UE4 MTH1 02 Chap 2 Fonctions Plus Var Reelles

Anne universitaire 2014/2015Universit Joseph Fourier (UJF) Grenoble I - Tous droits rservs



Chapitre 2 :Evaluation des mthodes danalyse applique

aux sciences de la vie et de la sant

Pr. Philippe CINQUIN

UE 4 : Mathmatiques Biostatistiques

Chapitre 2 : Fonctions de plusieurs variables relles

Nous nous limiterons ltude des Fonctions de Rn

dans R

Fonctions de Rn dans R

Construction de Rn Les lments de Rn sont des n-uplets x = (x1, x2, x3, , xn) x est un vecteur de dimension n On pourra sintresser des sous-ensembles de Rn, par exemple [a,b] X [c,d] reprsente

lensemble des vecteurs x =(x1, x2) tels que : a x1 b c x2 d

Une fonction f de Rn dans R est une fonction qui associe tout n-uplet x un certain rel, not f(x) = f(x1, x2, x3, , xn)

Exemples : Altitudes dune carte IGN : soit z laltitude, la carte est une reprsentation de la fonction

z= f(x, y), o (x, y) est le vecteur qui donne la latitude et la longitude du point considr. Pression atmosphrique utilise en mto : P(x, y, z)

Les notions introduites pour les fonctions dune variable se gnralisent facilement aux fonctions de plusieurs variables. Nous ne dtaillerons que la gnralisation de la notion de drive et ses applications.

Exemple de reprsentation dune fonction de 2 variables

Drives partielles dune fonction de 2 variables

La fonction profil dlvation des outils de cartographie numrique permet de choisir une portion de plan vertical contenant un point origine A et un point arrive B.

Le profil dlvation reprsente laltitude sur le chemin fictif qui mnerait du point A au point B en restant dans le plan slectionn.

A tout moment, le randonneur fictif se dplaant sur ce chemin est au point M de latitude x et de longitude y. Son altitude est z(x, y).

Soit s la distance de A la projection au sol de M (voir schma). Laltitude z du randonneur dpend bien sr de s, on peut crire tout moment de la randonne : z(M) = z(s) = z(x, y).

Bien sr, si vous utilisez un outil de ce genre pour prparer votre randonnes, lintrt que vous y trouverez sera de pouvoir prvoir la difficult du trajet Par exemple, si vous me demandez mon avis, je vous dconseillerai fortement ce chemin, car une pente rocheuse de 83% me paratrait suicidaire

Mais quavez-vous fait en utilisant cet outil ? Vous avez transform une fonction de 2 variables en une fonction dune seule variable, s, qui vous parle mieux !

A B

M

s


Dans cet exemple, peut-on, au vu des donnes prsentes dans le schma, estimer la drive z(s0) au point M0 figurant sur le schma, en tenant compte des indications sur les variations entre M0 et M ?

On lit : distance = 407 m ; gain dlvation = -296 m

Soit s = 407 ; z = -296 ; donc

A B

M0

s

z (s0 ) zs 296407

0, 73

s=407z= -296 M


z(s) a pu tre obtenu en contraignant le randonneur se dplacer selon un chemin qui se projette sur la base de la carte sur une ligne droite : on a ainsi pu se ramener ltude dune fonction dune seule variable (s), suppose drivable.

Cest ce mme principe qui permet de construire les drives partielles . Au voisinage du point M0 (x0, y0), on va construire 2 profils :

Un profil parallle laxe des y. Cela revient fixer y = y0 et tudier la fonction. Si g est drivable, sa drive g sera appele

drive partielle de f par rapport x.

Un profil parallle laxe des x. Cela revient fixer x = x0 et tudier la fonction. Si h est drivable, sa drive h sera appele

drive partielle de f par rapport x.

z f (x, y0 ) fy0 (x) g(x)

z f (x0, y) fx0 (y) h(y)

Notation des drives partielles dune fonction de plusieurs variables

Le procd dcrit plus haut peut tre appliqu pour une fonction avec un nombre quelconques de variables : on obtiendra n drives partielles pour une fonction de Rn dans R.

Ce procd peut tre appliqu en tout point de lespace de dfinition de f, sous rserve que les fonctions unidimensionnelles tudies soient drivables. Dans ce cas, on construit donc, partir de f, n nouvelles fonctions.

