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IntroductionDescription et notations du pb

Flexibilite pour la robustesseResultats

Conclusion et perspectives

Une approche robuste pour un probleme d’ordonnancementet de VRP integres

Azeddine Cheref(1) Jean-Charles Billaut (1) Christian Artigues(2)

(1)Universite Francois Rabelais Tours, Laboratoire dıInformatique (EA 6300), Equipe Ordonnancement etConduite (ERL-CNRS 6305), 64 avenue Jean Portalis, 37200 Tours, France

(2)LAAS, CNRS, 7 avenue du colonel Roche, 31400 Toulouse, France

[email protected]

26 Fevrier 2014

A.Cheref, JC.Billaut, C.Artigues Approche robuste pour un probleme d’ordonnancement et de VRP integres

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Table des matieres

1 IntroductionProbleme d’ordonnancement et de VRP integresFlexibilite et RobustesseRobustesse style Kouvelis and YuFlexibilite via les groupes

2 Description et notations du pbModele robuste pour l’ordonnancementIntroduction du routing au modele

3 Flexibilite pour la robustesseGroupe de taches permutables pour l’ordonnancement robusteGroupe de taches permutables pour le routing

4 Resultats

5 Conclusion et perspectives


3




Probleme d’ordonnancement et de VRP integresFlexibilite et RobustesseRobustesse style Kouvelis and YuFlexibilite via les groupes

Plan de la presentation




4 Resultats



4





Introduction

Etude integree d’un probleme d’ordonnancement et de routage de vehicule.

J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7

site de production


5





Introduction


J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7

site de production


6





Introduction


J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7

site de production^

1m2m�

Y


7





Introduction


J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7

site de production^

1m2m�

Y


8





Introduction


J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7

site de production^

1m2m

4m3m

5m/

U

�

M

�

Y


9





Introduction


J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7

site de production^

1m2m

4m3m

5m/

U

�

M

�

Y


10





Introduction


J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7

site de production^

1m2m

4m3m

5m6m

7m/

U

�

M�

:

�

Y


11





Flexibilite et Robustesse

Robustesse

Un ordonnancement est robuste si sa performance est peu sensible al’incertitude des donnees et aux aleas.

Flexibilite

La flexibilite est la liberte octroyee lors de la phase d’execution pour laconstruction de l’ordonnancement final.


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Robustesse style Kouvelis and Yu

La notion de scenario a ete introduite par [Kouvelis and Yu, 1997], ilsconsiderent une famille de scenarios prealablement definis. Etant donneeune famille de scenarios, leur travail consiste a trouver des solutions ditesrobustes.


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Flexibilite via les groupes

L’ordonnancement de groupes est ne il y a plus de 30 ans au LAAS-CNRS. Ilpermet d’introduire une flexibilite importante tout en garantissant unecertaine qualite dans le pire des cas. La flexibilite est obtenue grace a lanotion de groupe d’operations permutables.


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Flexibilite via les groupes

L’ordonnancement de groupes est ne il y a plus de 30 ans au LAAS-CNRS. Ilpermet d’introduire une flexibilite importante tout en garantissant unecertaine qualite dans le pire des cas. La flexibilite est obtenue grace a lanotion de groupe d’operations permutables.

Groupe d’operations permutables

Un groupe est un ensemble d’operations permutables qui seront executessur une meme machine, dans un ordre qui n’est pas fixe a l’avance.[Billaut et al., 2008].


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Modele robuste pour l’ordonnancementIntroduction du routing au modele





4 Resultats



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Notations

n taches J1, ..., Jn

n sites 1, ..., n1 seul vehiculeS scenarios s ∈ S(j, s) execution de Jj dans le scenario scaracteristiques des taches :

rsj : date de disponibilite de (j, s)

psj : duree d’execution de (j, s)

dsj : date due pour la livraison de (j, s)

Csj : date de fin de production de (j, s)

C′sj : date de livraison de (j, s)`s

i,j : le temps de transport du site i au site j dans le scenario s

Fonction objectif

Le retard de Jj pour un scenario s est note Lsj = C′sj − ds

j .L’objectif a minimiser est le retard maximun Lmax avec :

Lmax = maxs∈S

( max1≤j≤n

Lsj )


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Modele robuste pour l’ordonnancement

Ce modele est base sur celui de [Kouvelis and Yu, 1997] pour le 1||∑

Cj

Variables :

xj,k = 1 si la tache Jj est en position k, 0 sinon.Cs

k ≥ 0 : date de fin de production de la tache en position k (scenario s).


