Une fibre de Milnor motivique a l’infini

Michel Raibaut

Instituto de matematica interdisciplinar

Universidad Complutense de Madrid

References :

• ”Singularites a l’infini et integration motivique”.

A paraıtre au Bulletin de la SMF.

• ”Fibre de Milnor motivique a l’infini et composition avec un po-

lynome non degenere”.

A paraıtre aux Annales de l’Institut Fourier Vol 61.

• ”Monodromy at infinity of polynomial maps and mixed Hodge

modules” Matsui-Takeuchi. Soumis.

1

Soit :

– U une variete algebrique complexe lisse de dimension d.

– f : U → A1C une application reguliere non constante.

Plan

1. Objets classiques.

(a) Fibre de Milnor a l’infini F∞.

(b) Monodromie a l’infini T∞ de f .

2. Structure de Hodge mixte limite a l’infini, notee SHM(F∞, T∞)

Spectre a l’infini de f .

3. Realisation de Hodge : χH :Mµ{∗} → K0(SHmon).

4. Fibre de Milnor motivique a l’infini : Sf,∞ ∈Mµ{∞}.

(a) Independant de toute compactification lisse ou non.

(b) Theoreme : χH(Sf,∞) = [SHM(F∞, T∞)].

(c) Expression dans le cas d’un polynome non degenere pour son

polyedre de Newton a l’infini.

⇒ Expression du spectre a l’infini dans le cas non degenere.

(d) Formule de Thom-Sebastiani.

Exemples de Douai-Sabbah.

5. Ensemble de bifurcation motivique et fonction motiviquement

moderee.

2

Cas local : Denef-Loeser (1998)

Soit g : X → A1C un morphisme, avec X lisse et x ∈ g−1(0).

1. Il existe une notion de :

• Fibre de Milnor de g en x, notee Gx.

• Monodromie de g en x, notee Tx.

• Structure de Hodge mixte de Gx.

Steenbrink (1976), Varchenko (1981), Navarro-Aznar (1987).

2. Denef-Loeser ont construit Sg,x ∈Mµ{x} tel que

χH(Sg,x) = [SHM(Gx, Tx)].

Sg,x est appele fibre de Milnor motivique de g en x.

Techniquement :

Sg,x correspond a la classe [i−1x ψg(QX

)] dans K0(Dbc({x})mon).

3

Fibre de Milnor a l’infini et monodromie a l’infini de f

Le point de depart est le theoreme decoulant des idees de Thom :

Theoreme (Varchenko 1972, Verdier 1976, Pham 1983). Il existe un

ensemble fini B tel que

f : U \ f−1(B)→ C \ Best une fibration topologique localement triviale.

On appelle ensemble de bifurcation de f le plus petit ensemble Bverifiant cette propriete.

Demonstration. Points cles :

– l’existence de stratifications de Whitney.

– le theoreme de fibration de Thom-Mather.

Corollaire. Il existe R > 0 tel que

f : U \ f−1(D(0, R))→ C \D(0, R)

est une fibration topologique localement triviale.

Definition. On appelle

• Fibre de Milnor a l’infini et on note F∞, la fibre de cette fibra-

tion.

• Monodromie a l’infini, la monodromie de cette fibration :

T∞ : H∗c (F∞,Q)→ H∗c (F∞,Q)

est un operateur quasi-unipotent induit par l’action

π1(C \D(0, R)) F∞.

4

Compactification

Definition. On appelle compactification de f : U → A1C, tout tri-

plet (X, i, f ) tel que

1) i : U → X est une immersion ouverte dominante

2) f : X → P1C est propre

3) le diagramme suivant est commutatif

Ui //

f��

Xf

��

A1C

j // P1C

ou j(a) = [1 : a].

On note aussi 1/f l’unique application definie sur X qui prolonge 1/f .

5

Cycles proches de 1/f

On considere le diagramme suivant

f−1(∞)i //X (1/f )−1(D∗ε,∞)

joo

1/f��

Eπoo

��

D∗ε,∞ D∗ε,∞rev univoo

ou

• D∗ε,∞ est le disque centre au point ∞ et de rayon ε

• E est le produit fibre (1/f )−1(D∗ε,∞)×D∗ε,∞ D∗ε,∞.

