 24 b. ? + 57 = 74c. ? – 48 = 32 d. 39 – ? = 23e. 25 × ? = 75 f. 12 × ? = 8,4

� Mathilde s’achète deux BD à 8,90 €

chacune et quatre CD single à 3,99 €

chacun. Elle paie avec un billet de 50 €. Écrisune expression permettant de calculer lasomme qui lui est rendue. Calcule cettesomme.

a. Invente un problème dont la solution seratrouvée en calculant l’expression 15 × 6 – 7.

b. Invente un problème dont la solution seratrouvée en calculant l’expression 15 × (6 – 7).

79

Des outils de calcul� Le symbole « = » n’a pas toujours existé. a. Qui a introduit le symbole « = » ? En quelleannée ?b. Indique un autre symbole utilisé avant lesigne « = » qui signifie la même chose.c. Où as-tu trouvé ces renseignements (auCDI, nom du site, nom du livre, …) ?� En anglais, le mot ordinateur se ditcomputer. Ce mot vient du latin computo.Recherche ce que ce mot veut dire.

De nos jours, les ordinateurs sont de plusen plus performants. Ces performancesdoubleraient tous les 18 mois.Cherche à trouver la réponse à la multiplication :123456789123456789 ×123456789123456789.Est-il possible de la réaliser à la main, avecune calculatrice, avec un ordinateur ?Note à chaque fois le temps nécessaire.

81

� Transforme en utilisant les règles dedistributivité :a. 4 × ( a + 9) b. 5 x + 5 × 6 c. (t – 1) × 7 d. 12 x + 8 xe. 12 a – 12 b f. 3 x + xg. 15 + 3 b h. 10 (4,1 + x – 2)� a. Voici un programme de calcul :

Applique ce programme au nombre 6, puisaux nombres 8 et 11.b. Que remarques-tu ? Cette remarque est-elle toujours vraie ? Explique ta réponse. Calcule x + 3 x + 2 x + 4 x lorsque x vaut987 654 321,234.

80

DEVOIRS À LA MAISON

Depuis des millénaires, les Hommes ont cherchéà créer des outils de calcul. Après les abaques etles bouliers, ils inventent au XVIe siècle lespremiers calculateurs mécaniques.

Au XXe siècle apparaissent de nouvellestechnologies et les premiers ordinateurs sontfabriqués. En 1945, aux États-Unis, unemachine électronique, pesant environ 30 tonnes,était capable d’effectuer plusieurs centaines decalculs par minute.En 2002, le plus puissant ordinateur du monde,destiné à la simulation d’essais atomiques,disposait d’une puissance d’envi ron 10 000 000 000 000 instructions par seconde.Cette puissance serait comparable à celle ducerveau humain. Mais une grande capacité decalcul ne fait pas l’intelligence…

La Pascaline, mise au point par Pascal.

� Choisis un nombre.� Ajoute 5.� Multiplie le résultat par 2.� Retranche 7.� Retranche le double du

nombre de départ.

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QCMPour chaque ligne, trouve la bonne réponse et recopie la lettre correspondante.Remets les lettres dans l’ordre et trouve un mot désignant une suite finie d’opérations qui permetde résoudre un problème.

Dans l’expression produit terme facteur1 (9,8 – 1) × 13,

13 est un

2 25 + 4,02 × 5 est une différence une somme un produit

3« Le produit de 25 par la

25 × 11 – 7 25 × (11 + 7) 25 × (11 – 7)différence de 11 et 7 » s’écrit

4 15 – 6 – 5 + 1 = 5 3 11

5 17 – 2 × (6 – 1,5) = 67,5 88,5 8

Les deux calculs(7 – 3) × 2,5 = 10 7 – 3 × 2,5 = 10 (7 – 3) × 4 × 2,5 = 107 – 3 = 4

6 4 × 2,5 = 10s’écrivent en une expression

7 6,2 × 6,5 + 6,2 × 3,5 = 6,2 × 6,5 + 3,5 6,2 × (6,5 + 3,5) 6,5 × (6,2 + 3,5)

8 7 × (a – 3,1) = 7 a – 3,1 7 a – 21,7 on ne peut pastransformer

L’égalité

vraie fausseon ne peut

94 + 3,5 × 2 = 22 : (9,5 – 7,5)

pas savoirest

Le nombre x qui rend 20 21 22vraie l’égalité

6 x – 7 = 5 (x +3)est

Je dois savoirUtiliser le vocabulaire : somme, différence, produit, terme, facteur.Reconnaître une somme, une différence et un produit.Calculer une expression en respectant les règles de priorité.Regrouper plusieurs calculs en une expression.Reconnaître et utiliser les règles de distributivité.Écrire, tester une égalité et trouver un nombre inconnu dans une égalité.Résoudre des problèmes.