Pour viter de confondre les drives des fonctions dune variable et les drives des fonctions de plusieurs variables, on choisit dutiliser des lettres rondes . Dans le cas dune fonction f de 3 variables, on pourra crer ainsi :

fx (x, y,z)fy (x, y, z)fz(x, y, z)

Gnralisation de la notion de drive

Pour une fonction f(x) dune seule variable, nous avons vu que si f tait drivable sur un intervalle I, on pouvait en tout point x0 de I construire la tangente au graphe de f, droite de pente f (x0), et dquation : y =f (x0)x + f(x0)

La fonction A(x) qui tout x rel associe y=f (x0)x est appele application linaire tangente f .

NB1 le terme application traduit le fait que cette fonction A est dfinie sur R tout entier

NB2 le terme linaire traduit le fait que pour tout k rel, A(kx)=kA(x)

Donc la drive f permet dassocier tout rel x non seulement un autre rel, f (x), mais aussi lapplication linaire tangente A(x).

Pour des fonctions de plusieurs variables, on peut gnraliser cette notion.

Commenons par le cas dune fonction de 3 variables, f(x,y,z), suppose drivable. Dfinissons lapplication linaire tangente f en (x0, y0, z0) par

A(x, y, z) fx (x0, y0, z0 ) xfy (x0, y0,z0 ) y

fz(x0, y0,z0 ) z

Gnralisation de la notion de drive

On voit que A dpend de (x0, y0, z0), exactement comme en dimension 1 la drive dpendait du point considr.

Notion de produit scalaire de 2 vecteurs de dimension quelconque (ici, dimension 3) : Soient 2 vecteurs a(xa, ya, za) et b(xb, yb, zb) On appelle produit scalaire de a par b, et on note a.b le rel a.b =xa.xb + ya.yb +za.zb

Notion de gradient : on appelle gradient de f au point (x0, y0, z0), et on note G(x0, y0, z0) le vecteur dont les trois coordonnes sont les drives partielles de f par rapport respectivement x, y et z. Par commodit, on pourra reprsenter ces trois coordonnes sous forme verticale , et donc noter :

La drive f (x0, y0, z0) peut alors tre vue comme lapplication linaire qui tout

vecteur u=(x, y, z) associe [G(x0, y0, z0) . u] =

)z,y,x(zf

)z,y,x(yf

)z,y,x(xf

)z,y,x(G

000

000

000

000

fx (x0, y0, z0 ) x

fy (x0, y0, z0 ) y

fz(x0, y0, z0 ) z

Premire tape de la gnralisation de la formule de Taylor

En dimension 1, nous avions vu quil tait possible dapproximer f en x0 par sa tangente , et la formule de Taylor nous rassurait sur le fait que lerreur commise tait faible quand x est suffisamment proche de x0 :

et quen pratique on pouvait crire, en notant df = f(x) f(x0) et dx = x - x0 :

En dimension suprieure 1, ici 3, on dispose dune formule similaire (le . reprsente ici le produit scalaire :

avec

)z,y,x(zf

)z,y,x(yf

)z,y,x(xf

)z,y,x(G)z,y,x(f

000

000

000

000000

f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )

f (x, y,z) f (x0, y0, z0 ) f (x0, y0,z0 ) (x x0, y y0, z z0 )

df f (x0 ) dx

Premire tape de la gnralisation de la formule de Taylor (suite)

Notons

Alors :

En pratique, on nhsitera pas crire :

Il faut bien voir que cela revient dire que lon peut approximer f par lapplication linaire tangente (notion qui gnralise donc la notion de droite tangente utilise en dimension 1).

dz)z,y,x(zfdy)z,y,x(

yfdx)z,y,x(

xfdu)z,y,x(Gdu)z,y,x(fdf 000000000000000

df f (x, y,z) f (x0, y0, z0 )du (x x0, y y0,z z0 )

dz)z,y,x(zfdy)z,y,x(

yfdx)z,y,x(

xfdf 000000000

Intuition graphique de lapplication linaire tangente

Supposons connue la surface sur laquelle se dplace le randonneur, sous forme dune fonction z(x,y). Le randonneur est au point M0 (x0, y0), et il veut se dplacer au point (x0+dx, y0+dy). Que vaudra sa variation d altitude df ?

On peut lapproximer en considrant quau voisinage de M0, la surface de la montagne est suffisamment proche de la surface de la portion de plan tangent reprsente par un paralllogramme sur le schma.