Definition (Foncteur cycles proches). Deligne (SGA VII) construit

le foncteurψ1/f : Dbc(X) → Dbc(f−1(∞))

F• 7→ ψ1/f F•

avec

ψ1/f F• = i−1R(j ◦ π)∗(j ◦ π)−1F• ∈ Dbc(f−1(∞)).

Ce foncteur est appele foncteur cycles proches de 1/f .

Definition (Monodromie). L’action

π1(D∗ε,∞) = Z D∗ε,∞

induit une transformation h : E → E qui satisfait π ◦ h = π.

Cet homeomorphisme h induit un isomorphisme de complexes aussi

appele monodromie

T∞ : ψ1/fF• → ψ1/fF

•.

Consequence : ψ1/fF• appartient a Dbc(f−1(∞))mon.

6

Cycles proches a l’infini de f

Proposition. Soit (X, iX , fX) et (Y, iY , fY ) deux compactifications

de f . On a l’egalite

RfX!ψ1/fX(RiX!QU) = RfY !ψ1/fY

(RiY !QU) ∈ Dbc({∞})mon.Cette valeur est appelee cycles proches a l’infini de f et notee ψf,∞.

Demonstration.

Par application du theoreme d’Hironaka

il existe (Z,E, hX , hY ) tel que

− (Z,E, hX) est une log-resolution de (X,FX),

− (Z,E, hY ) est une log-resolution de (Y, FY ),

− fX ◦ hX = fY ◦ hY ,− i := h−1

X ◦ iX = h−1Y ◦ iY .

(Z,E)hX

{{wwwwwwwww hY

##GGGGGGGGG

X

fX

��444444444444444444 Uf

��

iXooiY // Y

fY

��������������������

A1Cj

��

P1C

Point cle : Soit (X, i, f ) une compactification et h : Y → X propre,

on a la formule d’image directe de Deligne.

ψ1/f(Rh!F•) = Rh!ψ1/f◦h(F•).

Par consequent :

RfX!ψ1/fX(RiX!QU

) = RfX!RhX!ψ1/fX◦hX(Ri!QU

)

= R(fX ◦ hX)!ψ1/fX◦hX(Ri!QU

)

= R(fY ◦ hY )!ψ1/fY ◦hY(Ri!QU

)

= RfY !ψ1/fY(RiY !QU

).

Proposition. Pour tout entier k, il existe un isomorphisme entre :

HkΨT∞f,∞ ' Hk

c (F∞,Q)T∞.

7

Structures de Hodge et structures de Hodge mixtes

Une structure de Hodge est un Q-espace vectoriel H de dimension

finie ou

• H ⊗Q C =⊕

p,q∈ZHp,q

• ∀(p, q), Hp,q = Hq,p

• ∀m,⊕

p+q=mHp,q est un Q-sous espace vectoriel de H .

Une structure de Hodge mixte est un Q-espace vectoriel V de di-

mension finie ou

• il existe une filtration, dite par le ”poids”, croissante et finie W•V

• ∀m, Wm/Wm−1 est une structure de Hodge pure de poids m.

References : ”Mixed Hodge Structures” de Peters et Steenbrink.

8

Structures de Hodge (mixtes) des groupes de cohomolo-

gie des varietes algebriques complexes

1. Pour toute variete algebrique complexe X , pour tout k, Hkc (X,Q)

a une structure de Hodge mixte naturelle (Deligne).

2. Si X est propre et lisse alors pour tout k, la structure de Hodge

mixte sur Hkc (X,Q) est une structure de Hodge pure. La filtration

par le poids est concentree dans le poids k (Theoreme de Hodge).

3. Si X est munie d’une bonne action de µ alors la structure de

Hodge mixte de ses groupes de cohomologie est munie d’un endo-

morphisme quasi-unipotent

Xµ → (SHM Hkc (X,Q)T ).

9

Groupe de Grothendieck K0(SHmon)

• La categorie SHmon est abelienne.

• On note K0(SHmon) son groupe de Grothendieck.

1. K0(SHmon) est un groupe abelien :

Generateurs : [H, σ] classe d’isomorphisme de (H, σ)

Relations : [H, σ] = [H ′, σ′] + [H”, σ”] ou

0→ (H ′, σ′)→ (H, σ)→ (H”, σ”)→ 0

est une suite exacte de structures de Hodge.