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Modele robuste pour l’ordonnancement

xj,k = 1 si la tache Jj est en position k, 0 sinon.Cs

k ≥ 0 : date de fin de production de la tache en position k (scenario s).

Min Lmax (1)

s.c.n∑

j=1

xj,k = 1, ∀k ∈ {1, ..., n} (2)

n∑k=1

xj,k = 1, ∀j ∈ {1, ..., n} (3)

Csk ≥ Cs

k−1 +

n∑j=1

psj · xj,k, ∀k ∈ {2...n}, ∀s ∈ S (4)

Csk ≥

n∑j=1

(rsj + ps

j ) · xj,k, ∀k ∈ {1...n}, ∀s ∈ S (5)

Lmax ≥ Csk −

n∑j=1

dsj · xj,k, ∀k ∈ {1...n}, ∀s ∈ S (6)


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Exemple

Exemple avec n = 5 taches.

s = 1 J1 J2 J3 J4 J5

r1j 0 7 3 4 3

p1j 3 4 1 2 4

d1j 3 14 4 6 10

s = 2 J1 J2 J3 J4 J5

r2j 3 3 0 1 7

p2j 2 5 1 3 3

d2j 6 11 2 5 14


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Sequence (3, 1, 4, 5, 2) pour les deux scenarios

-

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

J1 J2J3 J4 J5

-

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

J1 J2J3 J4 J5

Scenario s = 2

Lmax = max{7− 3, 17− 14, 4− 4, 9− 6, 13− 10} = 4

Lmax = max{5− 6, 16− 11, 1− 2, 8− 5, 11− 14} = 5

Scenario s = 1


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Introduction du routing au modele

Variables :

zi,j,r = 1 : si la tournee r (i.e. reme tournee) visite i puis j consecutivement, 0sinon.yj,r = 1 : si le site j est visite par la tournee r, 0 sinon.tsj,r ≥ 0 : date de livraison de la tache Jj pour le scenario s si Jj est livree par r.


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Introduction du routing au modele

zi,j,r = 1 : si la tournee r (i.e. reme tournee) visite i puis j consecutivement, 0 sinon.yj,r = 1 : si le site j est visite par la tournee r, 0 sinon.tsj,r ≥ 0 : date de livraison de la tache Jj pour le scenario s si Jj est livree par r.

n∑j=0,j 6=i

zi,j,r = yi,r, ∀i ∈ {0, ..., n}, ∀r ∈ {1, ..., n} (1)

n∑i=0,i 6=j

zi,j,r = yj,r, ∀j ∈ {0, ..., n}, ∀r ∈ {1, ..., n} (2)

n∑r=1

yj,r = 1, ∀j ∈ {1, ..., n} (3)

ts0,r ≥ Cs

k − M(2− xj,k − yj,r), ∀j ∈ {1, ..., n}, ∀k ∈ {1, ..., n}, ∀r ∈ {1, ..., n}, ∀s ∈ S (4)

ts0,r ≥ ts

0,r−1 +n∑

i=0

n∑j=0

`si,j · zi,j,r−1, ∀r ∈ {2, ..., n}, ∀s ∈ S (5)

tsj,r ≥ ts

i,r + `si,j − M(1− zi,j,r), ∀i ∈ {0, ..., n}, ∀j ∈ {1, ..., n}, ∀r ∈ {1, ..., n}, i 6= j, ∀s ∈ S (6)

Lmax ≥ tsj,r − ds

j , ∀j ∈ {1, ..., n}, ∀r ∈ {1, ..., n}, ∀s ∈ S (7)


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Exemple

Pour cet exemple, on change les dates dues dsj et on introduit les donnees du

routing.

s = 1 J1 J2 J3 J4 J5

r1j 0 7 3 4 3

p1j 3 4 1 2 4

d1j 11 18 9 10 17

s = 2 J1 J2 J3 J4 J5

r2j 3 3 0 1 7

p2j 2 5 1 3 3

d2j 9 17 10 11 18

Les matrices des distances L1 et L2 :