On peut alors remplacer les mouvements du radnonneur sur la montagne par ses mouvements sur le plan tangent, autrement dit approximer df par :

dy)y,x(yfdx)y,x(

xfdf 0000

M0 (x0, y0)

Drives partielles secondes

Chaque drive partielle est une fonction de Rn dans R, qui peut donc son tour tre drivable.

Soit par exemple f une fonction de 3 variables, dont la drive partielle par rapport x existe et est elle-mme drivable. Notons cette drive partielle

On va pouvoir construire, en drivant g successivement par rapport x, y puis z, trois nouvelles drives partielles :

2 fx2 (x, y, z)

gx (x, y, z)

2 fyx (x, y,z)

gy (x, y, z)

2 fzx (x, y, z)

gz (x, y, z)

g(x, y,z) fx (x, y, z)

Drives partielles secondes

Supposons maintenant que les drives partielles de f par rapport x, y et z existent toutes et soient toutes nouveaux drivables partiellement . Nous pouvons alors construire, pour une fonction 3 variables, 9 drives partielles secondes :

On dmontre que les drives partielles croises sont indpendantes de lordre de drivation :

2 fx2

2 fyx

2 fzx

2 fxy

2 fy2

2 fzy

2 fxz

2 fyz

2 fz2

2 fxy

2 fyx

2 fxz

2 fzx

2 fyz

2 fzy

Deuxime tape de la gnralisation de la formule de Taylor

En dimension 1, si on pousse la formule de Taylor jusqu la drive seconde, on obtient :

Autrement dit :

Ou encore, en notant

Ce qui peut sinterprter de la manire suivante : lcart entre f et la droite tangente peut tre approxim par la fonction parabolique (polynome de degr 2 en dx) reprsente dans le membre droit de cette quation.

NB on comprend alors pourquoi le signe de la drive seconde dtermine le sens de la convexit de f. En effet, si f "(x0)>0, la parabole du membre droit de lquation est convexe, donc f est aussi convexe.

f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) 12 f (x0 ) (x x0 )2

f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) 12 f (x0 ) (x x0 )2df f (x) f x0 dx x x0df f (x0 ) dx 12 f (x0 ) dx

2

Deuxime tape de la gnralisation de la formule de Taylor

On peut gnraliser cette interprtation en dimension quelconque.

En dimension 2, soit f(x,y), suppose drivable 2 fois sur R , dont les drives en (x0,y0) sont :

et

Notons

On dmontre quon peut crire :

Autrement dit, lcart entre f et le plan tangent est un polynome Q de degr 2 en dx et dy. On dira que Q est une forme quadratique .

Etudier le comportement de Q nous permettra de mieux comprendre le comportement (la forme) de f.

df gx dx gy dy 12 adx2 2bdx dycdy2

Ggx fx x0, y0 gy fy x0, y0

a 2 f

x2 x0, y0 b2 fyx x0, y0

b 2 f

xy x0, y0 c2 fy2 x0, y0

df f (x, y) f x0, y0 dx (x x0 )

dy (y y0 )

Drives partielles : exemple 1

Calculez les drives partielles premires et secondes de

Lcart entre f et son plan tangent vaut donc :

f (x, y) 12

x2 2xy 52

y2

Ggx fx x 2y

gy fy 2x5yH

2 fx2 1

2 fyx 2

2 fxy 2

2 fy2 5

df gx dx gy dy 12 dx2 4dx dy5dy2


Etudions le polynme

Avec un changement de variable :

On observe que Q est donc toujours positif.

On remarque que, si lon fixe V, Q se comporte comme une parabole.

De mme, si on fixe U, Q se comporte aussi comme une parabole.

Un point (x,y) dune fonction tel que lcart de la fonction son plan tangent en ce point puisse scrire comme somme de deux paraboles dont la convexit est oriente dans le mme sens sera dit parabolique

Q(X,Y) X2 4X Y 5Y2

Q(X,Y) (X 2Y)2 Y2U X 2YV Y

Q(X,Y) Q(U,V) U 2 V2


Calculez les drives partielles premires et secondes de

Lcart entre f et son plan tangent vaut donc :

f (x, y) x2 xy

Ggx fx 2x y

gy fy xH

2 fx2 2

2 fyx 1

2 fxy 1

2 fy2 0

df gx dxgy dy 12 2dx2 2dx dy dx2 dx dy


Etudions le polynme

Avec un changement de variable :

On observe que Q est donc la diffrence de 2 paraboles:

si lon fixe V, Q se comporte comme une parabole convexe.

si on fixe U, Q se comporte comme une parabole concave.