2. Le produit tensoriel sur SHmon induit une structure d’anneau sur

K0(SHmon)

3. Pour une structure de Hodge mixte (V, σ) on pose

[V, σ] :=∑m∈Z

[GrWm (V ), σGrWm (V )] ∈ K0(SHmon).

ou GrWm (V ) := Wm/Wm−1.

10

Structure de Hodge mixte a l’infini

• Par la theorie de Deligne pour tout t, pour tout k, Hkc (f−1(t),Q)

a une structure de Hodge mixte.

• Ces structures de Hodge mixtes sont les fibres d’une variation de

structure de Hodge mixtes sur C \D(0, R).

• Steenbrink-Zucker (85), M.Saito (90), Sabbah (97) ont construit

une structure de Hodge mixte limite quand t→∞ notee

SHM Hkc (F∞,Q)T∞.

• Techniquement : Soit (X, i, f ) une compactification de f . Pour

tout k,

SHM Hkc (F∞,Q)T∞ := SHMHk(ψf,∞)T∞

= SHM Hkc (f−1(∞), ψ1/f(Ri!QU))T∞

Cette limite depend uniquement des cycles proches a l’infini de f

et non de la compactification.

• On note

[SHM(F∞, T∞)] :=∑k

(−1)k[SHMHkc (F∞,Q)T∞] ∈ K0(SHmon)

appelee classe de la structure de Hodge mixte a l’infini de f .

11

Spectre a l’infini de f

Il existe une application lineaire appelee spectre

Sp : K0(SHmon) → Z[t1/Z] = ∪n≥1Z[t1/n, t−1/n]

[H, σ] 7→∑

α∈[0,1)∩Q tα(∑

p,q dimHp,qα tp)

ou

• H est une structure de Hodge munie d’un operateur quasi-unipotent.

• Hp,qα est l’espace caracteristique de σ|Hp,q pour la valeur propre

e2iπα.

Le spectre Sp([SHM(F∞, T∞)]) est appele spectre a l’infini de f .

C’est un invariant important de f .

Garcıa-Lopez-Nemethi (96), (99), Dimca (01), Sabbah (97), Nemethi-

Sabbah (99), Douai-Sabbah (02), Brelivet (02) (05)...

12

Anneau de Grothendieck equivariant et relatif MµS

• Soit S une variete et µ = lim←−

µn le groupe des racines de l’unite.

Par la suite S sera :

• {∞} ou f−1(∞) dans le cas global

• {x} ou g−1(x) dans le cas local.

• K0(V arµnS ) est un anneau presente comme suit :

– Generateurs : classes d’isomorphismes [p : Xσ → S] ou

1. σ est une bonne action de µn,

2. S est muni de l’action triviale,

3. les fibres du morphisme p sont stables sous σ.

– Relations :

1. Additivite

[Xσ → S] = [X \ Fσ → S] + [Fσ → S].

pour F une partie fermee de Xσ stable sous σ.

2. Multiplicativite

[X × Y σX×σY → S] = [XσX → S][Y σY → S]

3. D’autres relations techniques pour les fibres affines.

• On note L la classe [A1C × S → S] du fibre trivial avec action

triviale et enfin les localisations

MµnS := K0(V arµnS )[L−1] etMµ

S := lim←−Mµn

S .

13

Realisation de Hodge

Il existe un morphisme naturel d’anneaux

χH : Mµ{∗} → K0(SHmon)

[Xσ] 7→∑

(−1)k[Hkc (X,Q)]σ

ou pour tout k, pour tout X , [Hkc (X,Q)] designe la classe de la struc-

ture de Hodge mixte de Deligne.

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Cycles proches motiviques 7→ Cycles proches

Soit X une variete lisse, U un ouvert de X et i : U → X l’injection.

Soit g : X → A1C un morphisme et x ∈ g−1(0).

