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Sommaire

• Notations et symboles

• Définitions

• Le modèle newtonien

• Fluides simples incompressibles

Notations et symboles

a : constante

b

: densité vectorielle volumique d’efforts d1, d2, d3 : scalaires constants e : énergie interne massique f : énergie libre g

: gradient de la température g : accélération de la pesanteur h : distance entre deux plans parallèles k : conductibilité thermique n : exposant adimensionnel p : pression pg : pression motrice

p : pression mesurée

p0 : pression statique q : densité surfacique de quantité de chaleur reçue par unité de temps qv : débit volumique r : densité volumique de quantité de chaleur reçue par unité de temps s : entropie massique t : temps

u, v, w : composantes de V

x : composante de MO

C : c o u p l e C f : c o e f f i c i e n t d e f r o t t e m e n t C q : c o e f f i c i e n t d e d é b i t v o l u m i q u e D : t e n s e u r t a u x d e d é f o r m a t i o n D I t r D

D I I )()(*2

1 22 DtrtrD

D I I I d e t D F ( T , t ) : g r a d i e n t d e l a d é f o r m a t i o n H n : c o e f f i c i e n t s s c a l a i r e s f o n c t i o n s d ’ i n v a r i a n t s J : j a c o b i e n K : c o n f i g u r a t i o n d e r é f é r e n c e K n : c o e f f i c i e n t s s c a l a i r e s f o n c t i o n s d ’ i n v a r i a n t s K f : c o e f f i c i e n t d e f r o t t e m e n t l o c a l L : l o n g u e u r d e r é f é r e n c e d e l ’ é c o u l e m e n t t e n s e u r g r a d i e n t d e l a v i t e s s e N : t e n s e u r t e l q u e = N + T N 1 , N 2 : 1 r e e t 2 e m e d i f f é r e n c e d e s c o n t r a i n t e s n o r m a l e s N E 1 , N E 2 : 1 r e e t 2 e m e f o n c t i o n e x t e n s i o m é t r i q u e O : n o m b r e d ’ O l d r o y d P f : p u i s s a n c e d e s f o r c e s d e f r o t t e m e n t P i : p u i s s a n c e d e s e f f o r t s i n t é r i e u r s Q : d é b i t - v o l u m e m a t r i c e d e c h a n g e m e n t d e r é f é r e n t i e l R : r a y o n d u t u b e R e : n o m b r e d e R e y n o l d s

R, R* : référentiels R(T, t) : tenseur rotation (ou symétrie) pure S : contrainte S : valeur maximale de cisaillement simple T : tenseur des contraintes de viscosité U : répartition des vitesses, vitesse débitante V(T, t ) : tenseur déformation pure W(T, t ) : tenseur déformation pure W : déviateur symétrique paramètre sans dimension scalaire constant épaisseur de couche limite * : épaisseur de déplacement ** : épaisseur de quantité de mouvement taux de déformation variable de similitude : température absolue ) ( : application coefficient viscosité 1, 2 : 1er et 2eme coefficient de contrainte normale 0 : plan de référence masse volumique partie sphérique du tenseur vitesse angulaire 1, 2 : vitesses angulaires

t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s f o n c t i o n v i s c o s i m é t r i q u e x y : c o n t r a i n t e d e c i s a i l l e m e n t

. : d é r i v é e p a r t i c u l a i r e (

.

Dt

D )

— : m a t r i c e (

D m a t r i c e D )

+ : g r a n d e u r a d i m e n s i o n n e l l e ( V

uu )

– : v a l e u r m o y e n n e – 1 : i n v e r s e d : d é v i a t e u r d e . . .

d d é v i a t e u r d e )

T : t r a n s p o s é e ( TQ t r a n s p o s é e d e Q )

0 : d é r i v é e d e J a u m a n ( o

d é r i v é e d e J a u m a n d e ) d é r i v é e c o n v e c t i v e o u d ’ O l d r o y d

( d é r i v é e c o n v e c t i v e d e )

t r : t r a c e ( t r D t r a c e d e D ) d e t : d é t e r m i n a n t ( d e t D d é t e r m i n a n t d e D ) t : h i s t o i r e d u m o u v e m e n t d ’ u n c o r p s tpourtZt ),(

L’hypothèse du fluide au du solide parfait n’est qu’une simplification du processus de transformation d’un milieu.

En effet :

• un réseau cristallin possède une configuration de référence privilégiée, et développe des efforts notables de résistance à la déformation, c’est un

solide.

 

• à l’opposé, l’air ambiant ne possède pas de configuration privilégiée ni de résistance à la déformation, c’est un fluide.

Mais cette notion d’ordre est manifestement insuffisante.

C ’est pourquoi, nous prendrons le parti de faire la distinction entre solide et fluide au stade des applications

1. Définitions 

1.1   1.1 Fluides

 

1.1           1.2 Fluides newtoniens et non-newtoniens

a) Les fluides newtoniens

Les fluides visqueux classiques ont une loi de comportement dite newtonienne. Nous signifions ainsi que ce sont des milieux continus homogènes où les efforts intérieurs sont représentés par un tenseur des contraintes qui s’exprime par une fonction linéaire et isotrope du tenseur des taux de déformation.

Leur incompressibilité, pour les liquides, ou la relation de Stokes, pour les gaz, permettent même de conserver un seul coefficient : la viscosité μ, dans la loi de comportement.