Un point (x,y) dune fonction tel que lcart de la fonction son plan tangent en ce point puisse scrire comme diffrence de deux paraboles sera dit hyperbolique

Q(X,Y) X2 X YQ(X,Y) (X 1

2Y)2 1

4Y2

U X 12

Y

V 12

Y

Q(X,Y) Q(U,V) U 2 V2

Quelques lments de gomtrie diffrentielle

On dmontre quil est possible de gnraliser en dimension quelconque ce que nous avons vu dans les deux exemples prcdents en dimension 2 :

Soit f(x1, x2,, xn) une fonction de Rn dans R, deux fois drivable. Soit G son gradient.

Il est possible de trouver un changement de variable u=(u1, u2,, un) = P(x1, x2,, xn) tel que lcart entre f et son application linaire tangente puisse scrire

Nous nous limiterons au cas o tous les i sont diffrents de 0. f sera dite elliptique en un point si tous les i sont de mme signe en ce point f sera dite hyperbolique en un point si les i ne sont pas tous de mme signe en ce

point

df G u 1u21 2u22 ...nun2

Bassins, cols et gomtrie diffrentielle

Une zone o tous les points sont elliptiques et o tous les isont positifs peut tre vue comme un bassin , qui gnralise la notion de convexit vue en dimension 1.

Un bon exemple est le parabolode de rvolution , cest--dire la surface engendre par la rotation dune parabole autour de son axe (cf. schma, repris de Wikipedia).

Bien sr, si tous les i sont ngatifs, le bassin se transforme en dme .

Notez ds ce stade quune bille lche sans vitesse en un point quelconque de ce bassin ne pourra en sortir

On voit donc dj intuitivement que la notion de point elliptique sera associe une notion de stabilit

Bassins, cols et gomtrie diffrentielle

Au contraire, la notion de point hyperbolique sera associe une notion dinstabilit, comme on le voit dans ce schma (repris de Wikipedia) de la surface z=x2-y2.

On conoit en effet quune bille lche en un point quelconque de cette surface pourra, selon son point de dpart et sa vitesse initiale, verser du ct des y>0 ou du ct des y

Gradient et ligne de niveau

Tout randonneur connat la notion de gradient !

La direction du gradient est en effet la direction de la ligne de plus grande pente , et son module (son intensit ) donne la valeur de cette pente.

Soit un randonneur qui se trouve en un point M0 (x0, y0) daltitude z0 =f(x0, y0). Montrons que pour suivre une ligne de niveau (traduire choisir une direction telle que son altitude z reste constante), il doit avancer dans une direction orthogonale (perpendiculaire) au gradient

Soit M(x,y) sa position courante, dont laltitude est f(x,y). Soit s la distance parcourue entre M0 et sa position courante M(x,y).

On peut considrer que M est une fonction de s : M(s) = (x(s),y(s)).

Si x(s) et y(s) sont drivables :

dx = x(s)ds

dy= y(s)ds

Le vecteur t=(x(s), y(s)) sera appel vecteur tangent la trajectoire du randonneur

G(x0, y0 )

fx (x0, y0 )fy (x0, y0 )

Gradient et ligne de niveau

En utilisant la premire gnralisation de la formule de Taylor, il vient :

Remplaons dans cette formule dx et dy par leur expression en fonction de s :

Or, si le randonneur reste sur une ligne de niveau, f(s) reste constant, donc df=0, do

La partie droite de cette quation signifie que le produit scalaire entre le gradient G et le vecteur tangent t est gal 0, ce dont on montre que cela traduit le fait que ces deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires).

Donc quand le randonneur suit le vecteur tangent, son altitude ne varie pas. Sil scarte de plus en plus du vecteur tangent pour descendre , son altitude va baisser de plus en plus vite , jusqu ce quil soit dans la direction du gradient. L, la vitesse de baisse de son altitude sera maximale, car il sera dans la ligne de plus grande pente .

NB le gradient est donc la direction que prendra une goutte deau lche sans vitesse initiale sur une surface.

df fx (x0, y0 ) dxfy (x0, y0 ) dy

df fx (x0, y0 ) x '(s)dsfy (x0, y0 ) y'(s)ds

0 fx (x0, y0 ) x '(s)dsfy (x0, y0 ) y'(s)ds

fx (x0, y0 ) x'(s)

fy (x0, y0 ) y'(s)

Exemple de reprsentation graphique du vecteur tangent une courbe de

niveau et du gradient

TangenteGradient

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