Il existe un morphisme de realisation :

χ : MµS → K0(Dbc(S)mon)

[p : Y → S, σ] 7→ [Rp!QY ]

Y lisse

Theoreme de comparaison :

1. Denef-Loeser (1998)

Sg(X) ∈Mµ

g−1(0)7→ [ψg(QX)] ∈ K0(Dbc(g−1(0))mon)

et la fibre en x

Sg,x ∈Mµ{x} 7→ [ψg(QX)x] ∈ K0(Dbc({x})mon)

2. Bittner / Guibert-Loeser-Merle (2005)

Sg(U) ∈Mµ

g−1(0)7→ [ψg(Ri!QU)] ∈ K0(Dbc(g−1(0))mon)

et

g!Sg(U) ∈Mµ{0} 7→ [Rg!ψg(Ri!QU)] ∈ K0(Dbc({0})mon) (1)

L’image directe g! est simplement la composition par g.

→ On utilisera (1) avec (X, i, f ) une compactification et g = 1/f .

Remarque. U est lisse donc XSing ⊂ X \ U et la construction de

Sg(U) marche encore !

15

Espaces d’arcs

Soit (X, i, f ) une compactification et F le ferme X \ U .

• Pour n ≥ 1 et γ ≥ 1 on note

Xγn(f ) =

ϕ ∈ L(X)

ordt F.ϕ ≤ nγ

ordt 1/f (ϕ(t)) = n

ac 1/f (ϕ(t)) = 1

,

ou ordtF.ϕ = infg∈IF,ϕ(0)ordtg.ϕ.

• Localement

1.

X :

P1 = 0

.

.

Pl = 0

avec Pi ∈ C[x1, ..., xk],

2.

ϕ ∈ L(X) ↔ x(t) ∈ (C[[t]])k : ∀i, Pi(x(t)) = 0

3.

1/f = P, P (ϕ(t)) = 1.tn + ...

• L(X) = X(C[[t]]).

• ordtFϕ ≤ nγ est une condition de tangence des arcs contre le

ferme F .

16

Fonction zeta motivique

On considere la fonction zeta motivique

Zγ

1/f ,U(T ) =

∑n≥1

µ(Xγn(f ))T n ∈Mµ

f−1(∞)[[T ]]

Techniquement : Pour tout m ≥ nδ, on a une variete πm(Xγn(f ))σ

↓ π0, σ

f−1(∞)

∈ V arµnf−1(∞)

.

• Pour un arc ϕ, πm(ϕ) est la ”troncation modulo tm+1” de ϕ.

• σ(λ, ϕ(t)) = ϕ(λ.t) ∈ πm(Xγn(f )).

• π0(ϕ(t)) = ϕ(0) ∈ f−1(∞) car n ≥ 1.

• La condition ordt F.ϕ ≤ nγ implique que les quotients

[πm(Xγn(f ))]L−m dimX

ne dependent pas de m pour m > nγ.

µ(Xγn(f )) := lim

m→∞[πm(Xγ

n(f ))]L−m dimX ∈Mµ

f−1(∞).

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Theoreme de rationalite

Par le theoreme de rationalite de Denef-Loeser (98) et Guibert-

Loeser-Merle (05) : Il existe δ0 tel que ∀δ ≥ δ0 :

1. Zγ

1/f ,U(T ) est rationnelle et a une limite. On note

− limT→∞

Zγ

1/f ,U(T ) =: S1/f ,U

Cette limite est independante de δ ≥ δ0 et appartient aMµ

f−1(∞).

2. Si (Z,E, h) est une log-resolution de (X,X \ U) on a alors la

formule d’image directe

S1/f ,U = h!S1/f◦h,h−1(U)

ou h! :Mµ

(f◦h)−1(∞)→Mµ

f−1(∞)est la composition par h.

Ce theoreme repose sur la formule de changement de variables et le

theoreme d’Hironaka.

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Fibre de Milnor motivique a l’infini

Theoreme. Si (X, fX , hX) et (Y, fY , hY ) sont deux compactifica-

tions alors

fX!S1/fX ,U= fY !S1/fY ,U

∈Mµ{∞}

Demonstration.

Par application du theoreme d’Hironaka

Il existe (Z,E, hX , hY ) tel que

− (Z,E, hX) est une log-resolution de (X,FX),

− (Z,E, hY ) est une log-resolution de (Y, FY ),

− fX ◦ hX = fY ◦ hY .