Le modèle newtonien s’applique en fait à un grand nombre de corps de la nature, et notamment aux plus répandus :

eau, huile, air.

b) les fluides non-newtoniens

 

Un milieu continu est non-newtonien dès lors qu’une expérience vient contredire les prévisions établies à l’aide du modèle newtonien. En général nous savons plus ou moins donner une explication physique du comportement non-newtonien. Ce fluide dépend alors de deux variables : et S (valeur maximale de cisaillement simple).

2. Le modèle newtonien 

2.1 Hypothèses sur la description classique des milieux continus

Après avoir défini un observateur, la cinématique des fluides suppose qu’il suffit de considérer les variations spatiales de la vitesse pour prendre en compte toute l’information nécessaire.

 

Plusieurs facteurs sont utilisés :

 

•Le tenseur symétrique des taux de déformation D = 1/2 (L + L T )

 

•Les densités vectorielles volumique et surfacique d’efforts, ainsi que les

densités scalaires volumique r et surfacique q de quantité de chaleur reçue

par unité de temps.

•Enfin le milieu possède une énergie interne massique e, une température

absolue positive, une entropie massique s définie à une constante près.

 

2.2 Lois fondamentales

 

 

Les lois qui suivent sont d’origine physique. Leur application se fait quelque soit le corps considéré. Enfin, elles expriment toute la conservation d’une grandeur et permettent d’écrire :

 

 

 

Conservation de la masse

 

avec masse volumique

vitesse du fluide

 

  Loi fondamentale de la mécanique

 

avec densité vectorielle volumique d’efforts

tenseur des contraintes

 

0)(Vdivt

divbt

V

V

Premier principe de la thermodynamique

(conservation )

 

avec e énergie interne massique

D tenseur taux de déformation

vecteur flux de chaleur

 

 

 

Second principe de la thermodynamique

(inégalité réduite à la dissipation)

 

avec f = e -s énergie libre

température absolue

s entropie

rqdivDtre )(

0)(

gradq

sDtrf

Dans le modèle newtonien nous faisons apparaître :

 

7 variables : , , , , ,f,s

2 données : , r

 

 

L’ensemble est relié par trois principes de conservation. Les lois qui permettent d’obtenir des paramètres en fonction des autres sont appelées lois de comportement. Elles précisent le comportement physique du milieu considéré.

2.3 Hypothèses simplificatrices

 

Dans de nombreux cas particuliers réels les matériaux utilisés ont des propriétés remarquables qui simplifient l’écriture de leur comportement.

 

 

Homogénéité

 

Un milieu est homogène si les lois de comportement ne dépendent pas du point considéré.

 

 

Isotropie

 

Un matériau est dit isotrope si les de comportement ne dépendent pas de la direction (dans l’espace) choisie.

2.4 Fluides newtoniens

 

 

Ce sont les fluides qui vérifient les principes et les propriétés précédentes.

Un fluide est dit newtonien lorsqu’il présente des lois de comportement linéaire par rapport au taux de déformation et au gradient de la température.

 

Les fluides newtoniens sont homogènes, isotropes, à mémoire mécanique infiniment courte, et à mémoire thermique nulle.

2.5. Lois empiriques de fluides non-newtoniens à viscosité variable

- La loi de puissance :

1 no γkμ

0

00

argttsh

- Loi de Powell-Eyring

2.6 Aspect dimensionnel

221 DKDKT

Grandeurs caractéristiques des propriétés mécaniques du matériau qui interviennent dans la relation

- la viscosité ;

- le temps t0 ;

- une liste de paramètres sans dimension ßi ;

- la forme des fonctions K1 et K2.

Paramètres de similitude pour des fluides newtoniens suivant les même lois physiques

- les nombres sans dimension

- les paramètres sans dimension des conditions limites et initiales

Paramètres de similitude pour des fluides non-newtoniens suivant les même lois physiques et ayant des fonctions K1 et K2 de la même formes

- les même propriétés que pour les fluides newtoniens

- un paramètre adimensionnel de temps LVt 0

- la liste des i .

• Définition du corps et de son mouvement:

• un ensemble doté d’une structure mathématique d’algèbre de Boole

• Configuration de référence et déformation du corps par rapport à une configuration

• Différentes descriptions d’un mouvement

• Gradient de la déformation

• définition du gradient spatial du champ vectoriel χK.

• Théorème de décomposition polaire de Cauchy

• le gradient de la déformation est décomposé en un tenseur rotation pure et en les tenseurs déformation pure.

1. Définitions 

1   Cinématique appropriée

 

2 Lois de comportement

• Application des principes de formulation à la nouvelle description

• le tenseur des contraintes dans un corps est déterminé par l’histoire de son mouvement

• Pour les corps matériellement simples

• Homogénéité et isotropie : fluides matériellement simples

• le corps est homogène, et donc que la fonctionnelle est la même pour toutes les particules.

3 Formes particulières de lois de comportement

• Les Fluides du type différentiel ou de Rivlin-Ericksen,

• Fluides du type taux,

• Fluides du type intégral.

4 Écoulement d’un fluide simple à histoire de la déformation pure constante

• Définition• => les valeurs propres de W ne dépendent pas du temps t dans ces conditions :

on dit que l’écoulement est à histoire de la déformation pure constante

• Relations cinématiques

5 Écoulements viscosimétriques

• Définition=> Ces écoulements peuvent être présentés d’une façon plus générale incluant

des écoulements non stationnaires