24

E F G

R H A

B I E

A T M

H E M

I T M

A L E

L T I

R I E

C S O

Évaluation

10

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Je teste mes connaissances

1. Parmi les calculs ci-dessous, lesquelssont des sommes, des différences, des produits ?a. (7 + 3,1) × 6 b. 81 – 7 : 2 c. (9 + 12) × (2,5 – 1,3)Indique les termes et les facteurs selon les cas.2. Traduis par une phrase les deux calculssuivants :a. 4 × (10 + 2) b. 6 – 1,5 × 23. Traduis par un calcul les deux phrasessuivantes :a. La somme du produit de 2 par 3 et de 4.b. Le produit de 9 par la différence de 5 et 1.

Calcule en indiquant toutes les étapes.A= 5 × [8 – (4 + 2)] B = 3,1 × (11 – 9)C = 63 – 10 – 3 – 1 D= 4,9 × 10 – 3,5 × 2E = (0,7 + 0,3) × (6,2 – 2)F = 53 – (5 + 2)

Dans chaque cas, regroupe les calculs enune seule expression.a. 0,25 × 40 = 10 10 – 2 = 8b. 4,3 + 2,9 = 7,2 16,1 – 12,5 = 3,67,2 : 3,6 = 2c. 8 × 13 = 104 94 – 71 = 23104 + 23 = 127

Calcule mentalement.a. (4 + 3) × 11 b. 4 + 3 × 11 c. 4 × 7,2 + 6 × 7,2 d. 14 × 15 – 4 × 15 e. 15 × 101 f. 13 × 9

1. Transforme les produits en sommes oudifférences.a. 12 × (3 + 10) b. 7 × (x – 2) c. (65 + a) × b2. Transforme les sommes ou différences enproduits.a. 75 × 37 + 25 × 37 b. t × 4 + t × 8 c. x × 3 – y × 3

5

4

3

2

1 Recopie et remplace le pointd’interrogation par un nombre pour que leségalités soient vraies.a. ? + 46 = 93 b. 51 – ? = 37 c. ? × 3 = 36d. 4 × ? = 2

1. Teste si les égalités sont vraies pourchaque valeur de x proposée.a. 5 × x – 2 = x + 6 pour x = 1b. 3 + ( x – 1) = 2,2 x pour x = 1,65c. 24 + 15 x = 3 ( 8 + 5 x) pour x = 42. Invente une égalité où un nombre y seraitinconnu ; cette égalité doit être vraie pour y = 5.

Clémence profite de ses vacances pourécrire à ses amis. Elle achète quatre cartespostales à 0,70 € chacune et quatre timbres à0,53 € chacun. Elle paie avec un billet de 5 €.Écris une expression permettant de connaître lemontant de la monnaie qui lui est rendue, puiscalcule cette somme.

1. Écris en fonction de x le périmètre de lafigure ci-dessous.

2. Calcule ce périmètre lorsque x est égal à1,5 cm.3. Quelle valeur donner à x pour que lepérimètre soit 25,7 cm ?

2,9 cm

2,8 cm

x

9

8

7

6


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Égalité1

MOT et TOM sont deux nombres de trois chiffres. Une même lettre représente le même chiffre. Par quels chiffres faut-il remplacer les lettres M, O et T pour que l’égalité soit vraie ?

Le compte est bon2Cinq nombres ont été tirés au sort. Avec ces nombres utilisés au plus une fois et les quatre opérations (+, –, x, : ), retrouve le résultat proposé.

En braille3

Au XIXe siècle, Louis Braille inventa un procédé à l’usage des non-voyants qui permet de lire un texte avecles doigts. Des cellules sont constituées chacune de deux colonnes de trois points ; certains points sonten relief. Les dix chiffres et les symboles « = », « + » et « × » sont représentés ci-dessous :

Écris en braille la réponse à ces deux calculs : 1.

2.

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9

× =+

26

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Une collection conseillée par des milliers d'enseignants ... · alors il est situé sur la...

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