(Z,E)hX

{{wwwwwwwww hY

##GGGGGGGGG

X

fX

��444444444444444444 Uf

��

iXooiY // Y

fY

��������������������

A1Cj

��

P1C

S1/fX ,U = hX!S1/fX◦hX ,h−1X (U) ∈Mµ

f−1X (∞)

S1/fY ,U = hY !S1/fY ◦hY ,h−1Y (U) ∈Mµ

f−1Y (∞)

⇒fY !S1/fY ,U

= ∈Mµ{∞}

fX!S1/fX ,U

Definition. Cette valeur est appelee fibre de Milnor motivique a

l’infini de f et notee Sf,∞ ∈Mµ{∞}.

Remarque. Takeushi et Matsui ont eux aussi introduit cet objet en

2010, via une compactification construite a partir d’une resolution des

singularites, sans toute fois en montrer l’independance.

19

Proprietes

• Par construction

1. Pour calculer Sf,∞, on peut utiliser la compactification que

l’on souhaite, meme singuliere.

2. Sf,∞ est un objet local a l’infini : il ne depend que de la res-

triction de f au dessus d’un voisinage ouvert de l’infini.

• Realisations

1. χ(Sf,∞) = [ψf,∞] ∈ K0(Dbc({∞})mon)

2. χH(Sf,∞) = [SHM(F∞, T∞)] ∈ K0(SHmon)

3. χMHM(Sf,∞) = [ΨMHMf,∞ ] ∈ K0(MHMmon

{∞}).

ΨMHMf,∞ est le module de Hodge mixte de f a l’infini de M.Saito.

Ceci resulte de la comparaison de ces objets sur une resolution des

singularites.

20

Exemple : cas non degenere

• Calcul dans le cas d’un polynome non degenere pour son polyedre

de Newton a l’infini Γ :

Soit f ∈ C[x1, .., xd, x−11 , ..., x−1

d ] tel que

a) f n’est pas un polynome,

b) f est non-degenere pour Γ

c) f est commode pour Γ.

Alors,

Sf,∞ = −∑γ∈Γ

(−1)d−dimγ[C∗d ∩ f−1γ (1), σγ],

ou σγ est une action associee a la face γ.

→ Decomposition du spectre a l’infini :

SP (f,∞) = −∑γ∈Γ

(−1)d−dimγSP ([C∗d ∩ f−1γ (1), σγ]).

• Guibert (2002) a donne une formule analogue pour Sg,0 (cas local).

• Contrainte technique : Gerer le ferme a l’infini !

21

Proprietes

• Composition avec un polynome non degenere.

1. Si P est un polynome de Laurent en d variables non degenere

pour son polyedre de Newton Γ.

2. Si (fi : Ui → A1) est une famille de fonctions a source lisse

alors SP (f),∞ s’exprime en termes de Γ et de cycles proches moti-

viques generalises associes aux fi et a Γ.

Guibert, Loeser et Merle ont fait un calcul analogue dans le cas

local (2006).

• Cycles evanescents motiviques pour la valeur infini pour une

fonction f : U → A1, avec U lisse

SΦf,U,∞ := (−1)dimU−1

(Sf,∞ − ([U ]− p!Sf,∞)1MGm

Gm

)∈MGm

Gm.

• Formule de type Thom-Sebastiani

Pour f : U → A1 et g : V → A1, U et V lisses on a

inv SΦf+g,U×V,∞ = inv SΦ

f,U ∗ inv SΦg,V,∞

ou ∗ est le produit de convolution sur MGmGm

et inv est la com-

position avec l’inversion de Gm.

Denef-Loeser (1999) ont demontre une formule du type Thom-

Sebastiani dans le cas local.

22

Proprietes

• Exemples de Douai-Sabbah (2003)

Douai et Sabbah considerent : f (x1, ..., xn) = x1 + ...+xn+ 1x1...xn

sur le tore U = C∗n.

Ils montrent que le spectre a l’infini pour la cohomologie de la

paire H∗(U, f−1(t),Q) vaut

Sp(U, f,∞) = 1 + t + ... + tn.

Le point de vue adopte est celui des reseaux de Brieskorn et de

la filtration de Newton.

On montre que Sp(SΦf,U,∞) = 1 + t + .. + tn

• Singularites a l’infini dans les fibres

J’ai introduit dans ma these les notions de :

1. Ensemble de bifurcation motivique

2. Fonction motiviquement moderee

Exemple. Un polynome commode et non degeneree pour son polyedre

de Newton a l’infini est motiviquement moderee.

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