L1 =

0 2 4 3 2 22 0 3 2 1 33 3 0 3 2 23 2 3 0 1 32 1 2 1 0 22 3 2 3 2 0

L2 =

0 3 2 2 2 33 0 4 1 2 32 4 0 4 3 22 1 4 0 2 42 2 3 2 0 43 3 2 4 4 0


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Exemple

-(4)-

(0)

r1

(1)- -

(0)(3) (2)

r2- -(5)

-(0)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Lmax = 3

-

Scenario s = 2

J1 J2J3 J4 J5

Lmax = 3

J1 J2J3 J4 J5

Scenario s = 1

-0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

-(3) (2)

r2

(4)-

(0)

r1

(1)- -

(0)(0)- -(5)

-(0)


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Groupe de taches permutables pour l’ordonnancement robusteGroupe de taches permutables pour le routing





4 Resultats



26





Groupe de taches permutables pour l’ordonnancement robuste

On fait l’hypothese que les taches d’un groupe sont traitees en temps reelselon l’ordre FIFO. Autrement dit, elles sont tries selon la regle ERD (ordrecroissant des rs

j ) pour chaque scenario s. On introduit la liste despredecesseurs (Precs

j ) et la liste des successeurs (Succsj ) pour chaque tache

Jj et chaque scenario s.

Variables :

xj,k = 1 : si la tache Jj est dans le groupe k, 0 sinon.


27





Groupe de taches permutables pour l’ordonnancement robuste

xj,k = 1 : si la tache Jj est dans le groupe k, 0 sinon.

Min Lmax (1)

s.c.n∑

k=1

xj,k = 1, ∀j ∈ {1, ..., n} (2)

rsi + ps

i + (∑

l∈(Succsi∩Precs

j )

psl xl,k) + ps

j − dsj − M(2− xi,k − xj,k) ≤ Lmax,

∀i, j ∈ {1, ..., n}, j ∈ Succsi , ∀k ∈ {1, ..., n}, ∀s ∈ S (3)

rsi + ps

i +∑

l∈Succsi

psl xl,k +

k′−1∑q=k+1

n∑l=1

psl xl,q +

∑l∈Precs

j

psl xl,k′ + ps

j − dsj − M(2− xi,k − xj,k′ ) ≤ Lmax,

∀i, j ∈ {1, ..., n}, ∀k, k′ ∈ {1, ..., n}, k′ > k, ∀s ∈ S, (4)


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Exemple

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Lmax = 0l’ordonnancement de groupes

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

les ordonnancements correspondants

{J1, J3, J4}, {J2, J5}

-

Scenario s = 1

J1 J3 J4 J5 J2

-J3

Scenario s = 2

J4 J1 J2 J5


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Groupe de taches permutables pour le routing

On introduit la liste des predecesseurs (Prec′sj ) et la liste des successeurs(Succ′sj ) pour chaque tache Jj et chaque scenario s. Les taches d’un groupesont triees selon la regle EDD (ordre croissant des ds

j ).

Variables :

γj,h = 1 : si le site j est dans le groupe h, 0 sinon.δh,r = 1 : si le groupe h est dans la tournee r, 0 sinon.θj,r = 1 : si le site j est dans la tournee r, 0 sinon.αs

r ≥ 0 : date de depart de la reme tournee pour le scenario s.


30





γj,h = 1 : si le site j est dans le groupe h, 0 sinon.δh,r = 1 : si le groupe h est dans la tournee r, 0 sinon.θj,r = 1 : si le site j est dans la tournee r, 0 sinon.αs

r ≥ 0 : date de depart de la reme tournee pour le scenario s.

C′si + `si,j ≤ C′sj + M(2− γi,h − γj,h), ∀i ∈ Prec′sj , ∀j ∈ {1, ..., n}, ∀h ∈ {1, ..., n}, ∀s ∈ S (1)

C′si + `si,j ≤ C′sj + M(2− γi,h − γj,h′ ), ∀i, j ∈ {1, ..., n}, ∀h, h′ ∈ {1, ..., n}, h < h′, ∀s ∈ S (2)

αsr ≥ C′sj + `

sj,0 − M(1− θj,r′ ), ∀j ∈ {1, ..., n}, ∀r ∈ {2, ..., n}, r′ < r, ∀s ∈ S (3)

αsr ≥ Cs

i − M(1− θi,r), ∀i ∈ {1, ..., n}, ∀r ∈ {1, ..., n}, ∀s ∈ S (4)

αsr + `

s0,i ≤ C′si + M(1− θj,r), ∀i ∈ {1, ..., n}, ∀r ∈ {1, ..., n}, ∀s ∈ S (5)

θj,r ≥ γi,h + δh,r − 1, ∀i ∈ {1, ..., n}, ∀h ∈ {1, ..., n}, ∀r ∈ {1, ..., n} (6)n∑

h=1

γj,h = 1, ∀j ∈ {1, ..., n} (7)

n∑r=1

θj,r = 1, ∀j ∈ {1, ..., n} (8)

n∑r=1

δh,r = 1, ∀h ∈ {1, ..., n} (9)

Lmax ≥ C′sj − dsj , ∀j ∈ {1, ..., n}, ∀s ∈ S (10)


31





Exemple

Scenario 1Tournee 1

Tournee 2

-y

-0 3

4

1

?y0

2

5

:

Scenario 1

=⇒

Scenario 2

-0

2

5Y

=⇒

6

z0

5

29

:

� -0 3

4

1

?

z

� -0 3

4

16

Scenario 2


32





Exemple

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26-

-

(0)-

(3)

r1

(4)-

(0)--

(1) (0)

J3 J4 J1 J2 J5

Lmax = 0Scenario s = 2

(5)

r2-

(2)-

(0)

Lmax = 0Scenario s = 1

J1 J3 J4 J5 J2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26-

(0)

r1 -

(4)(3)-

(1)- -

(0) (2)

r2- -

(5)-

(0)


33








4 Resultats



34




Generation de jeux de donnees aleatoires

On commence par le scenario de reference (scenario 1)p1

j ∈ [1, 100]r1

j ∈ [1, γP]

d1j ∈ [(α− β

2 )P, (α+ β2 )P]

x1j ∈ [1, 70] et y1

j ∈ [1, 70] sont les coordonnees du site j pour le scenario 1

ω est le parametre de deviation (exp : psj = ω · p1

j )

Nous avons genere 10 instances pour chaque couple (n, s) avec :

n ∈ {8, 10, 12}s ∈ {2, 6}γ = 1, 5, α = 1, β = 0, 2 et ω = 0, 2

La limite de temps est fixee a 600s


35




Resultats pour l’ordonnancement

MOR : modele d’ordonnancement robusteMOGr : modele d’ordonnancement de groupes

deviation = Lmax(MOR)−Lmax(MOGr)Lmax(MOGr)

temps(s) #resoluesn S MOR MOGr MOR MOGr deviation% MOGr < MOR8 2 0 9 10 10 17,95% 5/108 6 0 25,2 10 10 58,81% 9/1010 2 1 103,7 10 10 21,54% 9/1010 6 1 188,4 10 10 17,81% 9/1012 2 1 424,3 10 10 8,90% 9/1012 6 1 - 10 0 - -


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Resultats pour l’ordonnancement et le routing

MROR : modele robuste pour l’ordonnancement et routingMORGr : modele d’ordonnancement et de routing de groupes

deviation = Lmax(MROR)−Lmax(MORGr)Lmax(MORGr)

temps(s) #resoluesn S MROR MORGr MROR MORGr deviation% MORGr < MROR8 2 600 502,8 10 10 3,86% 7/108 6 600 435,9 8 9 5,54% 6/7

10 2 600 423,1 8 9 2,26% 3/610 6 600 600 6 6 -5,91% 1/312 2 600 430,2 8 7 -0,3% 2/6


37








4 Resultats



38





Conclusion

Resolution exacte du probleme integre d’ordonnancement et de routagede vehicules

Proposition de modeles robustes et flexibles pour ce probleme

Perspectives

Introduction de coupes

Methodes de decomposition

Methodes approchees


39




Merci pour votre attention


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Bibliographie

J-C. Billaut, A. Moukrim, E. Sanlaville, ed. (2008). Scheduling withFlexibility and Robustness, ISTE Ltd, Wiley, London.

P. Kouvelis, G. Yu (1997). Robust discrete optimisation and itsapplications, Kluwer Academic Publishers.


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